【易错题解析】苏科版九年级数学上册第一章 一元二次方程 单元测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.一元二次方程x2﹣1=0的根是（? ）
A.?1?????????????????????????????????????????/B.?﹣1?????????????????????????????????????????/C.?
1
2
?????????????????????????????????????????/D.?±1
2.若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣1，则另一个根是（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????????/B.?0??????????????????????????????????????????/C.?2??????????????????????????????????????????/D.?﹣2
3.（2017?绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（?? ）
A.?﹣8????????????????????????????????????????B.?8????????????????????????????????????????C.?16????????????????????????????????????????D.?﹣16
4.关于x的一元二次方程 (???1)
??
2
+??+
??
2
?1=0 的一个根为0，则a
的值为 （? ）
A.?1???????????????????????????????????????/B.?－1???????????????????????????????????????/C.?1或－1???????????????????????????????????????/D.?
1
2
5.如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A.?k＞?
1
4
??????????????????????B.?k＞?
1
4
且k≠0?????????????????????????????C.?k＜?
1
4
???????????????????????D.?k≥?
1
4
且k≠0
6.已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则代数式x12+x22的值是（ ??）
A.?37?????????????????????????????????????????B.?26?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?10
7.已知方程x2-2
2
x+2m=0有两个实数根，则
???1
2
的化简结果是（?????）
A.?m-1?????????????????????????????????/B.?m+1?????????????????????????????????/C.?1-m?????????????????????????????????/D.?±
???1
8.已知关于x的方程
??
2
?6??+
???2
???3
+9?2??=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（??）
A.???=?2????????????????????????/B.???>0????????????????????????/C.???=?2或??>0????????????????????????/D.???≤?2或??>0
9.若三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程x2-12x+35=0的根，该三角形的周长为(??? )
A.?14??????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????C.?12或14??????????????????????????????????D.?以上都不对
10.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A.?289（1﹣x）2=256???????????????????????????????????????????/B.?256（1﹣x）2=289 C.?289（1﹣2x）=256???????????????????????????????????????????/D.?256（1﹣2x）=289
二、填空题（共10题；共30分）
11.一元二次方程x2=x的解为________．
12.小华在解一元二次方程 /时，只得出一个根是x＝4，则被他漏掉的一个根是x＝________．
13.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________．
14.设m,nx分别为一元二次方程
??
2
?2???2015=0 的两个实数根，则
??
2
?3????? =________．
15.三角形的两边长为2和4，第三边长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长是________?
16.已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=________．
17.在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2 ， 则方程（4★3）★x=13的根为________．
18.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2，则x2+bx+c可分解为________．
19.如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是________．
20.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足
1
??
+
1
??
=?1 ， 则m的值是________?．
三、解答题（共8题；共60分）
21.解下列方程
（1）2x2-x=0??? （2）x2-4x=4
22.如图，为美化环境，某小区计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于3：5时，求此时通道的宽． /
23.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
24.如图,利用一面长度为7米的墙,用20米长的篱笆能否围出一个面积为48平方米的矩形菜园？若能,求出该菜园与墙平行一边的长度；若不能,说明理由． /
25.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
26.阅读题：一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x1和x2 ， 请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的3倍．数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y，则y=3x，得x=
??
3
代入原方程得 ??
??
3
2
+??
??
3
+??=0变形得ay2+3by+9c=0此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法．解答： （1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为． （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数．
27.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ /
28.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0） /
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
二、填空题
11.【答案】x1=0，x2=1
12.【答案】0
13.【答案】a＞0
14.【答案】2013
15.【答案】10
16.【答案】﹣2
17.【答案】x1=6，x2=﹣6
18.【答案】（x+1）（x﹣2）
19.【答案】-1＜a＜- /
20.【答案】3
三、解答题
21.【答案】（1）解：2x2-x=0， 2x(x-1)=0， 2x=0或x-1=0， 则x1=0,x2=1. （2）解：方程两边同时+4，得x2-4x+4=4+4， （x-2）2=8, x-2=±2
2
， 则x1=2+2
2
,x2=2-2
2
.
22.【答案】解：设此时通道的宽为x米，根据题意，得 60×40﹣（60﹣2x）（40﹣2x）=
3
8
×60×40， 解得x=5或45， 45不合题意，舍去． 答：此时通道的宽为5米
23.【答案】解：设买件衬衫应降价x元， 由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200， 即2x2﹣60x+400=0， ∴x2﹣30x+200=0， ∴（x﹣10）（x﹣20）=0， 解得：x=10或x=20 为了减少库存，所以x=20． 故买件衬衫应应降价20元
24.【答案】
25.【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得： 200
(1???)
2
=98 解得：
??
1
=1.7 （不合题意舍去），
??
2
=0.3 =30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
26.【答案】解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y． 把x=﹣y代入已知方程x2+x﹣2=0， 得 （﹣y）2+（﹣y）﹣2=0． 化简得：y2﹣y﹣2=0． 故答案是：y2﹣y﹣2=0． （2）设所求方程的根为y，则y=
1
??
，所以x=
1
??
， 把x=
1
??
代入已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）得 a（
1
??
）2+b?
1
??
+c=0， 去分母，得 a+by+cy2=0． 若c=0，则ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意． ∴c≠0， 故所求的方程为：cy2+by+c=0（c≠0）．
27.【答案】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm， △ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°， ∴BP=（3﹣t）cm， △PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则 ∠BQP=90°或∠BPQ=90°， 当∠BQP=90°时，BQ=
1
2
BP， 即t=
1
2
（3﹣t），t=1（秒）， 当∠BPQ=90°时，BP=
1
2
BQ， 3﹣t=
1
2
t，t=2（秒）． 答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
28.【答案】（1）解：如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形． / ∴BE=AD=1，DE=AB=3， ∴EC=BC﹣BE=4， 在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2 ， ∴DC=
??
??
2
+??
??
2
=5厘米； （2）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒， ∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米， 且0＜t≤2.5， 作QH⊥BC于点H， / ∴DE∥QH， ∴∠DEC=∠QHC， ∵∠C=∠C， ∴△DEC∽△QHC， ∴
????
????
=
????
????
，即
3
????
=
5
2??
， ∴QH=
6
5
t， ∴S△PQC=
1
2
PC?QH=
1
2
（5﹣t）?
6
5
t=﹣
3
5
t2+3t， S四边形ABCD=
1
2
（AD+BC）?AB=
1
2
（1+5）×3=9， 分两种情况讨论： ①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时， ﹣
3
5
t2+3t=
1
3
×9，即t2﹣5t+5=0， 解得t1=
5?
5
2
，t2=
5+
5
2
（舍去）； ②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时， ﹣
3
5
t2+3t=
2
3
×9，即t2﹣5t+10=0， ∵△＜0， ∴方程无解， ∴当t为
5?
5
2
秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．
【易错题解析】苏科版九年级数学上册第一章 一元二次方程 单元测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.一元二次方程x2﹣1=0的根是（? ）
A.?1?????????????????????????????????????????/B.?﹣1?????????????????????????????????????????/C.?
1
2
?????????????????????????????????????????/D.?±1
【答案】D
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：x2﹣1=0， x2=1， 两边直接开平方得：x=±1， 则x1=1，x2=﹣1， 故选：D． 【分析】首先把﹣1移到等号左边，再两边直接开平方即可．
2.若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣1，则另一个根是（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????????/B.?0??????????????????????????????????????????/C.?2??????????????????????????????????????????/D.?﹣2
【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是t， 根据题意得﹣1?t=2，解得t=﹣2， 即方程的另一个根是﹣2． 故选D． 【分析】设方程的另一个根是t，根据根与系数的关系得到﹣1?t=2，然后解一次方程即可．
3.（2017?绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（?? ）
A.?﹣8????????????????????????????????????????B.?8????????????????????????????????????????C.?16????????????????????????????????????????D.?﹣16
【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1， ∴﹣
??
2
=﹣1，
??
2
=﹣2， ∴m=2，n=﹣4， ∴nm=（﹣4）2=16． 故选C． 【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
4.关于x的一元二次方程 (???1)
??
2
+??+
??
2
?1=0 的一个根为0，则a
的值为 （? ）
A.?1???????????????????????????????????????/B.?－1???????????????????????????????????????/C.?1或－1???????????????????????????????????????/D.?
1
2
【答案】B
【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解
【解析】【解答】解：将x=0代入方程得：a2-1=0，a= ± 1； 因为是一元二次方程，所以a-1≠0，即a≠1. 综上有a=-1 故答案为B. 【分析】一元二次方程的系数不为0；同时将x=0代入方程计算出a的取值。
5.如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A.?k＞?
1
4
??????????????????????B.?k＞?
1
4
且k≠0?????????????????????????????C.?k＜?
1
4
???????????????????????D.?k≥?
1
4
且k≠0
【答案】B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞?
1
4
且k≠0． 故选B． 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
6.已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则代数式x12+x22的值是（ ??）
A.?37?????????????????????????????????????????B.?26?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】A
【考点】代数式求值，根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根， ∴x1+x2=﹣
??
??
=5，x1?x2=
??
??
=﹣6， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+12=37． 故答案为：A 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣?
??
??
=5，x1?x2=?
??
??
=﹣6，又x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2然后整体代入计算即可。
7.已知方程x2-2
2
x+2m=0有两个实数根，则
???1
2
的化简结果是（?????）
A.?m-1?????????????????????????????????/B.?m+1?????????????????????????????????/C.?1-m?????????????????????????????????/D.?±
???1
【答案】C
【考点】二次根式的化简求值，根的判别式
【解析】【分析】∵方程x2-2
2
x+2m=0有两个实数根，∴△=b2-4ac≥0即
?2
2
2
?4×2??≥0 ， 解得m≤1， ∴
???1
2
=
???1
=1???. 【点评】解决本题须知道一元二次方程根的判别式，开方要考虑被开方数m-1的正负，是一道方程和开方相结合的题，属于基本知识。
8.已知关于x的方程
??
2
?6??+
???2
???3
+9?2??=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（??）
A.???=?2????????????????????????/B.???>0????????????????????????/C.???=?2或??>0????????????????????????/D.???≤?2或??>0
【答案】C
【考点】根的判别式
【解析】【分析】将原方程变形为|x-3|2+（a-2）|x-3|-2a=0，求出方程的△，分为两种情况，△=0，△＞0，代入后求出a的范围即可． 【解答】x2-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0， （x-3）2+（a-2）|x-3|-2a=0，这是一个关于|x-3|的一元二次方程， ∵原方程有且仅有两个不相等的实根， ∴|x-3|只有一个大于0的实数根（因为当|x-3|＜0，无解；当|x-3|=0，有1个解；当|x-3|＞0，有2个解）， △=（a-2）2-4（-2a）=（a+2）2 ， ①当△=0时，|x-3|有唯一解； △=0， a=-2； 此时原方程为|x-3|2-4|x-3|+4=0， |x-3|=2， x=5，x=1； ②|x-3|的一个根大于0，另一个根小于0， △＞0， a≠-2， x1?x2＜0， 根据根与系数的关系得：-2a＜0， a＞0， 综合上述，a的取值分、范围是a＞0或者a=-2， 故选C．
9.若三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程x2-12x+35=0的根，该三角形的周长为(??? )
A.?14??????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????C.?12或14??????????????????????????????????D.?以上都不对
【答案】B
【考点】因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2-12x+35=0得，x1=7,x2=5, 当三角形的第三边是7时，由于3+4=7，所以这种情况不能围成三角形，需要排除； 当三角形的第三边是5时，由于3+4＞5，∴三角形的周长为：3+4+5=12. 故答案为：B。
【分析】首先利用因式分解法求出方程的解，即求出三角形的第三边，再根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，不能的排除，能的根据三角形周长的计算方法算出答案。
10.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A.?289（1﹣x）2=256???????????????????????????????????????????/B.?256（1﹣x）2=289 C.?289（1﹣2x）=256???????????????????????????????????????????/D.?256（1﹣2x）=289
【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2 ， 根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2=256． 故选：A．
二、填空题（共10题；共30分）
11.一元二次方程x2=x的解为________．
【答案】x1=0，x2=1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】解：x2=x， 移项得：x2﹣x=0， ∴x（x﹣1）=0， x=0或x﹣1=0， ∴x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1． 【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
12.小华在解一元二次方程 /时，只得出一个根是x＝4，则被他漏掉的一个根是x＝________．
【答案】0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】在 /方程中，∴ /，∴ /，∴被他漏掉的一个根是x＝0． 【分析】可以利用提公因式的方法进行因式分解．
13.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________．
【答案】a＞0
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根， ∴△=﹣4a＜0， 解得：a＞0， 故答案为：a＞0 【分析】根据原方程没有实数根可得出b2-4ac＜0，建立关于a的不等式，即可解答。
14.设m,nx分别为一元二次方程
??
2
?2???2015=0 的两个实数根，则
??
2
?3????? =________．
【答案】2013
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵m，n分别为一元二次方程x2-2x-2015=0的两个实数根， ∴m+n=2，mn=-2015， ∴m2-3m-n=m（m-2）-（m+n）=-mn-（m+n）=2013 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=2，mn=-2015，再将 m2?3m?n 利用拆项及提公因式的方法变形为：m(m-2)-(m+n)=-mn-（m+n）然后再整体代入即可算出答案。
15.三角形的两边长为2和4，第三边长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长是________?
【答案】10
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得第三边的边长为2或4． ∵2＜第三边的边长＜6， ∴第三边的边长为4， ∴这个三角形的周长是2+4+4=10． 故答案为10． 【分析】先解方程求得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
16.已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=________．
【答案】﹣2
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2﹣4=0，解得：m=2或m=﹣2．又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】因为一元二次方程的一个根是0，所以把x=0代入原方程得：m2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2；根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，即m≠2，所以m=﹣2。
17.在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2 ， 则方程（4★3）★x=13的根为________．
【答案】x1=6，x2=﹣6
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：根据新定义可以列方程： （42﹣32）★x=13， 72﹣x2=13， 49﹣x2=13， x2=36， ∴x1=6，x2=﹣6． 故答案为：x1=6，x2=﹣6． 【分析】根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
18.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2，则x2+bx+c可分解为________．
【答案】（x+1）（x﹣2）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2， ∴（x+1）（x﹣2）=0， ∴x2+bx+c可分解为（x+1）（x﹣2）． 故答案为（x+1）（x﹣2）． 【分析】利用因式分解解方程的方法得到方程为（x+1）（x﹣2）=0，从而可得x2+bx+c分解的结果．
19.如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是________．
【答案】-1＜a＜- /
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【解析】【解答】根据方程的求根公式可得： x= /， 则方程的两根为-1或-2a-1， ∵-1＜0，∴小于1的正数根只能为-2a-1， 即0＜-2a-1＜1， 解得-1＜a＜- /． 所以答案为-1＜a＜- /． 【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．
20.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足
1
??
+
1
??
=?1 ， 则m的值是________?．
【答案】3
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根， ∴??=
2??+3
2
?4
??
2
=12??+9>0???>?
3
4
且??+??=?
2??+3
,??·??=
??
2
． 又∵
1
??
+
1
??
=?1，即
??+??
??·??
=?1，∴
?
2??+3
??
2
=?1?
??
2
?2???3=0，解得m1=-1,m2=3. ∵??>?
3
4
，∴m=3. 【分析】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.
三、解答题（共8题；共60分）
21.解下列方程
（1）2x2-x=0???
（2）x2-4x=4
【答案】（1）解：2x2-x=0， 2x(x-1)=0， 2x=0或x-1=0， 则x1=0,x2=1. （2）解：方程两边同时+4，得x2-4x+4=4+4， （x-2）2=8, x-2=±2
2
， 则x1=2+2
2
,x2=2-2
2
.
【考点】解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【分析】(1)考查运用解一元二次方程-因式分解法；（2）考查运用解一元二次方程-配方法。选择合适的解答方法，使解答更简便。
22.如图，为美化环境，某小区计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于3：5时，求此时通道的宽． /
【答案】解：设此时通道的宽为x米，根据题意，得 60×40﹣（60﹣2x）（40﹣2x）=
3
8
×60×40， 解得x=5或45， 45不合题意，舍去． 答：此时通道的宽为5米
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设此时通道的宽为x米，然后用通道的面积与花圃的面积之比等于3：5即为通道的面积=总面积的
3
8
得出方程，求解即可。
23.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
【答案】解：设买件衬衫应降价x元， 由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200， 即2x2﹣60x+400=0， ∴x2﹣30x+200=0， ∴（x﹣10）（x﹣20）=0， 解得：x=10或x=20 为了减少库存，所以x=20． 故买件衬衫应应降价20元
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．
24.如图,利用一面长度为7米的墙,用20米长的篱笆能否围出一个面积为48平方米的矩形菜园？若能,求出该菜园与墙平行一边的长度；若不能,说明理由． /
【答案】
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】首先设该菜园与墙平行的一边的长为x米,则该菜园与墙垂直的一边的长为
1
2
?(20－x)米,利用
1
2
(20－x)x＝48,进而分析得出即可．
25.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得： 200
(1???)
2
=98 解得：
??
1
=1.7 （不合题意舍去），
??
2
=0.3 =30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是 200
(1???)
2
，据此列出方程求解即可．
26.阅读题：一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x1和x2 ， 请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的3倍．数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y，则y=3x，得x=
??
3
代入原方程得 ??
??
3
2
+??
??
3
+??=0变形得ay2+3by+9c=0此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法．解答： （1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为． （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数．
【答案】解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y． 把x=﹣y代入已知方程x2+x﹣2=0， 得 （﹣y）2+（﹣y）﹣2=0． 化简得：y2﹣y﹣2=0． 故答案是：y2﹣y﹣2=0． （2）设所求方程的根为y，则y=
1
??
，所以x=
1
??
， 把x=
1
??
代入已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）得 a（
1
??
）2+b?
1
??
+c=0， 去分母，得 a+by+cy2=0． 若c=0，则ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意． ∴c≠0， 故所求的方程为：cy2+by+c=0（c≠0）．
【考点】一元二次方程的解
【解析】【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可； （2）设所求方程的根为y，则y=
1
??
， 将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可．
27.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ /
【答案】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm， △ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°， ∴BP=（3﹣t）cm， △PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则 ∠BQP=90°或∠BPQ=90°， 当∠BQP=90°时，BQ=
1
2
BP， 即t=
1
2
（3﹣t），t=1（秒）， 当∠BPQ=90°时，BP=
1
2
BQ， 3﹣t=
1
2
t，t=2（秒）． 答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
【考点】一元二次方程的应用，等边三角形的性质，勾股定理
【解析】【分析】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
28.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0） /
（1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
【答案】（1）解：如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形． / ∴BE=AD=1，DE=AB=3， ∴EC=BC﹣BE=4， 在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2 ， ∴DC=
??
??
2
+??
??
2
=5厘米； （2）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒， ∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米， 且0＜t≤2.5， 作QH⊥BC于点H， / ∴DE∥QH， ∴∠DEC=∠QHC， ∵∠C=∠C， ∴△DEC∽△QHC， ∴
????
????
=
????
????
，即
3
????
=
5
2??
， ∴QH=
6
5
t， ∴S△PQC=
1
2
PC?QH=
1
2
（5﹣t）?
6
5
t=﹣
3
5
t2+3t， S四边形ABCD=
1
2
（AD+BC）?AB=
1
2
（1+5）×3=9， 分两种情况讨论： ①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时， ﹣
3
5
t2+3t=
1
3
×9，即t2﹣5t+5=0， 解得t1=
5?
5
2
，t2=
5+
5
2
（舍去）； ②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时， ﹣
3
5
t2+3t=
2
3
×9，即t2﹣5t+10=0， ∵△＜0， ∴方程无解， ∴当t为
5?
5
2
秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．
【考点】一元二次方程的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解．
