2018_2019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案新人教A版必修4

第一章 三角函数
章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．关注角的概念的推广
(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．
(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．
2．确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．
3．关注正切函数的定义域
(1)正切函数y＝tan x的定义域为，不可写为{x|x≠k·360°＋90°，k∈Z}．
(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件．
4．平方关系应用的关注点
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．
5．正确应用诱导公式
(1)明确诱导公式的基本功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．
(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化．
6．关注三角函数的定义域、值域
(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1.
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即.
7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性
(1)要求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的相应单调区间，再把其中的“x”用“ωx＋φ”代替，解关于x的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A的正负．
(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.
专题一　三角函数的概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1]　(1)设角α属于第二象限，＝－cos ，试判定角属于第几象限．
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．
又＝－cos ≥0，所以cos ≤0.
所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．
综上所述，是第三象限角．
(2)3tan x＋≥0，即tan x≥－.
所以kπ－≤x归纳升华
1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论．
2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．
[变式训练]　(1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；
(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的正切值．
解：(1)因为θ为第四象限角，所以0所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0，
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.
(2)因为θ∈，所以cos θ<0，
所以r＝＝＝－5cos θ，
故sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.
专题二　同角三角函数的基本关系与诱导公式
在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．
[例2]　已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：法一：由已知＝－4，
所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝
4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝
＝＝
＝.
法二：由已知＝－4，
解得tan θ＝2，即＝2，
所以sin θ＝2cos θ，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝
(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝
cos2θ＝＝＝.
归纳升华
三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)若式子中有角，k∈Z，则先利用诱导公式化简．
[变式训练]　已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α－sin αcos α＋5cos2α.
解：(1)原式＝＝＝＝5.
(2)原式＝
＝
＝＝2.
专题三　三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例3]　函数y＝Asin(wx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.
又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.
答案：A
归纳升华
1．求解析式的方法：A＝，k＝，ω＝，由“五点作图法”中方法令ωx＋φ＝0，，π，π或2π求φ.
2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．
[变式训练]　函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是(　　)
A．(0，0) B．(π，0)
C. D.
解析：函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数y＝sin＝sin
＝cos x的图象，它的一个对称中心是(π，0)．
答案：B
专题四　三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
[例4]　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为
(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，
所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z.
所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是
.
归纳升华
1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．
[变式训练]　(2014·安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B. C．0 D．－
解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π，
又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，
即f＝f＋sin＝0，
所以f＝，
所以f＝f＝f＝.
答案：A
专题五　转化与化归思想
化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sin x来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．
[例5]　求函数y＝sin的单调区间．
解：将原函数化为y＝－sin.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得3kπ－π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递减．
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得3kπ＋π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递增．
故原函数的单调递减区间为
(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)．
归纳升华
1．求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x的系数为正数是关键．
2．在求形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．
[变式训练]　已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)由(1)知f＝－cos＝sin α，
因为f(α)·f＝－，即cos α·sin α＝，
可得(sin α－cos α)2＝，
又≤α≤，cos α≥sin α，
所以f(α)＋f＝sin α－cos α＝－.
(3)由f＝2f(α)结合(2)得sin α＝－2cos α，
联立sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，
所以f(α)·f＝－cos α·sin α＝2cos2α＝.