《完全平方公式》（第一课时）教学设计
总体说明：
完全平方公式是多项式乘法中出现的一种较为特殊的算式的一种归纳和总结，同时，完全平方公式的推导过程是初中数学运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过完全平方公式的学习对简化某些整式运算、培养学生的求简意识有较大好处。而且完全平方公式是后续学习分解因式、分式运算、解一元二次方程以及二次函数恒等变形的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用。因此，学好完全平方公式对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义。
本节课是北师版七年级下册第一章《整式运算》的第6小节，占两个课时，这是第一课时，主要让学生经历探索与推导完全平方公式的过程，培养学生的符号感与推理能力，进一步体会数形结合思想在数学中的作用。
一、学生学情分析
【学生的技能基础】：学生通过本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式、这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。
【学生的活动经验基础】：在平方差公式的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力。
教学目标
【知识与技能】：（1）让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用。
（2）了解完全平方公式的几何背景。
【数学能力】：（1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力。
（2）发展学生的数形结合的数学思想，培养学生数学建模的思想。
【情感与态度】：（1）将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成数学上的“相异构想”.
（2）体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
教学重难点
【教学重点】：完全平方公式的推导过程及应用。
【教学难点】：（1）消除学生头脑中的前概念，避免“相异构想”。
完全平方公式结构的认知及正确应用。
了解完全平方公式的几何背景。
教学设计分析
本节课设计了如下教学环节：复习旧知、暴露问题——动手操作、探究新知——类比学习、公式拓广——观察结构、总结口诀——小试牛刀、巩固双基——典例分析、学生反馈——拓展提高、公式拓广——学生反思、深化新知
【课前准备】：边长为a，b 的正方形卡片，长为a,宽为b的长方形卡片若干张
第一环节：复习旧知、暴露问题
【活动内容】
问1:多项式乘多项式的运算法则？字母表示？
问2:平方差公式如何用文字进行叙述？如何用字母表示？
问3：判断：
生1：特值法可验证
生2：多项式乘多项式验证上述等式不成立
【活动目的】：多项式乘多项式的运算法则、平方差公式的学习有很多教学环节和形式与本节的学习是类似的，其中包含的基本知识与基本能力也仍是本节的精神主旨，通过旧知的复习唤醒学生对数学知识和数学方法的记忆。
在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即，如果不将这种定式思维推翻，就很难建立起一个正确的观念；问题3是让学生的这种错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维埋下伏笔。
第二环节：动手操作、探究新知
【活动内容1】代数推导
问4：
学生们类比平方差的推导过程，想到利用多项式乘法法则可得
【活动内容2】几何验证
利用如图所示的正方形长方形卡片若干张，拼出一个边长为（a+b）的正方形， 进一步验证上述等式
【活动目的】：进一步打破了学生原有的思维定式，给学生建立正确的思维方法，明确，使学生亲身经历了完全平方公式的的探究验证过程，体验到发现的快乐。
【活动内容3】：用几何图形进一步诠释完全平方公式的几何意义
【小结】：借助于几何图形，利用不同代数式求面积，是我们验证代数恒等式成立的一种常用方法，也就是等积法，同时渗透了数形结合思想。
学生思考：还有没有其它方法来诠释完全平方公式（课后思考）
【活动目的】：让学生进一步认识到数与形不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起的，从而发展学生的数形结合的数学思想。
第三环节：类比学习、公式拓广
【活动内容】推导两数差的完全平方公式：
问5：猜想等于多少？
问6：你有多少种验证方法？
【小组合作学习】
把探索的过完全放手给学生，鼓励学生算法的多样化，学生分别从数和形的角度借助彩色卡纸进行实际拼图，通过小组合作交流，进一步验证结论。
【班级交流展示】
乘法推倒；
几何图形（数形结合、等积法）；
转化思想（教师补充）
将两数差的平方转化为前面探究出来的两数和的平方进行计算
【活动目的】：更好的调动起学生的探索欲望和学习热情，培养学生的创新思维和合作意识，使学生从真正意义上完成对知识的自我构建，第三种推导方法题体会两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用。
第四环节：观察结构、总结口诀
【活动内容】观察比较两公式的共同点和不同点，鼓励学生用自己的语言描述这两个公式
特征：左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个符号不同；右边都是一个三项式，其中第一、三项都是左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，两者也有一个符号不同；
生：公式1：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
公式2：两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
口诀：首平方、尾平方，2倍乘积放中央。
【小结】：公式中的a,b可以表示任何代数式（数、字母、单项式、多项式）
【活动目的】：认识完全完全平方公式的特征，总结出完全平方公式的口诀，便于学生理解与记忆，避免学生在应用该公式时出现错误。
第五环节：小试牛刀、巩固双基
【活动内容1】：
【活动内容2】：
【活动目的】：进一步加深学生对公式的理解，我们不仅要从直观感性认识出发，还要提高学生理性认识，也就是公式的逆运用，所以以填空的形式，进一步落实公式的结构特征，为正确运用公式做好铺垫。
第六环节：典例分析、学生反馈
【活动内容】：例：用完全平方公式计算：
(2x?3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn?a)2
解：（1）
（3）由学生进行板演，并订正。
【活动目的】：在前几个环节，学生对完全平方公式已经有了感性认识，通过本环节的讲解以及练习，进一步规范学生对于计算题的书写要求，使学生逐步经历认识——模仿——再认识，从而上升到理性认识的阶段。
第七环节：拓展提高、公式拓广
【活动内容】：
完全平方公式中的a,b可以代表任何代数式，思考并探究
类比学习，从代数和几何等多角度推导，并探究它的几何意义。
【活动目的】：数学学习不仅仅限于知识的学习，更重要的数学思想和方法的学习，通过拓展，使学生进一步落实数形结合思想，整体思想、类比思想在数学探究过程中的运用。
第八环节：学生反思、深化新知
【活动内容】：
问7：通过今天的学习，你有哪些收获？
收获1：认识了完全平方公式，能进行简单应用。
收获2：了解了两数和与两数差的完全平方公式之间的差异。
收获3：感受到数形结合思想在数学中的作用。
【活动目的】：通过对一堂课的归纳和总结，巩固学生对完全平方公式的认识，体会数学思想的精妙。
教学反思：
优点：本课的知识要点是经历探索完全平方公式的过程，了解公式的几何背景，会应公式进行简单的计算，教学已基本达到了预期目标，能突出重点，兼顾难点。
本节课上学生体会了数形结合、类比及转化的数学思想；授课思维流畅，
知识发生发展过渡自然，学生容易得到一些结论但在老师的引导下又使问题的
探讨得以不断深入，学生思考积极、气氛活跃，教学效果较好。
采用多种形式的小组学习方式，先从多项式乘法出发进行验证公式，在由数到形，鼓励学生动手操作，利用彩色卡片拼图的方式，进一步理解完全平方公式的几何意义，激发学生的几何直观，和数形结合思想在数学中的应用。整节课都在紧张而愉快的气氛中进行。学生非常活跃。绝大多数同学都能积极参与。
类比学习始终贯穿整个教学环节，完全平方公式的探究过程类比平方差公式，最后的拓展训练的探究过程，让学生学以致用，类比本节课完全平方公式的探究过程。在学习过程中，不忘比较平方差公式与完全平方公式的相同点和不同点，利用判断题，进步不加深学生对于公式的理解，深刻认识到公式的结构的特点，大大激发了学生的积极性，调高了学生的反思归纳意识。
由于教学设计不周到，在知识的落实上不够到位，跟踪训练题量较少，不能进一步落实完全平方公式简单变形的应用。
今后需要改进和注意的方面：
导入环节应设置有趣有意义的情景 ，更具有吸引力、启发性。
学生自主探究环节要收放自如，学生的学习任务分明确化具体化。
问题的设置根据有时效性、目的性、准确性。
知识落实环节更加多这样化，充分调动学生的积极性和思维感官器官。
课后小结形式多样化，留给学生充足的时间。
课件17张PPT。《完全平方公式》 数学学科 七年级下册北师版 用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式乘多项式的运算法则是什么？ am+anbm+bn+=(m+n)(a+b) 知识回顾1:平方差公式的文字叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的平方差。平方差公式的字母表示： 知识回顾2: 探究新知:？≠活动一 猜想： 探究新知: 你能用下列长方形、正方形三类卡片若干张，拼成一边长为（a+b）的正方形吗？aaabbbB类C类A类活动二： (a+b) (a+b) a2+ab+ab+b2
bbaaababa2b2整体求部分求和幂的
定义 合并
同类项(a+b)2a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2由面积相等可得 探究新知:(a+b) 2=a2+2ab+b2猜想：(a-b) 2=？1.先独立思考，再小组合作交流，比一 比那个小组的办法多；
2.汇报展评；
3.其他小组有不同方法进行补充。 探究新知:(a?b)2 方法一：乘法推导 (a-b)2
=（a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .(a-b)2b2方法二：图形理解（a-b）2
=[a+(-b)]2
=a2+2a(-b)+（-b）2
=a2-2ab+b2方法三：转化完全平方公式公式1：(a+b) 2=a2+2ab+b2公式2：(a-b) 2=a2 - 2ab+b2 公式1：两数和的平方，等于它们的平方和，加 上它们的积的2倍. 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.公式2：口诀：首平方，尾平方，
2 倍乘积放中央 学以致用:√√2、口答：
1) a2+ +b2=(a+b)2
2) a2+ +b2=(a - b)2
3) 4a2+ +b2=(2a+b)2
4) 4a2+ +b2=(2a - b)2
5) ( )2+4ab+b2=( +b)2
2ab(-2ab)4ab(-4ab)2a2a 学以致用: 典例学:例：利用完全平方公式计算：注意：使用完全平方公式和平方差公式一样，
先把计算的式子与完全平方公式对照，
明确哪个是a,哪个是b 变式训练:口诀：
首平方，尾平方，2 倍乘积放中 (符号看前方，同号加，异号减 )=(y-x)2=[-(x+y)]2=y2-2xy+x2=(x+y)2=x2+2xy+y2 研 究 性 学 习 小结与反思1、本节课你学到了哪些数 学知识和数学思想方法？
2、你有哪些收获与感悟？
