3.1.1 两角差的余弦公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0.
答案：A
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝( )
A. B. C. D．－
解析：a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－
15°)＝cos 45°＝.
答案：A
3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
解析：因为a∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝
×＋×＝.
答案：D
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
答案：B
5．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
解析：因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)，β－∈.
又因为cos(α＋β)＝，sin＝，
所以sin (α＋β)＝＝，
cos＝ ＝，
所以cos
＝cos
＝cos (α＋β)cos＋sin(α＋β)·sin
＝×＋×＝.
故选C.
答案：C
二、填空题
6．cos(x＋270°)cos(x－180°)＋sin(x＋270°)sin(x－180°)的值等于________．
解析：原式＝cos[(x＋270°)－(x－180°)]＝
cos 450°＝cos(360°＋90°)＝cos 90°＝0.
答案：0
7.sin 75°＋sin 15°的值等于________．
解析：原式＝cos 60°·cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝
cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
答案：
8．已知sin ＝，A∈，则cos A＝________．
解析：由A∈，可知A＋∈，则cos＝－，cosA＝cos＝cos·cos ＋sin sin＝－×＋×＝.
答案：
三、解答题
9．(1)化简： cos(α－β)cos(α－γ)－sin(α－β)sin(γ－α)；
(2)已知sin α＝，α∈，求cos的值．
解：(1)原式＝cos(α－β)cos(α－γ)＋sin(α－β)sin(α－γ)＝cos[(α－β)－(α－γ)]＝cos(γ－β)．
(2)因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－.
10．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
解：因为α∈，β∈，
所以α－∈，－β∈.
因为cos＝－，sin＝ ，
所以sin＝ ＝＝，
cos＝ ＝ ＝.
所以cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
B级 能力提升
1．已知x∈R, sin x－cos x＝m，则m的取值范围为( )
A．－1≤m≤1 B．－≤m≤
C．－1≤m≤ D．－≤m≤1
解析：sin x－cos x＝＝
＝cos，
因为x∈R，
所以－1≤cos≤1，
所以－≤m≤.
答案：B
2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期是________．
解析：由于f(x)＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝cos，所以T＝＝π.
答案：π
3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0, 求证：cos (α－ β )＝－.
证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋sin β )2＝(－sin γ)2①
(cos α＋cos β )2＝(－cos γ)2②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β )＝1.
即2＋2cos(α－ β )＝1，所以cos(α－ β )＝－.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，则tan β＝( )
A. B. C．3 D.
解析：因为sin α＝，α为锐角，
所以cos α＝＝.
所以tan α＝＝，
所以tan β＝tan [(β－α)＋α]＝
＝，故选A.
答案：A
2.sin－cos的值是( )
A. B. C．－ D．sin
解析：sin －cos
＝2
＝2sin＝2sin ＝.
答案：A
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＋cos Bcos C＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
4．化简cos 15°cos 45°－sin 15°·sin 45°的值为( )
A．－ B. C. D．－
解析：根据两角和的余弦公式可得，cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝，故选C.
答案：C
5．已知cos－cos α＝，则cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：由题意可得
cos－cos α
＝cos αcos ＋sin αsin －cos α
＝－cos αcos ＋sin αsin
＝－
＝－cos，
据此有－cos＝，
所以cos＝－.
答案：B
二、填空题
6．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋ β )＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋ β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7．计算＝________．
解析：原式＝＝
tan(45°－15°)＝.
答案：
8．已知cos＝，则cos α＝________．
解析：由于0＜α－＜，且cos＝，
所以sin＝.
所以cos α＝cos ＝
coscos－sinsin＝
×－×＝.
答案：
三、解答题
9．已知sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜ β＜，求角α＋ β的值．
解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0.
因为＜ β ＜，所以＜＋ β＜.
由已知可得cos＝，cos＝－，
则cos(α＋ β )＝cos＝
cos·cos＋sin ·sin＝×＋×＝－.
因为＜α＋ β ＜π.
所以α＋ β＝.
10．设方程12x2－πx－12π＝0的两根分别为α， β，求cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β的值．
解：由题意知α＋ β＝，
故原式＝cos(α＋ β )－sin(α＋ β )＝
2sin＝2sin ＝2sin＝
2＝
2＝.
B级 能力提升
1．已知3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是( )
A．－ B. C．－ D.
解析：因为3sin x－cos x
＝2
＝2sin( x＋φ)，
所以cos φ＝，sin φ＝－.
又因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：A
2．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________．
解析：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.②
由①＋②，得2cos αcos β＝，
即cos αcosβ＝.
由②－①，得2sin αsinβ＝，
即sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
3．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C.已知sin＝2cos A.
(1)求角A的值；
(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.
解：(1)由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A，因为A∈(0，π)，且cos A≠0，
所以tan A＝，所以A＝.
(2)因为B∈，cos(A－B)＝，
所以A－B＝－B∈.
因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，
所以sin(A－B)＝，
所以sin B＝sin [A－(A－B)]＝sin A cos (A－B)－cos A·sin (A－B)＝.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下列各式中，值为的是( )
A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2
C. D.
解析：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos2－sin2＝cos ＝；
＝tan 45°＝；
＝cos2 15°≠.
答案：C
2.的值是( )
A. B. C．2 D.
解析：原式＝＝＝2.
答案：C
3.等于( )
A.cos 12° B．2cos 12°
C．cos 12°－sin 12° D．sin 12°－cos 12°
解析：＝ ＝
＝
|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.
答案：C
4．已知cos＝，则sin 2α的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：因为cos＝，
所以sin 2α＝－cos＝－cos＝
1－2cos2＝1－×2＝.
答案：A
5．若α∈，且sin2 α＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
A. B. C. D.
解析：因为sin2 α＋cos 2α＝，
所以sin2 α＋cos2 α－sin2 α＝cos2 α＝
所以cos α＝±.
又α∈，
所以cos α＝，sin α＝.所以tan α＝.
答案：D
二、填空题
6．(2016·四川卷)cos2－sin2＝________．
解析：cos2－sin2＝cos ＝.
答案：
7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．
解析：因为sin ＋cos ＝，
所以＝，
即1＋2sin cos＝，所以sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2 θ＝1－2×＝.
答案：
8．已知sin ＝，则sin 2x的值等于________．
解析：法一：因为sin＝，所以cos ＝
1－2sin2＝1－2×＝，
所以 sin 2x＝cos＝.
法二：由sin＝，得(sin x－cos x)＝－，
所以sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，
所以sin 2x＝.
答案：
三、解答题
9．求证：＝sin 2α.
证明：法一：左边＝＝
＝＝
＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
10．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解：f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
所以sin≥sin ＝－.
所以当x∈时，f(x)≥－.
B级 能力提升
1．函数f(x)＝cos 2x＋4cos x (x∈R)的值域为( )
A．[－3，2] B．[－2，3]
C．[－1，3] D．[－3，5]
解析：f(x)＝2cos2x＋4cos x－1＝2(cos x＋1)2－3，由于cos x∈[－1，1]，故f(x)∈[－3，5]．
答案：D
2．若＝－，则sin 2α＝________．
解析：
＝
＝－(sin α＋cos α)
＝－?sin α＋cos α＝，
平方得1＋sin 2α＝?sin 2α＝－.
答案：－
3．已知α为锐角且tan＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)因为tan＝2，
所以＝2，
即＝2，
解得tan α＝.
(2)
＝
＝
＝＝cos α＋sin α.
因为α为锐角且tan α＝，
所以cos α＝3sin α.
由sin2α＋cos2α＝1，
得sin2α＝，
所以sin α＝，cos α＝，
可得cos α＋sin α＝.
3.2 简单的三角恒等变换
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
解析：因为y＝sin 2x＋cos 2x
＝2
＝2sin，
所以最小正周期为T＝＝＝π.
答案：C
2．若函数f(x)＝－sin2 x＋(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：f(x)＝－＋＝cos 2x.
答案：D
3．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )
A．－ B．± C．－1 D．±1
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.
答案：C
4．若sin(α＋ β )cos β－cos(α＋ β )sin β＝0，则sin(α＋2 β )＋sin(α－2 β )等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
解析：因为sin(α＋ β )cos β－cos(α＋ β )sin β＝sin(α＋ β－ β )＝sin α＝0，
所以sin(α＋2 β )＋sin (α－2 β )＝2sin αcos 2 β＝0.
答案：C
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x＜，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．2 C.＋1 D.＋2
解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x＝
cos x＝sin x＋cos x＝
2sin.
因为0≤x＜，所以≤x＋＜π，
所以当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
答案：B
二、填空题
6．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝________．
解析：由sin α＝，且α为第二象限角得，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，tan 2α＝＝－.
答案：－
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
解析：因为3sin x－cos x＝2＝2sin，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
8.－＝________．
解析：原式＝＝
＝＝4.
答案：4
三、解答题
9．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．
解：因为θ∈(π，2π)，
所以∈，
所以sin ＝ ＝，
cos ＝－＝－，
所以sin ＋cos ＝.
10．已知2sin＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.
证明：由2sin＝sin θ＋cos θ，
得cos α＋sin α＝sin θ＋cos θ，
两边平方得，2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，①
又sin2β＝sin 2θ，②
由①②两式消去sin 2θ，得2(1＋sin 2α)＝1＋2sin2β，
即2sin 2α＋cos 2β＝0，所以sin 2α＋cos 2β＝0.
B级 能力提升
1．(2016·山东卷)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B．π
C. D．2π
解析：法一：因为f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝4
＝4sincos＝2sin，
所以T＝＝π.
法二：因为f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以T＝＝π.
答案：B
2．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A等于________．
解析：在△ABC中，＝－，
所以sin2＋cos 2A＝sin2＋cos 2A＝
cos2 ＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝－.
答案：－
3．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
