3.6.1 二次函数的应用同步练习
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文档简介
第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第1课时 面积问题
课前预习
利用二次函数求几何图形的最大面积
引入________________。
用含有_____________的代数式分别表示与所求几何图形相关的量。
根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并用_____________________表示面积。
根据______________________，求出最大值及取得最大值时___________________的值。
课内探究
探究要点 最大面积问题
【例】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建个矩形花园ABCD,花园一边靠墙另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示).若设花园的边BC长为x m,花园的面积为y m2。
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势,并结合题意判断当x取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少?
思路分析:
第(1)问根据矩形的面积建立一个函数关系式,并求出自变量的取值范围;第(2)问是运用第(1)问的函数来进行探索,利用函数的性质求解.
【自主解答】
交流分享
遇到图形面积的最值问题,往往要联系二次函数的顶点坐标,规则图形的面积由面积公式直接计算不规则图形的面积多采用分割求得,即把图形分割成几个规则图形,分别求得面积,再求它们的和。
跟踪练习
把一段长1.6m的铁丝围成矩形框架ABCD,设矩形框架宽为x(m),面积为y(m2),则当y最大时,x所取的值是( )
A.0.5 m B.0.4 m C.0.3 m D.0.6 m
课堂基础堂堂清
一、选择题
1.在一个等腰直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中等腰直角三角形的腰长为10cm,则矩形ABCD的面积的最大值为( )
A.20 cm2 B. 30 cm2 C. 40 cm2 D. 25 cm2
2.如图所示,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边x,y应分别为( )
A.x=10,y=14 B.x=14,y=10
C.x=12,y=15 D.x=15,y=12
二、填空题
3.将一条长20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是_________cm2.
4.已知建筑材料可砌长为48 m的墙,要盖三间平房,如图所示,则房屋的最大面积为_________m2.
三、解答题
5.已知三角形的两边和为20cm,这两边的夹角为120°,求它的面积的最大值;当面积最大时,这两边的长各是多少?
四、拓展探究题
6.如图所示,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M。
(1)设矩形EFGH的长HG=ycm,宽HE=xcm,试确定y与x的函数关系式。
(2)当x取何值时,矩形EFGH的面积最大?
(3)以面积最大的矩形EFGH为侧面,围成一个圆柱形的铁桶,怎样围才能使铁桶的体积最大?请说明理由。
课后提升目日清
1.如图所示,点C是线段AB上的一个动点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C是AB的三等分点时,S最小
D.当C是AB的三等分点时,S最大
2.一根长为10m的铁丝在一块平地上围成一个矩形,这个矩形的最大面积可达_______ m2, 此时矩形是__________形;若将这根铁丝围成一个圆,这个圆的占地面积比矩形的最大面积要_______(填大”或“小”)。
3.如图所示,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN当BM=_________时,四边形ABCN的面积最大。
4.如图所示,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
（1）在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标。
(2)如图所示,若AE上有一动点P(不与A,E两点重合)自点A沿AE方向向点E匀速运动,运动的速度为每秒1个单位,设运动的时间为t秒(0
5.如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,2).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F,设点P的横坐标为m。
(1)求抛物线的表达式
(2)当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由。
(3)若点P在CD上方,则四边形PCOD的面积最大时,求点P的坐标。
参考答案及解析
课前预习
(1)自变量 (2)自变量 (3)函数表达式 (4)函数表达式 自变量
课内探究
【例】(1)根据题意,得,∴.
(2)y= -x2+20x的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=20,∴当0跟踪练习 B
课堂基础堂堂清
1.D 2.D 3. 4.72
5.解:在△ABC中,设BC边的长为xcm,则AB=(20-x)cm。过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D,如图所示：
∵∠ABD=180°-120°=60o，∴△ABC的面积cm。
∴△ABC的面积（0即，∵a=<0，
故当时 ，y最大值 = 。
此时AB=20-x=10(cm).
即这个三角形的最大面积为cm2,此时三角形这两边的长均为10 cm。
6.解:(1)根据题意,得HE=MD=GF=xcm，AM=AD-DM=(120-x)cm,
由△AHG∽△ABC,得,∴.∴.
(2)S=xy===.
∵,∴当x=60cm时,S最大=4800cm2
(3)矩形EFGH的面积最大时,x=60cm,y=80cm,以它为侧面围成一个圆柱形铁桶时,可以以长为高,也可以以宽为高,所以分两种情况讨论：
①当底面周长为60cm,高为80cm时,铁桶体积
②当底面周长为80cm,高为60cm时,铁桶体积。
显然V2>V1,
∴以矩形EFGH的长80cm为底面周长,60cm为高时,围成的铁桶体积最大。
课后提升日日清
1.A 2. 正方 大
3.2 解析:设BM=x,则MC=4-x.由△ABM∽△MCN得,
NC=x(4-x),∴DN=4- x(4-x).
，
∴当x=2时,四边形的ABCN的面积最大为10.
4.(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴。
∴在Rt△ABE中,AE=AO=5。∵AB=4,∴BE=。
∴CE=2,点E坐标为(2,4)
在R△DCE中,DC2+CE2=DE2,而DE=OD,∴(4-OD)2+ 22=OD2,解得OD=。∴点D坐标为(0, ).
(2)∵PM∥DE,∴△APM∽△AED,∴ .
又知AP=t,ED=,AE=5,∴.又∵PE=5-t,四边形PMNE为矩形,
∴S矩形PMNE=PM·PE=,
∴当,∴t=时,S矩形PMNE有最大值.
5.解:(1)在y=x+2中,令x=0,得y=2, ∴C(0,2).
∵点C(0,2),D(3,)在抛物线y=-x2+bx+c上, ∴c=2,-9+3b+c=,
解得b=,c=2.∴抛物线的表达式为y=-x2++2。
2x+2
(2)∵PF∥OC,且以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,∴PF=OC=2
∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线,与抛物线y轴右侧的交点,即为所求之交点.
由图①可以直观地看出,这样的交点有3个.
将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位,得到直线y=x+4, 联立
解得x1=1,x2=2,∴m1=1,m2=2；
将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位,得到直线y=x，联立
解得，(在y轴左侧,不合题意,舍去),
∴当m为值为1,2或时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形。
(3)如图②所示,作DG⊥x轴于点G,设四边形PCOD面积为S.
∵点P的横坐标为m,且点P在抛物线上，∴点P的坐标为(m,),
则，
∴ S四边形OCPD=S梯形OCPE+S梯形PEGD-S△DOG
∴当m=时面积最大,∴
6 二次函数的应用
第1课时 面积问题
课前预习
利用二次函数求几何图形的最大面积
引入________________。
用含有_____________的代数式分别表示与所求几何图形相关的量。
根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并用_____________________表示面积。
根据______________________，求出最大值及取得最大值时___________________的值。
课内探究
探究要点 最大面积问题
【例】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建个矩形花园ABCD,花园一边靠墙另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示).若设花园的边BC长为x m,花园的面积为y m2。
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势,并结合题意判断当x取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少?
思路分析:
第(1)问根据矩形的面积建立一个函数关系式,并求出自变量的取值范围;第(2)问是运用第(1)问的函数来进行探索,利用函数的性质求解.
【自主解答】
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遇到图形面积的最值问题,往往要联系二次函数的顶点坐标,规则图形的面积由面积公式直接计算不规则图形的面积多采用分割求得,即把图形分割成几个规则图形,分别求得面积,再求它们的和。
跟踪练习
把一段长1.6m的铁丝围成矩形框架ABCD,设矩形框架宽为x(m),面积为y(m2),则当y最大时,x所取的值是( )
A.0.5 m B.0.4 m C.0.3 m D.0.6 m
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一、选择题
1.在一个等腰直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中等腰直角三角形的腰长为10cm,则矩形ABCD的面积的最大值为( )
A.20 cm2 B. 30 cm2 C. 40 cm2 D. 25 cm2
2.如图所示,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边x,y应分别为( )
A.x=10,y=14 B.x=14,y=10
C.x=12,y=15 D.x=15,y=12
二、填空题
3.将一条长20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是_________cm2.
4.已知建筑材料可砌长为48 m的墙,要盖三间平房,如图所示,则房屋的最大面积为_________m2.
三、解答题
5.已知三角形的两边和为20cm,这两边的夹角为120°,求它的面积的最大值;当面积最大时,这两边的长各是多少?
四、拓展探究题
6.如图所示,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M。
(1)设矩形EFGH的长HG=ycm,宽HE=xcm,试确定y与x的函数关系式。
(2)当x取何值时,矩形EFGH的面积最大?
(3)以面积最大的矩形EFGH为侧面,围成一个圆柱形的铁桶,怎样围才能使铁桶的体积最大?请说明理由。
课后提升目日清
1.如图所示,点C是线段AB上的一个动点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C是AB的三等分点时,S最小
D.当C是AB的三等分点时,S最大
2.一根长为10m的铁丝在一块平地上围成一个矩形,这个矩形的最大面积可达_______ m2, 此时矩形是__________形;若将这根铁丝围成一个圆,这个圆的占地面积比矩形的最大面积要_______(填大”或“小”)。
3.如图所示,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN当BM=_________时,四边形ABCN的面积最大。
4.如图所示,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
（1）在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标。
(2)如图所示,若AE上有一动点P(不与A,E两点重合)自点A沿AE方向向点E匀速运动,运动的速度为每秒1个单位,设运动的时间为t秒(0
5.如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,2).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F,设点P的横坐标为m。
(1)求抛物线的表达式
(2)当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由。
(3)若点P在CD上方,则四边形PCOD的面积最大时,求点P的坐标。
参考答案及解析
课前预习
(1)自变量 (2)自变量 (3)函数表达式 (4)函数表达式 自变量
课内探究
【例】(1)根据题意,得,∴.
(2)y= -x2+20x的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=20,∴当0
课堂基础堂堂清
1.D 2.D 3. 4.72
5.解:在△ABC中,设BC边的长为xcm,则AB=(20-x)cm。过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D,如图所示：
∵∠ABD=180°-120°=60o，∴△ABC的面积cm。
∴△ABC的面积（0
故当时 ，y最大值 = 。
此时AB=20-x=10(cm).
即这个三角形的最大面积为cm2,此时三角形这两边的长均为10 cm。
6.解:(1)根据题意,得HE=MD=GF=xcm，AM=AD-DM=(120-x)cm,
由△AHG∽△ABC,得,∴.∴.
(2)S=xy===.
∵,∴当x=60cm时,S最大=4800cm2
(3)矩形EFGH的面积最大时,x=60cm,y=80cm,以它为侧面围成一个圆柱形铁桶时,可以以长为高,也可以以宽为高,所以分两种情况讨论：
①当底面周长为60cm,高为80cm时,铁桶体积
②当底面周长为80cm,高为60cm时,铁桶体积。
显然V2>V1,
∴以矩形EFGH的长80cm为底面周长,60cm为高时,围成的铁桶体积最大。
课后提升日日清
1.A 2. 正方 大
3.2 解析:设BM=x,则MC=4-x.由△ABM∽△MCN得,
NC=x(4-x),∴DN=4- x(4-x).
，
∴当x=2时,四边形的ABCN的面积最大为10.
4.(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴。
∴在Rt△ABE中,AE=AO=5。∵AB=4,∴BE=。
∴CE=2,点E坐标为(2,4)
在R△DCE中,DC2+CE2=DE2,而DE=OD,∴(4-OD)2+ 22=OD2,解得OD=。∴点D坐标为(0, ).
(2)∵PM∥DE,∴△APM∽△AED,∴ .
又知AP=t,ED=,AE=5,∴.又∵PE=5-t,四边形PMNE为矩形,
∴S矩形PMNE=PM·PE=,
∴当,∴t=时,S矩形PMNE有最大值.
5.解:(1)在y=x+2中,令x=0,得y=2, ∴C(0,2).
∵点C(0,2),D(3,)在抛物线y=-x2+bx+c上, ∴c=2,-9+3b+c=,
解得b=,c=2.∴抛物线的表达式为y=-x2++2。
2x+2
(2)∵PF∥OC,且以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,∴PF=OC=2
∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线,与抛物线y轴右侧的交点,即为所求之交点.
由图①可以直观地看出,这样的交点有3个.
将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位,得到直线y=x+4, 联立
解得x1=1,x2=2,∴m1=1,m2=2；
将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位,得到直线y=x，联立
解得，(在y轴左侧,不合题意,舍去),
∴当m为值为1,2或时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形。
(3)如图②所示,作DG⊥x轴于点G,设四边形PCOD面积为S.
∵点P的横坐标为m,且点P在抛物线上，∴点P的坐标为(m,),
则，
∴ S四边形OCPD=S梯形OCPE+S梯形PEGD-S△DOG
∴当m=时面积最大,∴