【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第24章 解直角三角形 单元测试卷
一、单选题(共10题;共29分)
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则cosα的值是(?? )
A.?34??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?35??????????????????????????????????????????D.?45
【答案】D
【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义
【解析】【分析】如图所示: ∵AC=3,BC=4,∴AB=5,∴cosα=BCAB=45.故选:D.
2.如图,在 RtΔABC 中, ∠C=90° , AB=10 , AC=8 ,则 sinA 等于(?? )
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:在Rt△ABC中,∵AB=10、AC=8,∴BC= AB2?AC2=102?82=6 ,∴sinA= BCAB=610=35 .故答案为:A.【分析】首先根据勾股定理算出BC的长,再根据正弦函数的定义即可得出答案。
3.若点B在点A的北偏东30度,则点A在点B的( )
A.?南偏西30度???????????????????????B.?北偏东60度???????????????????????C.?南偏西60度???????????????????????D.?西南方向
【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解:如图,则点A在点B的南偏西30度.故选A. 【分析】此题是对方向角的考查,若点B在点A的北偏东30度,要求点A在点B的方向,则以点B为原点建立直角坐标系即可求解.
4.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为(???)
A.?12???????????????????????????????????????B.?22???????????????????????????????????????C.?32???????????????????????????????????????D.?33
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据格点的特征可得∠B=45°,再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.由图可得cosB=cos45°=22,故选B.【点评】本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值,即可完成.
5.如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是 AB 上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是(?? )
A.?(sinα,sinα)????????????B.?(cosα,cosα)????????????C.?(cosα,sinα)????????????D.?(sinα,cosα)
【答案】C
【考点】坐标与图形性质,解直角三角形
【解析】【解答】过P作PQ⊥OB,交OB于点Q, 在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα= PQOP ,cosα= OQOP ,即PQ=sinα,OQ=cosα,则P的坐标为(cosα,sinα),故答案为:C.【分析】过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,然后依据锐角三角函数的定义可求得OQ、PQ的长,从而可得到点P的坐标.
6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米,眼睛与地面的距离AB= 1.7 米,视线AD与水平线的夹角为∠α,已知tanα=310 , 则点D到地面的距离CD是(? ??)
A.?2.7米???????????????????????????????????B.?3.0米???????????????????????????????????C.?3.2米???????????????????????????????????D.?3.4米
【答案】C
【考点】矩形的判定与性质,解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解:根据题意可知,四边形AECB是矩形∴CE=AB=1.7,AE=BC=5,∠DEA=90°∴tan∠α=DEAE=310∴DE5=310解之:DE=1.5∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2故答案为:C
【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形,从而可求出CE、AE的长,再利用解直角三角形求出DE的长,然后根据DC=DE+CE,可求得结果。
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,cos∠BCD=23,BD=1,则边AB的长度是(??)
A.?910?????????????????????????????????????????B.?109?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?95
【答案】D
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】在直角三角形中解题,根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理求出三角形的边长。【解答】∵cos∠BCD=23,则设CD=2x,BC=3x,根据勾股定理得,12+(2x)2=(3x)2, ∴x=55.由于∠BCD=∠BAC,所以设AC=2y,AB=3y,根据勾股定理得,(3y)2-(2y)2=(3×55)2,可得y=35。所以AB=35×3=95.故选D.【点评】图中的三个三角形两两相似,于是∠CAD的余弦就是∠BCD的余弦,据此结合根据勾股定理解答。
8.如图,在RtΔABC中,∠C=90°,∠A=30°, E为AB上一点,且AE︰EB=4︰1,EF⊥AC于F , 连结FB , 则tan∠CFB的值等于( )
A.?33?????????????????????????????????????B.?233?????????????????????????????????????C.?533?????????????????????????????????????D.?53
【答案】C
【考点】相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义
【解析】【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中,BC与CF的比值,设BC=x,则BC与CF就可以用x表示出来.就可以求解.
【解答】根据题意:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∵EF⊥AC,∴EF∥BC,∴CFAC=BEAB∵AE:EB=4:1,∴ABEB=5,∴AFAC=45,设AB=2x,则BC=x,AC=3x.∴在Rt△CFB中有CF=35x,BC=x.则tan∠CFB=BCCF=535.故选:C.
【点评】本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对比斜;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.
9.(2017?绵阳)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于(?? )
A.?10m??????????????????????????????????B.?12m??????????????????????????????????C.?12.4m??????????????????????????????????D.?12.32m
【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:由题意可得:AB=1.5m,BC=0.4m,DC=4m, △ABC∽△EDC,则 ABED = BCDC ,即 1.5DE = 0.54 ,解得:DE=12,故选:B.【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC,进而利用相似三角形的性质得出答案.
10.如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下列结论:①tan∠ADB=2;②图中有4对全等三角形;③若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;④BD=BF;⑤S四边形DFOE=S△AOF , 上述结论中正确的个数是( )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【考点】勾股定理,翻折变换(折叠问题),锐角三角函数的定义
【解析】
【分析】根据折叠的知识,锐角正切值的定义,全等三角形的判定,面积的计算判断所给选项是否正确即可.
【解答】①由折叠可得BD=DE,而DC>DE,∴DC>BD,∴tan∠ADB≠2,故①错误;②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF,△ABD≌△AED,△FBD≌△FED,(由折叠可知)∵OB⊥AC,∴∠AOB=∠COB=90°,在Rt△AOB和Rt△COB中,
AB=CB
BO=BO
∴Rt△AOB≌Rt△COB(HL),则全等三角形共有4对,故②正确;③∵AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,∴∠ABO=∠CBO=45°,∠FBD=∠DEF,∴∠AEF=∠DEF=45°,∴将△DEF沿EF折叠,可得点D一定在AC上,故③错误;④∵OB⊥AC,且AB=CB,∴BO为∠ABC的平分线,即∠ABO=∠OBC=45°,由折叠可知,AD是∠BAC的平分线,即∠BAF=22.5°,又∵∠BFD为三角形ABF的外角,∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°,易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠BFD=∠BDF,∴BD=BF,故④正确.⑤连接CF,∵△AOF和△COF等底同高,∴S△AOF=S△COF , ∵∠AEF=∠ACD=45°,∴EF∥CD,∴S△EFD=S△EFC , ∴S四边形DFOE=S△COF , ∴S四边形DFOE=S△AOF , 故⑤正确;正确的有3个,故选:C.
【点评】综合考查了有折叠得到的相关问题;注意由对称也可得到一对三角形全等;用到的知识点为:三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分;两条平行线间的距离相等
二、填空题(共11题;共33分)
11.计算3tan30°tan45°=________?
【答案】1
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:原式=3×33?×1=1,故答案为:1.【分析】根据特殊角三角函数值,可得实数的运算,根据实数的运算,可得答案.
12.计算(﹣1)2005﹣| 3 ﹣2|+(﹣ 13 )﹣1﹣2sin60°的值为________.
【答案】﹣6
【考点】实数的运算,负整数指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值,实数的绝对值
【解析】【解答】解:原式=﹣1﹣(2﹣ 3 )﹣3﹣2× 32=﹣1﹣2+ 3 ﹣3﹣ 3=﹣6.故答案为:﹣6.【分析】-1的奇数次幂是它本身,负数的绝对值是它的相反数,一个数的-1次幂等于它的倒数,记住特殊锐角值,注意运算顺序。
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,且DC=5cm,则AB=________.
【答案】10cm
【考点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵∠ACB=90°,点D是AB的中点, ∴AB=2CD=10cm,故答案为:10cm.【分析】根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
14.如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,则BB′的长为________.
【答案】4
【考点】含30度角的直角三角形,中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=1,∴AB=2AC=2,根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4.故答案为:4.【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长,然后再利用中心对称的性质求BB′的长。
15.已知等腰三角形的其中两边长分别为4,9,则这个等腰三角形的周长为________.
【答案】22
【考点】三角形三边关系,等腰三角形的性质
【解析】【解答】当4为底时,其它两边都为9,∵9、9、4可以构成三角形,∴三角形的周长为22;当4为腰时,其它两边为9和4,∵4+4=8<9,∴不能构成三角形,故舍去.故答案为:22.【分析】分类讨论:当4为底时,其它两边都为9;当4为腰时,其它两边为9和4;然后根据三角形三边的关系判断能否构成三角形,若能利用三角形周长计算方法计算出结果。
16.如图所示,一皮带轮的坡比是1:2.4,如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台,那么该货物经过的路程是________?米.
【答案】26
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解:如图,由题意得:斜坡AB的坡比i=1:2.4,AE=10米,AE⊥BD,∵i=AEBE=12.4 , ∴BE=24米,∴在Rt△ABE中,AB=AE2+BE2=26(米).故答案为:26. 【分析】首先根据题意画出图形,根据坡度的定义,由勾股定理即可求得答案.
17.世纪中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走,在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上,20min后他走到B处,测得建筑物C在北偏西45°方向上,则建筑物C到公路AB的距离为________.
【答案】500( 3 ﹣1)m
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解:作CD⊥AB于D. 设AD=x,则BD=50×20﹣x=1000﹣x.∵∠EAC=60°,∴∠CAB=90°﹣60°=30°.在Rt△BCD中,∵∠FBC=45°,∴∠CBD=∠BCD=45°,∴CD=DB=1000﹣x.在Rt△ACD中,∵∠CAB=30°,∴CD=tan30°?AD,即DB=CD=tan30°?AD=1000﹣x= 33 x,解得:x=500(3﹣ 3 3 ),故CD=500(3﹣ 3 )× 33 =500( 3 ﹣1)m.故答案为:500( 3 ﹣1)m. 【分析】作CD⊥AB于D,构造出Rt△ACD与Rt△BCD,求出AB的长度.根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系,利用特殊角的三角函数值求解.
18.在扇形纸片AOB中,∠AOB=90°,OA=4,将扇形纸片AOB按如图所示折叠,使对折后点A与点O重合,折痕为DE,则 BE 的长度为________.
【答案】2π3
【考点】含30度角的直角三角形,弧长的计算
【解析】【解答】连接OE,
∵将扇形纸片AOB按如图所示折叠,使对折后点A与点O重合,折痕为DE,
∴OD= 12 OA=OE,∠EDO=90°,
∴∠DEO=30°,
∴∠DOE=60°,
∵∠AOB=90°,
∴∠EOB=30°,
∴弧BE的长度= 30?π×4180 = 23π .
故答案为: 23π
【分析】在直角三角形中30°对应的边是斜边的一半,所以∠DEO=30°,得出∠EOB=30°,通过弧长公式=nπr÷180。
19.我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,D是BC的中点,点M是AB边上一点,当四边形ACDM是“等邻边四边形”时,BM的长为________.
【答案】2或3或 135
【考点】含30度角的直角三角形,勾股定理
【解析】【解答】解:当AM=AC时,如图1所示. ∵AB=4,AC=2,∴BE=AB﹣AE=4﹣2=2;当DM=DC时,过点D作DE⊥AB于E,如图2所示.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,∴BC= AB2?AC2 =2 3 ,∠B=30°.∵D是BC的中点,∴BD=CD=DM= 3 .在Rt△BDE中,BD= 3 ,∠B=30°,∠BED=90°,∴DE= 12 BD= 32 ,BE= BD2?DE2 = 32 .∵DB=DM,DE⊥BM,∴BM=2BE=3;当MD=MA时,如图3所示.∵BE= 32 ,AB=4,∴AE= 52 .设EM=x,则AM= 52 ﹣x.在Rt△DEM中,DE= 32 ,∠DEM=90°,EM=x,∴DM2=DE2+EM2= 34 +x2 . ∵MD=MA,∴ 34 +x2=( 52 ﹣x)2 , 解得:x= 1110 ,∴BM=BE+EM= 32 + 1110 = 135 .综上所述:当四边形ACDM是“等邻边四边形”时,BM的长为2或3或 135 .故答案为:2或3或 135 . 【分析】分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况考虑,当AM=AC时,由AC、AB的长度即可得出BM的长度;当DM=DC时,过点D作DE⊥AB于E,通过解直角三角形可得出BE的长度,再根据等腰三角形的三线合一即可得出BM的长度;当MD=MA时,设EM=x,则AM= 52 ﹣x,利用勾股定理表示出DM2的值,结合MD=MA即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,进而即可得出BM的长度.综上即可得出结论.
20.如图,如图,点A(3,m)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为∠1,tan∠1= 23 ,则m的值是________.
【答案】2
【考点】坐标与图形性质,解直角三角形
【解析】【解答】解:作AB⊥x轴于点B. ∵A的坐标是(3,m),∴OB=3,AB=m.又∵tan∠1= ABOB = 23 ,即 m3 = 23 ,∴m=2.故答案是:2.【分析】本题考查了正切的定义以及平面直角坐标系,作AB⊥x轴于点B,根据正切函数的定义即可求出所求结论.
21.如图:∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若AE=8,则DF等于________.
【答案】4
【考点】角平分线的性质,含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解:作DG⊥AC,垂足为G. ∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠DAE=∠ADE=15°,∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°,∴∠DEG=15°×2=30°,∴ED=AE=8,∴在Rt△DEG中,DG= 12 DE=4,∴DF=DG=4.故答案为:4. 【分析】作DG⊥AC,根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE,再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD,求出∠DEG=15°×2=30°,再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长,然后根据角平分线的性质求出DF.
三、解答题(共8题;共58分)
22.计算:|2?﹣2|+2cos45°+(π﹣3.14)0﹣(﹣1)2015 .
【答案】解:原式=2﹣2?+2+1+1=4.
【考点】实数的运算
【解析】【分析】分别进行绝对值的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算,然后合并.
23.图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图, AC 是可以伸缩的起重臂,其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m .当起重臂 AC 长度为 9m ,张角 ∠HAC 为 118° 时,求操作平台 C 离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据: sin28°≈0.47 , cos28°≈0.88 , tan28°≈0.53 ).????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
【答案】如图,过点C作CE⊥DH交于点E,过点A作AF⊥CE交于点F,又∵AH⊥BD,∴四边形AFEH是矩形,∴∠HAF=90°,EF=AH=3.4m,∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°,在Rt△ACF中,∵AC=9m,∠CAF=28°,∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23(m),∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m).答:操作平台 C 离地面的高度为7.6m.
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】求C离地面BD的高度,则需要作CE⊥BD,即求CE;过A作AF⊥CE,则CE=CF+EF,易得EF=AH,再由解直角三角形在Rt△ACF中,求出CF即可.
24.如图,某河大堤上有一棵树ED,ED⊥CD,并且CD与水平地面AB平行,小明在A处测得树顶E的仰角为45°,然后沿着坡度为1:2的斜坡AC攀行20米,在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°,求树ED的高度.(精确到1米)
(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°=0.24,tan76°≈4.01,5=2.236)
?
【答案】解:过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CG⊥AB于点G,
∵坡度为1:2,
∴CG:AG=1:2,
∴AG:AC=2:5,
∵AC=20米,
∴AG=85米,CG=45米,
设CD=x米,
∵∠ECD=76°,
∴ED=CD?tan76°=4.01x(米),
∵ED⊥CD,CD∥AB,
∴点E,D,F共线,
∵∠EAF=45°,
∴tan∠EAF=tan45°=EFAF=1,
∴4.01x+4585+x=1,
∴x≈2.99米,
∴ED=4.01×2.99≈12(米).
答:树ED的高度是12米.
?
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CG⊥AB于点G,根据坡度比求出AG和CG,设CD=x米,再根据正切值表示出ED,根据∠EAF=45°,求出x的值,再把x的值代入即可得出答案.
25.如图所示,A、B之间是一座山,一条高速公路要通过A、B两点,在A地测得公路走向是北偏西111°32′.如果A、B两地同时开工,那么在B地按北偏东多少度施工,才能使公路在山腹中准确接通?为什么?
【答案】解:在B地按北偏东68°28′施工,就能使公路在山腹中准确接通. ∵指北方向相互平行,A、B两地公路走向形成一条直线,∴这样就构成了一对同旁内角,∴∠A+∠B=180°,(两直线平行,同旁内角互补),∴可得在B地按北偏东180°﹣111°32′=68°28′施工
【考点】平行线的性质,解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据方位角的概念,和平行线的性质求解.
26.(2015?青岛)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin35°≈712,cos35°≈56,tan35°≈710)
【答案】解:作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x, 由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,在Rt△ADB中,∠ABD=45°,∴DB=x,在Rt△ADC中,∠ACD=35°,∴tan∠ACD=ADCD,∴xx+100=710,解得,x≈233m.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x,表示出DB和DC,根据正切的概念求出x的值即可.【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题,通过构造直角三角形利用三角函数解题.
27.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后,某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动,如图,在测点A处安置测倾器,量出高度AB=1.5m,测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°,量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m,根据测量数据,求旗杆CD的高度.(参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)
【答案】解:由题意得AC=20米,AB=1.5米,∵∠DBE=32°,∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米,∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9(米).答:旗杆CD的高度约13.9米.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意得AC=20米,AB=1.5米,过点B做BE⊥CD,交CD于点E,利用∠DBE=32°,得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度.
28.如图1,已知 O 为正方形 ABCD 的中心,分别延长 OA 到点 F , OD 到点 E ,使 OF=2OA , OE=2OD ,连结 EF ,将△ FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 角得到△ F'OE' (如图2).连结 AE' 、 BF' . (Ⅰ)探究 AE' 与 BF' 的数量关系,并给予证明;(Ⅱ)当 α=30° , AB=2 时,求:① ∠AE'O 的度数;② BF' 的长度.
【答案】解:如图: (Ⅰ)∵正方形ABCD中,OA=OD=OB,又∵OF=2OA,OE=2OD,∴OE=OF,则OE′=OF′,在△AOE′和△BOF′中,{OE'=OF'∠AOE'=∠BOF'OA=OB∴△AOE′≌△BOF′∴AE′=BF′;(Ⅱ)①延长OA到M,使AM=OA,则OM=OE′.∵正方形ABCD中,∠AOD=90°,∴∠AOE′=90°﹣30°=60°,∴△OME′是等边三角形,又∵AM=OA,∴AE′⊥OM,则∠E′AO=90°,∴∠AOE′=90°﹣α=60°,∴在直角△AOE′中,∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°;②∵∠AOE′=90°﹣α=60°,∠E′OF′=90°,∴∠AOF′=30°,又∵∠AOB=90°,∴∠BOF′=60°,又∵等腰直角△AOB中,OB= 22 AB= 2 ,∴在Rt△ABE'中得到AE'= 3 OA= 6 ,又BF'=AE'∴BF′= 6 .
【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(Ⅰ)由正方形的性质可证明△AOE′≌△BOF′,进而得出结论;(Ⅱ)①延长OA到M,使AM=OA,则OM=OE′.由正方形的性质和已知可得△OME′是等边三角形,进而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度数;②先求出∠BOF′=60°,在等腰直角△AOB中利用三角函数可求出OB的长,在Rt△ABE'中利用三角函数可求出AE′的长,从而可得BF′的长.
29.如图1,ABCD为正方形,直线MN分别过AD边与BC边的中点,点P为直线MN上任意一点,连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点,PC与BD交于点K,连接AK与PB交于点G.
(1)探索发现?当点P落在AD边上时,如图2,试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系(直接写出无需证明);
(2)延伸拓展?当点P落在正方形外,如图1,以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明,如果不成立请说明你的理由;
(3)应用推广?如图3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰长为3,M、N分别为AD边与BD边的中点,K为线段DN中点,F为AD边上靠近于D的三等分点.连接KF并延长与直线MN交于点P,连接PB分别与AD、AK交于点E、G.试求四边形EFKG的周长及面积.
【答案】(1)解:PB⊥AK,PB=PK+AK;理由:如图2中, ∵点P在MN上,根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC,又∠ABK=∠CBK=45°,在△BKA和△BKC中,{BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK∴△ABK≌△CBK,∴∠2=∠3且AK=CK,∴∠PBC=∠3.又∠PBC+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,即PB⊥AK.∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.(2)以上两个结论仍然成立,理由如下:如图1中, ∵点P在MN上,根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC,又∠ABK=∠CBK=45°,在△BKA和△BKC中,{BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK∴△ABK≌△CBK,∴∠2=∠3且AK=CK,∴∠PBC=∠3.又∠PBC+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,即PB⊥AK.∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.(3)如图3中,过点B作AD的平行线交PK延长线与点C,连接CD. ∵FD∥BD,∴△FDK∽△CBK.又DK:BK=1:3,∴FD:BC=1:3.∵FD:AD=1:3,∴BC=AD.∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD,∴四边形ABCD为正方形.∵PB=PK+AK,即(PE+BE)=(PF+FK)+AK,又PE=PF,∴BE=FK+AK.在Rt△EAB中,∵AE=1,AB=3,∴BE= AE2+AB2 = 10 .∵AG⊥BE(上一问结论),∵Rt△AGE∽Rt△BGA,且相似比为1:3,设EG=t,AG=3t,BG=9t,∴BE=10t= 10 ,∴ t=1010 .∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+(FK+AK)﹣AG+EG=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= 1+4510 .过点K作AD垂线,垂足为H,∵HK∥AB且DK:DB=1:4,∴KH= 14 AB= 34 ,∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= 12 ?AF?KH﹣ 12 ?AG?EG= 12 ?2? 34 ﹣ 12 ?3t?t= 35 .
【考点】全等三角形的应用,相似三角形的应用
【解析】【分析】●探索发现? PB⊥AK,PB=PK+AK,只要证明∠3=∠4=90°即可证明PB⊥AK,由△ABK≌△CBK,结合PB=PC即可解决问题.●延伸拓展? 以上两个结论仍然成立,证明方法类似上面.●应用推广? 如图3中,过点B作AD的平行线交PK延长线与点C,连接CD,利用上面结论结合条件即可解决问题.
【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第24章 解直角三角形 单元测试卷
一、单选题(共10题;共29分)
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则cosα的值是(?? )
A.?34??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?35??????????????????????????????????????????D.?45
2.如图,在 RtΔABC 中, ∠C=90° , AB=10 , AC=8 ,则 sinA 等于(?? )
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
3.若点B在点A的北偏东30度,则点A在点B的( )
A.?南偏西30度???????????????????????B.?北偏东60度???????????????????????C.?南偏西60度???????????????????????D.?西南方向
4.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为(???)
A.?12???????????????????????????????????????B.?22???????????????????????????????????????C.?32???????????????????????????????????????D.?33
5.如图,以原点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是 AB 上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是(?? )
A.?(sinα,sinα)????????????B.?(cosα,cosα)????????????C.?(cosα,sinα)????????????D.?(sinα,cosα)
6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米,眼睛与地面的距离AB= 1.7 米,视线AD与水平线的夹角为∠α,已知tanα=310 , 则点D到地面的距离CD是(? ??)
A.?2.7米???????????????????????????????????B.?3.0米???????????????????????????????????C.?3.2米???????????????????????????????????D.?3.4米
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,cos∠BCD=23,BD=1,则边AB的长度是(??)
A.?910?????????????????????????????????????????B.?109?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?95
8.如图,在RtΔABC中,∠C=90°,∠A=30°, E为AB上一点,且AE︰EB=4︰1,EF⊥AC于F , 连结FB , 则tan∠CFB的值等于( )
A.?33?????????????????????????????????????B.?233?????????????????????????????????????C.?533?????????????????????????????????????D.?53
9.(2017?绵阳)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于(?? )
A.?10m??????????????????????????????????B.?12m??????????????????????????????????C.?12.4m??????????????????????????????????D.?12.32m
10.如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下列结论:①tan∠ADB=2;②图中有4对全等三角形;③若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;④BD=BF;⑤S四边形DFOE=S△AOF , 上述结论中正确的个数是( )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题(共11题;共33分)
11.计算3tan30°tan45°=________?
12.计算(﹣1)2005﹣| 3 ﹣2|+(﹣ 13 )﹣1﹣2sin60°的值为________.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,且DC=5cm,则AB=________.
14.如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,则BB′的长为________.
15.已知等腰三角形的其中两边长分别为4,9,则这个等腰三角形的周长为________.
16.如图所示,一皮带轮的坡比是1:2.4,如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台,那么该货物经过的路程是________?米.
17.世纪中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走,在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上,20min后他走到B处,测得建筑物C在北偏西45°方向上,则建筑物C到公路AB的距离为________.
18.在扇形纸片AOB中,∠AOB=90°,OA=4,将扇形纸片AOB按如图所示折叠,使对折后点A与点O重合,折痕为DE,则 BE 的长度为________.
19.我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,D是BC的中点,点M是AB边上一点,当四边形ACDM是“等邻边四边形”时,BM的长为________.
20.如图,如图,点A(3,m)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为∠1,tan∠1= 23 ,则m的值是________.
21.如图:∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若AE=8,则DF等于________.
三、解答题(共8题;共58分)
22.计算:|2?﹣2|+2cos45°+(π﹣3.14)0﹣(﹣1)2015 .
23.图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图, AC 是可以伸缩的起重臂,其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m .当起重臂 AC 长度为 9m ,张角 ∠HAC 为 118° 时,求操作平台 C 离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据: sin28°≈0.47 , cos28°≈0.88 , tan28°≈0.53 ).????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
24.如图,某河大堤上有一棵树ED,ED⊥CD,并且CD与水平地面AB平行,小明在A处测得树顶E的仰角为45°,然后沿着坡度为1:2的斜坡AC攀行20米,在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°,求树ED的高度.(精确到1米)
(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°=0.24,tan76°≈4.01,5=2.236)
?
25.如图所示,A、B之间是一座山,一条高速公路要通过A、B两点,在A地测得公路走向是北偏西111°32′.如果A、B两地同时开工,那么在B地按北偏东多少度施工,才能使公路在山腹中准确接通?为什么?
26.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin35°≈712,cos35°≈56,tan35°≈710)
27.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后,某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动,如图,在测点A处安置测倾器,量出高度AB=1.5m,测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°,量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m,根据测量数据,求旗杆CD的高度.(参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)
28.如图1,已知 O 为正方形 ABCD 的中心,分别延长 OA 到点 F , OD 到点 E ,使 OF=2OA , OE=2OD ,连结 EF ,将△ FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 角得到△ F'OE' (如图2).连结 AE' 、 BF' . (Ⅰ)探究 AE' 与 BF' 的数量关系,并给予证明;(Ⅱ)当 α=30° , AB=2 时,求:① ∠AE'O 的度数;② BF' 的长度.
29.如图1,ABCD为正方形,直线MN分别过AD边与BC边的中点,点P为直线MN上任意一点,连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点,PC与BD交于点K,连接AK与PB交于点G.
(1)探索发现?当点P落在AD边上时,如图2,试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系(直接写出无需证明);
(2)延伸拓展?当点P落在正方形外,如图1,以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明,如果不成立请说明你的理由;
(3)应用推广?如图3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰长为3,M、N分别为AD边与BD边的中点,K为线段DN中点,F为AD边上靠近于D的三等分点.连接KF并延长与直线MN交于点P,连接PB分别与AD、AK交于点E、G.试求四边形EFKG的周长及面积.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】1
12.【答案】﹣6
13.【答案】10cm
14.【答案】4
15.【答案】22
16.【答案】26
17.【答案】500( 3 ﹣1)m
18.【答案】2π3
19.【答案】2或3或 135
20.【答案】2
21.【答案】4
三、解答题
22.【答案】解:原式=2﹣2?+2+1+1=4.
23.【答案】如图,过点C作CE⊥DH交于点E,过点A作AF⊥CE交于点F,又∵AH⊥BD,∴四边形AFEH是矩形,∴∠HAF=90°,EF=AH=3.4m,∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°,在Rt△ACF中,∵AC=9m,∠CAF=28°,∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23(m),∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m).答:操作平台 C 离地面的高度为7.6m.
24.【答案】解:过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CG⊥AB于点G,
∵坡度为1:2,
∴CG:AG=1:2,
∴AG:AC=2:5,
∵AC=20米,
∴AG=85米,CG=45米,
设CD=x米,
∵∠ECD=76°,
∴ED=CD?tan76°=4.01x(米),
∵ED⊥CD,CD∥AB,
∴点E,D,F共线,
∵∠EAF=45°,
∴tan∠EAF=tan45°=EFAF=1,
∴4.01x+4585+x=1,
∴x≈2.99米,
∴ED=4.01×2.99≈12(米).
答:树ED的高度是12米.
?
25.【答案】解:在B地按北偏东68°28′施工,就能使公路在山腹中准确接通. ∵指北方向相互平行,A、B两地公路走向形成一条直线,∴这样就构成了一对同旁内角,∴∠A+∠B=180°,(两直线平行,同旁内角互补),∴可得在B地按北偏东180°﹣111°32′=68°28′施工
26.【答案】解:作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x, 由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,在Rt△ADB中,∠ABD=45°,∴DB=x,在Rt△ADC中,∠ACD=35°,∴tan∠ACD=ADCD,∴xx+100=710,解得,x≈233m.
27.【答案】解:由题意得AC=20米,AB=1.5米,∵∠DBE=32°,∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米,∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9(米).答:旗杆CD的高度约13.9米.
28.【答案】解:如图: (Ⅰ)∵正方形ABCD中,OA=OD=OB,又∵OF=2OA,OE=2OD,∴OE=OF,则OE′=OF′,在△AOE′和△BOF′中,{OE'=OF'∠AOE'=∠BOF'OA=OB∴△AOE′≌△BOF′∴AE′=BF′;(Ⅱ)①延长OA到M,使AM=OA,则OM=OE′.∵正方形ABCD中,∠AOD=90°,∴∠AOE′=90°﹣30°=60°,∴△OME′是等边三角形,又∵AM=OA,∴AE′⊥OM,则∠E′AO=90°,∴∠AOE′=90°﹣α=60°,∴在直角△AOE′中,∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°;②∵∠AOE′=90°﹣α=60°,∠E′OF′=90°,∴∠AOF′=30°,又∵∠AOB=90°,∴∠BOF′=60°,又∵等腰直角△AOB中,OB= 22 AB= 2 ,∴在Rt△ABE'中得到AE'= 3 OA= 6 ,又BF'=AE'∴BF′= 6 .
29.【答案】(1)解:PB⊥AK,PB=PK+AK;理由:如图2中, ∵点P在MN上,根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC,又∠ABK=∠CBK=45°,在△BKA和△BKC中,{BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK∴△ABK≌△CBK,∴∠2=∠3且AK=CK,∴∠PBC=∠3.又∠PBC+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,即PB⊥AK.∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.(2)以上两个结论仍然成立,理由如下:如图1中, ∵点P在MN上,根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC,又∠ABK=∠CBK=45°,在△BKA和△BKC中,{BA=BC∠BKA=∠BKCBK=BK∴△ABK≌△CBK,∴∠2=∠3且AK=CK,∴∠PBC=∠3.又∠PBC+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,即PB⊥AK.∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.(3)如图3中,过点B作AD的平行线交PK延长线与点C,连接CD. ∵FD∥BD,∴△FDK∽△CBK.又DK:BK=1:3,∴FD:BC=1:3.∵FD:AD=1:3,∴BC=AD.∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD,∴四边形ABCD为正方形.∵PB=PK+AK,即(PE+BE)=(PF+FK)+AK,又PE=PF,∴BE=FK+AK.在Rt△EAB中,∵AE=1,AB=3,∴BE= AE2+AB2 = 10 .∵AG⊥BE(上一问结论),∵Rt△AGE∽Rt△BGA,且相似比为1:3,设EG=t,AG=3t,BG=9t,∴BE=10t= 10 ,∴ t=1010 .∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+(FK+AK)﹣AG+EG=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= 1+4510 .过点K作AD垂线,垂足为H,∵HK∥AB且DK:DB=1:4,∴KH= 14 AB= 34 ,∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= 12 ?AF?KH﹣ 12 ?AG?EG= 12 ?2? 34 ﹣ 12 ?3t?t= 35 .