2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( )
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
解析：A项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确．
答案：D
2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是( )
A．－1 B．2 C．1 D．3
解析：||＝2－(－1)＝3.
答案：D
3．如图所示，在⊙O中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案：C
4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝.
答案：D
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：由＝知四边形为平行四边形；由||＝||知四边形ABCD为菱形．
答案：C
二、填空题
6．有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量是有向线段；
③向量00
④向量大于向量；
⑤单位向量都相等．
其中，正确的说法是________(填序号)．
解析：
序号
正误
原因
①
√
||＝||＝AB
②
×
向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来
③
×
0是一个向量，而0是一个数量
④
×
向量不能比较大小
⑤
×
单位向量的模均为1，但方向不确定
答案：①
7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
8．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
三、解答题
9．如图所示，四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解：(1)与相等的向量有，，与相等的向量为.
(2)与模相等的向量有，，.
10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
解：(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量是，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个向量．
B级 能力提升
1．已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
解析：因为||＝2，
所以终点A到起点O的距离为2.
又因为O点固定，
所以A点的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
答案：C
2．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案：①③④
3．如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了 km到了C村，问B、C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？
解：由题可知||＝1，||＝，
∠CAB＝90°，则||＝2.
又tan∠ACB＝＝＝，
所以∠ACB＝30°，故B，C两村间的距离为2 km，B村在C村的南偏东60°的方向上．
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是( )
A. B.
C．0 D.
解析：－＋＝＋＝0.
答案：C
2．在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝.
答案：D
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案：A
4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C. D.
解析：作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
答案：D
5.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以＝，＝，＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立．
－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立．
＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立．
－－＝－＝＋≠0，故D不成立．
答案：A
二、填空题
6．化简(＋)＋(－)＝________．
解析：(＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝0＋＝.
答案：
7．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
解析：当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.
答案：20，4
8．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c, 则＝________(用a，b，c表示)．
解析：在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
三、解答题
9．如图所示，已知a，b，求作a－b.
解：
10．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
[B级 能力提升]
1．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A.＝0 B.＝0或＝0
C．四边形ABCD是矩形 D．四边形ABCD是菱形
解析：＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，所以四边形ABCD是矩形．
答案：C
2．对于非零向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
3．如图所示，?ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a、b表示、；
(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
即||＝||.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形，所以a⊥b，
所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．因为?ABCD的两条对角线不可能平行，
所以a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
答案：C
2．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量＝( )
A.＋ B.－
C．－－ D．－＋
解析：因为D是AB的中点，所以＝，
所以＝－＝－.
答案：D
3．已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：因为＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，所以＝＋＝－4a＋8b，＋＝2a＋4b＝＝2，所以A，B，D三点共线．
答案：A
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：如图，因为＋＝2，
所以P是线段AC的中点，
所以＝－，即＋＝0.
答案：B
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：由已知条件可知BE＝3DE，
所以DF＝AB，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
答案：A
二、填空题
6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，
又方向相反，所以a＝－b.
答案：－
7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λ a＋b与a＋2b平行，
所以λ a＋b＝t(a＋2b)，即λ a＋b＝t a＋2t b，
所以解得
答案：
8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．
解析：因为＋＋＝0，所以点M是△ABC的重心，所以＋＝3，所以m＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
解：设＝，则＝＋，则＝＋＝＋＋＝
＋－＋a(－)＝(1＋a)－a
所以x＋y＝1＋a－a＝1.
10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
(1)解：根据向量的线性运算法则，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与同向，且的长度为长度的2倍，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
B级 能力提升
1．如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＋＝
解析：因为G是△ABC的重心，所以BG＝BE，CG＝2GF，DG＝AG，所以＝，＝2，＝－，所以＋＝＋＝＝.所以C不正确．
答案：C
2．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________(用，表示)．
解析：＝t，－＝t(－)，＝＋t－t＝(1－t)＋t.
答案：(1－t)＋t
3．设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：＋＝1.
(1)证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
所以与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，
所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以
解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.
(3)证明：因为M，P，N三点共线，O为直线外一点，
所以存在实数x，y，使得＝x＋y，且x＋y＝1.
又因为＝α a＋β b，且a，b不共线，
所以＝xma＋ynb＝α a＋β b，所以xm＝α，yn＝β，
所以＋＝x＋y＝1.
2.3.1 平面向量基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案：B
2．在菱形ABCD中，∠A＝，则与的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知AC平分∠BAD，所以与的夹角为.
答案：A
3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
解析：因为＝2，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：C
4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.
答案：D
5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，所以m＝，解得m＝－1或m＝3，选A.
答案：A
二、填空题
6．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝________．
解析：因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
所以(1＋λ)＝＋λ
所以＝＋＝
a＋b
答案：a＋b
7．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．
解析：如图，作向量＝a，＝b，则＝a－b.由已知，得OA＝1，OB＝，OA⊥AB，
所以△OAB为等腰直角三角形，
所以∠AOB＝45°，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
8．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．
解析：由解得
答案：3a－4b 3b－2a
三、解答题
9.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．
解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在直角△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
10．如图所示，?ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.
解：＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
＝－＝＋－＝b＋a－a＝b－a.
如图所示，连接DB，延长CG，交BD于点O，点G是△CBD的重心，
故＝＋＝＋＝＋＝－b－＝－a－b.
[B级 能力提升]
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案：B
2．如图，向量＝，若＝x＋y，则x－y＝________．
解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以x＝，y＝.所以x－y＝－.
答案：－
3．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得，
?
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝
(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以，?
所以c＝2a＋b.
(3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝
(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
所以?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
2.3.3 平面向量的坐标运算
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知a＝(3，1)，b＝(－2，5)，则3a－2b＝( )
A．(2，7) B．(13，－7)
C．(2，－7) D．(13，13)
解析：3a－2b＝3(3，1)－2(－2，5)＝(13，－7)．故选B.
答案：B
2．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
解析：b＝(3，2)－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．
答案：A
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析：＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
答案：A
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
答案：D
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
解析：因为c＝λ1a＋λ2b，
所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
所以
解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
二、填空题
6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．
解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，
所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
7．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．
解析：因为F1＋F2＋F3＝0，
所以F3＝－F1－F2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．
答案：(－3，－4)
8．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，
故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
三、解答题
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin
60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以所以
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
B级 能力提升
1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y.
解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
答案：A
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．
因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
3．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
所以
解得
(3)设O为坐标原点，
因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
所以M(0，20)．
又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)，所以＝(9，－18)．
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－ B. C．－或 D．0
解析：由题意知，1×2－m2＝0，所以m＝±.
答案：C
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：A中向量e1为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝e2，所以e1∥e2；
D中e1＝4e2，所以e1∥e2.
答案：B
3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2 B．2 C．－2 D．0
解析：由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故
k＝－2.
答案：C
4．已知点P(－3，5)，Q(2，1)，向量m＝(－λ，1)，若∥m，则实数λ等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：由题意得＝(5，－4)，因为∥m，所以4λ＝5，即λ＝，故选C.
答案：C
5．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
答案：D
二、填空题
6．已知向量a＝(1，m)，b＝(3m，1)，且a∥b，则m2的值为_______．
解析：因为a∥b，所以1－3m2＝0，所以m2＝.
答案：
7．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则＝(4，6)．
又与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，则λ＝.
答案：
8．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λ a＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝
(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.
答案：或
三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M(2.5，2.5，)，N(1.5，0.5)，
所以＝(2.5，2.5)，＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，
所以，共线．
10．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)k a－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为k a－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，所以解得m＝.
B级 能力提升
1．若a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：因为a＝，
b＝，a∥b，
所以×－sin α·cos α＝0，
即sin α·cos α＝.
把α＝30°，45°，60°，75°代入验证可知45°能使上式成立．
答案：B
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________．
解析：由向量的坐标运算知，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－3b＝(5，－3)．由两向量共线可得5×(3m＋2n)＝－3×(2m－n)，化简得＝－.
答案：－
3．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
解：(1)＝(x，1)，＝(4，x)．
因为，共线，所以x2－4＝0，
则当x＝±2时，两向量，共线．
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)，
则∥，此时A，B，C三点共线，
又∥，
从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．
当x＝2时，A，B，C，D四点不共线．
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．在△ABC中，设＝a，＝b，且|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则||＝( )
A．1 B. C. D.
解析：因为||＝|＋|，所以||＝＝＝，选C.
答案：C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.
答案：A
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析：|a－b|＝ ＝ ＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：A
4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：因为＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．
答案：B
5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝
|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝
|a|2－2|a|－96＝－72，
所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.
答案：C
二、填空题
6．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则在方向上的正射影数量是________．
解析：如图所示，作向量＝，则与的夹角为∠ABE＝π－＝，所以在方向上的正射影的数量为||·cos＝2×＝－.
答案：－
7．如图，在四边形ABCD中，||＝4，·＝12，E为AC的中点，若＝2，则·＝________．
解析：因为||＝4，E是AC的中点，所以AE＝CE＝2.·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－22＝12?2＝16?2＝4，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝4－4＝0.
答案：0
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋m b＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．
解析：因为3a＋m b＋7c＝0，所以3a＋m b＝－7c，
所以(3a＋m b)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6m a·b＝49.
又a·b＝|a| |b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.
答案：－8或5
三、解答题
9．已知|a|＝1，|b|＝，
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a·b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，此时a·b＝|a||b|＝.
(2)|a＋b|＝ ＝ ＝
＝1.
10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5.
因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，
所以9－6a·b＋1＝5.
所以a·b＝.
所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝
1＋6×＋9×1＝15.
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝
3×1＋8×－3×1＝.
所以cos θ＝＝＝.
因为0°≤θ ≤180°，
所以sin θ＝ ＝ ＝.
所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.
B级 能力提升
1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
解析：因为·＝·，
所以·(－)＝0，
即·＝0, 则⊥.
同理⊥，⊥.
所以O是△ABC的垂心．
答案：B
2．如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________．
解析：·＝·＝·＝(－)·＝＝4.
答案：4
3．如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)在方向上的正射影．
解：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.
(2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，
所以·＝||||·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，
所以·＝|||·cos 120°＝4×3×＝－6.
(4)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为||·cos 120°＝4×＝－2.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝( )
A．(－3，6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6，3)
解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ＜0)，
由于|b|＝3，所以|b|＝＝＝3，所以λ＝－3，所以b＝(－3，6)．
答案：A
2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝( )
A．1 B．3 C．4 D．5
解析：因为a＝(x，y)，b＝(－1，2)，
所以a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，
所以解得
所以a＝(2，1)，
所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝＝5.
答案：D
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a·c＝0，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B. C．2 D．10
解析：由??
所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
所以|a＋b|＝，故选B.
答案：B
4．若a＝(2，1)，b＝(3，4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2 B．2 C. D．10
解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cos θ＝|a|·＝＝＝2.
答案：B
5．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6 C．6 D．8
解析：法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，
解得m＝8.
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.
答案：D
二、填空题
6．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
解析：由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝1×＋×1＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
7．若|a|＝2，b＝(，)，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________．
解析：因为b＝(，)，所以|b|＝2.
因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0，
所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，
所以a·b＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为.
答案：
8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．
解析：由于a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a与b不共线同向．
由a·b>0?－3λ＋10>0，解得λ<.
当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－，
因此λ的取值范围是λ<且λ≠－.
答案：
三、解答题
9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，
|b|＝＝，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，
2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.
10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ；
(3)求向量在上的投影．
解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
所以＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，
所以2＋＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，
所以|2＋|＝ ＝5.
(2)由(1)知＝(－1，1)，＝(1，5)，
所以cos θ＝＝.
(3)由(2)知向量与的夹角的余弦为cos θ＝，且||＝.
所以向量在上的投影为||cos θ＝×＝
.
B级 能力提升
1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析：＝(－1，－3)，＝(3，－1)．
因为·＝－3＋3＝0，
所以AC⊥AB.
又因为||＝，||＝，
所以AC＝AB.
所以△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
2．设向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夹角为，则实数m＝________．
解析：因为a＝(1，)，b＝(m，)．
所以|a|＝＝2，|b|＝，
a·b＝m＋3.
又a，b的夹角为，
所以m＋3＝2×，
解得m＝－1.
答案：－1
3．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值；
(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．
解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以a＋b＝(3，4)，
则|a＋b|＝5.
(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；
因为向量k a＋b与a＋2b平行，
所以8(2k＋1)＝16，则k＝.
(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；
因为向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，
所以
解得k>－或k≠.
2.5 平面向量应用举例
A级 基础巩固
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N C．2 N D．2 N
解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N.
答案：D
2．平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：由题意知a－b＝d－c，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：D
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( )
A．100焦耳 B．50焦耳
C．50焦耳 D．200焦耳
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米
WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝
10×10×＝50(焦耳)．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为＝－＝－.
所以2＝＝2－·＋2，
即2＝1.
所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
解析：由＋＋＝，
得＋＋＋＝0，
即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
二、填空题
6．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.
解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，
水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，所以|υ2|＝＝＝5(km/h)．
答案：5
7．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是________．
解析：因为·＝4×4·cos A＝8，
所以cos A＝，所以∠A＝，
所以△ABC是正三角形．
答案：正三角形
8．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________．
解析：由F1＋F2＋F3＝0，可得F1＋F2＝－F3，所以(－F3)2＝(F1＋F2)2，化简可得：F＝F＋F＋2F1·F2，由于|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，所以2F1·F2＝－1，所以|F1－F2|＝＝＝
＝.
答案：
三、解答题
9．在直角坐标平面xOy内，已知向量＝(1，5)，＝(7，1)，＝(1，2)，点P为满足＝t(t∈R)的动点，当·取得最小值时，求：
(1)向量的坐标；
(2)cos∠APB的值．
解：(1)因为＝t＝(t，2t)，
＝－＝(1－t，5－2t)，
＝－＝(7－t，1－2t)，
所以·＝(1－t)(7－t)＋(5－2t)(1－2t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当·取得最小值时，t＝2，
所以＝(2，4)．
(2)因为＝(－1，1)，＝(5，－3)，
||＝，||＝，
所以cos∠APB＝＝－.
10．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少(取重力加速度大小为10 m/s2)?
解：如图所示，设木块的位移为s，
则：F·s＝|F|·|s|cos 30°＝
50×20×＝500(J)．
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2.
则|f1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)．
所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．
因此f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J.
B级 能力提升
1．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：＋－2＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0.
即2＝2，所以||＝||.
答案：B
2．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力对物体m所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
3.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．
解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，
所以M(8，4)，N(4，2)．
设点E(e，0)，则＝(8，4)，＝
(4，2)，＝(e，0)，＝(4－e，2)，
由⊥得·＝0，
即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，即||＝5.
所以S△AEM＝||||＝×5×4＝10.
