上海市进才中学2019届高三12月月考数学试题（WORD版）

进才中学2019届高三月考试卷
数学2018.12

一. 填空题
1. 已知集合，，则
2. 计算：
3. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第 象限
4. 以为渐近线且经过点的双曲线的标准方程为
5. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么
这个圆锥的母线长为 cm
6. 二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）
7. 已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则
8. 若数列满足：（d为常数，），则称为调和数列，已知数
列为调和数列，且，，则数列通项为
9. 三角形OAB中，、、…、是边上的等分点，设，，若
，用、表示，其结果为
10. 已知整数a、b、c满足，，则的取值范围是
11. 对任意，函数，设，，
数列的前15项的和为，则
12. 如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相
交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有 对. （用数字作答）

二. 选择题
13. 已知非零向量、，“∥”是“∥”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 同时具有性质：“① 最小正周期是；② 图像关于直线对称；③ 在上
是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）
A. B.
C. D.
15. 记方程①：，方程②：，方程③：，其中、、是正实数，且、、成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（ ）
A. 方程①有实根或方程②无实根 B. 方程①有实根或方程②有实根
C. 方程①无实根或方程②无实根 D. 方程①无实根或方程②有实根
16. 设，表示不超过的最大整数，且，则方程（ ）
A. 方程无实根 B. 方程存在整数解
C. 方程存在无理数根 D. 方程有两个以上有理数根

三. 解答题
17. 已知△的内角、、的对边分别为、、.
（1）若，，△的面积，求的值；
（2）若，求角.




18. 已知函数（）.
（1）若，，求证：函数在上是增函数；
（2）设集合，，若
，求实数的取值范围.




19. 由于浓酸泄漏对河流形成污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐
步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为，
只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河
中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最
大值.




20. 已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，
焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证：为一定值；
（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，
求的取值范围.




21. 已知数集（，）具有性质：对任意的、
（），与两数中至少有一个属于.
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：，且；
（3）证明：当时，、、、、成等比数列.




参考答案

一. 填空题
1. 2. 3. 二 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 1750

二. 选择题
13. C 14. D 15. D 16. C

三. 解答题
17.（1）5；（2）.
18.（1）
＝
当x在上时，，所以，是增函数。
（2）.
19.解： （1）
--------2分
-------------4分
综上，得-------------5分
即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为-----6分
（2）当时，单调递增-------------8分
当时，y=4-x单调递减-------------9分
所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，
即时，-------------12分
故当且仅当时，y有最大值。-------------------14分
20.（1）；（2）定值为1；（3）.


21.（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；
由于都属于数集， ∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故。
从而，∴。
∵， ∴，故。
????????? 由A具有性质P可知。
又∵，
∴，
从而
∴。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
????? ∵，∴，∴，
由A具有性质P可知。
由，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列。