3.7 二次函数与一元二次方程同步练习

第三章 二次函数
7 二次函数与一元一次方程
课前预习
1.抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点有三种情况:
(1)当b2-4ac___________0时，有两个交点。
(2)当b2-4ac___________ 0时,有一个交点,而此点是抛物线的____________，其坐标为_______。
(3)当b2-4ac___________0时,没有交点。
2.抛物线与x轴、y轴交点的求法(y=ax2+bx+c)
(1)与x轴交点的求法:令________=0,解一元二次方程_________________，若△≥0,则一元二次方程的解就是抛物线与x轴交点的_____________；若△<0,则抛物线与x轴无交点。
(2)与y轴交点的求法:令_______=0,则_______=c，点________就是抛物线与y轴的交点坐标。
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探究要点1 二次函数与一元二次方程的关系
【例1】二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解。
思路分析:综合图象特征可知,抛物线与x轴相交于点(3,0),结合二次函数的对称性可很方便地求解。
【自主解答】
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二次函数的对称性应用广泛,若二次函数图象上两点为(x1,y),(x2,y),则对称轴就是直线x=。
跟踪练习
1.已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),则它与x轴的另一个交点坐标是( ）
A.(1,0) B.(2,0) C.(-2,0) D.(-1,0)
2.若抛物线y=kx2-3x-2的图象与x轴有2个交点,则k的取值范围是( )
A. B.k≥ C.k>且k≠0 D.k>
探究要点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根或解不等式
【例2】利用图象法求一元二次方程的近似根(精确到0.1),
思路分析:因为二次函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标即为一元二次方程x2-2x-1=0的根,所以可通过画二次函数y=x2-2x-1的图象求方程x2-2x-1=0的近似根.
【自主解答】
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解此类题的基本方法是先画出二次函数图象,并根据函数图象确定一元二次方程的根的个数;再由二次函数图象与y=h的交点位置确定交点的横坐标的取值范围;最后利用计算器估算方程的近似根。
【例3】如图所示,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4),则下列结论中错误的是( )
A b>4ac
B.ax2+bx+c≥-6
C.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>n
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1
思路分析:因为图象与x轴有两个交点,所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0,所以b2>4ac,A正确;因为抛物线的开口向上,且抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-3,-6),所以ax2+bx+c=-6,B正确;因为抛物线的对称轴为直线x=-3,且(-5,n)离对称轴的距离大于点(-2,m)离对称轴的距离,所以m答案:C
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解此类题的关键是数形有机结合,灵活转换,当y=m(m为常数)时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的一元二次方程为ax2+bx+c=m,方程若有解,其解就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标,同样地,不等式ax2+b+c>m或ax2+bx+c跟踪练习
3.根据下列表格中的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的个数是( )
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
0.02
-0.01
0.02
0.04

A.0 B.1 C.2 D.1或2
4.如图所示,已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范是___________________。

课堂基础
一、选择题
1.直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-1
-2
…
2.根据下表中关于二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可判断二次函数的图象与轴( )
A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在y轴两侧
C.有两个交点,且它们均在y轴同侧 D.无交点
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)↑y的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<-3
B.k>-3
C.k<3
D.k>3
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象永远在x轴下方的条件是( )
A.a>0,b2-4ac>0 B.a>0,b2-4ac<0 C.a<0,b2-4ac>0 D.a<0,b2-4ac<0
二、填空题
5.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是___________________。

6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数,且a≠0),若x与y的部分对应值如下表所示,则方程ax2+bx+c=0的根为_______________________。
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
5
…


三、解答题
7.已知二次函数图象的顶点坐标是(3,1)且过点(-1,-15).
(1)求此二次函数的表达式.
(2)求此函数图象与x轴的交点坐标.

8.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
(1)试说明不论m为何值,该函数的图象都经过y轴的一个定点.
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
课后提升
1.二次函数y=x2-2x+1与x轴的交点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为（ ） A.x=0 B.x=1 C.x=3 D.x1=3,x2=-1

3.如图所示,将二次函数y=x2-6x+7的图象画在平面直角坐标系中,对于方程y=x2-6x+7的两根,下列说法正确的是（ ）
A.两根相异,且均为正根 B.两根相异,且只有一个正根
C.两根相同,且为正根 D.两根相同,且为负根
4.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为（ ）
A.3 B.-3 C.-6 D.9
5.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m,n(mA.m6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是（ ）
A.a>0
B .b2-4ac>0
C.ax2+bx+c=0的两根之和为负
D.ax2+bx+c=0的两根之积为正
7.若抛物线y=x2-x+m与x轴只有一个公共点,则m=_____________。
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为___________________。当满足_____________时，y>0。
9.已知函数y=x2-99x+100与x轴的交点为 (a,0),(b,0),
则代数式(a2-99a+100)(b2-99b+ 100)=________________。
10.已知抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点。
(1)求c的取值范围.
(2)试确定直线y=cx+1经过的象限,并说明理由。

11.已知二次函数y=x2-kx+k-5。
(1)求证:无论k取何实数,二次函数的图象与x轴都有两个交点。
(2)若二次函数图象的对称轴为x=1,求它的表达式。

12.(1)请在平面直角坐标系(如图所示)中画出二次函数y=x2-2x的大致图象.
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点)。
(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1)
参考答案及解析
课前预习
1.(1)> (2) = 顶点 (，0) (3) <
2.(1)y=ax2+bx+c=0 横坐标 (2) x y (0,c)
课内探究
【例1】设抛物线与x轴的两个交点坐标是(x1,0),(x2,0),由图可知,其对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点是(3,0),即x2=3.此时抛物线的对称轴为直线,即,解得x1=-1.所以关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为。
【例2】解:令y=x2-2x-1=(x-1)2-2其对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2)。
x
-1
-0.5
0
1
2
2.5
3
y
2
0.25
-1
-2
-1
0.25
2
列表如下:

描点、连线,图象如图所示。
由图象知方程有两个根,一个在-0.5和0之间,另一个在2和2.5之间,易知当x≈-0.4或x≈2.4时,y=0。
因此方程x2-2x-1=0的解的近似值为-0.4或2.4。

跟踪练习 1.C 2.C
3.C 解析:∵当x=6.17时,y=0.02; 当x=6.18时,y=-0.01 当x=6.19时,y=0.02;
∴方程的一个根在6.17～6.18之间,另一个根在6.18～6.19之间。
4.x<-2或x>8
课堂基础
1.C 解析:直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点求法是:令x-2=x2-x,
∴x2-3x+2=0.∴x1=1,x2=2.∴直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点个数是2个,故选C.
2.B 解析:根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,可以发现当x=0与x=2时,y的值都等于<0,又根据二次函数的图象对称性可得:x=1是二次函数y=ax2+bx+c的对称轴,此时y有最小值-2,再根据表中的数据,可以判断出y=0时,x<-1或x>2,因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧,故选B.
3.D 4. D 5.x<-1或x>3 6.x1=-1,x2=3
7.解:(1)设二次函数表达式为y=a(x-3)2+1.将(-1,-15)代入,得-15=a(-1-3)2+1,解得a=-1,故二次函数表达式为 y=-(x-3)2+1.
(2)令y=0,得-(x-3)2+1=0,即(x-3)2=1,x-3=±1∴x1=2,x2=4,则所求交点坐标为(2,0),(4,0) .
8.解:(1)当x=0时,y=1.
所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1)。
(2)①当m=0时,函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时,函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则△=36-4m=0,m=9.综上所述,m=0或9。
课后提升 1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.D
48.x1=1,x2=3x<1或x>39.0-=0
7. 8.x1=1 , x2=3 x<1或x>3 9.0
10.解:(1)∵抛物线与x轴没有交点, ∴ ,即c> .
(2)∵直线y=cx+1中c>0,∴经过第一、二、三象限.理由: 因为k>0,b=1>0.
11.解:(1)证明:令y=0,则x2-kx+k-5=0, △=(-k)2-4(k-5)=k2-4k+20=(k-2)2+16,
∵(k-2)2≥0,∴(k-2)2+16>0.
∴无论k取何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点.
(2)∵对称轴为,
∴k=2,∴表达式为y=x2-2x-3
12.解:(1)如图所示.
(2)点M,N如图所示.
(3)方程x2-2x=1的根为x1≈-0.4,x2≈2.4.