【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第一章 反比例函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列函数中，是反比例函数的是( )
A.?y=－2x???????????????????????????????/B.?y=－
??
??
???????????????????????????????/C.?y=－
2
??
???????????????????????????????/D.?y=－
??
2
2.已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ） ?
A.?y=﹣
1
2??
?????????????????????????????????B.?y=﹣
2
??
?????????????????????????????????C.?y=
2
??
?????????????????????????????????D.?y=
1
??
3.在反比例函数??=
1???
??
的每一条曲线上，y都随着x的增大而增大，则k的值可以是（?）
A.?－1??????????????????????????????????????????/B.?0??????????????????????????????????????????/C.?1??????????????????????????????????????????/D.?2
4.（2017?广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=
??
2
??
（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（?? ） /
A.?（﹣1，﹣2）?????????????????/B.?（﹣2，﹣1）?????????????????/C.?（﹣1，﹣1）?????????????????/D.?（﹣2，﹣2）
5.已知函数y=（m﹣2）
??
??
2
?10
是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是（ ）
A.?3?????????????????????????????????????????/B.?-3?????????????????????????????????????????/C.?±3?????????????????????????????????????????/D.?-
1
3
6.一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝
??
??
的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k、b的取值范围是(? ?) /
A.?k＞0，b＞0?????????????????????/B.?k＜0，b＞0?????????????????????/C.?k＜0，b＜0?????????????????????/D.?k＞0，b＜0
7.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ） /
A.?5kg/m3????????????????????????????B.?2kg/m3????????????????????????????C.?100kg/m3????????????????????????????D.?1kg/m3
8.如图，函数y1=
??
1
??
（k1≠0）与y2=k2x（k2≠0）的图象Ox交于A、B两点，且A（﹣1，3）．若y1＜y2 ， 则x的取值范围是（ ） /
A.?﹣1＜x＜0?????????????????/B.?x＜﹣1或0＜x＜1????????????????/C.?﹣1＜x＜1??????????????????/D.?﹣1＜x＜0或x＞1
9.如果反比例函数y=
1???
??
的图象在所在的每个象限y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（?? ）
A.?m＞1???????????????????????????????????/B.?m＜1???????????????????????????????????/C.?m≤1???????????????????????????????????/D.?m≥1
10.如图，点A在双曲线y=
??
??
上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（?? ） /
A.?8﹣2
7
????????????????????????????????????/B.?8+2
7
????????????????????????????????????/C.?3????????????????????????????????????/D.?6
二、填空题（共10题；共30分）
11.点P(2m－3，1)在反比例函数y＝
1
??
的图象上，则m＝________．
12.长方体的体积为103 m3 ， 底面积为S，高度为d，则S与d之间的函数关系式为________；当S＝500时，d＝________
13.已知y与
??
成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y=________．
14.如图，点A在双曲线y＝
2
??
（x＞0）上，点B在双曲线y＝
4
??
（x＞0）上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为________． /
15.如图，点A在函数y＝
??
??
(x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则k的值为________．
///
16.如图，点A在反比例函数 ??=
??
??
上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是4，则k的值是________． 17.反比例函数y=
??
??
（k＞0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为________．
18.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图所示，y2=
12
??
，过y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，如果S△AOB=4，那么y1的函数表达式是________．
19.（2017?云南）已知点A（a，b）在双曲线y=
5
??
上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为________．
20.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 ??=
2
??
上，第二象限的点B在反比例函数 ??=
??
??
上，且OA ⊥ OB， sin??=
3
3
，则k的值为________． /
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y1=
4
??
（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y2=
??
2
??
?（x＞0，k＜0）的y2图象于点B，BC⊥x轴，若S△ABC=
15
2
，求函数y2 ． /
22.如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=
??
??
（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=
??
??
（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
?/
23.如图，正比例函数y=﹣
1
2
x的图象与反比例函数y=
??
??
的图象分别交于M，N两点，已知点M（﹣2，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标． ?/
24.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=
??
??
（k＞0）的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式. /
25.已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=
??
??
（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小． /
26.已知双曲线??=
??
??
与直线??=
1
4
??相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线??=
??
??
上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x轴交双曲线??=
??
??
于点E，交BD于点C． / （1）若点D坐标是（﹣8，0），求A、B两点坐标及k的值． （2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
27.如图：一次函数的图象与反比例函数??=
??
??
的图象交于A（－2,6）和点B（4,n） / （1）求反比例函数的解析式和B点坐标 （2）根据图象回答,在什么范围时,一次函数的值大于反比例函数的值.
28.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ ?/
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】2
12.【答案】S＝
10
3
??
；2
13.【答案】
2
14.【答案】1.
15.【答案】
3
16.【答案】-8
17.【答案】（﹣2，﹣1）
18.【答案】y1=
4
??
19.【答案】y=﹣5x+5或y=﹣
1
5
x+1
20.【答案】?1
三、解答题
21.【答案】解：设A（m， /）（m＜0）， 直线AB的解析式为y=ax（k≠0）， ∵A（m， /）， ∴ma= /，解得a= /， ∴直线AB的解析式为y= /x． ∵AO的延长线交函数y= /的图象于点B， ∴B（﹣ /mk，﹣ /）， ∵△ABC的面积等于 /，CB⊥x轴， ∴ /×（﹣ /）×（﹣ /mk+|m|）= /，解得k1=﹣5（舍去），k2=3， ∴y2= /
22.【答案】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），
∴n=﹣1+5，
∴n=4，
∴点A坐标为（1，4），
∵反比例函数y=
??
??
（k≠0）过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=
4
??
；
（2）联立
??=???+5
??=
4
??
，
解得
??=1
??=4
或
??=4
??=1
，
即点B的坐标（4，1），
若一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=
??
??
（k≠0）的值，
则1＜x＜4．
23.【答案】解：（1）∵点M（﹣2，m）在正比例函数y=﹣
1
2
x的图象上， ∴m=﹣
1
2
×（﹣2）=1， ∴M（﹣2，1）， ∵反比例函数y=
??
??
的图象经过点M（﹣2，1）， ∴k=﹣2×1=﹣2． ∴反比例函数的解析式为y=﹣
2
??
． （2）∵正比例函数y=﹣
1
2
x的图象与反比例函数y=
??
??
的图象分别交于M，N两点，点M（﹣2，1）， ∴N（2，﹣1）， ∵点P为y轴上的一点， ∴设P（0，m）， ∵∠MPN为直角， ∴△MPN是直角三角形， ∴（0+2）2+（m﹣1）2+（0﹣2）2+（m+1）2=（2+2）2+（﹣1﹣1）2 ， 解得m=±
5
∴点P的坐标为（0，
5
）或（0，﹣
5
）．
24.【答案】解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2）．∵F为AB的中点，∴F（3，1）．∵点F在反比例函数 ??=
??
??
（k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为 ??=
3
??
（x＞0）
25.【答案】解：（1）设A点的坐标为（x，y），则OP=x，PA=y， ∵△OAP的面积为1，∴
1
2
xy=1，xy=2，即k=2， ∴反比例函数的解析式为：y=
2
??
． （2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，MA+MB最小， / 点B的横坐标为2，点B的纵坐标为y=
2
2
=1， 两个函数图象在第一象限的图象交于A点， 2x=
2
??
，x±1，y=±2， A点的坐标（1，2）， A关于x轴的对称点A′（1，﹣2）， 设直线A′B的解析式为y=kx+b，
??+??=?2
2??+??=1
， 解得
??=3
??=?5
， 直线y=3x﹣5与x轴的交点为（
5
3
，0）， 则M点的坐标为（
5
3
，0）．
26.【答案】（1）∵D（﹣8，0）， ∴B点的横坐标为﹣8，代入??=
1
4
??中，得y=﹣2． ∴B点坐标为（﹣8，﹣2）． ∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）． ∴k=xy=8×2=16； （2）∵N（0，﹣n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上， / ∴mn=k，B（﹣2m，﹣
??
2
），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n）． S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=
1
2
????=
1
2
??，S△OEN=
1
2
????=
1
2
??， ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO﹣S△DBO﹣S△OEN=k=4． ∴k=4． ∵B（﹣2m，﹣
??
2
）在双曲线??=
4
??
与直线??=
1
4
??上 ∴
?2??
×
?
??
2
=4
1
4
×
?2??
=?
??
2
得
??
1
=2
??
1
=2
或
??
2
=?2
??
2
=?2
（舍去） ∴C（﹣4，﹣2），M（2，2）． 设直线CM的解析式是y=ax+b，把C（﹣4，﹣2）和M（2，2）代入得：
?4??+??=?2
2??+??=2
解得??=??=
2
3
． ∴直线CM的解析式是??=
2
3
??+
2
3
．
27.【答案】解：（1）把A（﹣2,6）代入??=
??
??
得：k=﹣12, 即反比例函数的解析式是：??=?
12
??
, 把B（4,n）代入反比例函数的解析式得：??=?
12
4
=?3, 即B的坐标是（4,﹣3）; （2）∵一次函数和反比例函数的交点坐标是（4,﹣3）和（﹣2,6）, ∴一次函数的值大于反比例函数的值时,x的范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
28.【答案】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=
??
2
??
， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴y2=
1000
??
当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30,y2=
1000
30
=
100
3
， ∴y1＜y2 ∴第30分钟注意力更集中． （2）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴36=
1000
??
， ∴x2=
1000
36
≈27.8 ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第一章 反比例函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列函数中，是反比例函数的是( )
A.?y=－2x???????????????????????????????/B.?y=－
??
??
???????????????????????????????/C.?y=－
2
??
???????????????????????????????/D.?y=－
??
2
【答案】C
【考点】反比例函数的定义
【解析】【分析】反比例函数的定义：一般地，形如??=
??
??
??≠0
的函数叫做反比例函数. A、y=－2x，D、y=－
??
2
，是正比例函数，B、y=－
??
??
，缺少??≠0的条件，故错误； C、y=－
2
??
，符合反比例函数的定义，本选项正确. 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的定义，即可完成.
2.已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ） ?
A.?y=﹣
1
2??
?????????????????????????????????B.?y=﹣
2
??
?????????????????????????????????C.?y=
2
??
?????????????????????????????????D.?y=
1
??
【答案】B
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】设解析式为y＝
??
??
（k≠0)，由于反比例函数的图象经过点（-1，2)，代入反比例函数即可求得k的值．
【解答】设反比例函数图象设解析式为y＝
??
??
， 将点（-1，2)代入y＝
??
??
得， k=-1×2=-2， 则函数解析式为y=-
2
??
． 故选B．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点（-1，2)代入反比例函数，求出系数k是解题的关键．
3.在反比例函数??=
1???
??
的每一条曲线上，y都随着x的增大而增大，则k的值可以是（?）
A.?－1??????????????????????????????????????????/B.?0??????????????????????????????????????????/C.?1??????????????????????????????????????????/D.?2
【答案】D
【考点】反比例函数的性质
【解析】【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1-k的符号，再求出k的取值范围即可． 【解答】∵y都随x的增大而增大， ∴此函数的图象在二、四象限， ∴1-k＜0， ∴k＞1． 故k可以是2， 故选D． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，此题属开放行题目，答案不唯一，解答此题的关键是根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质解答即可．
4.（2017?广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y=
??
2
??
（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（?? ） /
A.?（﹣1，﹣2）?????????????????/B.?（﹣2，﹣1）?????????????????/C.?（﹣1，﹣1）?????????????????/D.?（﹣2，﹣2）
【答案】A
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
5.已知函数y=（m﹣2）
??
??
2
?10
是反比例函数，图象在第一、三象限内，则m的值是（ ）
A.?3?????????????????????????????????????????/B.?-3?????????????????????????????????????????/C.?±3?????????????????????????????????????????/D.?-
1
3
【答案】A
【考点】反比例函数的定义，反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=（m﹣2）
??
??
2
?10
是反比例函数， ∴m2﹣10=﹣1， 解得，m2=9， ∴m=±3， 当m=3时，m﹣2＞0，图象位于一、三象限； 当m=﹣3时，m﹣2＜0，图象位于二、四象限； 故选A． 【分析】根据反比例函数的定义建立关于m的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答．
6.一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝
??
??
的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k、b的取值范围是(? ?) /
A.?k＞0，b＞0?????????????????????/B.?k＜0，b＞0?????????????????????/C.?k＜0，b＜0?????????????????????/D.?k＞0，b＜0
【答案】C
【考点】反比例函数的性质，一次函数的性质
【解析】【解答】∵一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限，∴k<0，b<0， 又∵反比例函数y=
??
??
(k≠0)的图象经过二、四象限，∴k<0. 综上所述，k<0，b<0. 故答案为：C. 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质可求解。根据一次函数的图像过过二、三、四象限，可得k<0，b<0；反比例函数的图像过二、四象限，可得k<0；于是可得k<0，b<0。
7.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是（ ） /
A.?5kg/m3????????????????????????????B.?2kg/m3????????????????????????????C.?100kg/m3????????????????????????????D.?1kg/m3
【答案】D
【考点】反比例函数的应用
【解析】【解答】∵ρ?V=10，
∴ρ=
10
??
， ∴当V=10m3时，ρ=
10
??
=1kg/m3 ． 故选：D．
【分析】根据题意：密度ρ与体积V成反比例函数，且过点（5，2)，故ρ?V=10；故当V=10m3时，气体的密度是 10 V =1kg/m3 ． 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
8.如图，函数y1=
??
1
??
（k1≠0）与y2=k2x（k2≠0）的图象Ox交于A、B两点，且A（﹣1，3）．若y1＜y2 ， 则x的取值范围是（ ） /
A.?﹣1＜x＜0?????????????????/B.?x＜﹣1或0＜x＜1????????????????/C.?﹣1＜x＜1??????????????????/D.?﹣1＜x＜0或x＞1
【答案】D
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数y1=
??
1
??
（k1≠0）与y2=k2x（k2≠0）的图象Ox交于A、B两点，且A（﹣1，3）， ∴B（1，﹣3）， ∵y1＜y2 ， ∴此时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1， 故选D． 【分析】根据A、B的横坐标，结合图象即可得出当y1＜y2时x的取值范围．
9.如果反比例函数y=
1???
??
的图象在所在的每个象限y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（?? ）
A.?m＞1???????????????????????????????????/B.?m＜1???????????????????????????????????/C.?m≤1???????????????????????????????????/D.?m≥1
【答案】B
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得：1﹣m＞0， 解得：m＜1， 故选：B． 【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣m＞0，再解即可．
10.如图，点A在双曲线y=
??
??
上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（?? ） /
A.?8﹣2
7
????????????????????????????????????/B.?8+2
7
????????????????????????????????????/C.?3????????????????????????????????????/D.?6
【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x，y）， ∵OA=4， ∴x2+y2=16①， ∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB=OB， ∵AB+BC﹣AC=OB+BC+AC=OC+AC=x﹣y=2②， 由①②得：xy=6， ∵点A在双曲线y=
??
??
上， ∴k=6． 故选：D． 【分析】首先设点A的坐标为（x，y），由OA=4，可得x2+y2=16①，由题意得出x﹣y=2②，由①②得出xy=6，即可得出结果．
二、填空题（共10题；共30分）
11.点P(2m－3，1)在反比例函数y＝
1
??
的图象上，则m＝________．
【答案】2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据点P在反比例函数y＝
1
??
的图像上，可直接代入可得 1=
1
2???3
，解得2m-3=1，即m=2.【分析】将点p代入反比例函数的解析式，从而得到一个关于m的方程，求解得出m的值。
12.长方体的体积为103 m3 ， 底面积为S，高度为d，则S与d之间的函数关系式为________；当S＝500时，d＝________
【答案】S＝
10
3
??
；2
【考点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】∵v＝sd， ∴s=
10
3
??
, 当s=500时，代入s=
10
3
??
中得，d=2; 故答案是：s=
10
3
??
,2。 【分析】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．然后再根据题意进行解答.由容积=底面积×深度可列出底面积s（m2）与其深度d（m）之间的函数关系； 把S=500代入s与d之间的函数关系式，即可求得施工队施工时应向下掘进的深度.
13.已知y与
??
成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y=________．
【答案】
2
【考点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：由于y与
??
成反比例，可以设y=
??
??
，
把x=4，y=1代入得到1=
??
2
，
解得k=2，
则函数解析式是y=
2
??
，
把x=2代入就得到y=
2
．
故答案为：
2
．
【分析】此题可先根据反比例函数的定义设出其解析式，再利用待定系数法求解，最后代入求值．
14.如图，点A在双曲线y＝
2
??
（x＞0）上，点B在双曲线y＝
4
??
（x＞0）上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为________． /
【答案】1.
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】连接OA，OB，延长BA交x轴于点C，则S△OAC=1，S△OBC=2，所以S△PBA=S△OAB=S△OBC-S△OAC=1. / 【分析】连接OA，OB，延长BA交x轴于点C，利用反比例函数的比例系数K的几何意义知S△OAC=1，S△OBC=2，从而利用S△PBA=S△OAB=S△OBC-S△OAC得出答案。
15.如图，点A在函数y＝
??
??
(x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则k的值为________．
/
【答案】
3
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB， / ∵△OAB为正三角形，边长为2，
∴OC=1，AC=
3
，?? ∴k=1×
3
=
3
．
【分析】过点A作AC⊥OB，根据△OAB是边长为2的等边三角形，求出OC、AC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法求出k的值。
16.如图，点A在反比例函数 ??=
??
??
上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是4，则k的值是________． /
【答案】-8
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵AB⊥x轴， ∴S△AOB=
1
2
|k|=4， ∵k＜0， ∴k=﹣8． 故答案为：﹣8 【分析】根据反比例函数的k的几何意义可求解。S△AOB=
1
2
|k|=4，则k=±8，由图知k＜0，则k=﹣8．
17.反比例函数y=
??
??
（k＞0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为________．
【答案】（﹣2，﹣1）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A（2，1）与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（﹣2，﹣1）． 故答案是：（﹣2，﹣1）． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
18.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图所示，y2=
12
??
，过y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，如果S△AOB=4，那么y1的函数表达式是________． /
【答案】y1=
4
??
【考点】反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设y1=
??
??
， ∵AB∥x轴， ∴S△OBC=
1
2
×12=6，S△OAC=
1
2
k， ∴S△AOB=6﹣
1
2
k=4， ∴k=4， ∴y1的解析式是y1=
4
??
故答案为y1=
4
??
． 【分析】设y=
??
??
，根据反比例函数xy=k（k≠0）系数k的几何意义得到S△OAC=
1
2
k，S△OBC=
1
2
×12=6，由S△AOB=4得到6﹣
1
2
k=4，然后解方程即可．
19.（2017?云南）已知点A（a，b）在双曲线y=
5
??
上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为________．
【答案】y=﹣5x+5或y=﹣
1
5
x+1
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点A（a，b）在双曲线y=
5
??
上， ∴ab=5， ∵a、b都是正整数， ∴a=1，b=5或a=5，b=1． 设经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式为y=mx+n． ①当a=1，b=5时， 由题意，得 {
??+??=0
??=5
，解得 {
??=?5
??=5
， ∴y=﹣5x+5； ②当a=5，b=1时， 由题意，得 {
5??+??=0
??=1
，解得 {
??=?
1
5
??=1
， ∴y=﹣
1
5
x+1． 则所求解析式为y=﹣5x+5或y=﹣
1
5
x+1． 故答案为：y=﹣5x+5或y=﹣
1
5
x+1． 【分析】根据反比例函数图像上点的特征结合题意得出ab=5，再由a、b都是正整数，得出a=1，b=5或a=5，b=1． 设经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式为y=mx+n． ①当a=1，b=5时， 由题意得到关于m与n的二元一次方程组{
??+??=0
??=5
，解得 {
??=?5
??=5
，所以y=﹣5x+5； ②当a=5，b=1时， 由题意得到关于m与n的二元一次方程组 {
5??+??=0
??=1
，解得 {
??=?
1
5
??=1
，所以y=﹣
1
5
x+1． 从而得出所求解析式为y=﹣5x+5或y=﹣
1
5
x+1．
20.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 ??=
2
??
上，第二象限的点B在反比例函数 ??=
??
??
上，且OA ⊥ OB， sin??=
3
3
，则k的值为________． /
【答案】?1
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】作BE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F， / ∵点A在反比例函数 ??=
2
??
上， ∴
??
△??????
=1, ∵OA⊥OB， ∴∠??????+∠??????=
90
°
, 又 ∠??????+∠??????=
90
°
， ∴∠AOF=∠OBE， ∴△OBE∽△AOF， ∵sin??=
3
3
， ∴
????
????
=
1
2
， ∴
??
△??????
??
△??????
=
1
2
， ∴
??
△??????
=
1
2
， ∴k=?1， 故答案为：?1. 【分析】作BE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F，根据点A的位置可得
??
△??????
=1,再证得△OBE∽△AOF，又由sin??=
3
3
， 得到
????
????
=
1
2
， 那么
??
△??????
??
△??????
=
1
2
，即
??
△??????
=
1
2
，从而可求得k=?1.
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y1=
4
??
（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y2=
??
2
??
?（x＞0，k＜0）的y2图象于点B，BC⊥x轴，若S△ABC=
15
2
，求函数y2 ． /
【答案】解：设A（m， /）（m＜0）， 直线AB的解析式为y=ax（k≠0）， ∵A（m， /）， ∴ma= /，解得a= /， ∴直线AB的解析式为y= /x． ∵AO的延长线交函数y= /的图象于点B， ∴B（﹣ /mk，﹣ /）， ∵△ABC的面积等于 /，CB⊥x轴， ∴ /×（﹣ /）×（﹣ /mk+|m|）= /，解得k1=﹣5（舍去），k2=3， ∴y2= /
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】设A（m，
4
??
）（m＜0），则可得到直线AB的解析式为y=
4
??
2
x．再利用反比例函数与一次函数的交点问题可表示出B（﹣
1
2
mk，﹣
2??
??
），则利用三角形面积公式得到
1
2
×（﹣
2??
??
）×（﹣
1
2
mk+|m|）=
15
2
，解得k1=﹣5（舍去），k2=3，于是得到y2=
9
??
．
22.如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=
??
??
（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=
??
??
（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
?/
【答案】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），
∴n=﹣1+5，
∴n=4，
∴点A坐标为（1，4），
∵反比例函数y=
??
??
（k≠0）过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=
4
??
；
（2）联立
??=???+5
??=
4
??
，
解得
??=1
??=4
或
??=4
??=1
，
即点B的坐标（4，1），
若一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=
??
??
（k≠0）的值，
则1＜x＜4．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先求出点A的坐标，进而即可求出反比例函数系数k的值；
（2）联立反比例函数和一次函数解析式，求出交点B的坐标，结合图形即可求出x的取值范围．
23.如图，正比例函数y=﹣
1
2
x的图象与反比例函数y=
??
??
的图象分别交于M，N两点，已知点M（﹣2，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标． ?/
【答案】解：（1）∵点M（﹣2，m）在正比例函数y=﹣
1
2
x的图象上， ∴m=﹣
1
2
×（﹣2）=1， ∴M（﹣2，1）， ∵反比例函数y=
??
??
的图象经过点M（﹣2，1）， ∴k=﹣2×1=﹣2． ∴反比例函数的解析式为y=﹣
2
??
． （2）∵正比例函数y=﹣
1
2
x的图象与反比例函数y=
??
??
的图象分别交于M，N两点，点M（﹣2，1）， ∴N（2，﹣1）， ∵点P为y轴上的一点， ∴设P（0，m）， ∵∠MPN为直角， ∴△MPN是直角三角形， ∴（0+2）2+（m﹣1）2+（0﹣2）2+（m+1）2=（2+2）2+（﹣1﹣1）2 ， 解得m=±
5
∴点P的坐标为（0，
5
）或（0，﹣
5
）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把M（﹣2，m）代入函数式y=﹣
1
2
x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=
??
??
可求出函数解析式； （2）根据M的坐标求得N的坐标，设P（0，m），根据勾股定理列出关于m的方程，解方程即可求得m进而求得P的坐标．
24.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=
??
??
（k＞0）的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式. /
【答案】解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2）．∵F为AB的中点，∴F（3，1）．∵点F在反比例函数 ??=
??
??
（k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为 ??=
3
??
（x＞0）
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质由矩形的边长OA=3，OC=2得出B点的坐标，又F为AB的中点，故能得出F点的坐标，然后将F点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出比例系数K的值，从而得出反比例函数的解析式。
25.已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=
??
??
（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小． /
【答案】解：（1）设A点的坐标为（x，y），则OP=x，PA=y， ∵△OAP的面积为1，∴
1
2
xy=1，xy=2，即k=2， ∴反比例函数的解析式为：y=
2
??
． （2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，MA+MB最小， / 点B的横坐标为2，点B的纵坐标为y=
2
2
=1， 两个函数图象在第一象限的图象交于A点， 2x=
2
??
，x±1，y=±2， A点的坐标（1，2）， A关于x轴的对称点A′（1，﹣2）， 设直线A′B的解析式为y=kx+b，
??+??=?2
2??+??=1
， 解得
??=3
??=?5
， 直线y=3x﹣5与x轴的交点为（
5
3
，0）， 则M点的坐标为（
5
3
，0）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设出A点的坐标，根据△OAP的面积为1，求出xy的值，得到反比例函数的解析式； （2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，得到MA+MB最小时，点M的位置，求出直线A′B的解析式，得到它与x轴的交点，即点M的坐标．
26.已知双曲线??=
??
??
与直线??=
1
4
??相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线??=
??
??
上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x轴交双曲线??=
??
??
于点E，交BD于点C． / （1）若点D坐标是（﹣8，0），求A、B两点坐标及k的值． （2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
【答案】（1）∵D（﹣8，0）， ∴B点的横坐标为﹣8，代入??=
1
4
??中，得y=﹣2． ∴B点坐标为（﹣8，﹣2）． ∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）． ∴k=xy=8×2=16； （2）∵N（0，﹣n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上， / ∴mn=k，B（﹣2m，﹣
??
2
），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n）． S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=
1
2
????=
1
2
??，S△OEN=
1
2
????=
1
2
??， ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO﹣S△DBO﹣S△OEN=k=4． ∴k=4． ∵B（﹣2m，﹣
??
2
）在双曲线??=
4
??
与直线??=
1
4
??上 ∴
?2??
×
?
??
2
=4
1
4
×
?2??
=?
??
2
得
??
1
=2
??
1
=2
或
??
2
=?2
??
2
=?2
（舍去） ∴C（﹣4，﹣2），M（2，2）． 设直线CM的解析式是y=ax+b，把C（﹣4，﹣2）和M（2，2）代入得：
?4??+??=?2
2??+??=2
解得??=??=
2
3
． ∴直线CM的解析式是??=
2
3
??+
2
3
．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】此题主要考查了待定系数法函数解析式以及一次函数与反比例函数交点的性质，根据四边形OBCE的面积为4得出k的值是解决问题的关键． （1）根据B点的横坐标为﹣8，代入??=
1
4
??中，得y=﹣2，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据k=xy求出即可； （2）根据S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=
1
2
????=
1
2
?? ， S△OEN=
1
2
????=
1
2
?? ， 即可得出k的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可． ?
27.如图：一次函数的图象与反比例函数??=
??
??
的图象交于A（－2,6）和点B（4,n） / （1）求反比例函数的解析式和B点坐标 （2）根据图象回答,在什么范围时,一次函数的值大于反比例函数的值.
【答案】解：（1）把A（﹣2,6）代入??=
??
??
得：k=﹣12, 即反比例函数的解析式是：??=?
12
??
, 把B（4,n）代入反比例函数的解析式得：??=?
12
4
=?3, 即B的坐标是（4,﹣3）; （2）∵一次函数和反比例函数的交点坐标是（4,﹣3）和（﹣2,6）, ∴一次函数的值大于反比例函数的值时,x的范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式,把B的坐标代入即可求出B的坐标; （2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
28.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ ?/
【答案】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=
??
2
??
， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴y2=
1000
??
当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30,y2=
1000
30
=
100
3
， ∴y1＜y2 ∴第30分钟注意力更集中． （2）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴36=
1000
??
， ∴x2=
1000
36
≈27.8 ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
