第六章 平行四边形
第一节 平行四边形的性质（一）
《平行四边形的性质》是北师版初中数学实验教材八年级（下）册第六章《平行四边形》第1节的内容.四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在七年级下册有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识和应用的能力.
一、教学内容分析
生活中，平行四边形是人们最常见的一类四边形，了解、掌握平行四边形的性质是人们生产、生活的需要.数学中，四边形是 “空间与图形”领域中研究的主要对象之一，平行四边形是特殊的四边形，所以平行四边形具有一般四边形所具有的性质，如：内角和是360°、不稳定性等.同时平行四边形还具有自己特有的性质，如对边相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称性等.
在本章的后续学习中，对于几种特殊的平行四边形，均以平行四边形作为种概念，所以平行四边形的概念作为“核心概念”当之无愧.平行四边形的性质为解决线段相等、角相等提供了一种新方法.
平行四边形的性质是对已学的平行线性质、全等三角形、图形变换等知识的综合运用和深化，学生积累了一定的几何图形学习的经验和初步的说理能力，本节是第六章《平行四边形》的起始，平行四边形与后继内容矩形、菱形、正方形之间体现了一般与特殊研究问题的思想，这些特殊平行四边形的性质，都是在平行四边形性质基础上扩充的，它们的探索方法，也都与平行四边形性质的探索方法一脉相承.因此，本节内容不论从知识上，还是从研究方法上，都起着重要的作用.
二、教学目标分析
由于学生对平行四边形有一定的认知基础，并且学生掌握了三角形的有关知识及图形变换（对称、平移、旋转）等几何事实，由此确定了三维教学目标：
1.知识与技能目标：掌握平行四边形的定义及对边相等、对角相等的性质，并能用它们解决简单的问题.通过旋转等操作活动体会平行四边形的中心对称性.在操作、探究等数学活动中提高学生的探究能力，进一步提高学生的说理和初步的推理能力.
2.过程与方法目标：经历平行四边形有关概念的形成过程和性质的探究过程；采用多种方法（观察、实验、变换、推理等）探索平行四边形性质，体验解决问题策略的多样性；体会旋转在研究平行四边形及其性质中的应用.将探究过程与说理紧密结合，渗透“类比”、“转化”、“建模”的数学思想.
3.情感、态度、价值观：在探究活动与性质应用中，有意识地培养学生独立思考的习惯和积极的情感态度，促进良好数学观的形成，同时增强交流与合作意识.
平行四边形在小学课本中有所涉及，但更多的是体现在测量，折叠等合情推理的基础之上.平行四边形性质的产生过程并不严谨，特别是对于已经学习了证明的初二学生来讲，知识的准确性是要通过演绎推理来证明的。另外，学生刚刚学过“平移与旋转”，学生利用图形变换来研究图形性质的主动应用意识还比较淡薄.因此重难点确定为：
教学重点：平行四边形性质的探索.
教学难点：利用图形变换思想探究平行四边形的性质.
三、教学过程设计
本节课分六个环节：
第一环节：大咖秀——整体把握，确定目标
第二环节：自报家门 ——探索新知，整理分类
第三环节：牛刀小试 ——学以致用，巩固提高
第四环节：勇攀高峰 ——数学建模，联系实际
第五环节：颗粒归仓 ——概括总结，浓缩提升
第六环节：作业布置，教学延伸
第一环节：大咖秀——整体把握，确定目标
开场白：同学们，我们往常的数学课往往都严谨有余而活力不足。今天的数学课我想让我们的数学课燃起来，你们准备好了吗？
学生：准备好了。
教师：好的，那就让我们共同期待今天的“平面图形大咖秀”！
倒计时开始，正式进入新课。
教师：今天出场的第一组大咖是“点线面三兄弟”，他们是最基本平面图形，点动成线，线动成面，面面相交得线，线线相交得点，三兄弟紧密联系永不分离。
第二组出场的大咖是“平行线家族”，他们在同一平面里始终相伴但永不相交。
第三组大咖是三角形，他们家族分类众多。按角分有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分又有不等边三角形、腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形。且每一种三角形既有共同的特点又都有不同的性质。同学们，你们猜接下来出场的第四组大咖会是谁呢？
学生：四边形。
教师：小学我们学过那些四边形。
学生：平行四边形，矩形，正方形和梯形。
教师：你能给四边形下个定义吗？我找个同学回答一下？
学生A：在同一平面内，由不共线的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫四边形。
第二环节：自报家门 ——探索新知，整理分类
教师：非常好，今天代表四边形家族来参加大咖秀的是“平行四边形”。下面请大家以以小组为单位，用第一人称替平行四边形写一个简短的自我介绍。内容包括：我是谁，我有那些特点也就是具备那些性质等。时间两分钟。
（采用倒计时功能，学生分小组完成自我介绍）
教师：时间到，我们看哪位幸运儿能够抢到这次表现的机会呢？开始。
请同学B来替平行四边形做一下自我介绍。
学生B:同学们，大家好，我是平行四边形。我名字的来历顾名思义就是我的两条对边都平行。对角线定义。我是四边形家族的一员，我们平行四边形家族里还有长方形、正方形和菱形，他们都是我的小兄弟。我的本领可多了，到最棒的是我绕着我对角线的交点转180°我能和我自己重合，换句话说就是我适合中心对称图形。所以我的对边相等、对角相等、对角线互相平分。这就是我平行四边形大咖。
教师：很精彩的自我介绍。通过介绍我们知道了什么是平行四边形，数学语言应该怎么表示呢？
（教师展示定义的两种作用的数学语言）
教师：其他同学还有疑问或者补充吗？
学生C:我不明白为什么是中心对称？
教师：同学B你能解答一下吗？
（学生B展示利用两个全等的平行四边形旋转180度重合）
教师：同学B的讲解很直观到位。为便于讲解老师我提前用几何画板给同学们做了一个动态的展示我们一起来看一下，看看你还有有什么收获。
学生C:一条对角线分两边三角形全等。
学生D:我想请老师经过对称中心任意画一条线段和平行四边形一组对边相交，然后再转一下看一看。
教师：你为什么想这样做？
学生D:对角线分两边全等，我想知道任意的线是不是也可以。
教师：为我们同学勇于思考勇于提问的精神点赞。
（教师按学生要求操作）
教师：大家还有其他的收获吗？通过观察我们得到了平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分，对角线分两边三角形全等，过对称中心直线分两边面积相等。到我们都是观察得到的，属于合情推理的范畴。但观察和实验总会有误差，为保证数学的严谨性我们必须进行演绎推理，也就是进行证明。今天我们重点证明对边相等和对角相等。下面给大家5分钟完成对边的证明。并将证明的过程发到教师端，我根据上传情况进行讲解。
（学生证明，上传答案，教师巡视）
教师：那同学们会证明对角相等吗？
第三环节：牛刀小试 ——学以致用，巩固提高
教师：通过大咖秀我们初步认识了平行四边形了解了他的部分性质，下面考验一下大家的应用能力，进入今天的第二个环节“牛刀小试”。
（学生抢答，利用强权功能和选择功能）
第四环节：勇攀高峰 ——数学建模，联系实际
教师：看样子今天大家学习收获满满啊！准备好了吗？我们马上要“勇攀高峰”。
（教师给出题目）
教师：怎么分才算公平呢？我们这个实际问题能转换为哪个数学问题啊？
学生：转化为⊿CED和⊿BED的高相等。
教师：那大家能够证明吗？说一下你的思路。
（学生回答）
第五环节：颗粒归仓 ——概括总结，浓缩提升
教师：在这站在高峰的时刻，我们回望本节课的学习过程，大家一定会有不同的收获。下面我们进入今天的颗粒归仓。请同学们从以下几个方面对本节课进行小结。
（学生小结）
第六环节：作业布置，教学延伸
结束语：今天的大咖秀接近尾声了，在今天的学习中我们用严谨的态度对平行四边形的性质进行了证明，以勇于攀登的精神完成了今天的学习任务。相信只要同学们在今后的学习和生活中能够发扬今天的严谨态度和勇于攀登的精神，你们，就一定能够成为生活中的大咖！今天的数学课就上到这里，谢谢大家！
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平
面
图
形
大
咖
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主咖自报家门平行四边形定义定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。如图四边形ABCD是平行四边形，记作： ABCD
相关概念：
平行四边形相对的边称为 对边，相对的角称为 对角，不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。（2）如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边就分别平行 定义包括两重意思：
（1）如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形；性质1、平行四边形对边相等2.平行四边形对角相等3.平行四边形对角线互相平分4.对角线分两侧三角形全等
…………如图（1），四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA. 猜想证明证明:如图（2）连接AC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD // BC， AB // CD
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △ABC和△CDA中
∠2=∠1
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=DC， AD=CB
56°30cm牛刀小试32cm牛刀小试 已知： ABCD中，BC=9cm， CD=5cm，若BE平分∠ABC，则ED＝( ) cm.
A. 2 B. 3 C.4 D.55cm5cm4cm勇攀高峰一块平行四边形土地ABCD，在对角线AC上有一口井E，连结BE、CE，现将两块地△BDE、△CDE分给两农户，这样分公平吗？为什么？ ?
?
?
?数学建模已知： ABCD，BH⊥AD, CG⊥AD
求证：CG=BH颗粒归仓1、今天学习的知识
2、今天学习的思想
3、今后学习的期待 布置作业
（必做）1、课本习题6.1 1、2题
（选做）2、尝试对今天其它的发现进行证明【课堂检测】
1． ABCD中，∠B=60°，则∠A= ，∠C= ，∠D= .
2． ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C= .
3． ABCD中，AB=3，BC=5，则AD= CD= .
4． ABCD中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC=（ ）cm.
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
5已知:如图6-3，在ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：BE=DF．
【参考答案】
1．120° 120° 60°
2．100°
3．5cm 3cm
4．A
5 证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB = CD
AB // CD
∴ ∠BAE=∠DCF
又∵ AE=CF
∴ △BAE≌△DCF
∴ BE=DF
