27.1图形的相似（2）
学习目标：
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
学习重点：
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
学习难点：
能运用相似图形的性质解决问题．
过程：
一、新知引入
什么是相似的图形？你能把下列相似的图形用线连起来吗？
二、新知讲解
知识点1 相似多边形的定义
观察图片，体会相似图形的性质．
(1)下图(1)中的四边形ABCD放大后得到的四边形A1B1C1D1，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？
（1）
(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？
总结各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
注意：这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．
例1 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD,GF⊥AB，垂足分别为点E，F. 求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
变式练习：
1.判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ）
（2）任意两个圆形是相似图形（ ）
（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（ ）
（4）两个正五边形是相似多边形（ ）
（5）两个全等三角形是相似多边形（ ）
（6）两菱形是相似多边形（ ）
（7）两个相似多边形，对应边成比例（ ）
2.在比例尺为1:1000000的中国地图上,量得甲、乙两地的距离为50cm,求两地的实际距离.
3.两地的实际距离为60千米, 在图上量得两地的距离为20cm,这个地图的比例尺是多少?
知识点2 相似多边形的性质
探究：
如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？
对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？
●总结：相似多边形的对应角_____，对应边的比______．
例2 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
●小结：
课堂练习：
1.填空：
⑴如图1，则x=____________，y =____________，α=____________；
⑵如图2，x=____________.
2. 五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3，
（1）若∠D＝135°，则∠D′= ______。
（2）若A′B′=15cm，则AB= ______。
3.一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______ 。
4. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？
知识点3 相似比
若△ABC ∽△A1B1C1则对应边成比列：＝＝.∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
●归纳：相似比的定义：相似多边形________称为相似比
例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与 矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
●小结：
课堂练习：
1.在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定ｘ ,y,m ,n 的值.
2.根据已知条件，找出图中相似三角形的对应边。
(1)△ ABC ∽ △ AED，其中∠AED= ∠B.（如图1）
(2) △ ABC ∽ △ ADE，其中∠ADE= ∠B,∠DAE = ∠BAC.（如图2）
如图已知△ABC∽△ADE ,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=450,∠C=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
三、拓展提高
例 如图：已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝１０，你能将它分割成两个小矩形，使它们成为相似图形吗？
应用提高：
1、如图：把图中的三角形分割成４个小三角形，使它们的形状、大小完全相同，并与原三角形相似。
2、把三角形ABC放大到原来的两倍（要求：放大后的顶点在格点上）。
四、课堂小结
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
五、布置作业
教材P28第5、6题
当堂测评
对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
2、下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ）
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
3、一个多边形的边长为2,3,4,5,6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4、一般书本的纸张是从一张全开的原纸多次对开得到的．如图27－1－12，矩形ABCD代表一张全开的原纸，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于( )
图27－1－12
A．0.618 B． C． D．2
5、在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是____________
6、在AD＝10 m，AB＝30 m的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x，y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．
图1 图2
27.1图形的相似（2）
教学目标：
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
教学重点：
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
教学难点：
能运用相似图形的性质解决问题．
教学过程：
一、新知引入
什么是相似的图形？你能把下列相似的图形用线连起来吗？
二、新知讲解
知识点1 相似多边形的定义
观察图片，体会相似图形的性质．
(1)下图(1)中的四边形ABCD放大后得到的四边形A1B1C1D1，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？
（1）
(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？
学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题，最后得出：
它们的对应角相等，对应边的比相等．
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.∠D＝∠D1.
●师总结：上图中的四边形ABCD，四边形A1B1C1D1是形状相同的图形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D＝∠D1分别相等，称为对应角，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DA与D1A1的比都相等，称为对应边，各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
注意：这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．
例1 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD,GF⊥AB，垂足分别为点E，F. 求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
●小结：判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，两个正方形一定相似．
变式练习：
1. 判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ）
（2）任意两个圆形是相似图形（ ）
（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（ ）
（4）两个正五边形是相似多边形（ ）
（5）两个全等三角形是相似多边形（ ）
（6）两菱形是相似多边形（ ）
（7）两个相似多边形，对应边成比例（ ）
2.在比例尺为1:1000000的中国地图上,量得甲、乙两地的距离为50cm,求两地的实际距离.
3.两地的实际距离为60千米, 在图上量得两地的距离为20cm,这个地图的比例尺是多少?
知识点2 相似多边形的性质
探究：
如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？
对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？
●师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比．
例2 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°) ＝81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应边成比例．由此可得
＝，即＝.
解得x＝28 cm.
●小结：利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等．
课堂练习：
1.填空：
⑴如图1，则x=____________，y =____________，α=____________；
⑵如图2，x=____________.
2. 五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3，
（1）若∠D＝135°，则∠D′= ______。
（2）若A′B′=15cm，则AB= ______。
3.一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______ 。
4. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？
知识点3 相似比
若△ABC ∽△A1B1C1则对应边成比列：＝＝.∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
●归纳：相似比的定义：相似多边形对应边的比称为相似比
例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与 矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
●小结：利用相似多边形的性质求线段长及相似比的方法：先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最后通过相似多边形的对应边成比例建立方程进行计算．这种巧用方程思想的方法在相似多边形的计算中经常运用．
课堂练习：
1.在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定ｘ ,y,m ,n 的值.
2.根据已知条件，找出图中相似三角形的对应边。
(1)△ ABC ∽ △ AED，其中∠AED= ∠B.（如图1）
(2) △ ABC ∽ △ ADE，其中∠ADE= ∠B,∠DAE = ∠BAC.（如图2）
3.如图已知△ABC∽△ADE , AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=450,∠C=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
三、拓展提高
例 如图：已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝１０，你能将它分割成两个小矩形，使它们成为相似图形吗？
应用提高：
1、如图：把图中的三角形分割成４个小三角形，使它们的形状、大小完全相同，并与原三角形相似。
2、把三角形ABC放大到原来的两倍（要求：放大后的顶点在格点上）。
四、课堂小结
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
五、布置作业
教材P28第5、6题
当堂测评
对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
2、下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ）
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
3、一个多边形的边长为2,3,4,5,6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4、一般书本的纸张是从一张全开的原纸多次对开得到的．如图27－1－12，矩形ABCD代表一张全开的原纸，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于( )
图27－1－12
A．0.618 B． C． D．2
5、在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是____________
6、在AD＝10 m，AB＝30 m的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x，y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．
图1 图2
例题及练习答案（详见ppt）
当堂测评答案
D 2. C 3. B 4. B 5. 1:3
6.(1)不相似，理由略．
(2)＝时相似，理由略．
