【易错题】湘教版九年级上《第四章锐角三角函数》单元试卷(教师+学生)

【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第四章 锐角三角函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????B.?
1
3
???????????????????????????????????????C.?
10
10
???????????????????????????????????????D.?
3
10
10
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?? ）/
A.???(3，0)????????????????????????????????????/B.???????????????????????????????????????/C.?????⊥??????????????????????????????????????/D.???
3.在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=10，AC=8，则sinA的值是（）
A.?
4
5
??????????????????????????????????????????B.?
3
5
??????????????????????????????????????????C.?
3
4
??????????????????????????????????????????D.?
4
3
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（　　）/
A.?
3
5
??????????????????????????????????????????B.?
4
5
??????????????????????????????????????????C.?
3
4
??????????????????????????????????????????D.?
4
3
5.已知Rt△ABC中，∠A=90°，则
??
??
是∠B的（　 　）
A.?正切；?????????????????????????????????/B.?余切；?????????????????????????????????/C.?正弦；?????????????????????????????????/D.?余弦
6.如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（??? ）
/
A.?
4
5
??????????????????????????????????????????/B.?
3
4
??????????????????????????????????????????/C.?
4
3
??????????????????????????????????????????/D.?
3
5
7.如图，为一颗折叠的小桌支架完全展开后支撑在地面的示意图，此时∠ABC=90°，固定点A、C和活动点O处于同一直线上，且AO：OC=2：3，在支架的向内折叠收拢过程中（如箭头所示方向），△ABC边形为凸四边形AOCB，直至形成一条线段BO，则完全展开后∠BAC的正切值为（?? ） /
A.?
2
3
?????????????????????????????????????????/B.?
3
4
?????????????????????????????????????????/C.?
4
5
?????????????????????????????????????????/D.?
12
13
8.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(?? )/
A.?
2
3
??????????????????????????????????????B.?
3
2
??????????????????????????????????????C.?
2
13
13
??????????????????????????????????????D.?
3
13
13
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
5
13
， 则cosA的值为（　　）
A.?
5
12
????????????????????????????????????????/B.?
8
13
????????????????????????????????????????/C.?
2
3
????????????????????????????????????????/D.?
12
13
10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（???? ）（结果保留小数点后两位）（参考数据：
3
≈1.732，
2
≈1.414 ）
A.?4.64海里???????????????????????????/B.?5.49海里???????????????????????????/C.?6.12海里???????????????????????????/D.?6.21海里
二、填空题（共10题；共30分）
11.﹣13+
4
﹣12sin30°=________．
12.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。/
13.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为________． ///
14.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=
3
2
，则t的值是________．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，AB=5，则cos∠BCD的值为________．
16.在直角三角形中，一个锐角为57°，则另一个锐角为________．
17.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）________米．
/
18.BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝
3
，则CD的长为________.
19.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________?
20.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20
3
+1
海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为________?海里/分．三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：
6
≈2.449，结果保留整数）/
22.如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）/
23.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4
5
米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)/
24.小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠ BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．（结果保留三位有效数字，参考数据：
2
≈1.414；
3
≈1.732.）/
25.（2017?十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？/
26.某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，
3
≈1.7） /
27.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在点A处测得∠BAD=37°，沿AD方向前进150米到达点C，测得∠BCD=45°．求小岛B到河边公路AD的距离． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）/
28.如图，小明想测山高度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．求这座山的高度（小明的身高忽略不计）．【参考数据：tan31°≈
3
5
，sin31°≈
1
2
，tan39°≈
9
11
，sin39°≈
7
11
】/

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
二、填空题
11.【答案】-5
12.【答案】
1
2

13.【答案】
3
4

14.【答案】
9
2

15.【答案】
4
5

16.【答案】33°
17.【答案】9
3
+9
18.【答案】2+
3
、 2?
3
或
3
3

19.【答案】2
2
km
20.【答案】2
三、解答题
21.【答案】解：作PC⊥AB交于C点，/由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=40
3
（海里）．在Rt△PCB中，PB=
????
cos∠??????
=
40
3
cos45°
=40
6
≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
22.【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．∵sin40°=
????
????
，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．答：山的高度BC约为422米．
23.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2 ， x2+（2x）2=（4
5
）2 ， x=4．答：河床面的宽减少了4米．
24.【答案】试题解析：过点 ??作????⊥????，过点??作????⊥????，垂足分别为点??、??/在Rt ????????中，∠??????=45°，????=60米则CM=60米∵ CD=100米∴ MD=40米在Rt ????????中，∠??????=60°，????=60米则DN=
60
3
=20
3
米∵ AB //????∴∠ BAM= ∠ AMB= ∠ BNM=90 °∴四边形????????为矩形∴ AB=MN=40+ 20
3
米∴ AB ≈74.6米
25.【答案】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，/∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD=
1
2
AD=6海里，由勾股定理得：AC=
12
2
?
6
2
=6
3
≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
26.【答案】解：作CD⊥AB交AB延长线于D， 设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°= /=0.5，所以AD= /=2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°= /= /，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．/
27.【答案】解：过B作BE⊥CD垂足为E， /设BE=x米，在Rt△ABE中，tanA= /，AE= /= /= /x，在Rt△ABE中，tan∠BCD= /，CE= /= /=x，AC=AE﹣CE，/x﹣x=150，x=450．答：小岛B到河边公路AD的距离为450米．
28.【答案】解：过点A作AD⊥BE于D，/设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=
????
????
，∴BD=
????
??????31°
≈
??
3
5
=
5
3
x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=
????
????
，∴CD=
????
??????39°
≈
??
9
11
=
11
9
x，∵BC=BD﹣CD，∴
5
3
x
11
9
x=80，解得：x=180．即山的高度为180米．
【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第四章 锐角三角函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????B.?
1
3
???????????????????????????????????????C.?
10
10
???????????????????????????????????????D.?
3
10
10
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为
????
????
=
3
1
=3，故答案为：A．【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?? ）/
A.???(3，0)????????????????????????????????????/B.???????????????????????????????????????/C.?????⊥??????????????????????????????????????/D.???
【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】因为在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，所以由勾股定理可得AB=5，所以sinA=
????
????
=
3
5
,故答案为：C．【分析】利用正弦定义可求出结果.
3.在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=10，AC=8，则sinA的值是（）
A.?
4
5
??????????????????????????????????????????B.?
3
5
??????????????????????????????????????????C.?
3
4
??????????????????????????????????????????D.?
4
3
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】
?/
如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
8
2
=6 ， ∴sinA=
????
????
=
6
10
=
3
5
． 故答案为：B．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（　　）/
A.?
3
5
??????????????????????????????????????????B.?
4
5
??????????????????????????????????????????C.?
3
4
??????????????????????????????????????????D.?
4
3
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得/cosB=
????
????
=
4
5
， 故选：B．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
5.已知Rt△ABC中，∠A=90°，则
??
??
是∠B的（　 　）
A.?正切；?????????????????????????????????/B.?余切；?????????????????????????????????/C.?正弦；?????????????????????????????????/D.?余弦
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答．
【解答】
/
如图，tanB=
??
??
．故选A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6.如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（??? ）
/
A.?
4
5
??????????????????????????????????????????/B.?
3
4
??????????????????????????????????????????/C.?
4
3
??????????????????????????????????????????/D.?
3
5
【答案】A
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB=
??
??
2
+??
??
2
=5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A=
????
????
=
4
5
．
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理得出AB的长，再根据同角的余角相等，由∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，得出∠BCD=∠A．根据等角的同名三角函数值想等即可由cos∠BCD=cos∠A=AC ∶AB得出答案。
7.如图，为一颗折叠的小桌支架完全展开后支撑在地面的示意图，此时∠ABC=90°，固定点A、C和活动点O处于同一直线上，且AO：OC=2：3，在支架的向内折叠收拢过程中（如箭头所示方向），△ABC边形为凸四边形AOCB，直至形成一条线段BO，则完全展开后∠BAC的正切值为（?? ） /
A.?
2
3
?????????????????????????????????????????/B.?
3
4
?????????????????????????????????????????/C.?
4
5
?????????????????????????????????????????/D.?
12
13
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AO：OC=2：3， ∴设AO=2x、OC=3x，AB=y、BC=z，则 {
??
2
+
??
2
=25
??
2
??+2??=??+3??
，解得： {
??=4??
??=3??
或 {
??=?3??
??=?4??
（舍），在Rt△ABC中，tan∠BAC=
????
????
=
??
??
=
3??
4??
=
3
4
，故选：B．【分析】由AO：OC=2：3，设AO=2x、OC=3x、AB=y、BC=z，由AB2+BC2=AC2、BC+CO=AB+AO列出关于x、y、z的方程组，将x看做常数求出y=4x、z=3x，再由正切函数的定义求解可得．
8.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(?? )/
A.?
2
3
??????????????????????????????????????B.?
3
2
??????????????????????????????????????C.?
2
13
13
??????????????????????????????????????D.?
3
13
13
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值：tan∠AOB=
3
2
.故选B.
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
5
13
， 则cosA的值为（　　）
A.?
5
12
????????????????????????????????????????/B.?
8
13
????????????????????????????????????????/C.?
2
3
????????????????????????????????????????/D.?
12
13
【答案】D
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sin2A+cos2A=1，即（
5
13
）2+cos2A=1，∴cos2A=
144
169
， ∴cosA=
12
13
或﹣
12
13
（舍去），∴cosA=
12
13
． 故选：D．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（???? ）（结果保留小数点后两位）（参考数据：
3
≈1.732，
2
≈1.414 ）
A.?4.64海里???????????????????????????/B.?5.49海里???????????????????????????/C.?6.12海里???????????????????????????/D.?6.21海里
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，/∵AC=30，∠CAB=30°，∠ACB=15°，∴∠ABC=135°，又∵BE=CE，∴∠ACB=∠EBC=15°，∴∠ABE=120°，又∵∠CAB=30°∴BA=BE，AD=DE，设BD=x，在Rt△ABD中，∴AD=DE=
3
x，AB=BE=CE=2x，∴AC=AD+DE+EC=2
3
x+2x=30，∴x=
15
3
+1
=
15(
3
?1)
2
≈5.49，故答案为：B.【分析】根据题意画出图形，作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE=
3
x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2
3
x+2x=30，解之即可得出答案.
二、填空题（共10题；共30分）
11.﹣13+
4
﹣12sin30°=________．
【答案】-5
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=﹣1+2﹣12×
1
2
=﹣1+2﹣6=﹣5，故答案为：﹣5．【分析】先依据有理数的乘方法则、算术平方根的性质、特殊锐角三角函数值进行化简，最后，在进行计算即可.
12.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。/
【答案】
1
2

【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵高AB=8m，BC=16m，∴tanC=
????
????
=
8
16
=
1
2
.故答案为：
1
2
.【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
13.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为________． /
【答案】
3
4

【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图： /，tanB=
????
????
=
3
4
．故答案是：
3
4
．【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
14.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=
3
2
，则t的值是________．/
【答案】
9
2

【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点A作AB⊥x轴于B，/∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα=
????
????
=
??
3
=
3
2
，∴t=
9
2
．【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据A点的坐标得出AB=t，OB=3，根据正切函数的定义得出tanα=
????
????
=
3
2
，即可列出方程，求解即可。
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，AB=5，则cos∠BCD的值为________． /
【答案】
4
5

【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AC=4，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=
5
2
?
4
2
=3，∵
1
2
AB?CD=
1
2
AC?BC，∴
5
2
CD=6，CD=
12
5
，∴cos∠BCD=
????
????
=
12
5
3
=
4
5
．故答案为：
4
5
．【分析】首先利用勾股定理计算出BC长，然后再利用直角三角形的面积公式计算出CD长，再用余弦定义可得答案．
16.在直角三角形中，一个锐角为57°，则另一个锐角为________．
【答案】33°
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两锐角互余，∴另一锐角=90°﹣57°=33°，故答案为：33°．【分析】利用直角三角形的两锐角互余可求得答案．
17.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）________米．
/
【答案】9
3
+9
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
/
由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，
∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，
∵AB=3×12=36m，
∴AD=CD=18m，BD=AB?cos30°=18
3
m，
∴BC=CD+BD=（18
3
+18）m，
∴BH=BC?sin30°=（9
3
+9）m．
故答案为：9
3
+9．
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【分析】作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
18.BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝
3
，则CD的长为________.
【答案】2+
3
、 2?
3
或
3
3

【考点】解直角三角形
【解析】【解答】如图1：
/
∵ ?BD=1，tan∠ABD=
3
?
∴????=
3
，????=????=2
∴????=2?
3
如图2：
/
∵ BD=1，tan∠ABD=
3
?
∴????=
3
，????=????=2
∴????=2+
3
?
如图3：
/
∵ ?BD=1，tan∠ABD=
3
∴∠??????=60° ?
∵∠??=90° ?
∴∠??=30° ?
又 ∵????=????
∴∠??????=60°
∵????=1
∴????=
3
3
综上述， ????=2+
3
、 2?
3
或
3
3
故答案为： 2+
3
、 2?
3
或
3
3
?
【分析】此题有3种情况，第一种情况，等腰三角形ABC的顶角A是锐角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第二种情况，等腰三角形ABC的顶角A是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第三种情况，等腰三角形ABC的顶角C是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长。
19.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________?/
【答案】2
2
km
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=
1
2
OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=
2
AD=2
2
km．即该船航行的距离（即AB的长）为2
2
km．故答案为2
2
km．/【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=
1
2
OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=
2
AD=2
2
km．
20.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20
3
+1
海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为________?海里/分．/
【答案】2
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作CD⊥AB，∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=65°﹣20°=45°，∴BD=CD=x海里，则AD=[20
3
+1
﹣x]海里，在Rt△ACD中，
????
????
=tan30°，则
??
20
3
+1
???
=
3
3
， 解得x=20，在Rt△ACD中，AC=2×20=40海里，40÷20=2海里/分．故答案为：2．/【分析】作CD⊥AB，得到两直角三角形△ACD、△BCD，利用三角函数的知识即可求得答案．
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：
6
≈2.449，结果保留整数）/
【答案】解：作PC⊥AB交于C点，/由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=40
3
（海里）．在Rt△PCB中，PB=
????
cos∠??????
=
40
3
cos45°
=40
6
≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．
22.如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）/
【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．∵sin40°=
????
????
，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．答：山的高度BC约为422米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正弦函数的定义由sin40°=BC ∶AB得出B错的长度，从而得出答案。
23.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4
5
米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)/
【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2 ， x2+（2x）2=（4
5
）2 ， x=4．答：河床面的宽减少了4米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】因为坡度为1：0.5，可知道 /= /， 设AC的长为x，那么BC的长就为2x，根据勾股定理可列出方程求解．
24.小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠ BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．（结果保留三位有效数字，参考数据：
2
≈1.414；
3
≈1.732.）/
【答案】试题解析：过点 ??作????⊥????，过点??作????⊥????，垂足分别为点??、??/在Rt ????????中，∠??????=45°，????=60米则CM=60米∵ CD=100米∴ MD=40米在Rt ????????中，∠??????=60°，????=60米则DN=
60
3
=20
3
米∵ AB //????∴∠ BAM= ∠ AMB= ∠ BNM=90 °∴四边形????????为矩形∴ AB=MN=40+ 20
3
米∴ AB ≈74.6米
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】试题分析：过点 ，然后通过解直角三角形求解即可.
25.（2017?十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？/
【答案】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，/∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD=
1
2
AD=6海里，由勾股定理得：AC=
12
2
?
6
2
=6
3
≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．
26.某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，
3
≈1.7） /
【答案】解：作CD⊥AB交AB延长线于D， 设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°= /=0.5，所以AD= /=2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°= /= /，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．/
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
27.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在点A处测得∠BAD=37°，沿AD方向前进150米到达点C，测得∠BCD=45°．求小岛B到河边公路AD的距离． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）/
【答案】解：过B作BE⊥CD垂足为E， /设BE=x米，在Rt△ABE中，tanA= /，AE= /= /= /x，在Rt△ABE中，tan∠BCD= /，CE= /= /=x，AC=AE﹣CE，/x﹣x=150，x=450．答：小岛B到河边公路AD的距离为450米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过B作BE⊥CD垂足为E，设BE=x米，再利用锐角三角函数关系得出AE=
4
3
x，CE=x，根据AC=AE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．
28.如图，小明想测山高度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．求这座山的高度（小明的身高忽略不计）．【参考数据：tan31°≈
3
5
，sin31°≈
1
2
，tan39°≈
9
11
，sin39°≈
7
11
】/
【答案】解：过点A作AD⊥BE于D，/设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=
????
????
，∴BD=
????
??????31°
≈
??
3
5
=
5
3
x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=
????
????
，∴CD=
????
??????39°
≈
??
9
11
=
11
9
x，∵BC=BD﹣CD，∴
5
3
x
11
9
x=80，解得：x=180．即山的高度为180米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】【分析】过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值．