青岛版九年级上第一章图形的相似 单元试题（含答案）

【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第一章 图形的相似 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?9
2.如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（?? ）/
A.?1对???????????????????????????????????????B.?2对???????????????????????????????????????C.?3对???????????????????????????????????????D.?4对
3.如图，D，E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（??? ）/
A.?1：2????????????????????????????????????/B.?1：3????????????????????????????????????/C.?1：4????????????????????????????????????/D.?2：3
4.如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（?? ） /
A.?
????
????
=
????
????
?????????????????????/B.?
????
????
=
????
????
?????????????????????/C.?
????
????
=
????
????
?????????????????????/D.?
????
????
=
????
????
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD=AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③S△ABF=3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ??）/
A.?1个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
6.如图是羽毛球单打场地按比例缩小的示意图，已知羽毛球场它的宽为5.18m，那么它的长约在（?）/
A.?12m至13m之间????????????/B.?13m至14m之间????????????/C.?14m至15m之间????????????/D.?15m至16m之间
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：步骤1：分别以点A，D为圆心，以大于
1
2
AD的长为半径，在AD两侧作弧，两弧交于点M，N；步骤2：连接MN，分别交AB，AC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．下列叙述不一定成立的是（?? ）/
A.?线段DE是△ABC的中位线??????/B.?四边形AFDE是菱形??????/C.?MN垂直平分线段AD??????/D.?
????
????
=
????
????
8.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（? ）．/
A.?
5
?1
2
??????????????????????????????????????/B.?
5
+1
2
??????????????????????????????????????/C.?
3
??????????????????????????????????????/D.?2
9.如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ??）/
A.?
38
5
???????????????????????????????????????/B.?
28
13
???????????????????????????????????????/C.?
28
5
???????????????????????????????????????/D.?
48
13
10.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是（　　）/
A.?2
5
???????????????????????????????????????/B.?3
5
???????????????????????????????????????/C.?5???????????????????????????????????????/D.?
5
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为________；/
12.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________．/
13.已知△ABC~△DEF， BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，则△ABC与△DEF的面积的比为________.
14.如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设
????
=
??
，
????
=
??
那么向量
????
用向量
??
、
??
表示为________．/
15.在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D是AC边上一点，DC=
2
3
AC，在AB边上取一点E，连接DE，若两个三角形相似，则DE的长为________．
16.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于________?
17.如图，在 △?????? 中， ?? ， ?? 分别是 ???? ， ???? 上的点， ???? 平分 ∠?????? ，交 ???? 于点 ?? ，交 ???? 于点 ?? ，若 ∠??????=∠?? ，且 ????:????=2:1 ，则 ????:????= ________．
/
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA，分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若OA=8，CF=4，则点E的坐标是________．/
19.（2017?桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则
????
????
的值为________．/
20.赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、Cn在直线y=﹣
1
2
x+
7
2
上，顶点D1、D2、D3、…、Dn在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为________．/
三、解答题（共10题；共60分）
21.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1 ， 画出△A1B1C1并直接写出点C1的坐标为多少？（2）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2 ， 使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．/
22.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．/
23.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．/
24.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且
????
????
=
????
????
．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
/
25.在图中，△ABC的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延长线上分别取点D、E、F，使
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
， 画出△DEF．你认为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？
?/
26.如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；（2）如果小亮的身高AB=1.5m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．/
27.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1cm，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：/（1）AC的长等于多少？（2）画出△ABC向右平移2个单位得到的△
??
1
??
1
??
1
，求A点的对应点A1的坐标。（3）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△
??
2
??
2
??
2
，求A点对应点A2的坐标。
28.如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．/
29.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．/(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=4 , AD=3
3
, AF=2
3
求AE的长．
30.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．/
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】1
12.【答案】2
13.【答案】4：9
14.【答案】
??
+2
??

15.【答案】6或8
16.【答案】
15
4
或
12
5

17.【答案】2:3
18.【答案】(-10，3)
19.【答案】
7
24

20.【答案】
(
2
3
)
2???2

三、解答题
21.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（2，3）；（2）如图，△A2B2C2为所作．/故答案为（2，3）．
22.【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，即
6
????
=
????
8+6
，解得，AC=2
21
．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF，即四边形AFGE为正方形．∴
????
????
＝
????
????
＝
????
????
＝
????
????
，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
24.【答案】证明：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵
????
????
=
????
????
．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
25.【答案】解：相似．如图，
∵
????
????
=
????
????
，∠AOE=∠BOD，
∴△DOE∽△AOB，
∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，
同理
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
，
∴△DEF∽△ABC，
它们也具有位似形的特征．
?/
26.【答案】解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．（2）过M作MN⊥DE于N，设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，又∵AB=1.5m，BC=2.4m，DN=DE﹣NE=15﹣xMN=EG=16m，∴
15???
16
=
1.5
2.4
，解得：x=5，答：旗杆的影子落在墙上的长度为5米．/
27.【答案】解;（1）AC=
1+9
=
10
cm．（2）所画图形如下：/A1（1，2）．（3）所画图形如下：/A2（-3，-2）．
28.【答案】解：∵AB⊥BC,∴∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=
24
7
,若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x=2或x=6,所以AP=
24
7
?或AP=2或AP=6．
29.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD , AD∥BC∴∠B+∠C=180° , ∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180° , ∠AFE =∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4由（1）知△ADF∽△DEC，∴
????
????
=
????
????
，∴DE=
????·????
????
=
3
3
×4
2
3
=6在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=
??
??
2
???
??
2
=
6
2
?
3
3
2
=3.
30.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=
3
2
+
4
2
=5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）解：∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜
3
2
）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则
????
????
=
????
????
或
????
????
=
????
????
，∴
3?2??
2
=
3
4
或
3?2??
2
=
4
3
，∴t=
3
4
或t=
1
6
；当AD＞AE（即t＞
3
2
）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则
????
????
=
????
????
或
????
????
=
????
????
，∴
2???3
2
=
3
4
或
2???3
2
=
4
3
，解得t=
9
4
或t=
17
6
；综上所述，当t=
3
4
或
1
6
或
9
4
或
17
6
时，△DEG与△ACB相似
【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第一章 图形的相似 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?9
【答案】C
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，∴
????
????
=
1
3
，∵BC=1，∴EF的长为：3．故答案为：C．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出相似比，进而得出答案。
2.如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（?? ）/
A.?1对???????????????????????????????????????B.?2对???????????????????????????????????????C.?3对???????????????????????????????????????D.?4对
【答案】C
【考点】相似三角形的判定，等腰直角三角形
【解析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形。【解答】∵△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°∵∠ADC=∠ADE，∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△EDA△EDA∽△EAB△ADC∽△EAB∴共有3对．故选C．/
3.如图，D，E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC=（??? ）/
A.?1：2????????????????????????????????????/B.?1：3????????????????????????????????????/C.?1：4????????????????????????????????????/D.?2：3
【答案】C
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE：BC=1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4．故答案为：C．【分析】由三角形的中位线定理可得DE：BC=1：2，根据相似三角形的性质可得S△ADE：S△ABC=1：4。
4.如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（?? ） /
A.?
????
????
=
????
????
?????????????????????/B.?
????
????
=
????
????
?????????????????????/C.?
????
????
=
????
????
?????????????????????/D.?
????
????
=
????
????
【答案】A
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AF∥BC，DE∥BC， ∴AF∥DE，∴
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
，∴
????
????
≠
????
????
，故A错误，∵AF∥DE，∴
????
????
=
????
????
，故B正确，∵DE∥BC，∴
????
????
=
????
????
，故C正确，∵AF∥DE，∴
????
????
=
????
????
，∵AF∥BC，∴
????
????
=
????
????
，∴
????
????
=
????
????
，故D正确，故选A．/【分析】由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD=AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③S△ABF=3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ??）/
A.?1个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
【答案】C
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD，∴CE=BE，故本答案正确；∴∠C=∠7∵AD=AB，∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，∵∠8=∠C+∠4，∴∠C+∠4=∠6+∠7，∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确；作AG⊥BD于点G，交BE于点H，/∵AD=AB，DE⊥BC，∴∠2=∠3，DG=BG=
1
2
BD，DE∥AG，∴CDE△∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，∴CD：CG=DE：AG，HG=
1
2
DE，设DG=x，DE=y，则GB=x，CD=2x，CG=3x∴2x：3x=2y：AG，解得：AG=3y，HG=y∴AH=2y∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1∴DEF△≌△AHF∴EF=HF=
1
2
EH，且EH=BH，∴EF：BF=1：3，∴S△ABF=3S△AEF ， ∵S△DEF=S△AEF ， ∴S△ABF=3S△DEF ， 故本答案正确；∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，∴∠5=∠3+∠4，∴∠5≠∠4，∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误，综上所述：正确的答案有3个，故答案为：C．【分析】①根据线段的垂直评分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=BE；②由三角形外角的性质可得∠8=∠C+∠CAD，由角的构成可得∠ABD=∠EBC+∠ABE，由①的结论易得∠C=∠EBC，结合已知条件可得∠CAD=∠ABE；③作AG⊥BD于点G，交BE于点H，由题意和辅助线易证得CDE△∽△CGA，△BGH∽△BDE，DEF△≌△AHF，从而可证得S△ABF=3S△DEF；④根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角可得∠DEH>∠EAD，不能找出两个三角形相似的条件。
6.如图是羽毛球单打场地按比例缩小的示意图，已知羽毛球场它的宽为5.18m，那么它的长约在（?）/
A.?12m至13m之间????????????/B.?13m至14m之间????????????/C.?14m至15m之间????????????/D.?15m至16m之间
【答案】B
【考点】相似图形，相似多边形的性质
【解析】【分析】羽毛球单打场地按比例缩小的示意图和羽毛球单打场地是相似多边形，本题按照相似多边形的性质及对应边长成比例来求解。【解答】测量得，示意图长约为61cm，宽约为24cm，于是设羽毛球单打场地的长为x，则
61
24
=
??
5.18
，解得x≈13.17，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方。
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：步骤1：分别以点A，D为圆心，以大于
1
2
AD的长为半径，在AD两侧作弧，两弧交于点M，N；步骤2：连接MN，分别交AB，AC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．下列叙述不一定成立的是（?? ）/
A.?线段DE是△ABC的中位线??????/B.?四边形AFDE是菱形??????/C.?MN垂直平分线段AD??????/D.?
????
????
=
????
????
【答案】A
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，菱形的判定，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，∵EA=ED，∴四边形AEDF为菱形，故B，C正确；∵四边形AEDF为菱形，∴DE∥AC，∴
????
????
=
????
????
，故D正确．故答案为：A．【分析】由作图痕迹可知EF是AD的垂直平分线，由其性质和角平分线性质可得DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是平行四边形，又EA=ED可得四边形AEDF为菱形，进而可得出结论.
8.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（? ）．/
A.?
5
?1
2
??????????????????????????????????????/B.?
5
+1
2
??????????????????????????????????????/C.?
3
??????????????????????????????????????/D.?2
【答案】B
【考点】翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质
【解析】
【思路分析】根据相似的性质解答
【解析过程】依题意知AF=AB=1,∴FD=AD-1，
由四边形EFDC与矩形ABCD相似有:AD:DC=AB:FD即AD:1=1: (AD-1)解之得:AD=
5
+1
2
或
1?
5
2
(舍去)，选B
答案：B
9.如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ??）/
A.?
38
5
???????????????????????????????????????/B.?
28
13
???????????????????????????????????????/C.?
28
5
???????????????????????????????????????/D.?
48
13
【答案】C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：/∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE=
1
2
AB=3，BF=CF=
1
2
BC=4，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，∴
????
????
=
????
????
=1，△AEI∽△QDE，∴CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，∵AD=8，∴△AEI中AE边上的高=
8
5
，∴△AEI的面积=
1
2
×3×
8
5
=
12
5
，∵△ABF的面积=
1
2
×4×6=12，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，∴△BFH的面积=
1
2
×2×4=4，∴四边形BEIH的面积=△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积=12﹣
12
5
﹣4=
28
5
．故答案为：C．【分析】延长AF交DC于Q点，根据中点定义得出AE=3，BF=CF=4，根据矩形的性质CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定得出△AEI∽△QDE，进而得出CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，根据相似三角形的性质得出△AEI中AE边上的高，进而根据面积公式得出△AEI的面积，由△ABF的面积且△BFH∽△DAH，找出其相似比，从而得出△BFH的面积最后根据四边形BEIH的面积=△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积算出答案。
10.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是（　　）/
A.?2
5
???????????????????????????????????????/B.?3
5
???????????????????????????????????????/C.?5???????????????????????????????????????/D.?
5
【答案】C
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设正方形的边长为2X，则AB=2X，BF=x，由勾股定理得，AF=
5
x，由同角的余角相等，∵∠BWF=∠ABF=90°，∠BFW=∠AFB，∴△BFW∽△AFB，∴BF：AF=BW：AB=WF：BF，得，WF=
5
5
x，BW=
2
5
5
x，同理，AS=
2
5
5
x，∴SW=AF﹣AS﹣WF=
2
5
5
x∵阴影部分小正方形的面积是5∴（
2
5
5
x)2=5，得X=2.5∴AB=5．故选C．/【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解。
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为________；/
【答案】1
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵OB=3OB′，∴
??
??
′
????
=
1
3
，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴
??
′
??
′
????
=
??
??
′
????
=
1
3
．∴S△A′B′C′：S△ABC=1：9，∵△ABC的面积为9，∴△A′B′C′的面积为：1．故答案为：1．【分析】位似图形对应线段的比等于相似比，位似图形面积的比等于相似比的平方.
12.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________．/
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=
1
2
BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2.故答案为：2.【分析】由相似三角形的判定易得△AEG∽△ADC，结合三角形的重心的性质可求解。
13.已知△ABC~△DEF， BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，则△ABC与△DEF的面积的比为________.
【答案】4：9
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，
∴△ABC与△DEF相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：9．
故答案为：4：9．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
14.如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设
????
=
??
，
????
=
??
那么向量
????
用向量
??
、
??
表示为________．/
【答案】
??
+2
??

【考点】平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接BD，FC，/∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∴△DCE∽△FBE，又E是边BC的中点，∴
????
????
=
????
????
=
1
1
，∴EC=BE，即点E是DF的中点，∴四边形DBFC是平行四边形，∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，∴
????
=
????
+
????
=
????
+2
????
=
??
+2
??
，故答案是：
??
+2
??
.【分析】连接BD，FC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC=AB，根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△DCE∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例得出
????
????
=
????
????
=1,故EC=BE，即点E是DF的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形DBFC是平行四边形，故DC=BF，故AF=2AB=2DC，从而得出答案。
15.在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D是AC边上一点，DC=
2
3
AC，在AB边上取一点E，连接DE，若两个三角形相似，则DE的长为________．
【答案】6或8
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DC=
2
3
AC， ∴
????
????
=
1
3
，又AC=12，∴AD=4，当△ADE∽△ABC时，
????
????
=
????
????
，即
????
18
=
4
9
，解得，DE=8，当△AED∽△ABC时，
????
????
=
????
????
，即
????
18
=
1
3
，解得，DE=6，故答案为：6或8．【分析】分AD与AC是对应边和AD与AB是对应边，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
16.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于________?
【答案】
15
4
或
12
5

【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB=
??
??
2
+??
??
2
=5，当△APQ∽△ABC时，/解得，AP=
15
4
；当△APQ∽△ACB时，/解得，AP=
12
5
， 故答案为：
15
4
或
12
5
． 【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
17.如图，在 △?????? 中， ?? ， ?? 分别是 ???? ， ???? 上的点， ???? 平分 ∠?????? ，交 ???? 于点 ?? ，交 ???? 于点 ?? ，若 ∠??????=∠?? ，且 ????:????=2:1 ，则 ????:????= ________．
/
【答案】2:3
【考点】比例的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ∠??????=∠?? ，而 ∠??????=∠?????? ，
∴ △??????∽△?????? ，
∴
????
????
=
????
????
，
∵ ????:????=2:1 ，
∴
????
????
=
????
????
=
2
3
，
故答案为： 2:3 ．
【分析】由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比可得比例式
????
????
=
????
????
，由已知条件和比例的性质可求解。
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA，分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若OA=8，CF=4，则点E的坐标是________．/
【答案】(-10，3)
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCO中，∴CE∥AO.∴△CEF∽△OFA.∴
????
????
=
????
????
.又∵OA=8，CF=4.∴OF=2CE.设CE=x，则BE=8-x.根据折叠的性质，可得EF=8-x.∴
??
2
+
4
2
=
(8???)
2
，∴x=3，∴OF=6，∴OC=10，∴点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）【分析】根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得 x 2 + 4 2 = ( 8 ? x ) 2 ，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.
19.（2017?桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则
????
????
的值为________．/
【答案】
7
24

【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作BH⊥OA于H，如图，/∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC=OB，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=
3
2
+
4
2
=5，∴AO=OB=
5
2
，∵
1
2
BH?AC=?
1
2
AB?BC，∴BH=
3×4
5
=
12
5
，在Rt△OBH中，OH=
??
??
2
???
??
2
=
(
5
2
)
2
?
(
12
5
)
2
=
7
10
，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴
????
????
=
????
????
，∴
????
????
=
????
????
=
7
10
12
5
=
7
24
．故答案为
7
24
．【分析】AE不易求，因此需转化整个比例，通过作垂线构造“A"字型相似，
????
????
=
????
????
?, BH就是Rt△ABC斜边上的高，利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出OH，代入比例式即可.
20.赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、Cn在直线y=﹣
1
2
x+
7
2
上，顶点D1、D2、D3、…、Dn在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为________．/
【答案】
(
2
3
)
2???2

【考点】相似三角形的判定与性质，一次函数的性质
【解析】【解答】解：设第n个大正方形的边长为an ， 则第n个阴影小正方形的边长为
5
5
an ， 当x=0时，y=﹣
1
2
x+
7
2
=
7
2
，∴
7
2
=
5
5
a1+
5
2
a1 ， ∴a1=
5
．∵a1=a2+
1
2
a2 ， ∴a2=
2
3
5
，同理可得：a3=
2
3
a2 ， a4=
2
3
a3 ， a5=
2
3
a4 ， …，∴an=
(
2
3
)
???1
a1=
5
(
2
3
)
???1
，∴第n个阴影小正方形的面积为
(
5
5
??
??
)
2
=
[
(
2
3
)
???1
]
2
=
(
2
3
)
2???2
．故答案为：
(
2
3
)
2???2
．【分析】先计算几个特殊边长，可看出小正方形的边长是等比数列，可用a1·(
2
3
)
???1
表示.
三、解答题（共10题；共60分）
21.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1 ， 画出△A1B1C1并直接写出点C1的坐标为多少？（2）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2 ， 使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．/
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（2，3）；（2）如图，△A2B2C2为所作．/故答案为（2，3）．
【考点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1 ， 从而得到△A1B1C1；（2）利用关于原点中心对称的点的特征特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2 ．
22.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．/
【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，即
6
????
=
????
8+6
，解得，AC=2
21
．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】∠ACD=∠B，而∠A是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADC∽△ACB，所以可得比例式
????
????
=
????
????
,即
6
????
=
????
8+6
,解得AC=2
21
.
23.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．/
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF，即四边形AFGE为正方形．∴
????
????
＝
????
????
＝
????
????
＝
????
????
，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【考点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似.本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键.
24.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且
????
????
=
????
????
．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
/
【答案】证明：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵
????
????
=
????
????
．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
25.在图中，△ABC的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延长线上分别取点D、E、F，使
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
， 画出△DEF．你认为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？
?/
【答案】解：相似．如图，
∵
????
????
=
????
????
，∠AOE=∠BOD，
∴△DOE∽△AOB，
∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，
同理
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
，
∴△DEF∽△ABC，
它们也具有位似形的特征．
?/
【考点】位似变换
【解析】【分析】由
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
， 可得△DOE∽△AOB，再由相似得出对应边成比例，即可得出△DEF与△ABC相似，由于它们有位似中心点O，所以它们也具有位似形的特征．
26.如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；（2）如果小亮的身高AB=1.5m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．/
【答案】解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．（2）过M作MN⊥DE于N，设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，又∵AB=1.5m，BC=2.4m，DN=DE﹣NE=15﹣xMN=EG=16m，∴
15???
16
=
1.5
2.4
，解得：x=5，答：旗杆的影子落在墙上的长度为5米．/
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过D点作AC的平行线即可；（2）过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
27.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1cm，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：/（1）AC的长等于多少？（2）画出△ABC向右平移2个单位得到的△
??
1
??
1
??
1
，求A点的对应点A1的坐标。（3）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△
??
2
??
2
??
2
，求A点对应点A2的坐标。
【答案】解;（1）AC=
1+9
=
10
cm．（2）所画图形如下：/A1（1，2）．（3）所画图形如下：/A2（-3，-2）．
【考点】作图﹣平移变换，作图﹣旋转变换
【解析】【分析】（1）在格点三角形中利用勾股定理可得出AC的长；（2）将A、B、C三点向右平移2个单位，顺次连接可得△A1B1C1 ， 结合图形可得对应点A1的坐标；（3）根据旋转三要素找到各点对应点，顺次连接即可得△A2B2C2 ， 结合图形可得点A2的坐标．
28.如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．/
【答案】解：∵AB⊥BC,∴∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=
24
7
,若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x=2或x=6,所以AP=
24
7
?或AP=2或AP=6．
【考点】相似三角形的判定与性质，几何图形的动态问题
【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，用含x的代数式表示出BP的长，再根据AB边上存在P点，△PAD与△PBC是相似三角形，因此分两种情况讨论：若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC；若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC，分别建立关于x的方程，求解即可得出AP的长。
29.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．/(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=4 , AD=3
3
, AF=2
3
求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD , AD∥BC∴∠B+∠C=180° , ∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180° , ∠AFE =∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4由（1）知△ADF∽△DEC，∴
????
????
=
????
????
，∴DE=
????·????
????
=
3
3
×4
2
3
=6在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=
??
??
2
???
??
2
=
6
2
?
3
3
2
=3.
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
30.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．/
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=
3
2
+
4
2
=5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）解：∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜
3
2
）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则
????
????
=
????
????
或
????
????
=
????
????
，∴
3?2??
2
=
3
4
或
3?2??
2
=
4
3
，∴t=
3
4
或t=
1
6
；当AD＞AE（即t＞
3
2
）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则
????
????
=
????
????
或
????
????
=
????
????
，∴
2???3
2
=
3
4
或
2???3
2
=
4
3
，解得t=
9
4
或t=
17
6
；综上所述，当t=
3
4
或
1
6
或
9
4
或
17
6
时，△DEG与△ACB相似
【考点】勾股定理，相似三角形的判定，线段的中点
【解析】【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解；（2）先根据中点定义可得GE的长度，△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①DE：EG=AC：BC，②DE：EG=BC：AC，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）.