人教新课标A版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积（30张）

(共30张PPT)
第一章 空间几何体
人教版必修2
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些水平截面的面积有什么关系？
体积有没有改变？
从这个事实中你得到什么启发？
1 .高度相同
2.同一层上每页纸大小(面积)一样
3.每层与放作业本的桌面平行
知道它们前后的体积相等的条件为:
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的
影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓
厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与
他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，
球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为
“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由
意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的
这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或椎体的体积相等.
探究点一　柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（如图）
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题3
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底 面 积s和高h的积。
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
V柱体= sh
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
问题4长方体的体积计算公式能否推广到一般的棱柱（圆柱）体积的计算呢？

总结
柱体体积公式及其探索思路？
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高的任意两个柱体的体积相等
柱体的代表
探究点二　锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝

+
等底面积等高的任意两个锥体的体积相等
锥体的代表
探究点二　锥体的体积计算公式
A
B
C
A’
B’
C’
A
B
C
A’
B’
C’
C
A’
B’
C’
A
B
A’
C
问题6：三棱柱分割成三个三棱锥,他们三个的体积相等吗？为什么？
总结
锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝
三棱锥
+
等底面积等高的任意两个锥体的体积相等
锥体的代表
总结提升：
问题7：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式吗？
设棱台上底面积为S‘，下底面积为S，高为h，大棱锥的高为h1，小棱锥的高为h2，则
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积
相等
Ｖ圆台＝ πh
探究点三　台体的体积计算公式
问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
S为底面面积，h为柱体高
S，S’分别为上、下底面面积，h 为台体高
S为底面面积，h为锥体高
上底扩大
上底缩小
反思感悟
例1：如图，在长方体 中，截下一个棱锥 ,求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。
长方体可以看成直四棱柱
解：
设它的底面
面积为S，高为h，
则它的体积为
因为棱锥
的底面面积为
高是h,所以棱锥
的体积
余下的体积
所以体积比为
学以致用
实验:
给出如下几何模型
R
R
探究点四　球体的体积计算公式
步骤
１．拿出圆锥
和圆柱
２．将圆锥倒立放入圆柱
结论:截面面积相等
R
则两个几何体的体积相等
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。

学以致用
画出奖杯的水平直观图

学以致用
并计算体积

练习2.有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为12mm，高为10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是7.8 g/cm3）
解：
六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的
体积V2的差
所以一个毛坯的体积为
约有毛坯
（个）
答：这堆毛坯约有250个．
学以致用
1、本节课你学到了哪些数学知识？
2、本节课你能感受到哪些数学思想？
课堂小结：
1.柱体、锥体、
台体的体积
锥体
台体
柱体
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和.
2.球的体积公式
4. 化归思想、极限思想.
反思提升：
多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们可以用展开几何体的方式得到，球能展开吗？你能否用我们今天学到的球的体积公式得到球的表面积公式呢？