2018_2019学年高中数学第二章平面向量章末复习课学案新人教A版必修4

第二章 平面向量
章末复习课
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1．有关向量的注意点
(1)零向量的方向是任意的．
(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．
(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．
2．向量的运算律中的注意点
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．
(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).
专题一　有关向量共线问题
有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λ b(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
[例1]　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若k a＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．
解：法一：向量k a＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使k a＋2b＝λ(2a－4b)．
因为k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝
(k－6，2k＋4)．
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，
所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．
所以解得
即实数k的值为－1.
法二：因为k a＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝
(k－6，2k＋4)，
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，
ka＋2b与2a－4b平行，
所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.
解得k＝－1.
归纳升华
1．向量与非零向量a共线?存在唯一实数 λ使b＝λa.
2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0.
[变式训练]　平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝m b＋n c的实数m、n；
(2)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)因为a＝mb＋nc，
所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．
所以解得
(2)因为(a＋k c)∥(2b－a)，a＋k c＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．
所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
专题二　有关向量的夹角、垂直问题
非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，
cos θ＝＝ .
[例2]　已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．
解：由已知|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝13.
所以a2＋2a·b＋b2＝13，则()2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝()2－6＋22＝1，
所以|a－b|＝1.
所以cos θ＝＝＝＝－.
归纳升华
1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；
2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的.
[变式训练]　(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．π
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．
(1)解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，
所以|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.
所以cos θ＝.又因为0≤θ ≤π，所以θ＝.
(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，所以x＝－.
答案：A　(2)－
专题三　有关向量的模的问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝ ；
(4)应用三角形或平行四边形法则．
[例3]　设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
(2)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cos x，sin x)，则|a＋b|的取值范围为________．
解析：法一：因为2＝16，所以||＝4.
又|－|＝||＝4，
所以|＋|＝4，因为M为BC的中点，所以＝－.
所以＝＋＝＋，所以＝(＋)，
所以||＝|＋|＝×4＝2.
法二：如图所示，四边形ABDC是平行四边形，又|＋|＝|－|，
所以||＝||，所以四边形ABDC是矩形，
所以||＝||，
又2＝16，
所以||＝4，
所以||＝2.
(2)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)，
所以a＋b＝(cos x，sin x－1)．
所以|a＋b|＝＝＝

因为－1≤sin x≤1，所以0≤|a＋b|≤2.
答案：(1)C　(2)[0，2]
归纳升华
　解答该类题目有以下几个关键点：
1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．
2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．
3．数形结合法的运用可使解题简捷．
[变式训练]　已知向量a和b的模都是2，其夹角为60°，又知＝a＋2b，＝－2a＋b，则||＝________．
解析：＝－＝－3a－b，
||2＝·＝(－3a－b)2＝9a2＋6a·b＋b2.
因为|a|＝|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝2，
所以||2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×4＋6×2＋4＝52.
所以||＝2.
答案：2
专题四　数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．
[例4]　已知向量a与b不共线，且|a|＝|b|≠0，则下列结论正确的是(　　)
A．向量a＋b与a－b垂直
B．向量a－b与a垂直
C．向量a＋b与a垂直
D．向量a＋b与a－b共线
解析：如图所示，作＝a，＝b，以OA和OC为邻边作?OABC.由于|a|＝|b|≠0，则四边形OABC是菱形，所以必有AC⊥OB.
又因为a＋b＝，a－b＝，所以(a＋b)⊥(a－b)．
答案：A
归纳升华
通过本题可以得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上可以作为结论记住．
[变式训练]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．－1
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)．
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
·(＋)
＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2y2－2y
＝2－，
所以当x＝0，y＝时，[·(＋)]min＝－.
答案：B