【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A.?m≤-1??????????????????????????????????B.?m≤1??????????????????????????????????C.?m≤4??????????????????????????????????D.?m≤12
2.用配方法解方程，x2+4x=6下列配方正确的是（????）
A.?x+22=10?????????????????B.?x+42=22?????????????????C.?x+22=8?????????????????D.?x+22=6
3.方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（?? ）
A.?3，﹣4，﹣2?????????????????????B.?3，2，﹣4?????????????????????C.?3，﹣2，﹣4?????????????????????D.?2，﹣2，0
4.解方程4（3x+2）2=3x+2时，较恰当的解法是（??? ）
A.?直接开方法???????????????????????????B.?配方法???????????????????????????C.?公式法???????????????????????????D.?因式分解法
5.已知一元二次方程x2?2x+1=0，下列判断正确的是（??? ? ）。
A.?该方程无实数根??????????????????????????????????????????????????B.?该方程有一个实数根 C.?该方程有两个不相等的实数根?????????????????????????????D.?该方程有两个相等的实数根
6.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（????）
A.?10%????????????????????????????????????B.?15%????????????????????????????????????C.?20%????????????????????????????????????D.?25%
7.关于x的一元二次方程x2+3x=0的根的说法正确的是（ ）
A.?没有实数根??????????B.?只有一个实数根??????????C.?有两个相等的实数根??????????D.?有两个不相等的实数根
8.用配方法解下列方程时，配方错误的是（?? ）
A.?x2+2x﹣99=0化为（x+1）2=100?????????????????????B.?m2?7m?4化为(m?72)2=654 C.?x2+8x+9=0化为（x+4）2=25??????????????????????????D.?3x2?4x?2=0化为(x?23)2=109
9.已知二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有（ ）个交点．
A.?1个??????????????????????????????????B.?2 个??????????????????????????????????C.?无交点??????????????????????????????????D.?无法确定
10.已知关于x的方程x2?6x+a?2x?3+9?2a=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（??）
A.?a=?2????????????????????????B.?a>0????????????????????????C.?a=?2或a>0????????????????????????D.?a≤?2或a>0
二、填空题（共10题；共30分）
11.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
12.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
13.已知2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x?p=0 的一个根，则该方程的另一个根是________．
14.（2017?淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为________．
15.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为________．
16.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1 ， x2 ， 且满足1x1+1x2=3，则k的值是________?．
17.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
18.解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________。
19.若关于 x 的方程 (x?2)(x2?4x+m)=0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 m 的取值范围是________.
20.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是________%。
三、解答题（共8题；共60分）
21.解方程：（2x+3）2﹣25=0
22.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1、x2方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求x12+x22+x1x2的值．
23.如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米． （1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长； （2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？
24.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）． 请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解． ①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米． ②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米． ③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
25.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
26.2017年6月17日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的4000多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为9000人，六月份的骑游人数约为16000人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到0.01）．
27.泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元． （1）填表：
月份
九月
十月
清仓
销售单价（元）
100
50
销售量（件）
200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
28.如图，已知，在直角坐标系xOy中，直线? y=43x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向右移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发，经过几秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位．com ?
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】k＞-1且k≠0
12.【答案】x2+(x+3)2=65
13.【答案】-6
14.【答案】0
15.【答案】1
16.【答案】2
17.【答案】m＜ 94
18.【答案】x-1=0或x+3=0
19.【答案】3＜m≤4
20.【答案】10
三、解答题
21.【答案】解：移项得，（2x+3）2=25， 开方得，2x+3=±5， 解得x1=1，x2=﹣4．
22.【答案】解：（1）根据题意得△=42﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜5； （2）当m=1时，方程化为x2+4x=0， 则x1+x2=﹣4，x1x2=0， 所以x12+x22+x1x2=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣4）2﹣0=16．
23.【答案】（1）∵AB=2.5m，BC=O.7m， ∴AC= ∴A1C=AC-AA1=2.4-0.9=1.5m， ∴B1C= ∴BB1=B1C-BC=0.5m； （2）梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为2x， 由勾股定理得：（2.4-x）2+（0.7+2x）2=2.52 ， 解得：x=， 答：梯子沿墙AC下滑的距离是米
24.【答案】解：①设道路的宽为x米．依题意得： （35﹣2x）（20﹣2x）=600； ②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）=600； ③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）=540．
25.【答案】（1）（20+2x）；（40－x） （2）（20+2x）（40－x）=1200， 解得 x1 =20 ，x2 =10 ， 答：每件童装降价20元或10元。 （3）（20+2x）（40－x）=2000? ， 800+60x-2x2=2000， 化简得x2-30x+600=0， 则b2-4ac=900-2400<0， 此方程无解， 故不可能做到平均每天盈利2000元。
26.【答案】解：设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为x， 根据题意得：9000（1+x）2=16000， 解得：1+x=± ， ∴x1=0.33=33%，x2=﹣0.67（舍去）． 答：该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为33%．
27.【答案】解：（1）填表如下：
时间
九月
十月
清仓时
销售单价（元）
100
100﹣x
50
销售量（件）
200
200+2x
800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得 100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200 解这个方程，得x1=20 x2=﹣70 当x=20时，100﹣x=80＞50． 答：第十个月的单价应是80元．
28.【答案】?解：直线AC与x轴交于点A（－6，0），与y轴交于点C（0，8）， ∴OA=6，OC=8． 设经过x秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位， 则Rt△PQO的高OQ为2x ． 当 时，点P在线段OA上，底OP为6－x ， 可列方程 ， 解得： ； 当 时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP为x－6， 可列方程 ， 解得： ，而 不合题意舍去； 综上所述，经过2秒，4秒或 秒能使△PQO的面积为8个平方单位.
【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A.?m≤-1??????????????????????????????????B.?m≤1??????????????????????????????????C.?m≤4??????????????????????????????????D.?m≤12
【答案】B
【考点】根的判别式
【解析】【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【解答】∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解， ∴b2-4ac=22-4m≥0， 解得：m≤1， 则m的取值范围是m≤1． 故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．
2.用配方法解方程，x2+4x=6下列配方正确的是（????）
A.?x+22=10?????????????????B.?x+42=22?????????????????C.?x+22=8?????????????????D.?x+22=6
【答案】A
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【解析】【分析】由题意方程两边都加上一次项一半的平方，再根据完全平方公式分解因式即可. 【解答】x2+4x=6 x4+4x+4=6+4 x+22=10 故选A。 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，即可完成。
3.方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（?? ）
A.?3，﹣4，﹣2?????????????????????B.?3，2，﹣4?????????????????????C.?3，﹣2，﹣4?????????????????????D.?2，﹣2，0
【答案】B
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】解：方程3x2﹣4=﹣2x可变形为方程3x2+2x﹣4=0， 二次项系数是3、一次项系数是2、常数项是﹣4， 故选：B． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4.解方程4（3x+2）2=3x+2时，较恰当的解法是（??? ）
A.?直接开方法???????????????????????????B.?配方法???????????????????????????C.?公式法???????????????????????????D.?因式分解法
【答案】D
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【分析】提公因式即可得出答案．
【解答】方程4（3x+2)2=3x+2变形得4（3x+2)2-（3x+2)=0，其中公因式是（3x+2)， 所以最适合的解法是提公因式因式分解法．故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法的应用，主要考查学生的理解能力
5.已知一元二次方程x2?2x+1=0，下列判断正确的是（??? ? ）。
A.?该方程无实数根??????????????????????????????????????????????????B.?该方程有一个实数根 C.?该方程有两个不相等的实数根?????????????????????????????D.?该方程有两个相等的实数根
【答案】D
【考点】根的判别式
【解析】【分析】一元二次方程x2?2x+1=0，因为Δ=b2?4ac=?22?4×1×1=0，所以该方程有两个相等的实数根。 所以选D。 【点评】本题考查一元二次方程，要求考生掌握一元二次方程的判别式，能通过判别式判断一元二次方程根的情况。
6.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（????）
A.?10%????????????????????????????????????B.?15%????????????????????????????????????C.?20%????????????????????????????????????D.?25%
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】设这两个月的营业额增长的百分率是x． 200×（1+x)2=288 （1+x)2=1.44 ∵1+x＞0， ∴1+x=1.2，x=0.2=20%． 故选C．
7.关于x的一元二次方程x2+3x=0的根的说法正确的是（ ）
A.?没有实数根??????????B.?只有一个实数根??????????C.?有两个相等的实数根??????????D.?有两个不相等的实数根
【答案】D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=b2﹣4ac=32﹣4×1×0=9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值，代入公式判断出△的符号．
8.用配方法解下列方程时，配方错误的是（?? ）
A.?x2+2x﹣99=0化为（x+1）2=100?????????????????????B.?m2?7m?4化为(m?72)2=654 C.?x2+8x+9=0化为（x+4）2=25??????????????????????????D.?3x2?4x?2=0化为(x?23)2=109
【答案】C
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【解析】【解答】解：A、由原方程，得x2+2x=99， 等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得 （x+1）2=100； 故本选项正确； B、由原方程，得 m2﹣7m=4， 等式的两边同时加上一次项系数﹣7的一半的平方 494 ，得 (m?72)2=654 ； 故本选项正确； C、由原方程，得 x2+8x=﹣9， 等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得 （x+4）2=7； 故本选项错误； D、由原方程，得 3x2﹣4x=2， 化二次项系数为1，得 x2﹣ 43 ?x= 23 等式的两边同时加上一次项系数﹣ 43 的一半的平方 49 ，得 (x?23)2=109 ； 故本选项正确． 故选C． 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
9.已知二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有（ ）个交点．
A.?1个??????????????????????????????????B.?2 个??????????????????????????????????C.?无交点??????????????????????????????????D.?无法确定
【答案】B
【考点】根的判别式，抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】根据一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的判别式的符号进行判定二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴交点的个数．
【解答】二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴交点的纵坐标是零，即当y=0时，x2-mx+m-2=0， ∵△=（-m)2-4（m-2)=（m-2)2+4＞0， ∴一元二次方程x2-mx+m-2=0有两个不相等是实数根，即二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有2个交点． 故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． △=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10.已知关于x的方程x2?6x+a?2x?3+9?2a=0有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（??）
A.?a=?2????????????????????????B.?a>0????????????????????????C.?a=?2或a>0????????????????????????D.?a≤?2或a>0
【答案】C
【考点】根的判别式
【解析】【分析】将原方程变形为|x-3|2+（a-2）|x-3|-2a=0，求出方程的△，分为两种情况，△=0，△＞0，代入后求出a的范围即可． 【解答】x2-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0， （x-3）2+（a-2）|x-3|-2a=0，这是一个关于|x-3|的一元二次方程， ∵原方程有且仅有两个不相等的实根， ∴|x-3|只有一个大于0的实数根（因为当|x-3|＜0，无解；当|x-3|=0，有1个解；当|x-3|＞0，有2个解）， △=（a-2）2-4（-2a）=（a+2）2 ， ①当△=0时，|x-3|有唯一解； △=0， a=-2； 此时原方程为|x-3|2-4|x-3|+4=0， |x-3|=2， x=5，x=1； ②|x-3|的一个根大于0，另一个根小于0， △＞0， a≠-2， x1?x2＜0， 根据根与系数的关系得：-2a＜0， a＞0， 综合上述，a的取值分、范围是a＞0或者a=-2， 故选C．
二、填空题（共10题；共30分）
11.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
【答案】k＞-1且k≠0
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程kx2?2x?1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2?4ac=4+4k>0，且k≠0，
解得：k>?1且k≠0.
故答案为k>?1且k≠0.
【分析】首先根据方程是一元二次方程得到二次项系数k≠0，其次根据两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，综合可得到二次项系数k的取值范围。
12.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
【答案】x2+(x+3)2=65
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由较小的数为x，可知较大的数为x+3， 故它们的平方和为x2+(x+3)2 再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65， 故答案为：x2+(x+3)2=65. 【分析】设最小的数，根据题意可知较大的数，然后算得它们的平方和，使其等于65即可得方程。
13.已知2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x?p=0 的一个根，则该方程的另一个根是________．
【答案】-6
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x?p=0 的一个根， ∴2+x1=?4, ∴x1=?6. ∴ 该方程的另一个根是-6．【分析】由根与系数的关系可求解。
14.（2017?淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为________．
【答案】0
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4， 所以原式=a（α+β）﹣3α =3α﹣3α =0． 故答案为0． 【分析】根据根与系数的关系可得α+β=3，αβ=﹣4代入原式计算得出答案.
15.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为________．
【答案】1
【考点】因式分解﹣运用公式法，一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴1+a+b=0， ∴a+b=﹣1， ∴a2+2ab+b2=（a+b）2=1． 故答案为：1 【分析】将x=1代入原方程，可得出a+b=﹣1，再将代数式利用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值。
16.（2015?内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1 ， x2 ， 且满足1x1+1x2=3，则k的值是________?．
【答案】2
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2 ， ∴x1+x2=6，x1x2=k， 1x1+1x2=x1+x2x1x2=6k=3， 解得：k=2， 故答案为：2． 【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
17.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
【答案】m＜ 94
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=m
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜ 94 ，
故答案为：m＜ 94 ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
18.解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________。
【答案】x-1=0或x+3=0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】（x-1）（x+3）=0， x-1=0或x+3=0． 故答案为x-1=0或x+3=0 【分析】把方程左边分解，则原方程可化为x-1=0或x+3=0
19.若关于 x 的方程 (x?2)(x2?4x+m)=0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 m 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根， ∴①x-2=0，解得x1=2； ②x2-4x+m=0， ∴△=16-4m≥0，即m≤4， ∴x2=2+ 4?m x3=2- 4?m 又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长， 且最长边为x2 ， ∴x1+x3＞x2； 解得3＜m≤4， ∴m的取值范围是3＜m≤4． 故答案为：3＜m≤4 【分析】利用积为0的因数特点，可得出x-2=0或x2-4x+m=0，进而求出三个根，利用三角形构成条件，利用两根之和关系式，求出m的范围.
20.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是________%。
【答案】10
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设11、12两月平均每月降价的百分率是x ， 则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2 ， 由题意，得 ∴7000（1-x）2=5670， ∴（1-x）2=0.81， ∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）． 故答案为：10%． 【分析】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键
三、解答题（共8题；共60分）
21.解方程：（2x+3）2﹣25=0
【答案】解：移项得，（2x+3）2=25， 开方得，2x+3=±5， 解得x1=1，x2=﹣4．
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．
22.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1、x2方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求x12+x22+x1x2的值．
【答案】解：（1）根据题意得△=42﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜5； （2）当m=1时，方程化为x2+4x=0， 则x1+x2=﹣4，x1x2=0， 所以x12+x22+x1x2=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣4）2﹣0=16．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=42﹣4（m﹣1）＞0，然后解不等式即可； （2）在（1）的范围内取m=1，则根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣4，x1x2=0，再把x12+x22x1x2变形为（x1+x2）2﹣x1x2 ， 然后利用整体代入的方法计算．
23.如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米． （1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长； （2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？
【答案】（1）∵AB=2.5m，BC=O.7m， ∴AC= ∴A1C=AC-AA1=2.4-0.9=1.5m， ∴B1C= ∴BB1=B1C-BC=0.5m； （2）梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为2x， 由勾股定理得：（2.4-x）2+（0.7+2x）2=2.52 ， 解得：x=， 答：梯子沿墙AC下滑的距离是米
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知∠C=90°，AB=2.5m，BC=0.7m，根据勾股定理可求出AC的长度，根据梯子顶端B沿墙下滑0.9m，可求出A1C的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出B1C的长度，进而求出BB1的长度． （2）可设点B向外移动的距离的一半为2x，则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，根据勾股定理建立方程，解方程即可．
24.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）． 请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解． ①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米． ②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米． ③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
【答案】解：①设道路的宽为x米．依题意得： （35﹣2x）（20﹣2x）=600； ②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）=600； ③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）=540．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】①设道路的宽为x米．长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣2x；那么根据草坪的面积为600m2 ， 即可得出方程． ②如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为600m2 ， 即可得出方程． ③如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为540m2 ， 即可得出方程．
25.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
【答案】（1）（20+2x）；（40－x） （2）（20+2x）（40－x）=1200， 解得 x1 =20 ，x2 =10 ， 答：每件童装降价20元或10元。 （3）（20+2x）（40－x）=2000? ， 800+60x-2x2=2000， 化简得x2-30x+600=0， 则b2-4ac=900-2400<0， 此方程无解， 故不可能做到平均每天盈利2000元。
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，姥降价x元，平均可多售2x件，则每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元； （2）列方程得（20+2x）（40－x）=1200； （3）列方程得（20+2x）（40－x）=2000? ，解方程可知该方程无解.
26.2017年6月17日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的4000多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为9000人，六月份的骑游人数约为16000人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到0.01）．
【答案】解：设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为x， 根据题意得：9000（1+x）2=16000， 解得：1+x=± ， ∴x1=0.33=33%，x2=﹣0.67（舍去）． 答：该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为33%．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为x，根据四月份及六月份的骑游人数，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
27.泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元． （1）填表：
月份
九月
十月
清仓
销售单价（元）
100
50
销售量（件）
200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
【答案】解：（1）填表如下：
时间
九月
十月
清仓时
销售单价（元）
100
100﹣x
50
销售量（件）
200
200+2x
800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得 100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200 解这个方程，得x1=20 x2=﹣70 当x=20时，100﹣x=80＞50． 答：第十个月的单价应是80元．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可； （2）利用“获利9200元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
28.如图，已知，在直角坐标系xOy中，直线? y=43x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向右移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发，经过几秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位．com ?
【答案】?解：直线AC与x轴交于点A（－6，0），与y轴交于点C（0，8）， ∴OA=6，OC=8． 设经过x秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位， 则Rt△PQO的高OQ为2x ． 当 时，点P在线段OA上，底OP为6－x ， 可列方程 ， 解得： ； 当 时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP为x－6， 可列方程 ， 解得： ，而 不合题意舍去； 综上所述，经过2秒，4秒或 秒能使△PQO的面积为8个平方单位.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】分类讨论思想是数学中的一个重要的思想．
