1.1.1 任意角
A级 基础巩固
一、选择题
1.与－30°终边相同的角是( )
A.－330° B.150°
C.30° D.330°
解析：因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·
360°＋(－30°)，k∈Ｚ，取k＝1，得α＝330°.
答案：D
2.下列说法正确的是( )
A.锐角是第一象限角 B.第二象限角是钝角
C.第一象限角是锐角 D.第四象限角是负角
解析：由于锐角范围是(0°，90°)，显然是第一象限角；
－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角.故选A.
答案：A
3.若α是第二象限角，那么和2α都不是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：由α是第二象限角，那么在第一、三象限，2α在第三、四象限，所以和2α都不是第二象限角.
答案：B
4.若α＝k·180°＋45°(k∈Ｚ)，则α在( )
ＴA.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析：当k＝2m＋1(m∈Ｚ)时，α＝2m·180°＋225°＝m·
360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Ｚ)时，α＝
m·360°＋45°，故α为第一象限角.
答案：A
5．下面说法正确的个数为( )
(1)第二象限角大于第一象限角；
(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
(3)钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．
答案：B
二、填空题
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又
50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
答案：－1 030°
7.自行车的车轮按逆时针方向滚动两周，则转过的角为 .
解析：车轮滚动两周旋转720°.结合正角的定义可知所求角为720°.
答案：720°
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.
答案：120°，300°
三、解答题
9.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0°≤α＜360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.
(1)750°； (2)－795°； (3)950°20′.
解：(1)因为750°＝2×360°＋30°，
所以在0°≤α＜360°范围内，终边与750°角相同的角是
30°角，它是第一象限角.
(2)因为－795°＝－3×360°＋285°，
所以在0°≤α＜360°范围内，终边与－795°角相同的角是285°角，它是第四象限角.
(3)因为950°20′＝2×360°＋230°20′，
所以在0°≤α＜360°范围内，终边与950°20′角相同的角是230°20′角，它是第三象限角.
10.已知角α是第三象限角.
求：(1)角是第几象限的角；
(2)角2α终边的位置.
解：(1)因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Ｚ)，
所以90Ｔ°＋k·180°＜＜135°＋k·180°(k∈Ｚ)，
当k为偶数时，为第二象限角，
当k为奇数时，为第四象限角，
则是第二象限或第四象限的角.
(2)因为180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Ｚ)，
所以360°＋2k·360°＜2α＜540°＋2k·360°(k∈Ｚ)，
即角2α终边在第一象限或第二象限或y轴的正半轴.
B级 能力提升
1.与－463°终边相同的角可以表示为( )
A.k·360°＋463°，k∈Ｚ B.k·360°＋103°，k∈Ｚ
C.k·360°＋257°，k∈Ｚ D.k·360°－257°，k∈Ｚ
解析：；因为－463°＝－360°×2＋257°，所以与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°，k∈Ｚ.
答案：C
2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．
解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·
360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．
答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {－45°，315°}
3.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.
解：(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Ｚ}，
终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Ｚ}，
终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Ｚ}，
终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Ｚ}，
所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Ｚ}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋
220°，k∈Ｚ}.
(2)终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Ｚ}，
终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Ｚ}，
故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α
360°＋75°，k∈Ｚ}.
1.1.2 弧度制
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
答案：D
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C. π D．－π
解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
答案：B
3.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Ｚ)的形式是( )
ＴA.－－6π B.－6π
C.－－8π D.－8π
解析：－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋，故选D.
答案：D
4.在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
解析：由于r＝10，α＝，所以弧长l＝r·α＝.
答案：A
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为( )
A. B. C.π D.2
解析：由题意可知 所以
所以S＝lr＝.
答案：A
二、填空题
6.半径为12 cm的圆中，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为___________.
解析：圆心角α＝＝，所以α＝2kπ＋，k∈Ｚ.
答案：
7.设扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是___________
解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l，由题设可得?则扇形圆心角所对的弧度数是α＝＝2.
答案：2
8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．
解析：(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，
所以r＝＝＝.
(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝＝1.
答案：(1) (2)1
三、解答题
9.已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
解：设扇形的半径是R，弧长是l，扇形的周长为y，则y＝l＋2R.
由题意，得lR＝25，则l＝，
故y＝＋2R(R＞0).
利用函数单调性的定义，可以证明：
当0＜R≤5时，
函数y＝＋2R是减函数；
当R＞5时，函数y＝＋2R是增函数.
所以当R＝5时，y取最小值20，
此时l＝10，α＝＝2，
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值.
10.已知α＝2 000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Ｚ，β∈[0，2Ｔπ))的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).
解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋.
(2)因为θ与α的终边相同，
所以θ＝2kπ＋，k∈Ｚ，
又θ∈(4π，6π)，
所以当k＝2时，θ＝4π＋π＝.
[B级 能力提升]
1.圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A.1 B. C.或 D.或
解析：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.
答案：C
2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.
解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad，所以经过一小时，时针转过－ rad.
答案：－
3.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小；
(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)由于圆O的半径为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝.
(2)因为α＝，所以l＝|α|·r＝，
S扇＝lr＝××10＝.
又S△AOB＝×10×10×＝25，
所以S＝S扇－S△AOB＝－25＝50.
1.2.1 任意角的三角函数
A级 基础巩固
一、选择题
1.若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以点P在第四象限.
答案：D
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP
C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM
解析：因为π是第二象限角，
所以sin π＞0，cos π＜0，
所以MP＞0，OM＜0，
所以MP＞0＞OM.
答案：D
3.已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sinαcos α等于 ( )
A.－ B.－
C. D.
解析：由题意可得，角α的终边上的一点为(1，－3)，则sin α＝＝，cos α＝＝，
所以sin αcos α＝－.
答案：A
4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．
答案：B
5．函数y＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1.
又sin ＝－1，
所以x≠＋2kπ，k∈Z.
答案：A
二、填空题
6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．
解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝.
答案：
7.已知角α的终边经过点(－，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
解析：由三角函数定义知，r＝ ＝1，
则sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝.
答案：－ －
8．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为____________．
解析：作图如下，因为θ∈，所以θ >，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.
答案：AT>MP>OM
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)cos＋tan .
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin
30°＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos＋tan＝
cos ＋tan ＝＋1＝.
10.设角x的终边不在坐标轴上，求函数
y＝＋＋的值域.
解：当x为第一象限角时，sin x，cos x，tan x均为正值，所以＋＋＝3.
当x为第二象限角时，sin x为正值，cos x，tan x为负值，所以＋＋＝－1.
当x为第三象限角时，sin x，cos x为负值，tan x为正值，所以＋＋＝－1.
当x为第四象限角时，sin x，tan x为负值，cos x为正值，所以＋＋＝－1.
综上，y的值域为{－1，3}
[B级 能力提升]
1.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值的是( )
A. B. C. D.
解析：由于θ为锐角，所以由三角函数及三角形中两边之和大于第三边可知，sin θ＋cos θ＞1，故选A.
答案：A
2.若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin θ＝m，则cos θ的值为_________.
解析：因为角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin θ＝m，所以x＝－，y＝m，r＝，
sin θ＝＝m，所以＝＝，
所以cos θ＝＝－.
答案：－
3.设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，试比较a，b，c三数的大小.
解：因为a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，作出三角函数线(如图)，结合图象可得c＞b＞a.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列各项中可能成立的一项是( )
A.sin α＝且cos α＝
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α在第二象限时，tan α＝－
解析：A不满足平方关系；C由tan α＝1且cos α＝－1得sin α＝－1，不满足平方关系；D不满足商数关系.
答案：B
2.已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是( )
A. B.－
C. D.－
解析：因为α是第二象限角，所以sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝＝－.
答案：D
3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：将sin α＋cos α＝两边平方，得1＋2sin αcos α＝，即2sin α·cos α＝－.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．
答案：A
4．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得
＋＝1，解得m＝0或8.
答案：C
5.化简－可得( )
A.－ B.
C.－ D.
解析：－
＝
＝＝－
答案：A
二、填空题
6．在△ABC中，若cos(A＋B)>0，sin C＝，则tan C等于________．
解析：在△ABC中，因为cos(A＋B)>0，
所以0所以角C是钝角，所以cos C＝－ ＝－，
所以tan C＝＝＝－.
答案：－
7．若＝10，则tan α的值为________．
解析：因为＝10，
所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，
所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.
所以tan α＝－2.
答案：－2
8．已知－解析：由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，即2sin xcosx＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x·cos x＝，
又因为－0，sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－.
答案：－
三、解答题
9.已知tan α＝－2，计算：
(1)；
(2).
解：(1)＝＝＝－.
(2)＝＝＝＝－5.
10.(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值.
(2)若cos α＝，求tan α的值.
解：(1)因为sin α＝－，α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
tan α＝＝＝.
(2)因为cos α＝＞0，
所以α是第一、四象限角.
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝.
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
B级 能力提升
1．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α＝( )
A. B. C. D.
解析：因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1，
又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，
所以tan α＝，所以sin α＝cos α，即cos α＝sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋sin2α＝1，
所以sin2α＝(α为锐角)，
所以sin α＝.
答案：B
2.化简：(＋)(1－cos α)＝ .
解析：原式＝(＋)(1－cos α)
＝(1－cos α)
＝
＝
＝sin α.
答案：sin α
3.求证：＝.
证明：法一 左边＝
＝
＝
＝＝右边.
所以等式成立.
法二 右边＝
＝
＝
＝＝左边.
第1课时 诱导公式二、三、四
A级 基础巩固
一、选择题
1.以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin(360°＋200°)＝sin 200°；
②sin(180°－200°)＝－sin 200°；
③sin(180°＋200°)＝sin 200°；
④sin(－200°)＝sin 200°.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：由诱导公式知①正确，②③④错误，故选B.
答案：B
2.已知sin＝，则sin的值为( )
A.－ B. C. D.－
解析：根据三角函数的诱导公式，
可得sin＝sin＝sin＝，故选C.
答案：C
3．已知sin(π＋α)＝，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：因为sin(π＋α)＝，所以sin α＝－.
因为α为第三象限角，所以cos α＝－.
所以cos(π－α)＝－cos α＝.
答案：C
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2 017)＝5，则f(2 018)等于( )
A．4 B．3 C．－5 D．5
解析：因为f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，所以f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝asin α＋bcos β＝－5.
答案：C
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝
tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m；
所以原式＝＝＝＝
.
答案：A
二、填空题
6．已知tan＝，则tan＝________．
解析：因为tan＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
答案：－
7．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－.
故cos(α－2π)＝cos α＝ ＝
＝.
答案：
8．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________．
解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝
sin2α＋cos2α＋1＝2.
答案：2
三、解答题
9.计算：
(1)cos ＋cos ＋cos＋cos ；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°).
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋
＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°＋tan (－10°)＋sin 66°－sin (180°－66°)
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 66°＝0.
10.计算：
(1)sin (－)＋2sin πsin π＋sinπ；
(2)sin 585°cos 1 290°＋cos (－30°)sin 210°＋tan 135°.
解：(1)sin ＋2sinπsin π＋sinπ
＝－sin ＋2sinsin＋sinπ
＝－－2sin sin＋
＝2sin2＝.
(2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°sin (180°＋30°)＋tan (180°－45°)
＝sin 225°cos 210°－cos 30°sin 30°－tan 45°
＝(－sin 45°)·(－cos 30°)－cos 30°·sin 30°－1
＝×－×－1
＝－－1＝.
[B级 能力提升]
1.若sin (－α)＝，且α∈，则cos (π＋α)的值为( )
A. B.－
C.± D.以上都不对
解析：因为sin (－α)＝，
所以sin α＝－.
又α∈，
所以cos α＝＝.
所以cos (π＋α)＝－cos α＝－.
答案：B
2．已知f(x)＝则f＋f＝________．
解析：f＝sin＝sin ＝，f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－，
所以f＋f＝－＝－2.
答案：－2
3.求sin·tan －cos ·tan的值.
解：sin·tan －cos ·tan
＝sin·tan－cos ·tan
＝sin·tan －cos ·tan＝－sin ·tan ＋cos ·tan
＝－××＋×1＝0.
第2课时 诱导公式五、六
A级 基础巩固
一、选择题
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5° B．cos 5°
C．0 D．2sin 5°
解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：C
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．
答案：B
3．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－.
原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.
答案：B
4．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos ＝sin B D．sin ＝cos
解析：因为A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C，＝，＝，
所以cos(A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，
sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
cos ＝cos ＝sin ，
sin ＝sin＝cos .
答案：D
5.已知sin ＝，则cos 的值是( )
A.－ B.
C. D.－
解析：因为cos
＝cos
＝sin
＝，
所以选B.
答案：B
二、填空题
6．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________．
解析：因为cos α＝，且α是第四象限角，
所以sin α＝－＝－ ＝－.
所以cos＝－sin α＝.
答案：
7.已知cos α＝，则sin ·cos ·tan (π－α)＝__________.
解析：sincostan (π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
答案：
8．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________．
解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin2
45°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋＝1＋1＋＝.
答案：
三、解答题
9．化简：＋.
解：因为sin＝cos α，cos＝sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
所以原式＝＋＝
－sin α＋sin α＝0.
10.(1)已知sin α＝，sin β＝1，求cos (α＋β)的值；
(2)已知sin ＝，求cos 的值.
解：(1)由sin β＝1得β＝＋2kπ(k∈Ｚ[?HZ]ZＺＸ)，
所以Ｔcos (α＋β)＝cos＝－sin α＝－.
(2)因为＋α－＝，
所以＋α＝＋.
所以cos＝cos＝－sin＝－.
B级 能力提升
1．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
解析：f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin x；f＝sin＝－sin＝－cos x；f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)．
答案：C
2.已知cos ＝，则sin ＝_________
解析：因为＋＝，
所以sin＝sin＝
cos＝.
答案：
3．设tan＝a.
求证：＝.
证明：左边＝
＝ ＝.
将tan＝a代入得，左边＝＝右边，
所以等式成立．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析：由题意－m＝sin ，所以－m＝1，所以m＝－1.
答案：C
2．在同一坐标系中函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同
解析：解析式相同，定义域不同．
答案：B
3.函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
解析：由y＝sin (－x)＝－sin x可知，其图象和y＝sin x的图象关于x轴对称.
答案：B
4．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．
答案：B
5.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是( )
A.(0，π) B.
C. D.
解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下.
因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x＜－的解集是.故选C.
答案：C
二、填空题
6．用“五点法”画出y＝2sin x在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．
解析：可结合函数y＝sin x的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．
答案：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)
7．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
答案：[－1，0]
8．函数y＝的定义域是______________．
解析：由logsin x≥0知0答案：{x|2kπ三、解答题
9．用“五点法”作函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
－2cos x
－2
0
2
0
－2
－2cos x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：
10．判断方程sin x＝的根的个数．
解：当x＝3π时，y＝＝<1；
当x＝4π时，y＝＝>1.
分别作出函数y＝sin x及y＝的简图在y轴的右侧图象，如下图所示．
观察图象知，直线y＝在y轴右侧与曲线y＝sin x有且只有3个交点，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点O(0，0)，一共有7个交点．所以方程根的个数为7.
B级 能力提升
1.已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝的所有根的和等于( )
A.0 B.π C.－π D.－2π
解析：若f(x)＝，即|sin x|＝，
则sin x＝或sin x＝－.
因为x∈[－2π，2π]，所以方程sin x＝的4个根关于x＝－对称，则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π，
由对称性可得sin x＝－的四个根之和为2π.
综上，方程f(x)＝的所有根的和等于0.故选A.
答案：A
2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
解析：因为sin α∈[－1，1]，所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是∪.
答案：∪
3.若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的范围.
解：原函数可化为分段函数
f(x)＝
如图所示，
由图象可得k∈(1，3).
第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，周期为π的函数是( )
A．y＝2sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
解析：根据公式T＝可知函数y＝cos的最小正周期是T＝＝π.
答案：D
2．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B. C. D.
解析：因为f(x)是偶函数，
所以＝＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝π＋3kπ(k∈Z)，
又φ∈[0，2π]，所以φ＝π.
答案：C
3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．
而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．
答案：D
4．函数y＝sin是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
解析：由诱导公式得，y＝sin＝－cos x，所以该函数为周期为2π的偶函数．
答案：D
5.若函数f(x)＝asin x＋2x＋3，且f(－1)＝7，则f(1)＝( )
A.4 B.－4 C.1 D.－1
解析：函数f(x)＝asin x＋2x＋3，令g(x)＝asin x＋2x，
则g(－x)＝－asin x－2x＝－g(x)，
所以g(x)＝asin x＋2x是奇函数，
f(－1)＝g(－1)＋3＝7，
g(－1)＝4，g(1)＝－4，f(1)＝g(1)＋3＝－4＋3＝－1.故选D.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝cos 2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．
解析：函数的定义域为R，f(－x)＝cos 2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos 2x＋1＝f(x)．
故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．
答案：y轴
7.已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是_______.
解析：f(10)＝f(6×1.5＋1)＝f(1)＝20.
答案：20
8.若函数f(x)＝2cos(ωx＋)的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则ω的最大正整数值是_______.
解析：ω＝，因为T∈(1，3)，
所以＜ω＜2π.
所以ω的最大正整数值为6.
答案：6
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg(sin x＋)；
(2)f(x)＝sin.
解：(1)因为1＋sin2x＞sin2x，所以＞|sin x|≥－sin x，
所以sin x＋＞0，
所以函数f(x)的定义域为R.
f(－x)＝lg[sin(－x)＋]＝
lg(－sin x＋)＝lg＝
－lg(sin x＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝sin＝－cos ，x∈R.
又f(－x)＝－cos＝－cos ＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．
10.函数f(x)满足f(x＋2)＝－.求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.
证明：因为f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
[B级 能力提升]
1.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于( )
A.1 B. C.0 D.－
解析：f＝f＝f＝sin ＝.
答案：B
2．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，
所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，
且
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．
答案：5
3．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解：当x∈时，
g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，
所以由g(x)＝解得x＋＝－或，即x＝－或－.
又因为g(x)的最小正周期为π.
所以g(x)＝的解集为
.
第2课时正、余弦函数的单调性与最值
A级 基础巩固
一、选择题
1.函数y＝－cos x，x∈(0，2π)，其单调性是( )
A.[ZK(#]在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数
B.在，上是增函数，在上是减函数
C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数
D.在上是增函数，在，上是减函数
解析：y＝－cos x在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数.
答案：A
2．y＝sin x－|sin x|的值域是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．[－2，0]
解析：y＝因此函数的值域为[－2，0]．
答案：D
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°答案：C
4.函数y＝sin 在区间[0，π]上的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Ｚ)得kＴπ＋≤x≤kπ＋(k∈Ｚ)，
取k＝0，则一个单调递减区间为.
答案：B
5．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：因为x∈，所以－≤2x－≤π，
所以当2x－＝－时，
f(x)＝sin有最小值－.
答案：B
二、填空题
6．函数y＝2sin的值域是________．
解析：因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤π，
所以0≤sin≤1，
所以y＝2sin的值域为[0，2]．
答案：[0，2]
7.当x＝_________时，函数f(x)＝cos2x＋sin x取最大值.
解析：当|x|≤时，－≤sin x≤，f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋，所以sin x＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
答案：
8.函数y＝sin 的单调递增区间是 .
解析：由题意得，函数y＝sin＝－sin，
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Ｚ，
解得kＴπ＋≤x≤kπ＋，k∈Ｚ，所以函数的递增区间是，k∈Ｚ.
答案：，k∈Ｚ
三、解答题
9.已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围.
解：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Ｚ)得－＋≤x≤＋(k∈Ｚ).
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Ｚ).
据题意得，?(k∈Ｚ).
从而解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.
10.求下列函数的值域：
(1)y＝2cos，x∈；
(2)y＝cos2x－3cos x＋2.
解：(1)因为－＜x＜，所以0＜2x＋＜.
所以－＜cos＜1.
所以y＝2cos，x∈的值域为(－1，2).
(2)令t＝cos x，因为x∈R，所以t∈[－1，1].
所以原函数化为y＝t2－3t＋2＝(t－)2－.
所以二次函数图象开口向上，直线t＝为对称轴.
所以[－1，1]为函数的单调减区间.
所以当t＝－1时，ymax＝6；当t＝1时，ymin＝0.
所以y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0，6].
[B级 能力提升]
1.已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是( )
A. B. C.π D.
解析：画出函数y＝sin x的草图，可以取a＝，则b∈，则b－a的取值范围为.
答案：A
2．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
解析：根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
所以sin ＝1，
所以＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.
又0<ω<2，所以ω＝.
答案：
3.已知函数f(x)＝2asin ＋a＋b的定义域是，值域是[－5，1]，求a，b的值.
解：因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin( 2x＋)≤1.
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
1.4.3 正切函数的性质与图象
A级 基础巩固
一、选择题
1.关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.在区间上单调递增
C.为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
解析：因为2×(－)＋＝，所以是函数y＝tan图象的一个对称中心，故选C.
答案：C
2.函数y＝tan 的最小正周期为( )
A.2π B.π C. D.
解析：根据周期公式计算得T＝＝，故选C.
答案：C
3.函数y＝tan 的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：由x－≠kπ＋(k∈Ｚ)得x≠kπ＋，k∈Ｚ.
答案：D
4．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
解析：令y＝tan＝0，则有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z，再令k＝0，得x＝，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为.故可排除C、D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B.
答案：A
5.已知函数y＝tan( 2x＋φ)的图象过点则φ可以是( )
A.－ B. C.－ D.
解析：因为图象过点，
所以0＝tan.
所以tan＝0.
所以φ＝－＋kπ(k∈Ｚ)，
所以φ可以是－，故选A.
答案：A
二、填空题
6.函数y＝|tan x|的最小正周期是_________.
解析：y＝|tan x|的图象是y＝tan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期也为π.
答案：π
7.－tan与tan的大小关系是_________.
解析：－tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan.
因为0＜＜＜＜π，
所以tan＞0，tan＜0，
所以－tan＜－tan，
即－tan＜tan.
答案：－tan＜tan
8．y＝tan 满足下列哪些条件________(填序号)．
①在上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为.
解析：当x∈，所以y＝tan 在上单调递增正确；tan＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，因此①②正确；T＝＝2π，所以③不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．
答案：①②
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
解：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan
在(k∈Z)内单调递增，
所以f(x)＝－3tan在
(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π.单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，
f＝3tan＝3tan＝－3tan ，
因为0＜＜＜，且y＝tanx 在上单调递增，
所以tan ＜tan ，所以f(π)＞f.
10．求函数y＝tan的定义域，单调区间及对称中心．
解：由5x＋≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z，
函数定义域为.
由kπ－<5x＋函数的单调递增区间是，k∈Z，
由5x＋＝得x＝－，k∈Z，函数图象的对称中心坐标为，k∈Z.
B级 能力提升
1.若f(n)＝tan(n∈N *)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝( )
A.－ B. C.0 D.－2
解析：由题意可知，T＝＝3，
f(1)＝，f(2)＝－，f(3)＝0?f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
故f(1)＋f(2)＋……＋f(2 017)＝672×0＋f(1)＝.
答案：B
2．若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝________．
解析：因为＝，所以|a|＝，所以a＝±.
答案：±
3.设函数f(x)＝asin 和φ(x)＝btan，k＞0，若它们的最小正周期之和为，且f＝φ，f＝－φ＋1，求f(x)，φ(x)的解析式.
解：因为f(x)的最小正周期为，
φ(x)的最小正周期为，
由已知得＋＝，所以k＝2.
所以f(x)＝asin，φ(x)＝btan.
因为
所以
所以所以
所以f(x)＝sin，φ(x)＝tan.
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝3sin的振幅和周期分别为( )
A．3，4 B．3，
C.，4 D.，3
解析：由于函数y＝3sin，所以振幅是3，周期是T＝＝4.
答案：A
2．(2016·四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
解析：把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象．
答案：A
3.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析：由图象可知所求函数的周期为π，
故ω＝3.将代入解析式得π＋φ＝＋2kπ，所以φ＝－＋2(k－1)π(k∈Ｚ).令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos，
又因为f＝－Acos＝－，
故A＝.
所以f(0)＝Acos＝Acos＝，故选C.
答案：C
4．已知ω>0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.
答案：A
5．函数f(x)＝sin( ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，若f＝，则sin ＝( )
A．－ B.
C．± D．－
解析：因为f(x)的图象两个相邻最高点的距离为π，
所以T＝π＝，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin( 2x＋φ)．
因为f(x)＝sin( 2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以k＝0时，φ＝－，
所以f(x)＝sin，
所以f＝sin＝，
所以sin＝.
又0＜α＜，故cos＝，
所以sin＝sin
＝－sin
＝－sin
＝－cos＝－.
答案：A
二、填空题
6．把y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为________．
解析：把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx，所以ω＝.
答案：
7．把函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，然后把横坐标扩大到原来的3倍，则得到的函数解析式为________．
解析：把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，则得到y＝sin的图象，即解析式为y＝sin，然后把横坐标扩大为原来的3倍，得到函数y＝sin的图象，则解析式为y＝sin.
答案：y＝sin
8．若函数f(x)＝2sin( 2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)在[0，π]上的单调减区间是________．
解析：函数f(x)＝2sin( 2x＋φ)的图象过点(0，)，则2sin φ＝，sin φ＝.因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
因为0≤x≤π，所以0≤2x≤2π，≤2x＋≤，由于y＝sin x在上为减函数，所以≤2x＋≤，解得≤x≤.
答案：
三、解答题
9．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin( x＋)在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)说明该函数图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎栏平移和伸缩变换得到？
解：(1)先列表，后描点并画图．
x＋
0
π
2π
x
－
y
0
1
0
－1
0
(2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象．或把y＝sin x的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin，即y＝sin的图象．
10．函数f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，则f＝2，求α的值．
解：(1)因为函数f(x)的最大值为3，
所以A＋1＝3，即A＝2.
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以最小正周期T＝π，
所以ω＝2，故函数f(x)的解析式为
y＝2sin＋1.
(2)因为f＝2sin＋1＝2，
所以sin＝，
因为0＜α＜，所以－＜α－＜，
所以α－＝，故α＝.
B级 能力提升
1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )
A．y＝4sin＋2 B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：因为最大值是4，故选项A不符合题意．
又因为T＝＝，所以ω＝4，故排除选项B.
令4x＋＝＋kπ，k∈Z?4x＝＋kπ，k∈Z?x＝＋，k∈Z，
令＋＝，得k＝?Z，排除选项C，故选D.
答案：D
2．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
解析：由题设可得T＝4＝π?ω＝＝2，则f(x)＝2sin( 2x＋φ)．由f＝0?＋φ＝2kπ，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，则φ＝－，所以f(x)＝2sin，f＝2sin＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝Asin( ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变化得到．
解：(1)由题设图象知，最小正周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.
因为点在f(x)的图象上，所以Asin＝0，即sin＝0.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜，从而＋φ＝π，
即φ＝.
又点(0，1)在f(x)的图象上，所以Asin ＝1，解得A＝2，所以f(x)＝2sin.
(2)先将函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，
得到函数y＝sin，x∈R的图象，
再把函数y＝sin，x∈R图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，
得到函数y＝sin，x∈R的图象，
最后把函数y＝sin，x∈R图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，
得到函数f(x)＝2sin，x∈R的图象．
1.6 三角函数模型的简单应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：因为T＝＝，所以f＝＝80.
答案：C
2．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B.
答案：C
3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
解析：因为10≤t≤15时，有π<5≤≤<π此时F(t)＝50＋4sin 是增函数，即车流量在增加．
答案：C
4．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：函数y＝－sin x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.
答案：C
5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，
所以T＝＝＝1 s，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
答案：D
二、填空题
6．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．
解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，
故解得A＝3，k＝12，ω＝.又t＝0时，y＝12，所以φ＝0.
答案：y＝12＋3sin t
7．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s内往复运动的次数是________________．
解析：周期T＝ s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.
答案：25
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，
y＝23＋5cos＝20.5
答案：20.5
三、解答题
9．在波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝3sin ＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推．
(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？
(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？
解：(1)白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，此时t＝170对应的6月20日(闰年除外)，类似地，t＝353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼最短．
(2)D(t)＞10.5，即3sin＋12＞10.5，
所以sin＞－，t∈[0，365]，
所以49＜t＜292，292－49＝243.
所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．
10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f(t)＝10－2sin，又≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10故在10时至18时实验室需要降温．
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin
B．f(x)＝3sin
C．f(x)＝3sin
D．f(x)＝3sin
解析：由题意知A＝3，T＝6－2＝4，所以T＝16，
故T＝＝16，所以ω＝，所以f(x)＝3sin，
因为最高点为(2，3)，所以3sin＝3，
即sin＝1，又0＜φ＜π.
所以φ＝，所以f(x)＝3sin.
答案：C
2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．
解析：由题意得解得A＝2，B＝6.
周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝＝.
所以f(x)＝2sin＋6.
又当x＝3时，y＝8，所以8＝2sin＋6.
所以sin＝1，
结合|φ|＜可得φ＝－.
所以f(x)＝2sin＋6.
答案：2sin＋6
3.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
