2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变换章末复习课学案新人教A版必修4

第三章 三角恒等变换
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．熟练把握三角中的相关公式
本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键．
2．关注角的取值范围
由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现．
专题一　三角函数式的求值问题
三角函数式求值主要有以下三种题型．
(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋ β )－ β，2α＝(α＋ β)＋(α－ β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
[例1]　(1)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A.　　　B.　　　　C．1　　　　　D.
(2)的值是(　　)
A. B. C. D．－
解析：(1)因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.
(2)原式＝＝
－＝－＝
－tan (45°＋15°)＝－tan 60°＝－.
答案：(1)A　(2)D
归纳升华
对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．
[变式训练]　已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝(　　)
A. B．－ C．－ D.
解析：因为sin＝，
所以sin α－.
cos α＝，即sin α－cos α＝，因为cos 2α＝，
所以cos2 α－sin2 α＝，即(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝，
所以cos α＋sin α＝－，可得sin α＝.
答案：D
专题二　三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．
三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的.
[例2]　化简(tan 10°－)·.
解：原式＝·＝
＝
＝＝
＝－2.
归纳升华
本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件，解法简捷，明快．
[变式训练]　求证：＝.
证明：法一：右边＝＝＝
＝
＝
＝左边．
所以原命题成立．
法二：左边＝＝
＝
＝＝右边，
所以原命题成立．
专题三　三角恒等变换的综合应用
高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
[例3]　(2015·重庆卷)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝
cos xsin x－(1＋cos 2x)＝
sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
归纳升华
高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等．解答时通常是先将函数简化为形如f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
[变式训练]　(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为f(x)＝cos2x＋6cos＝cos 2x＋
6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，
又sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
答案：B
专题四　转化与化归思想
本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即α＋ β＝α－(－ β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．
[例4]　已知sin·sin＝，α∈，求sin 4α.
解：因为α＋＋－α＝，
所以sin＝cos.
所以sin·sin＝
sin·cos＝
sin＝cos 2α＝，
又因为π＜2α＜2π，cos 2α＝，
所以sin 2α＝－.
所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
归纳升华
解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，＋α与－α互余，从而化为同角“＋α”．
[变式训练]　已知sin＝，cos＝－，且α－和－ β分别为第二、第三象限角，求tan 的值．
解：因为sin＝，且α－为第二象限角，
所以cos＝－ ＝－.
又cos＝－，且－ β为第三象限角，
所以sin＝－ ＝－.
所以tan＝－，tan＝，
所以tan ＝tan＝
＝＝－.