第二十九章 投影与视图
29.1 投影
第1课时 投影
知能演练提升
/能力提升/
1.下列四幅图形中,表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是( )
/
2.如图所示的树是小明昨天画的一幅画的一部分,那么小明创作这幅画的时间大约在( )
/
A.早上8点 B.中午12点
C.下午4点 D.不能确定
/
3.如图,晚上小明在灯下散步,在小明由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子( )
A.逐渐变短
B.逐渐变长
C.先变短,再变长
D.先变长,再变短
/
4.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,则下列结论:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其中正确结论的序号是 .?
5.小军晚上到新世纪广场去玩,他发现有两人的影子一个向东,一个向西,于是他肯定地说:“广场上的一盏路灯一定位于两人 .”?
6.如图,分别是两棵树及其影子的情形:
(1)哪个图反映了在阳光下的情形?哪个图反映了在路灯下的情形?
(2)你是用什么方法判断的?
(3)请画出图中表示小丽影长的线段.
/
①
/
②
/
7.如图,小明家楼边立了一根长为4 m的竹竿,小明在测量竹竿的影子时,发现影子不全落在地面上,有一部分落在楼房的墙壁上(如图),小明测出它落在地面上的影子长为2 m,落在墙壁上的影子长为1 m.此时,小明想把竹竿移动位置,使其影子刚好不落在墙上.试问:小明应把竹竿移到什么位置?(要求竹竿移动距离尽可能小)
8.与一盏路灯相对,有一玻璃幕墙,幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树.晚上,幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图),树影是路灯灯光形成的.你能确定此时路灯光源的位置吗?
/
/创新应用/
★9.学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
/
(1)请在上图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G.
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B1处时,求其影子B1C1的长;当小明继续走剩下路程的
1
3
到B2处时,求其影子B2C2的长;当小明继续走剩下路程的
1
4
到B3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的
1
??+1
到Bn处时,其影子BnCn的长为多少米?(直接用含n的代数式表示)
参考答案
能力提升
1.A 太阳光线是平行的,同一地点同一时刻树与影长的比应是一样的,影子的方向也应相同.
2.C
3.C 路灯的光线可以看成是从一个点发出的,所产生的投影为中心投影.过灯所在的位置点及小明头顶作射线与地面相交,交点到小明脚跟的距离就是影长.如图,根据画出的每个位置的影长容易发现:小明从A到B的影子变化可分为两个阶段:A→M影子越来越短,M→B影子越来越长,因此从A→B影子先变短,再变长,故选C.
/
4.①③④ 当木杆绕点A按逆时针方向旋转时,如图所示,当AB与光线BC垂直时,m最大,则m>AC,故①成立,②不成立;最小值为AB与地面重合时,即n=AB,故③成立;由上可知,影子的长度先增大后减小,④成立.
/
5.之间
6.解 (1)题图①反映了在阳光下的情形,题图②反映了在路灯下的情形.
(2)题图①中的光线是平行的,题图②中的光线相交于一点.
(3)如图,AB,EF分别是表示小丽在阳光下和路灯下影长的线段.
/
/
7.解 设影子刚好不落在墙上时的影长为x m,则
4-1
2
=
4
??
,x=
8
3
,所以小明应把竹竿移到离墙
8
3
m的位置.
8.解 能,如图.
/
创新应用
9.解 (1)如图.
/
(2)由题意,
得△ABC∽△GHC,
∴
????
????
=
????
????
,∴
1.6
????
=
3
6+3
,
∴GH=4.8(m).
(3)△A1B1C1∽△GHC1,
∴
??
1
??
1
????
=
??
1
??
1
??
??
1
.
设B1C1长为x m,
则
1.6
4.8
=
??
??+3
,解得x=
3
2
,
即B1C1=
3
2
m.
同理
1.6
4.8
=
??
2
??
2
??
2
??
2
+2
,
/
解得B2C2=1 m.
∴BnCn=
3
??+1
m.
第2课时 正投影
知能演练提升
/能力提升/
1.有一个如图所示的热水瓶,平行光线从正前方照射得到它的正投影是( )
/
/
2.如图是一个水管的三叉接头,平行光线从左向右照射得到的正投影是( )
/
3.在一个晴朗的上午,小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影试验,矩形木板在地面上形成的投影不可能是( )
/
4.在太阳光下,转动一个正方体,观察正方体在地面上投下的影子,那么这个影子最多可能是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
5.正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是0( )
A.正方形
B.平行四边形或一条线段
C.矩形
D.菱形
6.在太阳光照射下,如图所示的图形中,哪些可以作为正方体的影子,将光源改为灯光将如何?
/
7.一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是边长为4的正方形,求圆柱的体积和表面积.
/创新应用/
★8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,在阳光的垂直照射下,点C落在斜边AB上的点D处.
(1)试探究线段AC,AB和AD之间的关系,并说明理由;
(2)线段BC,BA和BD之间也有类似的关系吗?
/
参考答案
能力提升
1.A 2.A 3.A 4.C 5.B
6.解 (1)(2)可作为太阳光照射下的影子;(1)(2)(3)可作为灯光照射下的影子.
7.解 因为圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是边长为4的正方形,所以圆柱的底面半径为2,高为4.所以圆柱的体积是π×22×4=16π,圆柱的表面积是2×π×22+4π×4=24π.
创新应用
8.解 (1)在Rt△ABC和Rt△ACD中,∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,所以△ADC∽△ACB.
所以
????
????
=
????
????
,
则AC2=AD·AB,
即AC是AD和AB的比例中项.
(2)线段BC,BA和BD之间也有类似的关系.
因为△BDC∽△BCA,所以
????
????
=
????
????
,则BC2=BD·AB,
即BC是BD和AB的比例中项.
29.2 三视图
第1课时 简单几何体的三视图
知能演练提升
/能力提升/
1.在下列几何体中,主视图、左视图与俯视图都是相同的圆,该几何体是( )
/
2.如图所示的一组几何体的俯视图是( )
/
/
3.如图所示,图①是一个正三棱柱毛坯,将其截去一部分,得到一个工件如图②.对于这个工件,其俯视图、主视图依次是( )
/
/
A.c a B.c d
C.b d D.b a
4.下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
/
5.将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周,所得几何体的主视图是( )
/
6.如图所示的几何体的俯视图是( )
//
7.如图,李老师办公桌上放着一个圆柱形茶叶盒和一个正方体的墨水盒,小芳从上面看,看到的图形是0( )
/
/
8.如图所示的几何体的左视图是( )
//
9.下图中右面的三视图是左面棱锥的三视图,能反映物体的长和高的是( )
/
A.俯视图 B.主视图
C.左视图 D.都可以
/创新应用/
★10.如图,这是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板,则下列物体中既可恰好堵住圆形空洞,又可恰好堵住方形空洞的是( )
/
/
★11.5个棱长为1的小正方体组成如图所示的几何体.
/
(1)该几何体的体积是 (立方单位),表面积是 (平方单位);?
(2)画出该几何体的主视图和左视图.
参考答案
能力提升
1.A 2.B 3.D 4.D
5.D Rt△ABC绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥,所以它的主视图是等腰三角形.
6.B
7.A 要注意看的方向,本题是从上面看,即俯视,圆柱从上面看应该是圆形,正方体从上面看应该是正方形,并且它们是并列摆放的.
8.A
9.B 由实物图可以知道能反映长的视图是主视图和俯视图,能反映高的视图是主视图和左视图,所以选B.
创新应用
10.B
11.解 (1)5 22
(2)如图.
/
第2课时 复杂几何体的三视图
知能演练提升
/能力提升/
1.如图是一个水平放置的圆柱形物体,中间有一个细棒,则此几何体的俯视图是( )
/
/
2.如图,由几个相同小立方块所搭成的物体的俯视图是( )
/
/
3.如图所示零件的左视图是( )
/
/
4.有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置,它的左视图是( )
/
/
5.下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体,那么这个几何体的左视图是( )
//
6.
/
如图,桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成,现将该模型露在外面的部分涂上涂料,则涂上涂料部分的总面积为 .?
7.画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图.
/
8.如图为一个槽形工件,它是长方体中间切去了一个小的三角块,工人师傅要得到它的平面图形,请你画出它的三视图.
/
★9.如图,下列是一个机器零件毛坯和它的主视图,请画出这个机器零件的左视图与俯视图.
/
/创新应用/
★10.如图,下面是一个机器零件的毛坯,请画出这个机器零件的三视图.
/
★11.如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体.
(1)请画出这个几何体的左视图和俯视图;(用阴影表示)
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体,并保持这个几何体的左视图和俯视图不变,那么最多可以再添加几个小正方体?
/
/
参考答案
能力提升
1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.50a2
7.解 如图所示.
/
8.解 如图.
/
9.解 如图所示.
/
创新应用
10.解 三视图如图所示.
/
11.解 (1)左视图和俯视图如下:
/
(2)在第二层第二列的第二行和第三行可各加一个;在第三层第二列的第三行可加一个,在第三列的第三行可加1个,2+1+1=4(个).故最多可再添加4个小正方体.
第3课时 从视图到实物
知能演练提升
/能力提升/
/
1.如图是几个小正方体所搭的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的主视图为( )
/
2.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体是0( )
/
/
3.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
/
/
4.如图是一个小正方体所搭的几何体,从不同的方向看所得到的平面图形中(小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数),不正确的是( )
/
/
5.一个几何体的三视图如图所示(其中a,b,c为相应的边长),则这个几何体的体积是 .?
/
6.用若干个小正方体搭成一个几何体,它的主视图和俯视图如图所示,问:搭成这样的几何体,至少需要多少个小正方体?最多需要多少个小正方体?
/
7.如图是某工件的三视图,求此工件的全面积.
/
/创新应用/
★8.如果一个几何体是由多个小正方体堆成,其三视图如图所示,这样的几何体一共有多少种情况?
/
参考答案
能力提升
1.D 2.D 3.C
4.B A是从左面看到的,C是从正面看到的,D是从上面看到的.
5.abc
6.解 由主视图得到该几何体有三列,高度分别为2,3,2;由俯视图得第一列和第三列各有2个,但是第二列最少有5个,最多有9个.所以搭成这样的几何体,至少需要9个小正方体,最多需要13个小正方体.
7.解 由三视图可知,该工件是一个底面半径为10 cm,高为30 cm的圆锥体,圆锥的母线长为
3
0
2
+1
0
2
=10
10
(cm),圆锥的侧面积为
1
2
×20π×10
10
=100
10
π(cm2),圆锥的底面积为102π=100π(cm2),
所以圆锥的全面积为100π+100
10
π=100(1+
10
)π(cm2).
即工件的全面积为100(1+
10
)π cm2.
创新应用
8.解 主视图、左视图、俯视图都是由四个正方形组成,所以该物体是由一些完全一样的小正方体构成,所以该物体可以是由8个完全一样的小正方体组成的大正方体如图(1),而且也可以保持图(1)中下面一层有4个小正方体,那么上面一层4块中缺少任意一块,或缺对角的2块,这七种情况的三视图都如题图所示.
/
