2018_2019年高中数学第3章三角恒等变换单元评估验收新人教A版必修4

第3章 三角恒等变换
单元评估验收(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2sin215°－1的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos 30°＝－.
答案：D
2．在△ABC中，已知sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
解析：sin Asin B＜cos Acos B，即sin Asin B－cos Acos B＜0，－cos(A＋B)＜0，所以cos C＜0，从而C为钝角，△ABC为钝角三角形．
答案：B
3．已知cos＝，－＜α＜0，则sin 2α的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：由已知得sin α＝－，又－＜α＜0，
故cos α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
答案：D
4．函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
解析：因为f(x)＝sin xcos x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期和振幅分别是π，1，故选A.
答案：A
5．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A. B. C. D.
解析：△ABC中，C＝120°，得A＋B＝60°，
所以(tan A＋tan B)＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝
(1－tan Atan B)＝.
所以tan Atan B＝.
答案：B
6．已知α为锐角，cos α＝，则tan＝(　　)
A．－3 B．－
C．－ D．－7
解析：由α为锐角，cos α＝，得sin α＝，所以tan α＝2，tan 2α＝＝＝－，所以tan＝＝＝－，选B.
答案：B
7．若cos＝，α∈，则sin α的值为(　　)
A. B. C. D.
解析：由题意可得，α＋∈，
所以sin＝ ＝，
sin α＝sin
＝sincos －cos ·sin 
＝×－×
＝.
答案：A
8．已知sin α－cos α＝－，则tan α－的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
解析：将方程sin α－cos α＝－两边平方，可得1－sin 2α＝，即sin 2α＝－，则
tan α＋＝＝＝＝＝－8.
答案：D
9．已知cos＝，x∈(0，π)，则sin x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由cos＝，且0所以sin＝，
所以sin x＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
答案：B
10．已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B. C. D．－
解析：由题意可得，
cos＝cos
＝cos 2
＝2cos2－1
＝2sin2－1
＝－.
答案：A
11．函数y＝sin·sin的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：y＝sinsin
＝sinsin
＝sin·cos
＝sin，
所以当sin＝1时函数有最大值，最大值为，故选A.
答案：A
12．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
解析：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝
＝cos
＝cos
因为f(x)的最小正周期为π，
所以＝π，ω＝2.
又f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数，
所以φ－＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f(x)＝cos 2x，
由0＜2x＜π得0＜x＜，此时，f(x)单调递减，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．
解析：因为2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，所以A＝，b＝1.
答案：　1
14．若tan＝，则tan α＝________．
解析：tan＝＝，解得tan α＝.
答案：
15．函数f(x)＝sin－2·sin2x的最小正周期是________．
解析：由f(x)＝sin－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－，
故最小正周期为π.
答案：π
16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．
解析：题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则有所以两条直角边的长分别为3，4.则cos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0＜α＜，sin α＝.
(1)求的值；
(2)求tan的值．
解：(1)由0＜α＜，sin α＝，得cos α＝.
所以＝＝
＝20.
(2)因为tan α＝＝，
所以tan＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝cos＝cos＝cos ＝1.
(2)f
＝cos
＝cos
＝cos 2θ－sin 2θ.
因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－.
所以sin 2θ＝2sin θcosθ＝－.
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.
所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x.
(1)求f(x)的最大值；
(2)若tan α＝2，求f(α)的值．
解：(1)f(x)＝sin 2x－2cos2x
＝sin 2x－cos 2x－1
＝2sin－1.
当2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋，k∈Z时．
f(x)的最大值为1.
(2)f(α)＝sin 2α－2cos2α
＝
＝，
因为tan α＝2，
所以f(α)＝＝.
20．(本小题满分12分)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)且m·n＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
解：(1)由题意得m·n＝sin A－cos A＝2sin＝1，
sin＝.
由A为锐角得A－＝，所以A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝
－2＋.
因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，
因此，当sin x＝时，f(x)有最大值，当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域为.
21．(本小题满分12分)设向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b)．
(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期；
(2)求使不等式f(x)≥成立的x的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝a·(a＋b)＝a·a＋a·b＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x＋cos2x＝1＋sin 2x＋(cos 2x＋1)＝＋sin，
所以f(x)的最大值为＋，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)≥?＋sin≥?sin≥0?2kπ≤2x＋≤2kπ＋π?kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以使f(x)≥成立的x的取值范围是
.
22． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)f＝2cos ＝
－2cos ＝2.
(2)因为f(x)＝2sin xcosx＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝
sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1.
(1)f＝sin ＋1＝sin ＋1＝2.
(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.