3.6.2 二次函数的应用--利润问题同步练习

第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第2课时 利润问题
课前预习
1.求二次函数的最大(小)值
(1)配方法:用配方法将y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k的形式,当x= 时,函数y有最大(小)值是____________________。
(2)公式法:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当____________时,函数y有最大(小)值是___________。
2.求解最大利润问题的基本步骤
(1)引人自变量。
(2)用含_____________的代数式分别表示销售量及销售额。
(3)用含_____________的代数式表示销售商品的单位盈利。
(4)用含_____________的代数式表示销售利润,即可得____________________________。
(5)根据_________________求出最大值及取得最大值时的________________的值。
课内探究
探究要点 利润最大化问题
【例】某校九年级学生小丽、小土和小汐到某超市参加社会实践活动,在活动中,他们参与了某种水果的销售工作,已知该水果的进价为8元/kg,下面是他们在活动结束后的对话。
小丽:如果以10元/kg的价格销售,那么每天可售出300kg。
小土:如果以13元/kg的价格销售,那么每天可获取利润750元。
小汐:通过仔细调查验证,我发现每天的销售量y(kg)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系。
(1)求y与x(x>0)的函数关系式。
(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元,那么当销售单价为何值时,每天可获得的利润最大?最大利润是多少元?[利润=销售量×(销售单价一进价)]
思路分析:(1)当销售单价为13元/kg时,每天销售量为=150(kg);当销售单价为10元/kg时,每天销售量为300kg,从而可确定y与x之间的关系.(2)根据“利润一销售量×(销售单价一进价)”可得到W的关系式,从而解决最大利润问题。
【自主解答】
交流分享
在这种问题中,尤其要注意所得的自变量的值是否在实际问题所给出的范国内,否则还要根据二次函数在自变量的范围内的增减性进行判断。
跟踪练习
某产品每件成本是120元,试销阶段,每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(台)之间的关系如下表:
X/元
130
150
165
Y/台
70
50
35


若日销售量y是销售价x的一次函数,则日销售量与销售价之间的关系式为________________,为获得最大销售利润,每件产品的销售价应定为__________元,此时每日的销售利润是____________元。
课堂基础
一、选择题
1.对于二次函数y=2x2-4x+1,当-1≤x≤0时,它的最大值和最小值分别是( )
A.-1,-1 B.7,1 C.-1,1 D.1,7
2.某旅社有100个床位,每个床位每晚收费10元时,床位可以全部租出;若每个床位每晚收费提高2元,则租出的床位会减少10个;若每个床位每晚收费再提高2元,则租出的床位会再减少10个,以每次提高2元的这种方法变化下去,为了减少投资而获利增加,每个床位每晚应提高( ）
A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
二、填空题
3.某类产品利润y(元)与该产品的售价x(元)之间满足关系式(100≤x≤120),则要获得最大利润,该产品售价为_______________元。
三、解答题
4.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品,已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元,在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系。
(1)求y与x的函数关系式.
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)与销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大?并求这个最大值.


四、拓展探究题
5.某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=-x+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为W内(元)(利润=销售额一成本一广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40)，当月销量为x(件)时,每月还需缴纳元的附加费,设月利润为W外(元)(利润=销售额一成本附加费)。
(1)当x=1000时元，y=__________元/件，W内=____________元。
(2)分别求出W内,W外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)。
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值。
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?

课后提升
1.设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE等于( )
A.17 B.11 C.8 D.7

2.某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息：
信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx。 当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6。
信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x。
根据以上信息,解答下列问题：
(1)求二次函数的解析式。
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?
参考答案及解析
课前预习
1.(1)h k (2
2.(2)自变量 (3)自变量 (4)自变量 函数表达式 (5)函数表达式 自变量
课内探究分享
【例】(1)设销售量y(kg)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由题意知,当x=13时,y==150.把(10,300),(13,150)分别代入函数关系式,得 解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-50x+800(x>0)。
(2)利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为
W=(-50x+800)(x-8)=-50x2+1200x-6400=-50(x-12)2+800,∴当销售单价为12元时,每天可获得的利润最大,最大利润为800元。
跟踪练习
y=-x+200 160 1600
课堂基础
1.B 2.C 3.100
4.(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,由图象知一次函数图象过点(60,5),(80,4),
∴ 解得， ∴y与x的函数关系式为y=x+8 。
(2)，
∴当x=10,即销售单价为100元时,年获利最大,最大值为60万元 。
5.(1)140 57 500
(2)。
(3)当时，最大。
由题意,得。解得a1=30,a2=270(不合题意,舍去)
所以a=30。
(4)当x=5000时,=337500,=-5000a+500000.若ω内<ω外,则a<32.5;
若=，则a=32.5 若>,则a>32.5.
所以当10≤a<32.5时,选择在国外销售;当a=32.5时,在国外和国内销售都一样当32.5课后提升日日清
1.B 解析:∵y=2x2-4x+8=2(x-1)2+6,∴抛物线顶点的坐标为(1,6),
∵AB=4,∴B点的横坐标为3,把3代入y=2x2 - 4x+8,得到y=14,
∴CD=14-6=8,∵CE=CD+DE= 8+3=11
2.解:(1)将(1,1.4),(3,3.6)代入y=ax2+bx,得
a+b=1.4, 9a+3b=3.6.解得a=-0.1 b=1.5
∴二次函数的解析式为y=-0.1x2+1.5x。
(2)设购进A产品m吨,则购进B产品(10-m)吨,销售A,B两种产品获得的利润之和为W万元.则W=-0.1m2+1.5m+ 0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6。
∵-0.1<0,∴当m=6时,W有最大值6.6.∴购进A产品的6吨,购进B产品4吨,销售A,B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元。