【易错题解析】青岛版九年级数学下册 第五章 对函数的再探索 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝-5(x＋1)2＋3的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（?? ）
A.?y1< y2< y3?????????????????????/B.?y1< y3 < y2?????????????????????/C.?y2 < y3 < y1?????????????????????/D.?y3< y2 < y1
2.已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（ ??）
A.?当x＞﹣2时，y随x的增大而减小?????????????????????????/B.?当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 C.?当x＞2时，y随x的增大而减小????????????????????????????/D.?当x＞2时，y随x的增大而增大
3.在半径为4的圆中，挖去一个边长为xcm的正方形，剩下部分面积为ycm2 ， 则关于y与x之间函数关系式为（?? ）
A.?y=πx2﹣4y????????????????????????/B.?y=16π﹣x2????????????????????????/C.?y=16﹣x2????????????????????????/D.?y=x2﹣4y
4.已知y与x-1成反比例，那么它的解析式为(????? )
A.?y=
??
??
?1(??≠0)???????????????/B.?y=k(x-1)(k≠0)???????????????/C.?y=
??
???1
?(k≠0)???????????????/D.???=
???1
??
(??≠0)
5.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=
??
2
??
的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2 ， 则x的取值范围是（ ??） /
A.?x＜﹣1或x＞1??????????B.?x＜﹣1或0＜x＜1??????????C.?﹣1＜x＜0或0＜x＜1??????????D.?﹣1＜x＜0或x＞1
6.已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A.?y1＞y2＞y3?? ?/B.?y1＞y3＞y2?? /C.?y3＞y2＞y1?? /D.?y2＞y3＞y1
7.如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（???） /
A.?第3分时汽车的速度是40千米/时 B.?第12分时汽车的速度是0千米/时 C.?从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D.?从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
8.已知反比例函数y＝? /，当x＞0时，它的图象在（ ）。
A.?第一象限???????????????????????????/B.?第二象限???????????????????????????/C.?第三象限???????????????????????????/D.?第四象限
9.关于抛物线y=（x﹣2）2+1，下列说法正确的是（?? ）
A.?开口向上，顶点坐标（﹣2，1）?????????????????????????/B.?开口向下，对称轴是直线x=2 C.?开口向下，顶点坐标（2，1）????????????????????????????/D.?当x＞2时，函数值y随x值的增大而增大
10.如图，点A是反比例函数y=
??
??
的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
/
A.?3 ???B.?﹣3? ?C.?6 ?D.?﹣6
二、填空题（共10题；共29分）
11.二次函数y=x2+4x﹣3中，当x=﹣1时，y的值是________．
12.将抛物线y=x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为________．
13.用30厘米的铁丝，折成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，则另一边长为________?cm，长方形的面积S=________cm2 ．
14.在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为________．
15.若函数y=
???2
??
的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是________．
16.（2017?南京）函数y1=x与y2=
4
??
的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是________． /
17.某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图象的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________．
18.已知双曲线 ??=
3
??
和 ??=
??
??
的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB=2CA，则k=________． /
19.（2016?丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=
4
??
（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m． /
（1）b=________（用含m的代数式表示）； （2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是________．
20.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是________． /
三、解答题（共8题；共61分）
21.已知二次函数的顶点坐标为(3,－1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式.
22.已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标. /
23.已知反比例函数y=
???1
??
（k为常数，k≠1）． （1）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值； （2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1、x2）、B（x2、y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小； （4）若在其图象上任取一点，向x轴和y轴作垂线，若所得矩形面积为6，求k的值．
24.抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1． （1）试证明：c＞0； （2）试比较b2与2b+4c的大小； （3）若c=
1
2
， AB=2，试确定抛物线的解析式．
25.?正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为20m，水面上升3m达到该地警戒水位时，桥下水面宽为10m． ?（1）在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离y（m）与水面宽x（m）之间的函数关系式； ?（2）如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
26.如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=
??
??
（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？ ?/
27.?图①中是一座钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分(如图②)，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋 的跨度AB为200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆． （1）求正中间系杆OC的长度； （2）若相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，则是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由． /
28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C． （Ⅰ）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx﹣1解析式； （Ⅱ）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由． /
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】-6
12.【答案】y=（x+1）2
13.【答案】（15﹣x）cm；﹣x2+15x
14.【答案】y=16﹣x2
15.【答案】m＞2
16.【答案】①③
17.【答案】6+2
15
18.【答案】-6
19.【答案】（1）??+
4
??
（2）
2
20.【答案】10
三、解答题
21.【答案】解：设此二次函数的解析式为y=a（x-3）2-1； ∵二次函数图象经过点（4，1）， ∴a（4-3）2-1=1， ∴a=2， ∴y=2（x-3）2-1。
22.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，?4)， ∴设抛物线的函数关系式为y=a(x?1)2?4， 又∵抛物线过点C(0，3)， ∴3=a(0?1)2?4， 解得a=1， ∴抛物线的函数关系式为y=(x?1)2?4， 即y=x2?2x?3； （ 2 ）令y=0，得：x2 ?2???3=0 ， 解得
??
1
=3 ，
??
2
=?1 . 所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
23.【答案】解：（1）由题意，设点P的坐标为（m，2） ∵点P在正比例函数y=x的图象上， ∴2=m，即m=2． ∴点P的坐标为（2，2）． ∵点P在反比例函数y=
???1
??
的图象上， ∴2=
???1
2
，解得k=5． （2）∵在反比例函数y=
???1
??
图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴k﹣1＞0，解得k＞1． （3）∵反比例函数y=
???1
??
图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵点A（x1 ， y1）与点B（x2 ， y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2 ， ∴x1＞x2 ． （4）∵在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为6， ∴|k|=6， 解得：k=±6．
24.【答案】（1）证明：将y=x2+bx+c代入y=x，得x=x2+bx+c， 整理得x2+（b﹣1）x+c=0， ∵抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点， ∴x1+x2=1﹣b，x1?x2=c， ∵x2﹣x1＞1， ∴x2＞x1+1， ∵x1＞0， ∴x2＞0， ∴c=x1?x2＞0； （2）解：∵b2﹣（2b+4c）=b2﹣2b﹣4c=（b﹣1）2﹣1﹣4c=（1﹣b）2﹣4c﹣1， ∵x1+x2=1﹣b，x1?x2=c， ∴b2﹣（2b+4c）=（x1+x2）2﹣4x1?x2﹣1=（x2﹣x1）2﹣1， ∵x2﹣x1＞1， ∴（x2﹣x1）2＞1， ∴b2﹣（2b+4c）＞0， ∴b2＞2b+4c； （3）解：∵c=
1
2
， ∴y=x2+bx+
1
2
， ∵AB=2，A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）， ∴（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=4， ∵y1=x1 ， y2=x2 ， ∴（x2﹣x1）2=2， ∴（x1+x2）2﹣4x1?x2=2， ∵x1+x2=1﹣b，x1?x2=c=
1
2
， ∴（1﹣b）2﹣4×
1
2
=2， ∴b=﹣1或3， ∵x1＞0，x2﹣x1＞1， ∴x1+x2=1﹣b＞1， ∴b＜0， ∴b=﹣1， ∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+
1
2
．
25.【答案】（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0）， 由CD=10m，可设D（5，b）， 由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b-3）， 把D、B的坐标分别代入y=ax2得：
25??=??
100??=???3
， 解得
??=?
1
25
??=?1
． ∴??=?
1
25
??
2
（2）∵b=-1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， ∴
1
0.2
=5（小时）． 所以再持续5小时到达拱桥顶．
26.【答案】解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1， ∴一次函数解析式为y=x+1； 将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2， ∴反比例解析式为y=
2
??
； （2）∵N（3，0）， ∴点B横坐标为3， 将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=
2
3
， 即CN=
2
3
，BC=4﹣
2
3
=
10
3
，A到BC的距离为：2， 则S△ABC=
1
2
×
10
3
×2=
10
3
．
27.【答案】解：（1）∵AB=200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆， ∴由题意可知：B（100，0），M（20，48）， 设与该抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c， 则：①10000a+c=0?②400a+c=48；由①②解得：a=-1/200，c=50。 ∴y="-1/200" x2+50； ∴正中间系杆OC的长度为50m； （2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，则 25="-1/200" x2+50； 解得 x=±50
2
∵相邻系杆之间的间距均为5米， ∴每根系杆上点的横坐标均为整数， x=±50
2
与实际不符，∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半。
28.【答案】解： （Ⅰ）联立两直线解析式可得 {
??=???
??=?2???1
， 解得 {
??=?1
??=1
， ∴B点坐标为（﹣1，1）， 又C点为B点关于原点的对称点， ∴C点坐标为（1，﹣1）， ∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，﹣1）， 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得 {
??=?1
?????+??=1
??+??+??=?1
， 解得 {
??=1
??=?1
??=?1
， ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1； （Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC， ∵直线BC解析式为y=﹣x， ∴直线PQ解析式为y=x， 联立抛物线解析式可得 {
??=??
??=
??
2
????1
， 解得 {
??=1?
2
??=1?
2
或 {
??=1+
2
??=1+
2
， ∴P点坐标为（1﹣
2
，1﹣
2
）或（1+
2
，1+
2
）； ②当t=0时，四边形PBQC的面积最大． 理由如下： 如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E， / 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×
1
2
BC?PD=BC?PD， ∵线段BC长固定不变， ∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大， 又∠PED=∠AOC（固定不变）， ∴当PE最大时，PD也最大， ∵P点在抛物线上，E点在直线BC上， ∴P点坐标为（t，t2﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t）， ∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1， ∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大
【易错题解析】青岛版九年级数学下册 第五章 对函数的再探索 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝-5(x＋1)2＋3的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（?? ）
A.?y1< y2< y3?????????????????????/B.?y1< y3 < y2?????????????????????/C.?y2 < y3 < y1?????????????????????/D.?y3< y2 < y1
【答案】C
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：y1=-5（-1＋1）2＋3=3， y2=-5（2＋1）2＋3=-42， y3=-5（-3＋1）2＋3=-17．故y2 ＜ y3 ＜ y1 ． 故答案为：C．【分析】分解将A,B,C三点的横坐标代入抛物线的解析式，算出对应的函数值，y1,y2,y3,并比较大小即可。
2.已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（ ??）
A.?当x＞﹣2时，y随x的增大而减小?????????????????????????/B.?当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 C.?当x＞2时，y随x的增大而减小????????????????????????????/D.?当x＞2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】∵ ??=3
(???2)
2
+5， ? ∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5）， ∴A、B、C都不正确， ∵二次函数的图象为一条抛物线，当 ??>2 时，y随x的增大而增大 ∴D不符合题意， 故答案为：D． 【分析】根据a=3>0可知抛物线开口向上，对称轴为x=2，由二次函数的性质可得，在对称轴左侧即x<2，y随x的增大而减小；在对称轴右侧即x>2，y随x的增大而增大.
3.在半径为4的圆中，挖去一个边长为xcm的正方形，剩下部分面积为ycm2 ， 则关于y与x之间函数关系式为（?? ）
A.?y=πx2﹣4y????????????????????????/B.?y=16π﹣x2????????????????????????/C.?y=16﹣x2????????????????????????/D.?y=x2﹣4y
【答案】B
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：圆面积是16π，正方形面积是x2 ， 则函数关系式是：y=16π﹣x2 ． 故选B． 【分析】根据剩下部分面积=圆面积﹣正方形面积，即可解得．
4.已知y与x-1成反比例，那么它的解析式为(????? )
A.?y=
??
??
?1(??≠0)???????????????/B.?y=k(x-1)(k≠0)???????????????/C.?y=
??
???1
?(k≠0)???????????????/D.???=
???1
??
(??≠0)
【答案】C
【考点】反比例函数的定义
【解析】【解答】已知y与x-1成反比例，可得它的解析式为 ??=
??
???1
?(k≠0)，故答案为：C.【分析】根据反比例函数的定义，将定义中的x换成x-1即可。
5.如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=
??
2
??
的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2 ， 则x的取值范围是（ ??） /
A.?x＜﹣1或x＞1??????????B.?x＜﹣1或0＜x＜1??????????C.?﹣1＜x＜0或0＜x＜1??????????D.?﹣1＜x＜0或x＞1
【答案】D
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，
??
1
<
??
2
．故答案为：D． 【分析】求y1＜y2 ， x的取值范围，就是求不等式k1x<
??
2
??
的解集，根据图像求不等式的解集主要弄清谁大谁小，谁大就看谁的图像在上方时，自变量的取值范围，但要注意反比例函数的图像不与坐标轴相交这一限制条件。
6.已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A.?y1＞y2＞y3??
????????????????????/B.?y1＞y3＞y2??
????????????????????/C.?y3＞y2＞y1??
????????????????????/D.?y2＞y3＞y1
【答案】B
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=2x2﹣4x+c=2（x﹣1）2+c﹣2，
则抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向上，而点B（2，y2）在对称轴上，点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比C（3，y3）远，
∴y1＞y3＞y2 ．
故选B．
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
7.如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（???） /
A.?第3分时汽车的速度是40千米/时 B.?第12分时汽车的速度是0千米/时 C.?从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D.?从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
【答案】C
【考点】函数的图象，分段函数
【解析】
【分析】根据图象反映的速度与时间的关系，可以计算路程，针对每一个选项，逐一判断．
【解答】横轴表示时间，纵轴表示速度． 当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A对； 第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B对； 从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40×
1
20
=2千米，C错； 从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D对． 综上可得：错误的是C． 故选C．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小
8.已知反比例函数y＝? /，当x＞0时，它的图象在（ ）。
A.?第一象限???????????????????????????/B.?第二象限???????????????????????????/C.?第三象限???????????????????????????/D.?第四象限
【答案】D
【考点】反比例函数的图象
【解析】【解答】∵比例系数k=-2＜0， ∴其图象位于二、四象限， ∵x＞0， ∴反比例函数的图象位于第四象限选D． 【分析】首先根据反比例函数的比例系数确定图象的大体位置，然后根据自变量的取值范围确定具体位置
9.关于抛物线y=（x﹣2）2+1，下列说法正确的是（?? ）
A.?开口向上，顶点坐标（﹣2，1）?????????????????????????/B.?开口向下，对称轴是直线x=2 C.?开口向下，顶点坐标（2，1）????????????????????????????/D.?当x＞2时，函数值y随x值的增大而增大
【答案】D
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解： ∵y=（x﹣2）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，1）， ∴A、B、C不正确； 当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴D正确， 故选D． 【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案．
10.如图，点A是反比例函数y=
??
??
的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
/
A.?3
?????????????????????????????????????????B.?﹣3?
?????????????????????????????????????????C.?6
?????????????????????????????????????????D.?﹣6
【答案】D
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
/
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=
1
2
|k|，
∴
1
2
|k|=3，
∵k＜0，
∴k=﹣6．
故选D．
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到
1
2
|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
二、填空题（共10题；共29分）
11.二次函数y=x2+4x﹣3中，当x=﹣1时，y的值是________．
【答案】-6
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：当x=﹣1时，y=1﹣4﹣3=﹣6， 故答案为：﹣6． 【分析】把x=﹣1代入二次函数中进行计算即可。
12.将抛物线y=x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为________．
【答案】y=（x+1）2
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移1个单位，所得函数解析式为：y=（x+1）2 ． 故答案为：y=（x+1）2 ． 【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
13.用30厘米的铁丝，折成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，则另一边长为________?cm，长方形的面积S=________cm2 ．
【答案】（15﹣x）cm；﹣x2+15x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的一边长为x厘米，周长为30厘米， ∴另一边长为（15﹣x）cm， ∴长方形的面积y=x（15﹣x）=﹣x2+15x． 故填空答案：（15﹣x）cm，﹣x2+15x． 【分析】因为长方形的周长=2（长+宽），所以长方形的另一边长可以用x表示，然后根据长方形的面积公式即可求出函数关系式．
14.在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x间的函数关系式为________．
【答案】y=16﹣x2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵剩下的四方框形的面积=边长为4m的正方形面积﹣长为xm的小正方形面积， ∴y=16﹣x2 ． 故填空答案：y=16﹣x2 ． 【分析】依题意知道剩下的四方框形的面积=边长为4m的正方形面积﹣长为xm的小正方形面积，由此即可确定函数关系式．
15.若函数y=
???2
??
的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是________．
【答案】m＞2
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】有函数 ??=
??-2
??
的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小可得m-2>0,解得m>2, 【分析】跟你局反比例函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小可得其比例系数应该要大于0，从而得出不等式，求解即可。
16.（2017?南京）函数y1=x与y2=
4
??
的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是________． /
【答案】①③
【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数的性质
【解析】【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确； ∴正确的有①③． 故答案为：①③． 【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可．
17.某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图象的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________．
【答案】6+2
15
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
由于顶点坐标为（6，5），
∴y=a（x﹣6）2+5．
又A（0，2）在抛物线上，
∴2=62?a+5，
解得：a=﹣
1
12
．
∴二次函数的解析式为y=﹣
1
12
（x﹣6）2+5，
整理得：y=﹣
1
12
x2+x+2．
当y=0时，﹣
1
12
x2+x+2=0．
x=6+2
15
，x=6﹣2
5
（不合题意，舍去）．
∴x=6+2
15
（米）．
故答案为：6+2
15
．
【分析】由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（0，2）代入即可求解．求得的函数解析式，令y=0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．
18.已知双曲线 ??=
3
??
和 ??=
??
??
的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB=2CA，则k=________． /
【答案】-6
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OA、OB，如图， / ∵AB∥x轴，即OC⊥AB， 而CB=2CA， ∴S△OBC=2S△OAC ， ∵点A在 ??=
3
??
图象上， ∴S△OAC=
1
2
×3=
3
2
， ∴S△OBC=2S△OAC=3， ∵
1
2
|k|=3， 而k＜0， ∴k=﹣6． 故答案为﹣6． 【分析】由于AB∥x轴，CB=2CA，则S△OBC=2S△OAC ， 根据反比例函数y=
??
??
（k≠0）系数k的几何意义得到S△OAC=
1
2
×3=
3
2
，所以S△OBC=2S△OAC=3，然后再根据反比例函数y=
??
??
（k≠0）系数k的几何意义得到
1
2
|k|=3，由于反比例函数图象过第二象限，所以k=﹣6．
19.（2016?丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=
4
??
（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m． /
（1）b=________（用含m的代数式表示）；
（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是________．
【答案】（1）??+
4
??
（2）
2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=
4
??
（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m， ∴点A的纵坐标为
4
π
，即点A的坐标为（m，
4
π
）． 令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b， ∴﹣m+b=
4
π
即b=m+
4
π
．故答案为：m+
4
π
．（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．∵反比例函数y=
4
??
，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称， ∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S， 则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s）， ∴S△ADM=2S△OEF ， ∴EF=
1
2
AM=
1
2
NB，∴点B坐标（2m，
2
π
）代入直线y=﹣x+m+
4
π
，∴
2
π
=﹣2m=m+
4
π
，整理得到m2=2， ∵m＞0， ∴m=
2
．故答案为
2
． 【分析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF ， 推出EF=
1
2
AM=
1
2
NB，得B（2m，
2
π
）代入直线解析式即可解决问题．本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
20.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是________． /
【答案】10
【考点】分段函数，一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变， 函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5， ∴AB=5，BC=4， ∴△ABC的面积是：
1
2
×4×5=10． 故答案为：10． 【分析】分段函数的拐点是解决分数函数的关键点。由两图可知，在X取0-4时p在BC上，X取4-9时p在CD上，所以X=4时p恰好与C重合，故可算得BC=4，CD=9-4=5,所以AB=CD=5，可得答案。
三、解答题（共8题；共61分）
21.已知二次函数的顶点坐标为(3,－1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式.
【答案】解：设此二次函数的解析式为y=a（x-3）2-1； ∵二次函数图象经过点（4，1）， ∴a（4-3）2-1=1， ∴a=2， ∴y=2（x-3）2-1。
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式
【解析】【分析】已知了二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（4，1）代入，即可求出抛物线的解析式。
22.已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标. /
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，?4)， ∴设抛物线的函数关系式为y=a(x?1)2?4， 又∵抛物线过点C(0，3)， ∴3=a(0?1)2?4， 解得a=1， ∴抛物线的函数关系式为y=(x?1)2?4， 即y=x2?2x?3； （ 2 ）令y=0，得：x2 ?2???3=0 ， 解得
??
1
=3 ，
??
2
=?1 . 所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.
23.已知反比例函数y=
???1
??
（k为常数，k≠1）． （1）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值； （2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1、x2）、B（x2、y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小； （4）若在其图象上任取一点，向x轴和y轴作垂线，若所得矩形面积为6，求k的值．
【答案】解：（1）由题意，设点P的坐标为（m，2） ∵点P在正比例函数y=x的图象上， ∴2=m，即m=2． ∴点P的坐标为（2，2）． ∵点P在反比例函数y=
???1
??
的图象上， ∴2=
???1
2
，解得k=5． （2）∵在反比例函数y=
???1
??
图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴k﹣1＞0，解得k＞1． （3）∵反比例函数y=
???1
??
图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵点A（x1 ， y1）与点B（x2 ， y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2 ， ∴x1＞x2 ． （4）∵在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为6， ∴|k|=6， 解得：k=±6．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y=
???1
??
的图象上，所以2=
???1
2
， 解得k=5； （2）由于在反比例函数y=
???1
??
图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取值范围即可； （3）反比例函数y=
???1
??
图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1 ， y1）与点B（x2 ， y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2 ， 故可知x1＞x2； （4）利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．
24.抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1． （1）试证明：c＞0； （2）试比较b2与2b+4c的大小； （3）若c=
1
2
， AB=2，试确定抛物线的解析式．
【答案】（1）证明：将y=x2+bx+c代入y=x，得x=x2+bx+c， 整理得x2+（b﹣1）x+c=0， ∵抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点， ∴x1+x2=1﹣b，x1?x2=c， ∵x2﹣x1＞1， ∴x2＞x1+1， ∵x1＞0， ∴x2＞0， ∴c=x1?x2＞0； （2）解：∵b2﹣（2b+4c）=b2﹣2b﹣4c=（b﹣1）2﹣1﹣4c=（1﹣b）2﹣4c﹣1， ∵x1+x2=1﹣b，x1?x2=c， ∴b2﹣（2b+4c）=（x1+x2）2﹣4x1?x2﹣1=（x2﹣x1）2﹣1， ∵x2﹣x1＞1， ∴（x2﹣x1）2＞1， ∴b2﹣（2b+4c）＞0， ∴b2＞2b+4c； （3）解：∵c=
1
2
， ∴y=x2+bx+
1
2
， ∵AB=2，A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）， ∴（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=4， ∵y1=x1 ， y2=x2 ， ∴（x2﹣x1）2=2， ∴（x1+x2）2﹣4x1?x2=2， ∵x1+x2=1﹣b，x1?x2=c=
1
2
， ∴（1﹣b）2﹣4×
1
2
=2， ∴b=﹣1或3， ∵x1＞0，x2﹣x1＞1， ∴x1+x2=1﹣b＞1， ∴b＜0， ∴b=﹣1， ∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+
1
2
．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）先将y=x2+bx+c代入y=x，整理得出x2+（b﹣1）x+c=0，由根与系数的关系得出x1+x2=1﹣b，x1?x2=c，由x1＞0，x2﹣x1＞1，利用不等式的性质即可证明c=x1?x2＞0； （2）先求出b2﹣（2b+4c）=b2﹣2b﹣4c=（1﹣b）2﹣4c﹣1，再将x1+x2=1﹣b，x1?x2=c代入，得出b2﹣（2b+4c）=（x1+x2）2﹣4x1?x2﹣1=（x2﹣x1）2﹣1，由x2﹣x1＞1，得出（x2﹣x1）2＞1，进而得出b2＞2b+4c； （3）将c=
1
2
代入得y=x2+bx+
1
2
， 由AB=2，A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），根据两点间的距离公式得出（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=4，将y1=x1 ， y2=x2代入，得到（x2﹣x1）2=2，即（x1+x2）2﹣4x1?x2=2，再把x1+x2=1﹣b，x1?x2=c=
1
2
代入，得出（1﹣b）2﹣4×
1
2
=2，解方程求出b=﹣1或3，根据x1＞0，x2﹣x1＞1，得到x1+x2=1﹣b＞1，b＜0，于是确定b=﹣1，进而得到抛物线的解析式．
25.?正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为20m，水面上升3m达到该地警戒水位时，桥下水面宽为10m． ?（1）在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离y（m）与水面宽x（m）之间的函数关系式； ?（2）如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
【答案】（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0）， 由CD=10m，可设D（5，b）， 由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b-3）， 把D、B的坐标分别代入y=ax2得：
25??=??
100??=???3
， 解得
??=?
1
25
??=?1
． ∴??=?
1
25
??
2
（2）∵b=-1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， ∴
1
0.2
=5（小时）． 所以再持续5小时到达拱桥顶．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式，二次函数的应用
【解析】【分析】先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．
26.如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=
??
??
（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？ ?/
【答案】解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1， ∴一次函数解析式为y=x+1； 将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2， ∴反比例解析式为y=
2
??
； （2）∵N（3，0）， ∴点B横坐标为3， 将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=
2
3
， 即CN=
2
3
，BC=4﹣
2
3
=
10
3
，A到BC的距离为：2， 则S△ABC=
1
2
×
10
3
×2=
10
3
．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式； （2）直接求出BN，CN的长，进而求出BC的长，即可求出△ABC的面积．
27.?图①中是一座钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分(如图②)，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋 的跨度AB为200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆． （1）求正中间系杆OC的长度； （2）若相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，则是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由． /
【答案】解：（1）∵AB=200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆， ∴由题意可知：B（100，0），M（20，48）， 设与该抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c， 则：①10000a+c=0?②400a+c=48；由①②解得：a=-1/200，c=50。 ∴y="-1/200" x2+50； ∴正中间系杆OC的长度为50m； （2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，则 25="-1/200" x2+50； 解得 x=±50
2
∵相邻系杆之间的间距均为5米， ∴每根系杆上点的横坐标均为整数， x=±50
2
与实际不符，∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半。
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】 （1）设该抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c，根据题意知道其上两点，求出a，c； （2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，解得x，然后再作讨论。
28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C． （Ⅰ）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx﹣1解析式； （Ⅱ）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由． /
【答案】解： （Ⅰ）联立两直线解析式可得 {
??=???
??=?2???1
， 解得 {
??=?1
??=1
， ∴B点坐标为（﹣1，1）， 又C点为B点关于原点的对称点， ∴C点坐标为（1，﹣1）， ∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，﹣1）， 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得 {
??=?1
?????+??=1
??+??+??=?1
， 解得 {
??=1
??=?1
??=?1
， ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1； （Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC， ∵直线BC解析式为y=﹣x， ∴直线PQ解析式为y=x， 联立抛物线解析式可得 {
??=??
??=
??
2
????1
， 解得 {
??=1?
2
??=1?
2
或 {
??=1+
2
??=1+
2
， ∴P点坐标为（1﹣
2
，1﹣
2
）或（1+
2
，1+
2
）； ②当t=0时，四边形PBQC的面积最大． 理由如下： 如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E， / 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×
1
2
BC?PD=BC?PD， ∵线段BC长固定不变， ∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大， 又∠PED=∠AOC（固定不变）， ∴当PE最大时，PD也最大， ∵P点在抛物线上，E点在直线BC上， ∴P点坐标为（t，t2﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t）， ∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1， ∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；（Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．
