【易错题】湘教版九年级上《第三章图形的相似》单元试卷(教师+学生)

【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第三章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（）
A.?三角形的形状不变，三边的比变大??????????????????????/B.?三角形的形状变，三边的比变大C.?三角形的形状变，三边的比不变?????????????????????????/D.?三角形的形状不变，三边的比不变
2.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（?? ）/
A.?EG=4GC??????????????????????????/B.?EG=3GC??????????????????????????/C.?EG=
5
2
GC??????????????????????????/D.?EG=2GC
3.若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（? ）
A.?A′B′:AB?????????????????B.?∠A: ∠A′?????????????????C.?S△ABC：S△A′B′C′?????????????????D.?△ABC周长：△A′B′C′周长
4.对于线段a，b，如果a∶b＝2∶3，那么下列四个选项一定正确的是(??? )
A.?2a＝3b????????????????????????????/B.?b－a＝1????????????????????????????/C.?
??+2
??+3
=
2
3
????????????????????????????/D.?
??+??
??
=
5
2
5.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（?? ）/
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，
????
????
=
1
2
，DE=4cm，则BC的长为（?? ） /
A.?8 cm?????????????????????????????????/B.?12 cm?????????????????????????????????/C.?11 cm?????????????????????????????????/D.?10 cm
7.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC ， 则梯子的长为（　　） /
A.?3.5m???????????????????????????????????/B.?3.85m???????????????????????????????????/C.?4m???????????????????????????????????/D.?4.2m
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD =4，CD=6，那么 ????:???? 是（?? ）/
A.?3:2??????????????????????????????????/B.?2:3??????????????????????????????????/C.?3:
13
??????????????????????????????????/D.?2:
13
9.在△ABC与△A’B’C’中，有下列条件：①
????
??′??′
=
????
??′??′
；⑵
????
??′??′
=
????
??′??′
③∠??=∠??′；④∠??=∠??′如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A’B’C’的共有（?）组。
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
10.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ??）
A.?30厘米、45厘米；???????/B.?40厘米、80厘米；???????/C.?80厘米、120厘米；???????/D.?90厘米、120厘米
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，AB⊥CB于点B ， AC⊥CD于点C ， AB=6，AC=10，当CD=?________时，△ABC∽△ACD ． ////
12.已知点 ?? 在线段 ???? 上，且 ????:????=2:3 ,那么 ????:????= ________．
13.已知△ABC与△DEF相似，且对应边的比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为________．
14.如图，已知
????
????
=
????
????
，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝________ cm.
15.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________．16.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB中点，点E是直线AC上一点，若以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为________． 17.如图，在△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，AB=8cm，AC=6cm，AD=3cm，要使△ADE与△ABC相似，则线段AE的长为________?
18.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________?/
19.如图，在直角 △?????? 中， ∠??=
90
°
， AC=6， BC=8， P、 Q分别为边 BC、 AB上的两个动点，若要使 △?????? 是等腰三角形且 △?????? 是直角三角形，则 AQ=________．/
20.如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为________．/
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ， ∠BAD=∠CAE ， 求证：△ABC∽△ADE ． /
22.如图，在△ABC中，DE ∥BC，DF∥AB，求证：△ADE∽△DCF．/
23.已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF?EF．?/
24.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．/
25.如图，在?ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．?/
26.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．/
27.如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离．/
28.如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．/
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】/
12.【答案】5:3
13.【答案】1：4
14.【答案】9.8
15.【答案】2
16.【答案】3或
7
3

17.【答案】4或
9
4

18.【答案】1：4
19.【答案】
15
4
或
30
7

20.【答案】
12
5

三、解答题
21.【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE ， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE ， 即∠DAE=∠BAC ． 又∵∠B=∠D ， ∴△ABC∽△ADE ．
22.【答案】解：∵ED∥BC,DF∥AB，∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，∴∠AED=∠B，∴∠AED=∠DFC∴△ADE∽△DCF
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
，∴
????
????
=
????
????
，即CF2=GF?EF．
24.【答案】解：设正方形的边长为xmm，则AI=AD﹣x=80﹣x，∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
即
??
120
=
80???
80
解得x=48mm，所以，这个正方形零件的边长是48mm．
25.【答案】解：∵EF∥AB，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
2
5
，又EF=4，∴AB=10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=10，∵FG∥ED，∴
????
????
=
????
????
=
2
5
，∴DG=4，∴CG=6．
26.【答案】解：∵AB∥CD，∴
????
????
=
????
????
=
12
6
=2 ，∴
????
????
=
????
????+????
=
2
1+2
=
2
3
，∵AB∥EF，∴
????
????
=
????
????
，即
????
6
=
2
3
，解得EF=4cm
27.【答案】解：由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，∵MF∥BC，∴△AMF∽△ABC∴
????
????
=
????
????
，∴
1.6
9.6
=
??
2??+12
∴x=3经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）．答：两个路灯之间的距离为18米．
28.【答案】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD．∵△OEF∽△CDF，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
．∴G是BC的三等分点（2）解：依题意画图所示， /
【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第三章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（）
A.?三角形的形状不变，三边的比变大??????????????????????/B.?三角形的形状变，三边的比变大C.?三角形的形状变，三边的比不变?????????????????????????/D.?三角形的形状不变，三边的比不变
【答案】D
【考点】相似三角形的性质
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质得出形状与各边的关系，从而分别分析得出答案．
【解答】根据相似三角形的性质可得；如果把三角形的三边按一定的比例扩大．则三角形的形状不变，三边比不变．故选D．
【点评】此题主要考查了相似性的性质，根据图形变化得出各边比例关系是解决问题的关键．
2.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（?? ）/
A.?EG=4GC??????????????????????????/B.?EG=3GC??????????????????????????/C.?EG=
5
2
GC??????????????????????????/D.?EG=2GC
【答案】B
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴
????
????
=
????
????
=
3
1
=3 ．故答案为：B【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案。
3.若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（? ）
A.?A′B′:AB?????????????????B.?∠A: ∠A′?????????????????C.?S△ABC：S△A′B′C′?????????????????D.?△ABC周长：△A′B′C′周长
【答案】D
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．∵△ABC∽△A′B′C′，∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′周长，
??
2
=
??
△??????
：
??
△
??
′
??
′
??
′
.
故答案为：D．【分析】由题意根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解。
4.对于线段a，b，如果a∶b＝2∶3，那么下列四个选项一定正确的是(??? )
A.?2a＝3b????????????????????????????/B.?b－a＝1????????????????????????????/C.?
??+2
??+3
=
2
3
????????????????????????????/D.?
??+??
??
=
5
2
【答案】C
【考点】比例的性质
【解析】【解答】根据比值可得：A、2b=3a，则A不符合题意；B、设a=2k，则b=3k，a-b=k，则B不符合题意；C、
??+2
??+3
=
2
3
，则C符合题意；D、
??+??
??
=
5
3
，则D不符合题意，故答案为：C．【分析】（1）将比例式化为乘积式即可得2b=3a；（2）设a=2k，则b=3k，a-b=k，而k不一定等于1；（3）由等比性质可得
??+2
??+3
=
2
3
；（4）由合比性质可得
??+??
??
=
5
3
.
5.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（?? ）/
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2∴
????
????
=
1
2
∴
1
????
=
1
2
∴EF=2故答案为：B【分析】根据相似三角形的性质及相似比，得出
????
????
=
1
2
，即可求解。
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，
????
????
=
1
2
，DE=4cm，则BC的长为（?? ） /
A.?8 cm?????????????????????????????????/B.?12 cm?????????????????????????????????/C.?11 cm?????????????????????????????????/D.?10 cm
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
????
????
=
1
2
，∴ /， /，∴ /，∵DE=4cm，∴BC=12cm，故选B．【分析】根据平行线分线段成比例，可以求得AD与AB的比值，进而可以求得BC的长，本题得以解决．
7.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC ， 则梯子的长为（　　） /
A.?3.5m???????????????????????????????????/B.?3.85m???????????????????????????????????/C.?4m???????????????????????????????????/D.?4.2m
【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵△ADE∽△ABC ， ∴AD：AB=DE：BC ， ∴（AB-0.5）：AB=1.2：1.4，∴AB=3.5m．∴梯子AB的长为3.5m．故选：A．【分析】由已知条件△ADE∽△ABC ， 得相似三角形对应边成比例，代入数据进行解答．此题是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出梯子AB的长．
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD =4，CD=6，那么 ????:???? 是（?? ）/
A.?3:2??????????????????????????????????/B.?2:3??????????????????????????????????/C.?3:
13
??????????????????????????????????/D.?2:
13
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴△ACB∽△CDB，∴BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，答案为：B.【分析】可证出△ACB∽△CDB，再利用其性质对应边成比例，求出BC：AC=BD：CD=4：6=2：3.
9.在△ABC与△A’B’C’中，有下列条件：①
????
??′??′
=
????
??′??′
；⑵
????
??′??′
=
????
??′??′
③∠??=∠??′；④∠??=∠??′如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A’B’C’的共有（?）组。
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如果从中任取两个条件组成一组；【解答】选①
????
??′??′
=
????
??′??′
；⑵
????
??′??′
=
????
??′??′
，则
????
??′??′
=
????
??′??′
=
????
??′??′
，△ABC∽△A’B’C’；??选③∠??=∠??′；④∠??=∠??′?根据三角形相似的条件，所以△ABC∽△A’B’C’；选⑵/；④∠??=∠??′ ， 则根据三角形相似的判定方法，△ABC∽△A’B’C’，其他的组合都不能判定这两个三角形相似【点评】本题考查相似三角形，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键，要求学生会判定两个三角形相似
10.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ??）
A.?30厘米、45厘米；???????/B.?40厘米、80厘米；???????/C.?80厘米、120厘米；???????/D.?90厘米、120厘米
【答案】C
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，故答案为：C.【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米；若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，；若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可．
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，AB⊥CB于点B ， AC⊥CD于点C ， AB=6，AC=10，当CD=?________时，△ABC∽△ACD ． /
【答案】/
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵AB⊥CB ， AC⊥CD ， AB=6，AC=10，∴∠B=∠ACD=90°，BC=8，∵△ABC∽△ACD∴当AB：BC=AC：CD时∴ /＝ /，解得CD= /．【分析】根据已知，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，根据相似三角形的边对应成比例求得CD的长．
12.已知点 ?? 在线段 ???? 上，且 ????:????=2:3 ,那么 ????:????= ________．
【答案】5:3
【考点】比例的性质
【解析】【解答】由题意AP：BP=2：3，设AP=2x,BP=3X∴AB=5XAB：PB=5：3.故答案为：5:3.【分析】根据AP：BP=2：3，从而说明AP占两份，BP占三份，从而得出AB占5份，进一步得出答案。
13.已知△ABC与△DEF相似，且对应边的比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为________．
【答案】1：4
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】面积比等于相似比的平方，易得.【分析】根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方可求解。
14.如图，已知
????
????
=
????
????
，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝________ cm./
【答案】9.8
【考点】比例线段
【解析】【解答】已知
????
????
=
????
????
，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，所以
6.4
4.8
=
????
4.2
，解得AE=5.6cm，即可得AC=AE+EC=4.2+5.6=9.8cm.【分析】将已知的线段AD、DB、EC代入比例式可求得AE的长，由题意可得AC=AE+EC，将AE、EC代入计算即可求解。
15.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________．/
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=
1
2
BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2.故答案为：2.【分析】由相似三角形的判定易得△AEG∽△ADC，结合三角形的重心的性质可求解。
16.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB中点，点E是直线AC上一点，若以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为________．
【答案】3或
7
3

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=
6
2
+
8
2
=10
∵点D是AB中点,
∴CD=5,
∵CD=AD,
∴∠A=∠ACD,
∴C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，应分△ABC∽△CDE和△ABC∽△CED两种情况进行讨论:
当△ABC∽△CDE时:
????
????
=
????
????
,
则
10
5
=
6
????
,即CE=3,得到:AE=3,
当△ABC∽△CED时:
????
????
=
????
????
,
则
10
????
=
6
5
,即CE=
25
3
,
得到AE=
25
3
?6=
7
3
,
∴AE的长为3或
7
3
,
故答案为: 3或
7
3
.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出CD、AD的长，再根据C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况讨论：当△ABC∽△CDE时；当△ABC∽△CED时，分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，解方程求出AE的长。
17.如图，在△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，AB=8cm，AC=6cm，AD=3cm，要使△ADE与△ABC相似，则线段AE的长为________?/
【答案】4或
9
4

【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①当△ADE∽△ABC时，有AD：AB=AE：AC，∵AB=8，AC=6，AD=3，∴AE=
9
4
；②当△AED∽△ABC时，有AD：AE=AC：AB，∵AB=8，AC=4，AD=3，∴AE=4，所以AE等于4或
9
4
． 故答案为：4或
9
4
． 【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，△ADE与△ABC相似，由于题中没有指明对应边，故应该分两种情况讨论求解．
18.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________?/
【答案】1：4
【考点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．【分析】由AD=OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，继而求得△ABC与△DEF的面积之比．s
19.如图，在直角 △?????? 中， ∠??=
90
°
， AC=6， BC=8， P、 Q分别为边 BC、 AB上的两个动点，若要使 △?????? 是等腰三角形且 △?????? 是直角三角形，则 AQ=________．/
【答案】
15
4
或
30
7

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当△BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠BPQ=90度，∠BQP=90度。在直角 △?????? 中， ∠??=
90
°
， AC=6， BC=8，则AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )当∠BPQ=90度，则△BPQ~△BCA，则PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，设PQ=3x，则BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，此时∠AQP为钝角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，则10-5x=3x，解得x=
5
4
，则AQ=10-5x=
15
4
；（ 2 ）当∠BQP =90度，则△BQP~△BCA，则PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，设PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，此时∠AQP为直角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，则10-4x=3x，解得x=
10
7
，则AQ=10-4x=
30
4
；故答案为：
15
4
或
30
7
【分析】要使△BPQ是直角三角形，因此分情况讨论：利用勾股定理求出AB的长，就可得出AC：BC：AB的比值，( 1 )当∠BPQ=90度，则△BPQ~△BCA，得出对应边成比例，设PQ=3x，则BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，则∠AQP为钝角，则当△APQ是等腰三角形时，则AQ=PQ，建立方程求出x的值，就可得出AQ的长；（ 2 ）当∠BQP =90度，则△BQP~△BCA，得出对应边成比例，设PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，则∠AQP为直角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，建立方程求出x的值，就可得出AQ的值，从而可得出答案。
20.如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为________．/
【答案】
12
5

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=
??
??
2
+??
??
2
=5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO=QO，CO=AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，∴△CAB∽△CP′O，∴
????
????
=
??
??
′
????
，∴
2
5
=
??
??
′
3
，∴OP′=
6
5
，∴则PQ的最小值为2OP′=
12
5
，故答案为：
12
5
．/【分析】通过证明两个对应角相等，得出△CAB∽△CP′O，通过对应边成比例，求出PQ的最小值。
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ， ∠BAD=∠CAE ， 求证：△ABC∽△ADE ． /
【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE ， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE ， 即∠DAE=∠BAC ． 又∵∠B=∠D ， ∴△ABC∽△ADE ．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“两角法”来证：△ABC∽△ADE ．
22.如图，在△ABC中，DE ∥BC，DF∥AB，求证：△ADE∽△DCF．/
【答案】解：∵ED∥BC,DF∥AB，∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，∴∠AED=∠B，∴∠AED=∠DFC∴△ADE∽△DCF
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由题意根据有两个角相等的两个三角形相似即可得证。
23.已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF?EF．?/
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
，∴
????
????
=
????
????
，即CF2=GF?EF．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
， 利用等量代换得到
????
????
=
????
????
， 然后根据比例的性质即可得到结论．
24.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．/
【答案】解：设正方形的边长为xmm，则AI=AD﹣x=80﹣x，∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
即
??
120
=
80???
80
解得x=48mm，所以，这个正方形零件的边长是48mm．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
25.如图，在?ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．?/
【答案】解：∵EF∥AB，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
2
5
，又EF=4，∴AB=10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=10，∵FG∥ED，∴
????
????
=
????
????
=
2
5
，∴DG=4，∴CG=6．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求出
????
????
=
????
????
=
2
5
， 得到AB的长，根据平行四边形的性质求出CD，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．
26.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．/
【答案】解：∵AB∥CD，∴
????
????
=
????
????
=
12
6
=2 ，∴
????
????
=
????
????+????
=
2
1+2
=
2
3
，∵AB∥EF，∴
????
????
=
????
????
，即
????
6
=
2
3
，解得EF=4cm
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
27.如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离．/
【答案】解：由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，∵MF∥BC，∴△AMF∽△ABC∴
????
????
=
????
????
，∴
1.6
9.6
=
??
2??+12
∴x=3经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）．答：两个路灯之间的距离为18米．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，易证△AMF∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，
????
????
=
????
????
，代入求得AM，最后再求得AB。
28.如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．/
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
【答案】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD．∵△OEF∽△CDF，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
．∴G是BC的三等分点（2）解：依题意画图所示， /
【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2）连接DG，交AC于P点，做PR⊥BC交BC于R，R点为四等分点。