【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第三章 对圆的进一步认识 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为(???? )
A.?2??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?2或8??????????????????????????????????????????D.?3
2.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（??）
A.?点P在⊙O上??????????????????????/B.?点P在⊙O内??????????????????????/C.?点P在⊙O外??????????????????????/D.?无法确定
3.（2017?广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=
4
5
，BD=5，则OH的长度为（?? ） /
A.?
2
3
??????????????????????????????????????????/B.?
5
6
??????????????????????????????????????????/C.?1??????????????????????????????????????????/D.?
7
6
4.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（? ?） /
A.?O是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????/B.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C.?O不是△AEB的外心，O是△AED的外心????????????????/D.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
5.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（ ） /
A.?1?
??
4
???????????????????????????????????????B.?
??
4
???????????????????????????????????????C.?1?
??
8
???????????????????????????????????????D.?
??
8
6.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，连结AD、AC、BC，若∠CAB=65°则∠D的度数为（??? ）?
/
A.?65°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?25°???????????????????????????????????????D.?35°
7.如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于(???? ) /
A.?50°??????????????????????????????????????/B.?60°??????????????????????????????????????/C.?70°??????????????????????????????????????/D.?110°
8.圆内接四边形ABCD ， ∠A ， ∠B ， ∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A.?60???????????????????????????????????????/B.?80???????????????????????????????????????/C.?100???????????????????????????????????????/D.?120
9.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个： ①AF=BG；②CG=CH；③AB+CD=AD+BC；④BG＜CG． /
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
10.下列命题中，正确命题的序号是?（ ??） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ④任何三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①④
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，已知∠BPC=50°，则∠BAC=________ /
12.如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是________．
13.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是________．
14.已知在⊙O中, /,且 //,则 /________. /
15.如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧
BC
上，且OA=AB，则∠ABC=________． /
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．以点A为圆心、AC长为半径作圆弧，交边AB于点D．若∠B=65°，AC=6，则
????
的长为________． /
17.已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，OD交AC的延长线于E，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有________． ①∠B=∠CAD；②点C是AE的中点；③
????
????
=
????
????
；④tan B=
10
?1
3
． /
18.如图，PA、PB切⊙O于A、B， ∠??=
50
°
，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则 ∠?????? ＝________．?
19.在同圆中，若
????
∧
=2
????
∧
， 则AB________2CD（填＞，＜，=）
/
20.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为________． /
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以
1
2
AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积． /
22.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径． /
23.如图为桥洞的形状，其正视图是由
????
和矩形ABCD构成．O点为
????
所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求
????
所在⊙O的半径DO．
/
24.如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为
??????
上一点，连接AP，CP，求∠P的度数． /
25.如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D． （1）AC与CD相等吗？为什么？ （2）若AC=2，AO=
5
， 求OD的长度． /
26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长． /
27.已知△ABC内接于⊙O ， AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E ． /
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．
28.阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2） 证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P / 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由． 知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】50°
12.【答案】10
13.【答案】6π
14.【答案】144°
15.【答案】15°
16.【答案】
5
6
π
17.【答案】①③④
18.【答案】65°或115°
19.【答案】＜
20.【答案】26
三、解答题
21.【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4， ∴
1
2
AC=2，S△ABC=
1
2
×4×4=8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和=
180??×
2
2
360
=2π， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π
22.【答案】解：如图，连接OB． / ∵AD是△ABC的高． ∴BD=
1
2
BC=6 在Rt△ABD中，AD=
??
??
2
???
??
2
=
100?36
=8． 设圆的半径是R． 则OD=8﹣R． 在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2 解得：R=
25
4
．
23.【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2 ， 则DO2=（DO﹣2）2+42 ， 解得：DO=5．
答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m．
24.【答案】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，且OA=OC， ∴平行四边形OABC是菱形， ∴OA=AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AOC=120°， ∴∠APC= /∠AOC=60°． /
25.【答案】解：（1）AC=CD，理由为： ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B， ∵直线AC为圆O的切线， ∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°， ∵OB⊥OC， ∴∠BOC=90°， ∴∠ODB+∠B=90°， ∵∠ODB=∠CDA， ∴∠CDA+∠B=90°， ∴∠DAC=∠CDA， 则AC=CD； （2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=
5
，OC=OD+DC=OD+2， 根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2 ， 即（OD+2）2=22+（
5
）2 ， 解得：OD=1．
26.【答案】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆， ∴∠OAD+∠ODA=90°， ∴∠AOD=90°， ∵AO=8cm，DO=6cm， ∴AD=10cm， ∵OE⊥AD， ∴AD?OE=OD?OA， ∴OE=4.8cm．
27.【答案】（1）解：直线EF与⊙O相切，理由为： 连接OD，如图所示： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠CBA=90° 又∵∠F=90° ∴∠CBA=∠F ∴AB‖EF ∴∠AMO=∠EDO 又∵D为弧AB的中点 ∴弧BD=弧AD ∴OD⊥AB ∴∠AMO=∠EDO=90° ∴EF为⊙O的切线 / （2）shan 解：在Rt△AEF中，∠ACB=60° ∴∠E=30° 又∵CF=6 ∴CE=2CF=12 ∴EF=
??
??
2
???
??
2
=6
3
在Rt△ODE中，∠E=30° ∴OD=
1
2
OE 又∵OA=
1
2
OE ∴OA=AE=OC=
1
3
CE=4,OE=8 又∵∠ODE=∠F=90°,∠E=∠E ∴△ODE∽△CFE ∴
????
????
=
????
????
,即
4
6
=
????
6
3
∴DE=4
3
又∵Rt△ODE中，∠E=30° ∴∠DOE=60° ∴ S阴影=
??
△??????
?S扇形OAD=
1
2
×4×4
3
-
60·π·
4
2
360
=8
3
-
8π
3
28.【答案】解：问题拓展：成立． 如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则∠D=∠P， ∵AD是直径， ∴∠D+∠CAD=90°， 又∵AB切圆于点A， ∴∠CAB+∠CAD=90°， ∴∠CAB=∠CAD， 而∠CAD=∠P， ∴∠CAB=∠P； 知识运用：如图4，连接DF， ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠DAC， ∵⊙O与BC切于点D， ∴∠FDC=∠DAC， ∴∠FDC=∠EAD， ∵在⊙O中∠EAD=∠EFD， ∴∠FDC=∠EFD， ∴EF∥BC． / /
【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第三章 对圆的进一步认识 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为(???? )
A.?2??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?2或8??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】当顶点A在优弧上时，根据垂径定理和勾股定理可以求出高为8.当顶点A在劣弧上时可以得出高为2. 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意存在两种情况.
2.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（??）
A.?点P在⊙O上??????????????????????/B.?点P在⊙O内??????????????????????/C.?点P在⊙O外??????????????????????/D.?无法确定
【答案】C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可求解． ∵OP=7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故选C．
3.（2017?广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=
4
5
，BD=5，则OH的长度为（?? ） /
A.?
2
3
??????????????????????????????????????????/B.?
5
6
??????????????????????????????????????????/C.?1??????????????????????????????????????????/D.?
7
6
【答案】D
【考点】圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H， ∴AB⊥CD， ∴∠OHD=∠BHD=90°， ∵cos∠CDB=
????
????
=
4
5
，BD=5， ∴DH=4， ∴BH=
??
??
2
???
??
2
=3， 设OH=x，则OD=OB=x+3， 在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2 ， 解得：x=
7
6
， ∴OH=
7
6
； 故选：D． / 【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH=4，由勾股定理得出BH=
??
??
2
???
??
2
=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
4.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（? ?） /
A.?O是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????/B.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C.?O不是△AEB的外心，O是△AED的外心????????????????/D.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【答案】B
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD． / ∵O是△ABC的外心， ∴OA=OB=OC， ∵四边形OCDE是正方形， ∴OA=OB=OE， ∴O是△ABE的外心， ∵OA=OE≠OD， ∴O不是△AED的外心. 综上分析可知：选项A、C、D中的距离都是错的，只有选项B的结论是正确的. 故答案为：B． 【分析】连接OA、OB、OD．根据三角形的外接圆的圆心的意义可得OA=OB=OC，由正方形的性质可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心，而OA=OE≠OD，所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得O不是△AED的外心.。
5.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（ ） /
A.?1?
??
4
???????????????????????????????????????B.?
??
4
???????????????????????????????????????C.?1?
??
8
???????????????????????????????????????D.?
??
8
【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，OE， ∵半圆O与△ABC相切于点D、E， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2， ∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形， ∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1， ∴∠ABC=∠EOC=45°， ∴AB∥OE， ∴∠DBF=∠OEF， 在△BDF和△EOF中， /， ∴△BDF≌△EOF（AAS）， ∴S阴影=S扇形DOE=
90
360
×π×12=
??
4
． 故选B． / 【分析】首先连接OD，OE，易得△BDF≌△EOF，继而可得S阴影=S扇形DOE ， 即可求得答案．
6.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，连结AD、AC、BC，若∠CAB=65°则∠D的度数为（??? ）?
/
A.?65°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?25°???????????????????????????????????????D.?35°
【答案】C
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【解析】【解答】因为直径所对圆周角是直角， ∠CAB=65°，
所以∠B=90°－65°=25°，
根据同弧所对圆周角相等，可得∠D=∠B=25°，
故答案为：C.
【分析】由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°，在△ABC中先求得∠B，再根据同弧所对圆周角相等求得∠D即可。
7.如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于(???? ) /
A.?50°??????????????????????????????????????/B.?60°??????????????????????????????????????/C.?70°??????????????????????????????????????/D.?110°
【答案】D
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，所以利用三角形的内角和可得∠ACB=70°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D=50°，又因为 ∠BCD是直径所对的圆周角，所以等于90°，因此可得∠ECD=20°，利用内角和与对顶角相等可得∠AEB等于110°． 【解答】∵∠A=50°，∠ABC=60° ∴∠ACB=70° ∵BD是圆O的直径 ∴∠BCD=90° ∴∠ACD=20° ∴∠ABD=∠ACD=20° ∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE)=180°-（50°+20°)=110°． 故选D． 【点评】本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点．本题是一道难度中等的题目．
8.圆内接四边形ABCD ， ∠A ， ∠B ， ∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A.?60???????????????????????????????????????/B.?80???????????????????????????????????????/C.?100???????????????????????????????????????/D.?120
【答案】C
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5 设∠A的度数为3x ， 则∠B ， ∠C ， ∠D的度数分别为4x ， 6x ， 5x ∴3x＋4x＋6x＋5x＝360° ∴x＝20° ∴∠D＝100° 故选：C 【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行求解．
9.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个： ①AF=BG；②CG=CH；③AB+CD=AD+BC；④BG＜CG． /
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆， ∴AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE， ∴AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC． ①AF=BG；④BG＜CG无法判断． 正确的有②③ 故选B． 【分析】根据切线长定理得到AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，则AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC．
10.下列命题中，正确命题的序号是?（ ??） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ④任何三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①④
【答案】D
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以②错误；对角线互相垂直且相等的四边形可以是一般的四边形，所以③错误。①④正确。 【点评】本题考查平行四边形的判定定理，熟悉其定理内容是解答本题的关键。
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，已知∠BPC=50°，则∠BAC=________ /
【答案】50°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】在同圆中，同弧所对的圆周角度数相等，本题中圆周角∠BPC和圆周角∠BAC所对弧都是弧BC，则说明两个角的度数相等. 【分析】根据圆周角定理在同圆中，同弧所对的圆周角相等可求解。
12.如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是________．
【答案】10
【考点】正多边形和圆，正多边形的性质
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，则有 180（n-2）=144n， 解得：n=10， 故答案为：10. 【分析】根据正多边形的性质可直接进行求解。
13.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是________．
【答案】6π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的面积S=
60??×
6
2
360
=6π． 故答案为：6π． 【分析】直接利用扇形的面积公式代入计算.扇形的面积=
??π
r
2
360
.
14.已知在⊙O中, /,且 //,则 /________. /
【答案】144°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】因为弧AB=弧BC，设弧AB=弧BC=3，那么弧AMC=4，则3+3+4=10，360度分成10份，每份36度，那么4份为144度. 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦，要灵活运用所给的比例条件.
15.如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧
BC
上，且OA=AB，则∠ABC=________． /
【答案】15°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OB，OA=AB， ∴OA=OB=AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥OB， ∴∠COB=90°， ∴∠COA=90°-60°=30°， ∴∠ABC=15°， 故答案为：15° 【分析】首先判断出△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质及垂直的定义，角的和差得出∠COA的度数，根据圆周角定理即可得出∠ABC的度数。
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．以点A为圆心、AC长为半径作圆弧，交边AB于点D．若∠B=65°，AC=6，则
????
的长为________． /
【答案】
5
6
π
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=65°， ∴∠A=25°， ∵AC=6， ∴
????
的长为
25????6
180
=
5
6
π， 故答案为：
5
6
π． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠A度数，由弧长公式可得答案．
17.已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，OD交AC的延长线于E，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有________． ①∠B=∠CAD；②点C是AE的中点；③
????
????
=
????
????
；④tan B=
10
?1
3
． /
【答案】①③④
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠DAB=90°， ∵∠CAD+∠DAB=90°， ∴∠B=∠CAD，故①正确； ∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E， ∴△ECD∽△EDA， ∴
????
????
=
????
????
， ∵OA=1，AE=3， ∴OE=
10
，ED=
10
﹣1， ∴
????
10
?1
=
10
?1
3
， ∴CE=
11?2
10
3
≠
1
2
AE， 即点C不是AE的中点，故②不正确； 由△ECD∽△EDA，得
????
????
=
????
????
， 在Rt△ABC中，AD⊥BC， ∴△ACD∽△BAD， ∴
????
????
=
????
????
， ∴
????
????
=
????
????
，故③正确； tanB=
????
????
=
????
????
=
????
????
=
10
?1
3
，故④正确． 故答案为：①③④． 【分析】①依据同角的余角相等即可得出结论；②依据△ECD∽△EDA，求得CE=
11?2
10
3
≠
1
2
AE，即可得出点C不是AE的中点；③由△ECD∽△EDA，得
????
????
=
????
????
，根据△ACD∽△BAD，可得
????
????
=
????
????
，进而得出
????
????
=
????
????
；④根据tanB=
????
????
=
????
????
=
????
????
，即可得出结论．
18.如图，PA、PB切⊙O于A、B， ∠??=
50
°
，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则 ∠?????? ＝________．? /
【答案】65°或115°
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质
【解析】【解答】分两种情况：（1）当C在优弧AB上；（2）当C在劣弧AB上；连接OA、OB，在四边形PAOB中，∠OAP=∠OBP=90°，由内角和求得∠AOB的大小，然后根据圆周角定理即可求得答案（1）如图（1）， / 连接OA、OB． 在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B， 则∠OAP=∠OBP=90°； 由四边形的内角和定理，知 ∠APB+∠AOB=180°； 又∵∠P=50°， ∴∠AOB=130°； 又∵∠ACB=
1
2
∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠ACB=65°（2）如图（2）， / 连接OA、OB，作圆周角∠ADB． 在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B， 则∠OAP=∠OBP=90°； 由四边形的内角和定理，知 ∠APB+∠AOB=180°； 又∠P=50°， ∴∠AOB=130°； ∴∠ADB=
1
2
∠AOB=65°， ∴∠ACB=180°﹣∠ADB=115°． ∴∠ACB=65°或115° 【分析】图上没有标出C的位置，需考虑C在优弧AB上或C在劣弧AB上，∠ACB的大小不同，利用圆内接四边形性质可分别求出.
19.在同圆中，若
????
∧
=2
????
∧
， 则AB________2CD（填＞，＜，=）
/
【答案】＜
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：找出
????
∧
的中点E，连接AE、BE，
∵
????
∧
的中点E，
∴/
∵/，
∴/
∴AE=EB=CD，
∵AE+EB＞AB，
∴AB＜2CD，
故答案为：＜．
/
【分析】首先找出
????
∧
的中点E，连接AE、BE，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得AE=EB=CD，再根据三角形的三边关系可得AE+EB＞AB，进而可得AB＜2CD．
20.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为________． /
【答案】26
【考点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA，AB⊥CD， 由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=
1
2
AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE， 设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2 ， 即r2=52+（r﹣1）2 ， 解得：r=13， 所以CD=2r=26， 即圆的直径为26． / 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以
1
2
AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积． /
【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4， ∴
1
2
AC=2，S△ABC=
1
2
×4×4=8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和=
180??×
2
2
360
=2π， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π
【考点】三角形的面积，扇形面积的计算
【解析】【分析】阴影部分的面积=Rt△ABC的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为180°，半径都为
1
2
AC.
22.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径． /
【答案】解：如图，连接OB． / ∵AD是△ABC的高． ∴BD=
1
2
BC=6 在Rt△ABD中，AD=
??
??
2
???
??
2
=
100?36
=8． 设圆的半径是R． 则OD=8﹣R． 在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2 解得：R=
25
4
．
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
23.如图为桥洞的形状，其正视图是由
????
和矩形ABCD构成．O点为
????
所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求
????
所在⊙O的半径DO．
/
【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2 ， 则DO2=（DO﹣2）2+42 ， 解得：DO=5．
答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m．
【考点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得出EO垂直平分CD，DF=4m，然后利用勾股定理建立方程，求解即可得出OD的长。
24.如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为
??????
上一点，连接AP，CP，求∠P的度数． /
【答案】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，且OA=OC， ∴平行四边形OABC是菱形， ∴OA=AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AOC=120°， ∴∠APC= /∠AOC=60°． /
【考点】平行四边形的性质，圆周角定理
【解析】【分析】连接OB，证明四边形OABC是菱形，进而得到△ABC是等边三角形，于是得到∠AOC的度数，即可得到答案．
25.（2013?鞍山）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D． （1）AC与CD相等吗？为什么？ （2）若AC=2，AO=
5
， 求OD的长度． /
【答案】解：（1）AC=CD，理由为： ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B， ∵直线AC为圆O的切线， ∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°， ∵OB⊥OC， ∴∠BOC=90°， ∴∠ODB+∠B=90°， ∵∠ODB=∠CDA， ∴∠CDA+∠B=90°， ∴∠DAC=∠CDA， 则AC=CD； （2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=
5
，OC=OD+DC=OD+2， 根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2 ， 即（OD+2）2=22+（
5
）2 ， 解得：OD=1．
【考点】勾股定理，切线的性质
【解析】【分析】（1）AC=CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．
26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长． /
【答案】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆， ∴∠OAD+∠ODA=90°， ∴∠AOD=90°， ∵AO=8cm，DO=6cm， ∴AD=10cm， ∵OE⊥AD， ∴AD?OE=OD?OA， ∴OE=4.8cm．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】由⊙O为内切圆，则AO、DO为角平分线，则∠AOD=90°，由勾股定理求得AD，再由切线的性质得OE⊥AD，由三角形的面积公式求出OE的长．
27.已知△ABC内接于⊙O ， AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E ． /
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线EF与⊙O相切，理由为： 连接OD，如图所示： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠CBA=90° 又∵∠F=90° ∴∠CBA=∠F ∴AB‖EF ∴∠AMO=∠EDO 又∵D为弧AB的中点 ∴弧BD=弧AD ∴OD⊥AB ∴∠AMO=∠EDO=90° ∴EF为⊙O的切线 / （2）shan 解：在Rt△AEF中，∠ACB=60° ∴∠E=30° 又∵CF=6 ∴CE=2CF=12 ∴EF=
??
??
2
???
??
2
=6
3
在Rt△ODE中，∠E=30° ∴OD=
1
2
OE 又∵OA=
1
2
OE ∴OA=AE=OC=
1
3
CE=4,OE=8 又∵∠ODE=∠F=90°,∠E=∠E ∴△ODE∽△CFE ∴
????
????
=
????
????
,即
4
6
=
????
6
3
∴DE=4
3
又∵Rt△ODE中，∠E=30° ∴∠DOE=60° ∴ S阴影=
??
△??????
?S扇形OAD=
1
2
×4×4
3
-
60·π·
4
2
360
=8
3
-
8π
3
【考点】切线的判定，扇形面积的计算
【解析】【分析】：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥AB即可。 （2）先根据勾股定理求出EF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出DE，阴影部分的面积等于△ODE的面积减去扇形OAD的面积即可。
28.阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2） 证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P / 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由． 知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．
【答案】解：问题拓展：成立． 如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则∠D=∠P， ∵AD是直径， ∴∠D+∠CAD=90°， 又∵AB切圆于点A， ∴∠CAB+∠CAD=90°， ∴∠CAB=∠CAD， 而∠CAD=∠P， ∴∠CAB=∠P； 知识运用：如图4，连接DF， ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠DAC， ∵⊙O与BC切于点D， ∴∠FDC=∠DAC， ∴∠FDC=∠EAD， ∵在⊙O中∠EAD=∠EFD， ∴∠FDC=∠EFD， ∴EF∥BC． / /
【考点】切线的性质
【解析】【分析】问题拓展：首先连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直径，AB切圆于点A，易证得∠CAB=∠CAD，继而证得结论； 知识运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论．
