【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第26章 解直角三角形 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于 35 ,则AB的长度是（??? ）
A.?3??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?203
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（ ??）
A.?45?????????????????????????????????????????B.?35?????????????????????????????????????????C.?43?????????????????????????????????????????D.?34 ?
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（?? ）
A.?7sin35°?????????????????????????????B.?7cos35°?????????????????????????????C.?7tan35°?????????????????????????????D.?7cos35°
4.若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ）
A.?12???????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?22???????????????????????????????????????D.?33
5.关于x的一元二次方程x2﹣4sinα?x+2=0有两个等根，则锐角α的度数是（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
6.若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ）
A.?13?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?33????????????????????????????????????????D.?32?
7.某舰艇以28海里/小时向东航行．在A处测得灯塔M在北偏东60°方向，半小时后到B处．又测得灯塔M在北偏东45°方向，此时灯塔与舰艇的距离MB是（ ）海里．
A.?7(3+1)???????????????????????????????B.?142???????????????????????????????C.?7(2+6)???????????????????????????????D.?14
8.如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是 （????） ?
A.??4+4cos40°米???????????????????B.?4+4sin40°米???????????????????C.?4＋4sin40° 米???????????????????D.?4cos40° 米
9.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（ ??）
A.?7米?????????????????????????????????????B.?11米?????????????????????????????????????C.?15米?????????????????????????????????????D.?17米
10.如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= KBLB ，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（?? ）
A.?①②③????????????????????????????????B.?②③④????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????D.?①②④
二、填空题（共10题；共33分）
11.计算： (π?3.14)0?23cos30°+(12)?2?|?3| =________．
12.已知在△ABC中，BC=6，AC=6 3 ，∠A=30°，则AB的长是________．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= 34 ，则BC的长是________．
14.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为________?
15.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5,CD=3，则tanC等于________?
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=43 ， 点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE=6，DB=20，则tan∠BCD的值是________．
17.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．
18.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
19.如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝________ 20.如图1，点D为直角三角形ABC的斜边AB上的中点，DE⊥AB交AC于E, 连EB、CD，线段CD与BF交于点F。若tanA= 12 ,则 CFDF =________。如图 2，点D为直角三角形ABC的斜边AB上的一点，DE⊥AB交AC于E, 连EB、CD；线段CD与BF交于点F。若 ADDB = 13 ，tanA= 12 ，则 CFDF =________。
三、解答题（共9题；共57分）
21.（2016?丹东）计算：4sin60°+|3﹣ 12 |﹣（ 12 ）﹣1+（π﹣2016）0 ．
22.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2 ． 求tanB的值．
23.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向.
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.
24.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？ 说明理由．（ 3 ≈1.732）
25.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB,CD 均垂直于地面，点 E 在线段 BD 上.在 C 点测得点 A 的仰角为 300 ，点 E 的俯角也为 300 ，测得 B,E 间的距离为10米，立柱 AB 高30米.求立柱 CD 的高（结果保留根号）.
26.某海船以 (23+2) 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
27.如图，小华在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 3 =1.732）
28.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E ， 此时的仰角为60°，求旗杆的高度 ．
29.如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=40m，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(精确到1m)． （参考数据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70；sin 70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
二、填空题
11.【答案】﹣1
12.【答案】12或6
13.【答案】6
14.【答案】12
15.【答案】43
16.【答案】83
17.【答案】30 3
18.【答案】10
19.【答案】32
20.【答案】65；4415
三、解答题
21.【答案】解：4sin60°+|3﹣ 12 |﹣（ 12 ）﹣1+（π﹣2016）0 =4× 32 +2 3 ﹣3﹣2+1 =2 3 +2 3 ﹣4 =4 3 ﹣4
22.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H， ∵S△ABC=27， ∴ 12×9×AH=27 ， ∴AH=6， ∵AB=10， ∴BH= AB2?AH2 = 102?62 =8， ∴tanB= AHBH = 68 = 34 ．
23.【答案】（1）相等，理由如下：由图易知，∠QPB＝60°，∠PQB＝60° ∴△BPQ是等边三角形， ∴BQ＝PQ. （2）由（1）得PQ＝BQ＝900m 在Rt△APQ中，AQ＝ PQcos∠AQP=90032=6003（m）， 又∵∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°， ∴在Rt△AQB中， AB＝ AQ2+BQ2 ＝ (6003)2+9002 ＝300 21 （m）. 答：A、B间的距离是300 21 m.
24.【答案】解：过A作AD⊥CF于D， 由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°， ∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD= ADAC ， 则AD=AC?sin∠ACD=250 3 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道． 答：消防车不需要改道行驶．
25.【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CF，BF=CD. 由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°， 设CD=x米，则AF=（30﹣x）米， 在Rt△AFC中，FC= ABtan∠ACF=3(30?x) ， 则BD=CF= 3(30?x) ， ∴ED= 3(30?x) -10， 在Rt△CDE中，ED= CDtan∠CED=3x ，则 3(30?x) -10= 3x ?， 解得，x=15﹣ 533 ，
答：立柱CD的高为（15﹣ 533 ）米．
26.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= 3BD .
设CD=x，则BD=x，AD= 3x .
所以 3x +x=5× (23+2) ，解得x=10.
所以BC= 102 .
此时灯塔B到C处的距离是 102 海里.
27.【答案】解：∵∠EDG=60°，∠EBG=30°， ∴∠DEB=30°， ∴DE=DB=30米， 在Rt△EDG中，sin∠EDG= EGED ， ∴EG=ED?sin∠EDG=15 3 ≈25.98， ∴EF=25.98+1.5≈27.5， 答：大楼EF的高度约为27.5米．
28.【答案】解：如图， ∵∠ADG=30°，AFG=60°， ∴∠DAF=30°， ∴AF=DF=10， 在Rt△FGA中， AG=AF?sin∠AFG=10× =5 ， ∴AB=1.5+5 ． 答：旗杆AB的高度为（1.5+5 ）米 ．
29.【答案】解：过点C作CF∥DA交AB于点F． ∵MN∥PQ，CF∥DA， ∴四边形AFCD是平行四边形． ∴AF=CD=40m，∠CFB=35°． ∴FB=AB﹣AF=100﹣40=60m． 根据三角形外角性质可知，∠CBN=∠CFB+∠BCF， ∴∠BCF=70°﹣35°=35°=∠CFB， ∴BC=BF=60m． 在Rt△BEC中， sin70°=CEBC， ∴CE=BC?sin70°≈60×0.94=56.4≈56m． 答：河流的宽是56米．
【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第26章 解直角三角形 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于 35 ,则AB的长度是（??? ）
A.?3??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????????D.?203
【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】Rt△ABC中，∠C=90°，∴cosA= ACAB ， ∵AC=4，cosA= 35 ，∴ 4AB=35 ，∴AB= 203 ， 故答案为：D. 【分析】根据余弦函数的定义，由cosA=ACAB，即可建立方程，求解得出AB的长。
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（ ??）
A.?45?????????????????????????????????????????B.?35?????????????????????????????????????????C.?43?????????????????????????????????????????D.?34 ?
【答案】D
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作DE⊥BC于E， 由直角三角形的性质，得 AB=2CD=2BD=10． 由勾股定理，得 BC=8， 由等腰三角形的性质，得 CE= 12 BC=4， 由勾股定理，得 DE= CD2?CE2 =3， tan∠DCB= DECE = 34 ． 故答案为：D． 【分析】作DE⊥BC于E，由直角三角形和等腰三角形的性质可求AB和CE的长，再根据锐角三角函数的定义可求tan∠DCB的值。
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（?? ）
A.?7sin35°?????????????????????????????B.?7cos35°?????????????????????????????C.?7tan35°?????????????????????????????D.?7cos35°
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，cosB= BCAB ，
∴BC=AB?cosB=7cos35°，
故答案为：B．
【分析】余弦的定义：角的余弦=角的邻边÷角的斜边.
4.若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ）
A.?12???????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?22???????????????????????????????????????D.?33
【答案】A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】
【分析】先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．
【解答】∠α=90°-30°=60°， cosα=cos60°=12． 故选A．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
5.关于x的一元二次方程x2﹣4sinα?x+2=0有两个等根，则锐角α的度数是（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
【答案】B
【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意得△=16sin2α﹣4×2=0， 所以sinα= 22 ， 所以锐角α=45°． 故选B． 【分析】先利用判别式的意义得到△=16sin2α﹣4×2=0，然后求出α的正弦值，再利用特殊角的三角函数值确定锐角α的度数．
6.若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ）
A.?13?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?33????????????????????????????????????????D.?32?
【答案】C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3， ∴设三个内角分别为k、2k、3k， ∴k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 最小角的正切值=tan30°=33 ． 故选：C． 【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．
7.某舰艇以28海里/小时向东航行．在A处测得灯塔M在北偏东60°方向，半小时后到B处．又测得灯塔M在北偏东45°方向，此时灯塔与舰艇的距离MB是（ ）海里．
A.?7(3+1)???????????????????????????????B.?142???????????????????????????????C.?7(2+6)???????????????????????????????D.?14
【答案】C
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作MC⊥AB，垂足为C． ∵∠MBC=45°， ∴∠BMC=45°， 设BC=CM=a， 在Rt△ACM中， MCAC=tan30°， 则aa+14=33 ， 解得，a=73+7． 则MB=2a=7（6+2） 故选：C． 【分析】作MC⊥AB，垂足为C．设BC=CM=a，然后在Rt△ACM中，利用∠MAC的正切值，得到MCAC=tan30°，从而得到aa+14=33 ， 然后求出a的长．
8.如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是 （????） ?
A.??4+4cos40°米???????????????????B.?4+4sin40°米???????????????????C.?4＋4sin40° 米???????????????????D.?4cos40° 米
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】原来树的长度是（PB+PA)的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长． 【解答】Rt△PAB中，∠PBA=40°，PA=4； ∴PB=PA÷sin40°=4sin40°； ∴PA+PB=4+4sin40° 故选B． 【点评】此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．
9.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（ ??）
A.?7米?????????????????????????????????????B.?11米?????????????????????????????????????C.?15米?????????????????????????????????????D.?17米
【答案】C
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示 ，
等腰梯形ABCD是铁路路基的横断面，腰AB、CD的坡度为3: 2，BC=7米，BE=CF=6米.
在Rt△ABE中,
tanA= 32 ，BE=6米，
∴AE= BEtanA =4米，
∴DF=AE=4米，
∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=4+7+4=15(米).
故答案为：C.
【分析】构造直角三角形及矩形，利用正切先求BE，AE，再由AD=AE+EF+FD，利用解直角三角形的知识进行计算即可。
10.如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= KBLB ，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（?? ）
A.?①②③????????????????????????????????B.?②③④????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????D.?①②④
【答案】A
【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，同角三角函数的关系
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC= 12 ∠BAD=45°， 由作图可知：AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=22.5°， ∵PQ是AE的中垂线， ∴AE⊥PQ， ∴∠AOL=90°， ∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB， ∴∠LKB=∠BAE=22.5°； 故①正确； ②∵OG是AE的中垂线， ∴AG=EG， ∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE， ∴EG∥AB， 故②正确； ③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°， ∴∠ALO=∠AGO， ∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO， ∴∠CGF=∠BLK， 在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK= BKBL ， 故③正确； ④连接EL， ∵AL=AG=EG，EG∥AB， ∴四边形ALEG是菱形， ∴AL=EL=EG＞BL， ∴ EGAB≠12 ， ∵EG∥AB， ∴△CEG∽△CBA， ∴ S△CEGS△CBA=(EGAB)2≠14 ， 故④不正确； 本题正确的是：①②③， 故答案为：A． 【分析】? 根据正方形的性质得出∠BAC= 12∠BAD=45°，由作图可知：AE平分∠BAC，故∠BAE=∠CAE=22.5°，由作图可知：PQ是AE的中垂线，故AE⊥PQ，然后根据三角形的内角和即可得出∠LKB=∠BAE=22.5°；根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AG=EG，根据等边对等角及等量代换得出∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，根据内错角相等，二直线平行得出EG∥AB；根据三角形的内角和得出∠ALO=∠AGO，又根据对顶角相等得出∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，故∠CGF=∠BLK，，根据等角的同名三角函数相等及三角函数的定义得出tan∠CGF=tan∠BLK=BKBL;连接EL,首先判断出四边形ALEG是菱形，根据菱形的性质及直角三角形的性质得出AL=EL=EG＞BL，EGAB≠12,然后判断出△CEG∽△CBA，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断S△CGE：S△CAB≠1：4。
二、填空题（共10题；共33分）
11.计算： (π?3.14)0?23cos30°+(12)?2?|?3| =________．
【答案】﹣1
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式= 1?23×32+4?3 = 1?3+1 =－1．故答案为：－1．
【分析】根据实数的混合运算性质即可求解。
12.已知在△ABC中，BC=6，AC=6 3 ，∠A=30°，则AB的长是________．
【答案】12或6
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1所示，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠A=30°，AC=6 3 ，∴CD= 12 AC=3 3 ，AD=AC?cos30°=6 3 × 32 =9．
在Rt△CDB中，∵BC=6，CD=3 3 ，∴BD= BC2?CD2 = 62?（33）2 =3，∴AB=AD+BD=9+3=12；
如图2所示，
同理可得，CD= 12 AC=3 3 ，AD=AC?cos30°=6 3 × 32 =9，BD=3，∴AB=AD﹣BD=9﹣3=6．
综上所述：AB的长为12或6．
故答案为：12或6．
【分析】分三角形ABC是锐角三角形和三角形ABC是钝角三角形两种情况讨论：当三角形ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D．在直角三角形ACD中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，所以CD=?12AC，在Rt△CDB中，由勾股定理可求得BD。
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= 34 ，则BC的长是________．
【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA= BCAB ， ∴ BC8 = 34 ， 解得BC=6． 故答案为：6． 【分析】根据∠A的正弦函数的意义可列出方程求BC的长。
14.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为________?
【答案】12
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴tanA==， 故答案为：． 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，注意正切=对边÷邻边．
15.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5,CD=3，则tanC等于________?
【答案】43
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 连接BD，则EF是△ABD的中位线， ∴BD=4，在△BCD中， ∵32+42=52 ， ∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形， ∴tanC=BDCD=43 ． 【分析】根据中位线的性质得出EF∥BD，且等于12BD，进而得出△BDC是直角三角形，求出即可．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=43 ， 点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE=6，DB=20，则tan∠BCD的值是________．
【答案】83
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE， 在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AEDE=43 ， ∴AE=43×6=8， ∴AD=AE2+DE2=10， ∵DE∥BC， ∴AEDE=ADBD ， 即8CE=1020 ， 解得CE=16， 在Rt△CDE中，tan∠CDE=CEDE=166=83 ， ∴tan∠BCD=83 ． 故答案为83 ． 【分析】由于∠ACB=90°，DE⊥AC可判断DE∥BC，根据平行线的性质得∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，在Rt△ADE中，利用正切 的定义可计算出AE=8，则利用勾股定理可计算出AD=10，接着运用平行线分线段成比例定理计算出CE=16，然后在Rt△CDE中，根据正切的定义得 到tan∠CDE=CEDE=83 ， 于是得到tan∠BCD=83 ．
17.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．
【答案】30 3
【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=30°， ∴AD=CD=60m， 在Rt△ABD中， AB=AD?sin∠ADB=60× 32 =30 3 （m）． 故答案为：30 3 ． 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．
18.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
【答案】10
【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值 11.2 ，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米． 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比.过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得出AE:DE=1：1.2，即可求出旗杆的总高AB的长。
19.如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝________
【答案】32
【考点】等腰三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解? ：∵△APB沿PB折叠，得到△PEB， ∴∠APB=∠BPE,AB=BE,∠BEP=∠A=120° ， ∵AB=BC， ∴BC=BE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC， ∵∠BPE+∠BCE+∠APB+∠BEC=360°?∠A?∠BEP=120° ， ∴∠BPE+∠BCE=60° ， ∴sin(∠BPE＋∠BCE)＝sin60°=32 【分析】根据翻折的性质得出∠APB=∠BPE,AB=BE,∠BEP=∠A=120° ， 根据等量代换得出BC=BE，根据等边对等角得出∠BEC=∠BCE，从而根据等式的性质得出∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，由四边形的内角和得出∠BPE+∠BCE=60° ， 根据特殊锐角值得出答案。
20.如图1，点D为直角三角形ABC的斜边AB上的中点，DE⊥AB交AC于E, 连EB、CD，线段CD与BF交于点F。若tanA= 12 ,则 CFDF =________。如图 2，点D为直角三角形ABC的斜边AB上的一点，DE⊥AB交AC于E, 连EB、CD；线段CD与BF交于点F。若 ADDB = 13 ，tanA= 12 ，则 CFDF =________。
【答案】65；4415
【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图1：过C作CP⊥BE，过D作DQ⊥BE， ∵DE⊥AB，tanA=12 , 在Rt△ADE中， ∴tanA=DEAD=12 , 设DE=a，则AD=2a， ∵D为AB中点， ∴BD=AD=2a， ∴AE=BE=5a， 在Rt△ACB中， ∴tanA=BCAC=12 , ∴BC=4a5 ， AC=8a5， ∴CE=AC-AE=3a5 ， ∵∠CFP=∠DFQ，∠CPF=∠DQF， ∴△CPF∽△DQF， ∴CFDF=CPDQ=CE·BCBEDE·DBBE=65 ， 如图2：过C作CP⊥BE，过D作DQ⊥BE， ∵ADDB=13， 设AD=a，DB=3a， 在Rt△ADE中， ∴tanA=DEAD =12 , ∴DE=12a， 在Rt△ACB中， ∴tanA=BCAC=12? , ∴BC=4a5 ，AC=8a5， CE=AC-AE=11510 ， ∵∠CFP=∠DFQ，∠CPF=∠DQF， ∴△CPF∽△DQF， ∴CFDF=CPDQ=CE·BCBEDE·DBBE=4415. 故答案为：65 ， 4415. 【分析】如图1：过C作CP⊥BE，过D作DQ⊥BE，在Rt△ADE中，根据锐角三角函数正切定义可设DE=a，则AD=2a，由中点得BD=AD=2a，再根据勾股定理得AE=BE=5a，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数正切定义以及勾股定理得BC、AC值，再由CE=AC-AE求出CE，根据相似三角形判定得△CPF∽△DQF，再由相似三角形性质得CFDF=CPDQ=CE·BCBEDE·DBBE，代入数值即可得出答案. 如图2：过C作CP⊥BE，过D作DQ⊥BE，根据题意可设AD=a，DB=3a，在Rt△ADE中，根据锐角三角函数正切定义得DE=12a，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数正切定义以及勾股定理得BC、AC值，再由CE=AC-AE求出CE，根据相似三角形判定得△CPF∽△DQF，再由相似三角形性质得CFDF=CPDQ=CE·BCBEDE·DBBE，代入数值即可得出答案.
三、解答题（共9题；共57分）
21.（2016?丹东）计算：4sin60°+|3﹣ 12 |﹣（ 12 ）﹣1+（π﹣2016）0 ．
【答案】解：4sin60°+|3﹣ 12 |﹣（ 12 ）﹣1+（π﹣2016）0 =4× 32 +2 3 ﹣3﹣2+1 =2 3 +2 3 ﹣4 =4 3 ﹣4
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣ 12 |﹣（ 12 ）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p= 1ap （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
22.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2 ． 求tanB的值．
【答案】解：过点A作AH⊥BC于H， ∵S△ABC=27， ∴ 12×9×AH=27 ， ∴AH=6， ∵AB=10， ∴BH= AB2?AH2 = 102?62 =8， ∴tanB= AHBH = 68 = 34 ．
【考点】三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。
23.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向.
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.
【答案】（1）相等，理由如下：由图易知，∠QPB＝60°，∠PQB＝60° ∴△BPQ是等边三角形， ∴BQ＝PQ. （2）由（1）得PQ＝BQ＝900m 在Rt△APQ中，AQ＝ PQcos∠AQP=90032=6003（m）， 又∵∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°， ∴在Rt△AQB中， AB＝ AQ2+BQ2 ＝ (6003)2+9002 ＝300 21 （m）. 答：A、B间的距离是300 21 m.
【考点】等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】【分析】（1）由题意及图形可得∠QPB＝90°-30°=60°，∠PQB＝90°-30°=60°，根据三角形内角有两个角是60度的是等边三角形，可得△BPQ是等边三角形，由等边三角形的性质可得BQ=PQ； （2）AB是△AQP的边，而∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°，，则△AQP是直角三角形，所以可以根据勾股定理，只要求出BQ，AQ的值即可；由（1）中△BPQ是等边三角形，可得PQ＝BQ＝900m，在Rt△APQ中，∠AQP=30°，由三角函数即可解出AQ，所以可解得。
24.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？ 说明理由．（ 3 ≈1.732）
【答案】解：过A作AD⊥CF于D， 由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°， ∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD= ADAC ， 则AD=AC?sin∠ACD=250 3 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道． 答：消防车不需要改道行驶．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方向角问题需要首先构造直角三角形，所以过A作AD⊥CF于D，易得∠ACD=60°利用三角函数易得AD=433>400,所以可得结果。
25.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB,CD 均垂直于地面，点 E 在线段 BD 上.在 C 点测得点 A 的仰角为 300 ，点 E 的俯角也为 300 ，测得 B,E 间的距离为10米，立柱 AB 高30米.求立柱 CD 的高（结果保留根号）.
【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CF，BF=CD. 由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°， 设CD=x米，则AF=（30﹣x）米， 在Rt△AFC中，FC= ABtan∠ACF=3(30?x) ， 则BD=CF= 3(30?x) ， ∴ED= 3(30?x) -10， 在Rt△CDE中，ED= CDtan∠CED=3x ，则 3(30?x) -10= 3x ?， 解得，x=15﹣ 533 ，
答：立柱CD的高为（15﹣ 533 ）米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义，是水平线与视线方向的夹角，则可作CF⊥AB于F，此时CF//水平线，则四边形HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD；求CD，即设CD=x，由仰角和俯角可得到∠ACF=30°，∠CED=30°，用x表示出ED两种代数式，构造方程解答即可.
26.某海船以 (23+2) 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= 3BD .
设CD=x，则BD=x，AD= 3x .
所以 3x +x=5× (23+2) ，解得x=10.
所以BC= 102 .
此时灯塔B到C处的距离是 102 海里.
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC的长度。
27.如图，小华在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 3 =1.732）
【答案】解：∵∠EDG=60°，∠EBG=30°， ∴∠DEB=30°， ∴DE=DB=30米， 在Rt△EDG中，sin∠EDG= EGED ， ∴EG=ED?sin∠EDG=15 3 ≈25.98， ∴EF=25.98+1.5≈27.5， 答：大楼EF的高度约为27.5米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据三角形的外角的性质求出∠DEB=30°，根据等腰三角形的性质求出DE，根据正弦的概念求出EG，计算即可．
28.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E ， 此时的仰角为60°，求旗杆的高度 ．
【答案】解：如图， ∵∠ADG=30°，AFG=60°， ∴∠DAF=30°， ∴AF=DF=10， 在Rt△FGA中， AG=AF?sin∠AFG=10× =5 ， ∴AB=1.5+5 ． 答：旗杆AB的高度为（1.5+5 ）米 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】关键三角形外角的性质求得∠DAF=30°，得出AF=DF=10，在Rt△FGA中，根据正弦函数求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度
29.如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=40m，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(精确到1m)． （参考数据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70；sin 70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）.
【答案】解：过点C作CF∥DA交AB于点F． ∵MN∥PQ，CF∥DA， ∴四边形AFCD是平行四边形． ∴AF=CD=40m，∠CFB=35°． ∴FB=AB﹣AF=100﹣40=60m． 根据三角形外角性质可知，∠CBN=∠CFB+∠BCF， ∴∠BCF=70°﹣35°=35°=∠CFB， ∴BC=BF=60m． 在Rt△BEC中， sin70°=CEBC， ∴CE=BC?sin70°≈60×0.94=56.4≈56m． 答：河流的宽是56米．
【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形
【解析】【分析】过点C作CF∥DA交AB于点F，易证四边形AFCD是平行四边形．再在直角△BEC中，利用三角函数求解．
