【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第24章 解直角三角形 单元测试卷
一、单选题（共10题；共29分）
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（?? ）
A.?34??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?35??????????????????????????????????????????D.?45
【答案】D
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】如图所示： ∵AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴cosα=BCAB=45． 故选：D．
2.如图，在 RtΔABC 中， ∠C=90° ， AB=10 ， AC=8 ，则 sinA 等于（?? ）
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC= AB2?AC2=102?82=6 ， ∴sinA= BCAB=610=35 . 故答案为：A． 【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
3.若点B在点A的北偏东30度，则点A在点B的（ ）
A.?南偏西30度???????????????????????B.?北偏东60度???????????????????????C.?南偏西60度???????????????????????D.?西南方向
【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图， 则点A在点B的南偏西30度． 故选A． 【分析】此题是对方向角的考查，若点B在点A的北偏东30度，要求点A在点B的方向，则以点B为原点建立直角坐标系即可求解．
4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（???）
A.?12???????????????????????????????????????B.?22???????????????????????????????????????C.?32???????????????????????????????????????D.?33
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据格点的特征可得∠B=45°，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果. 由图可得cosB=cos45°=22，故选B. 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
5.如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 AB 上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（?? ）
A.?（sinα，sinα）????????????B.?（cosα，cosα）????????????C.?（cosα，sinα）????????????D.?（sinα，cosα）
【答案】C
【考点】坐标与图形性质，解直角三角形
【解析】【解答】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα= PQOP ，cosα= OQOP ，即PQ=sinα，OQ=cosα， 则P的坐标为（cosα，sinα）， 故答案为：C． 【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，然后依据锐角三角函数的定义可求得OQ、PQ的长，从而可得到点P的坐标.
6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 1.7 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=310 ， 则点D到地面的距离CD是（? ??）
A.?2.7米???????????????????????????????????B.?3.0米???????????????????????????????????C.?3.2米???????????????????????????????????D.?3.4米
【答案】C
【考点】矩形的判定与性质，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形AECB是矩形 ∴CE=AB=1.7，AE=BC=5，∠DEA=90° ∴tan∠α=DEAE=310 ∴DE5=310 解之：DE=1.5 ∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2 故答案为：C
【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形，从而可求出CE、AE的长，再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=DE+CE，可求得结果。
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，cos∠BCD=23，BD=1，则边AB的长度是（??）
A.?910?????????????????????????????????????????B.?109?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?95
【答案】D
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】在直角三角形中解题，根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理求出三角形的边长。 【解答】∵cos∠BCD=23，则设CD=2x，BC=3x， 根据勾股定理得，12+（2x)2=（3x)2， ∴x=55． 由于∠BCD=∠BAC， 所以设AC=2y，AB=3y，根据勾股定理得， （3y)2-（2y)2=（3×55)2，可得y=35。所以AB=35×3=95． 故选D． 【点评】图中的三个三角形两两相似，于是∠CAD的余弦就是∠BCD的余弦，据此结合根据勾股定理解答。
8.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°,∠A＝30°, E为AB上一点，且AE︰EB＝4︰1，EF⊥AC于F ， 连结FB ， 则tan∠CFB的值等于（ ）
A.?33?????????????????????????????????????B.?233?????????????????????????????????????C.?533?????????????????????????????????????D.?53
【答案】C
【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
【解答】根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BC， ∴CFAC=BEAB ∵AE：EB=4：1， ∴ABEB=5， ∴AFAC=45， 设AB=2x，则BC=x，AC=3x． ∴在Rt△CFB中有CF=35x，BC=x． 则tan∠CFB=BCCF=535． 故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
9.（2017?绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（?? ）
A.?10m??????????????????????????????????B.?12m??????????????????????????????????C.?12.4m??????????????????????????????????D.?12.32m
【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m， △ABC∽△EDC， 则 ABED = BCDC ， 即 1.5DE = 0.54 ， 解得：DE=12， 故选：B． 【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
10.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF ， 上述结论中正确的个数是（ ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】
【分析】根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．
【解答】①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误； ②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知) ∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°， 在Rt△AOB和Rt△COB中，
AB＝CB
BO＝BO
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL)， 则全等三角形共有4对，故②正确； ③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠， ∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF， ∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误； ④∵OB⊥AC，且AB=CB， ∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°， 由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°， 又∵∠BFD为三角形ABF的外角， ∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°， 易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠BFD=∠BDF， ∴BD=BF，故④正确． ⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高， ∴S△AOF=S△COF ， ∵∠AEF=∠ACD=45°， ∴EF∥CD， ∴S△EFD=S△EFC ， ∴S四边形DFOE=S△COF ， ∴S四边形DFOE=S△AOF ， 故⑤正确； 正确的有3个， 故选：C．
【点评】综合考查了有折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分；两条平行线间的距离相等
二、填空题（共11题；共33分）
11.计算3tan30°tan45°=________?
【答案】1
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=3×33?×1=1， 故答案为：1． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
12.计算（﹣1）2005﹣| 3 ﹣2|+（﹣ 13 ）﹣1﹣2sin60°的值为________．
【答案】﹣6
【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值
【解析】【解答】解：原式=﹣1﹣（2﹣ 3 ）﹣3﹣2× 32 =﹣1﹣2+ 3 ﹣3﹣ 3 =﹣6． 故答案为：﹣6． 【分析】-1的奇数次幂是它本身，负数的绝对值是它的相反数，一个数的-1次幂等于它的倒数，记住特殊锐角值，注意运算顺序。
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DC=5cm，则AB=________．
【答案】10cm
【考点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴AB=2CD=10cm， 故答案为：10cm． 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
14.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．
【答案】4
【考点】含30度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， 根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4. 故答案为：4. 【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求BB′的长。
15.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为________．
【答案】22
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】当4为底时，其它两边都为9， ∵9、9、4可以构成三角形， ∴三角形的周长为22； 当4为腰时，其它两边为9和4， ∵4+4=8<9， ∴不能构成三角形，故舍去. 故答案为：22. 【分析】分类讨论：当4为底时，其它两边都为9；当4为腰时，其它两边为9和4；然后根据三角形三边的关系判断能否构成三角形，若能利用三角形周长计算方法计算出结果。
16.如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是________?米．
【答案】26
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡比i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD， ∵i=AEBE=12.4 ， ∴BE=24米， ∴在Rt△ABE中，AB=AE2+BE2=26（米）． 故答案为：26． 【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
17.世纪中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，则建筑物C到公路AB的距离为________．
【答案】500（ 3 ﹣1）m
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于D． 设AD=x，则BD=50×20﹣x=1000﹣x． ∵∠EAC=60°， ∴∠CAB=90°﹣60°=30°． 在Rt△BCD中， ∵∠FBC=45°， ∴∠CBD=∠BCD=45°， ∴CD=DB=1000﹣x． 在Rt△ACD中， ∵∠CAB=30°， ∴CD=tan30°?AD， 即DB=CD=tan30°?AD=1000﹣x= 33 x， 解得：x=500（3﹣ 3 3 ）， 故CD=500（3﹣ 3 ）× 33 =500（ 3 ﹣1）m． 故答案为：500（ 3 ﹣1）m． 【分析】作CD⊥AB于D，构造出Rt△ACD与Rt△BCD，求出AB的长度．根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系，利用特殊角的三角函数值求解．
18.在扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，OA=4，将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，则 BE 的长度为________．
【答案】2π3
【考点】含30度角的直角三角形，弧长的计算
【解析】【解答】连接OE，
∵将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，
∴OD＝ 12 OA＝OE，∠EDO＝90°，
∴∠DEO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EOB＝30°，
∴弧BE的长度＝ 30?π×4180 ＝ 23π ．
故答案为： 23π
【分析】在直角三角形中30°对应的边是斜边的一半，所以∠DEO=30°，得出∠EOB=30°，通过弧长公式=nπr÷180。
19.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为________．
【答案】2或3或 135
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理
【解析】【解答】解：当AM=AC时，如图1所示． ∵AB=4，AC=2， ∴BE=AB﹣AE=4﹣2=2； 当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，如图2所示． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2， ∴BC= AB2?AC2 =2 3 ，∠B=30°． ∵D是BC的中点， ∴BD=CD=DM= 3 ． 在Rt△BDE中，BD= 3 ，∠B=30°，∠BED=90°， ∴DE= 12 BD= 32 ，BE= BD2?DE2 = 32 ． ∵DB=DM，DE⊥BM， ∴BM=2BE=3； 当MD=MA时，如图3所示． ∵BE= 32 ，AB=4， ∴AE= 52 ． 设EM=x，则AM= 52 ﹣x． 在Rt△DEM中，DE= 32 ，∠DEM=90°，EM=x， ∴DM2=DE2+EM2= 34 +x2 ． ∵MD=MA， ∴ 34 +x2=（ 52 ﹣x）2 ， 解得：x= 1110 ， ∴BM=BE+EM= 32 + 1110 = 135 ． 综上所述：当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或 135 ． 故答案为：2或3或 135 ． 【分析】分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况考虑，当AM=AC时，由AC、AB的长度即可得出BM的长度；当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，通过解直角三角形可得出BE的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出BM的长度；当MD=MA时，设EM=x，则AM= 52 ﹣x，利用勾股定理表示出DM2的值，结合MD=MA即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出BM的长度．综上即可得出结论．
20.如图，如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1= 23 ，则m的值是________．
【答案】2
【考点】坐标与图形性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：作AB⊥x轴于点B． ∵A的坐标是（3，m）， ∴OB=3，AB=m． 又∵tan∠1= ABOB = 23 ，即 m3 = 23 ， ∴m=2． 故答案是：2． 【分析】本题考查了正切的定义以及平面直角坐标系，作AB⊥x轴于点B，根据正切函数的定义即可求出所求结论．
21.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．
【答案】4
【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE， ∵∠DAE=∠ADE=15°， ∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°， ∴∠DEG=15°×2=30°， ∴ED=AE=8， ∴在Rt△DEG中，DG= 12 DE=4， ∴DF=DG=4． 故答案为：4． 【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
三、解答题（共8题；共58分）
22.计算：|2?﹣2|+2cos45°+（π﹣3.14）0﹣（﹣1）2015 ．
【答案】解：原式=2﹣2?+2+1+1 =4．
【考点】实数的运算
【解析】【分析】分别进行绝对值的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后合并．
23.图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m .当起重臂 AC 长度为 9m ，张角 ∠HAC 为 118° 时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据： sin28°≈0.47 ， cos28°≈0.88 ， tan28°≈0.53 ）.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
【答案】如图，过点C作CE⊥DH交于点E，过点A作AF⊥CE交于点F， 又∵AH⊥BD， ∴四边形AFEH是矩形， ∴∠HAF=90°，EF=AH=3.4m， ∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°， 在Rt△ACF中，∵AC=9m，∠CAF=28°， ∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23（m）， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）. 答：操作平台 C 离地面的高度为7.6m．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】求C离地面BD的高度，则需要作CE⊥BD，即求CE；过A作AF⊥CE，则CE=CF+EF，易得EF=AH，再由解直角三角形在Rt△ACF中，求出CF即可．
24.如图，某河大堤上有一棵树ED，ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿着坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，求树ED的高度．（精确到1米）
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，5=2.236）
?
【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，
∵坡度为1：2，
∴CG：AG=1：2，
∴AG：AC=2：5，
∵AC=20米，
∴AG=85米，CG=45米，
设CD=x米，
∵∠ECD=76°，
∴ED=CD?tan76°=4.01x（米），
∵ED⊥CD，CD∥AB，
∴点E，D，F共线，
∵∠EAF=45°，
∴tan∠EAF=tan45°=EFAF=1，
∴4.01x+4585+x=1，
∴x≈2.99米，
∴ED=4.01×2.99≈12（米）．
答：树ED的高度是12米．
?
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，根据坡度比求出AG和CG，设CD=x米，再根据正切值表示出ED，根据∠EAF=45°，求出x的值，再把x的值代入即可得出答案．
25.如图所示，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′．如果A、B两地同时开工，那么在B地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？
【答案】解：在B地按北偏东68°28′施工，就能使公路在山腹中准确接通． ∵指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线， ∴这样就构成了一对同旁内角， ∴∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补）， ∴可得在B地按北偏东180°﹣111°32′=68°28′施工
【考点】平行线的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据方位角的概念，和平行线的性质求解．
26.（2015?青岛）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数） （参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710）
【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x， 由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°， 在Rt△ADB中，∠ABD=45°， ∴DB=x， 在Rt△ADC中，∠ACD=35°， ∴tan∠ACD=ADCD， ∴xx+100=710， 解得，x≈233m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可． 【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题.
27.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【答案】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米， ∵∠DBE=32°， ∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米， ∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）． 答：旗杆CD的高度约13.9米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意得AC=20米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．
28.如图1，已知 O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F ， OD 到点 E ，使 OF=2OA ， OE=2OD ，连结 EF ，将△ FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 角得到△ F'OE' （如图2）．连结 AE' 、 BF' ． （Ⅰ）探究 AE' 与 BF' 的数量关系，并给予证明； （Ⅱ）当 α=30° ， AB=2 时，求： ① ∠AE'O 的度数； ② BF' 的长度．
【答案】解：如图: （Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB， 又∵OF=2OA，OE=2OD， ∴OE=OF，则OE′=OF′， 在△AOE′和△BOF′中， {OE'=OF'∠AOE'=∠BOF'OA=OB ∴△AOE′≌△BOF′ ∴AE′=BF′； （Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′． ∵正方形ABCD中，∠AOD=90°， ∴∠AOE′=90°﹣30°=60°， ∴△OME′是等边三角形， 又∵AM=OA， ∴AE′⊥OM， 则∠E′AO=90°， ∴∠AOE′=90°﹣α=60°， ∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°； ②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°， ∴∠AOF′=30°， 又∵∠AOB=90°， ∴∠BOF′=60°， 又∵等腰直角△AOB中，OB= 22 AB= 2 ， ∴在Rt△ABE'中得到AE'= 3 OA= 6 ， 又BF'=AE' ∴BF′= 6 ．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（Ⅰ）由正方形的性质可证明△AOE′≌△BOF′，进而得出结论； （Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．由正方形的性质和已知可得△OME′是等边三角形，进而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度数； ②先求出∠BOF′=60°，在等腰直角△AOB中利用三角函数可求出OB的长，在Rt△ABE'中利用三角函数可求出AE′的长，从而可得BF′的长.
29.如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
（1）探索发现? 当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
（2）延伸拓展? 当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
（3）应用推广? 如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
【答案】（1）解：PB⊥AK，PB=PK+AK； 理由：如图2中， ∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC， 又∠ABK=∠CBK=45°， 在△BKA和△BKC中， {BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK ∴△ABK≌△CBK， ∴∠2=∠3且AK=CK， ∴∠PBC=∠3． 又∠PBC+∠4=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即PB⊥AK． ∴PB=PC=PK+CK=PK+AK． （2）以上两个结论仍然成立， 理由如下：如图1中， ∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC， 又∠ABK=∠CBK=45°， 在△BKA和△BKC中， {BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK ∴△ABK≌△CBK， ∴∠2=∠3且AK=CK， ∴∠PBC=∠3． 又∠PBC+∠4=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即PB⊥AK． ∴PB=PC=PK+CK=PK+AK． （3）如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD． ∵FD∥BD， ∴△FDK∽△CBK． 又DK：BK=1：3， ∴FD：BC=1：3． ∵FD：AD=1：3， ∴BC=AD． ∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD， ∴四边形ABCD为正方形． ∵PB=PK+AK， 即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF， ∴BE=FK+AK． 在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3， ∴BE= AE2+AB2 = 10 ． ∵AG⊥BE（上一问结论）， ∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比为1：3， 设EG=t，AG=3t，BG=9t， ∴BE=10t= 10 ， ∴ t=1010 ． ∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）﹣AG+EG =EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= 1+4510 ． 过点K作AD垂线，垂足为H， ∵HK∥AB且DK：DB=1：4， ∴KH= 14 AB= 34 ， ∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= 12 ?AF?KH﹣ 12 ?AG?EG= 12 ?2? 34 ﹣ 12 ?3t?t= 35 ．
【考点】全等三角形的应用，相似三角形的应用
【解析】【分析】●探索发现? PB⊥AK，PB=PK+AK，只要证明∠3=∠4=90°即可证明PB⊥AK，由△ABK≌△CBK，结合PB=PC即可解决问题． ●延伸拓展? 以上两个结论仍然成立，证明方法类似上面． ●应用推广? 如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD，利用上面结论结合条件即可解决问题．
【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第24章 解直角三角形 单元测试卷
一、单选题（共10题；共29分）
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（?? ）
A.?34??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?35??????????????????????????????????????????D.?45
2.如图，在 RtΔABC 中， ∠C=90° ， AB=10 ， AC=8 ，则 sinA 等于（?? ）
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
3.若点B在点A的北偏东30度，则点A在点B的（ ）
A.?南偏西30度???????????????????????B.?北偏东60度???????????????????????C.?南偏西60度???????????????????????D.?西南方向
4.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（???）
A.?12???????????????????????????????????????B.?22???????????????????????????????????????C.?32???????????????????????????????????????D.?33
5.如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 AB 上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（?? ）
A.?（sinα，sinα）????????????B.?（cosα，cosα）????????????C.?（cosα，sinα）????????????D.?（sinα，cosα）
6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 1.7 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=310 ， 则点D到地面的距离CD是（? ??）
A.?2.7米???????????????????????????????????B.?3.0米???????????????????????????????????C.?3.2米???????????????????????????????????D.?3.4米
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，cos∠BCD=23，BD=1，则边AB的长度是（??）
A.?910?????????????????????????????????????????B.?109?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?95
8.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°,∠A＝30°, E为AB上一点，且AE︰EB＝4︰1，EF⊥AC于F ， 连结FB ， 则tan∠CFB的值等于（ ）
A.?33?????????????????????????????????????B.?233?????????????????????????????????????C.?533?????????????????????????????????????D.?53
9.（2017?绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（?? ）
A.?10m??????????????????????????????????B.?12m??????????????????????????????????C.?12.4m??????????????????????????????????D.?12.32m
10.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF ， 上述结论中正确的个数是（ ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（共11题；共33分）
11.计算3tan30°tan45°=________?
12.计算（﹣1）2005﹣| 3 ﹣2|+（﹣ 13 ）﹣1﹣2sin60°的值为________．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DC=5cm，则AB=________．
14.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．
15.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为________．
16.如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是________?米．
17.世纪中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，则建筑物C到公路AB的距离为________．
18.在扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，OA=4，将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，则 BE 的长度为________．
19.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为________．
20.如图，如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1= 23 ，则m的值是________．
21.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．
三、解答题（共8题；共58分）
22.计算：|2?﹣2|+2cos45°+（π﹣3.14）0﹣（﹣1）2015 ．
23.图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m .当起重臂 AC 长度为 9m ，张角 ∠HAC 为 118° 时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据： sin28°≈0.47 ， cos28°≈0.88 ， tan28°≈0.53 ）.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
24.如图，某河大堤上有一棵树ED，ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿着坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，求树ED的高度．（精确到1米）
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，5=2.236）
?
25.如图所示，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′．如果A、B两地同时开工，那么在B地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？
26.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数） （参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710）
27.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
28.如图1，已知 O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F ， OD 到点 E ，使 OF=2OA ， OE=2OD ，连结 EF ，将△ FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 角得到△ F'OE' （如图2）．连结 AE' 、 BF' ． （Ⅰ）探究 AE' 与 BF' 的数量关系，并给予证明； （Ⅱ）当 α=30° ， AB=2 时，求： ① ∠AE'O 的度数； ② BF' 的长度．
29.如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
（1）探索发现? 当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
（2）延伸拓展? 当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
（3）应用推广? 如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】1
12.【答案】﹣6
13.【答案】10cm
14.【答案】4
15.【答案】22
16.【答案】26
17.【答案】500（ 3 ﹣1）m
18.【答案】2π3
19.【答案】2或3或 135
20.【答案】2
21.【答案】4
三、解答题
22.【答案】解：原式=2﹣2?+2+1+1 =4．
23.【答案】如图，过点C作CE⊥DH交于点E，过点A作AF⊥CE交于点F， 又∵AH⊥BD， ∴四边形AFEH是矩形， ∴∠HAF=90°，EF=AH=3.4m， ∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°， 在Rt△ACF中，∵AC=9m，∠CAF=28°， ∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23（m）， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）. 答：操作平台 C 离地面的高度为7.6m．
24.【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，
∵坡度为1：2，
∴CG：AG=1：2，
∴AG：AC=2：5，
∵AC=20米，
∴AG=85米，CG=45米，
设CD=x米，
∵∠ECD=76°，
∴ED=CD?tan76°=4.01x（米），
∵ED⊥CD，CD∥AB，
∴点E，D，F共线，
∵∠EAF=45°，
∴tan∠EAF=tan45°=EFAF=1，
∴4.01x+4585+x=1，
∴x≈2.99米，
∴ED=4.01×2.99≈12（米）．
答：树ED的高度是12米．
?
25.【答案】解：在B地按北偏东68°28′施工，就能使公路在山腹中准确接通． ∵指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线， ∴这样就构成了一对同旁内角， ∴∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补）， ∴可得在B地按北偏东180°﹣111°32′=68°28′施工
26.【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x， 由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°， 在Rt△ADB中，∠ABD=45°， ∴DB=x， 在Rt△ADC中，∠ACD=35°， ∴tan∠ACD=ADCD， ∴xx+100=710， 解得，x≈233m．
27.【答案】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米， ∵∠DBE=32°， ∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米， ∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）． 答：旗杆CD的高度约13.9米．
28.【答案】解：如图: （Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB， 又∵OF=2OA，OE=2OD， ∴OE=OF，则OE′=OF′， 在△AOE′和△BOF′中， {OE'=OF'∠AOE'=∠BOF'OA=OB ∴△AOE′≌△BOF′ ∴AE′=BF′； （Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′． ∵正方形ABCD中，∠AOD=90°， ∴∠AOE′=90°﹣30°=60°， ∴△OME′是等边三角形， 又∵AM=OA， ∴AE′⊥OM， 则∠E′AO=90°， ∴∠AOE′=90°﹣α=60°， ∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°； ②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°， ∴∠AOF′=30°， 又∵∠AOB=90°， ∴∠BOF′=60°， 又∵等腰直角△AOB中，OB= 22 AB= 2 ， ∴在Rt△ABE'中得到AE'= 3 OA= 6 ， 又BF'=AE' ∴BF′= 6 ．
29.【答案】（1）解：PB⊥AK，PB=PK+AK； 理由：如图2中， ∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC， 又∠ABK=∠CBK=45°， 在△BKA和△BKC中， {BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK ∴△ABK≌△CBK， ∴∠2=∠3且AK=CK， ∴∠PBC=∠3． 又∠PBC+∠4=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即PB⊥AK． ∴PB=PC=PK+CK=PK+AK． （2）以上两个结论仍然成立， 理由如下：如图1中， ∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC， 又∠ABK=∠CBK=45°， 在△BKA和△BKC中， {BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK ∴△ABK≌△CBK， ∴∠2=∠3且AK=CK， ∴∠PBC=∠3． 又∠PBC+∠4=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即PB⊥AK． ∴PB=PC=PK+CK=PK+AK． （3）如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD． ∵FD∥BD， ∴△FDK∽△CBK． 又DK：BK=1：3， ∴FD：BC=1：3． ∵FD：AD=1：3， ∴BC=AD． ∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD， ∴四边形ABCD为正方形． ∵PB=PK+AK， 即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF， ∴BE=FK+AK． 在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3， ∴BE= AE2+AB2 = 10 ． ∵AG⊥BE（上一问结论）， ∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比为1：3， 设EG=t，AG=3t，BG=9t， ∴BE=10t= 10 ， ∴ t=1010 ． ∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）﹣AG+EG =EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= 1+4510 ． 过点K作AD垂线，垂足为H， ∵HK∥AB且DK：DB=1：4， ∴KH= 14 AB= 34 ， ∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= 12 ?AF?KH﹣ 12 ?AG?EG= 12 ?2? 34 ﹣ 12 ?3t?t= 35 ．
