湖南省醴陵市第二中学2018-2019学年高二上学期12月月考数学（理）试题（含答案）

醴陵二中2018年下学期高二年级12月月考
理科数学
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“()a<()b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是(　　)
A．(，1,1) B．(－1，－3,2) C．(－，，－1) D．(，－3，－2)
3．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n?α，则m⊥n；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.其中所有正确命题的序号是：(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
4．若命题p：?x∈(－，)，tanx>sinx，则命题非p：(　　)
A．?x0∈(－，)，tanx0≥sinx0 B．?x0∈(－，)，tanx0>sinx0
C．?x0∈(－，)，tanx0≤sinx0
D．?x0∈(－∞，－)∪(，＋∞)，tanx0>sinx0
5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)
A. B．2 C．4 D．8
6．若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)
A. B．2 C．3 D．6
7.下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B．命题“若，则”的逆否命题为真命题
C．命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”
D．“”是“”的必要不充分条件
8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若, ，，则下列向量中与相等的向量是 ( )
A． B． C． D．
9．如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是(　　)
A．{} B．{α|≤α≤} C．{α|≤α≤} D．{α|≤α≤}
10．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
11．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6＝＋2＋3，则(　　)
A．四点O、A、B、C必共面 B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面 D．五点O、P、A、B、C必共面
12．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹是(　　)
A．x2－y2＝9(x≥0) B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)
C． y2－x2＝9(y≥0) D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13.已知命题“使”，若命题是假命题，则实数的取值范围是____
14．以为中点的抛物线的弦所在直线方程为：________．
15．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
16. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17（本小题满分10分）
已知命题p：?x∈R，cos2x＋sinx＋a≥0，命题q：?x∈R，ax2－2x＋a<0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．
18．(12分) 如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体，
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．

（18题图）
19．(12分)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．
（19题图）
20、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M、N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
21.如图，在四面体中，平面平面，，，．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．
(1)求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
(2)若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点(M，N位于直线l两侧)，当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．

攸县二中第三学月联考数学答卷
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
C
C
A
B
A
A
D
B
B
二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.[-3,0] 14. 15. 16.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17.由命题p得a≥－cos2x－sinx＝2sin2x－sinx－1＝2(sinx－)2－，
因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝－1时，(2sin2x－sinx－1)max＝2，所以命题p：a≥2，由命题q得：当a≤0时显然成立；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，解得0所以命题q：a<1
因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假
若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a<1
综上，实数a的取值范围是(－∞，1)∪[2，＋∞)．
以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
18(12分)
(1)如图8，取AA′的中点E，D′F＝2FC′，＝＋＋.
(2)＝＋＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
19.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．
所以·＝0，·＝0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQDC，
所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则
即
因此可取n＝(0，－1，－2)．
设m是平面PBQ的法向量，则

可取m＝(1,1,1)，
所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q－BP－C的余弦值为－.
20.解：(1)由题意得解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
21.（I）解：如答（21）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.
在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，
由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积
（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，
故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°
设
在
从而
因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，
又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为
解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，
平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为
显然向量是平面ABC的法向量.
已知二面角C—AB—D为60°，
故可取平面ABD的单位法向量，
使得
设点B的坐标为，有
易知与坐标系的建立方式不合，舍去.
因此点B的坐标为所以
从而
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为
22.解：(1)依题意设抛物线C：x2＝2py(p>0)，
因为点P到焦点F的距离为5，
所以点P到准线y＝－的距离为5.
因为P(x0,4)，所以由抛物线准线方程可得＝1，p＝2.
所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
即y＝x2，所以y′＝x，点P(±4,4)，
所以y′|x＝－4＝×(－4)＝－2，y′|x＝4＝×4＝2.
所以点P(－4,4)处抛物线切线方程为y－4＝－2(x＋4)，即2x＋y＋4＝0；
点P(4,4)处抛物线切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.
P点处抛物线切线方程为2x＋y＋4＝0或2x－y－4＝0.
(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消y得x2－8x－4m＝0，Δ＝64＋16m>0.
所以x1＋x2＝8，x1x2＝－4m，
所以＝4，＝8＋m，
即AB的中点为Q(4,8＋m)．
所以AB的垂直平分线方程为y－(8＋m)＝－(x－4)．
因为四边形AMBN为菱形，
所以M(0，m＋10)，M，N关于Q(4,8＋m)对称，
所以N点坐标为N(8，m＋6)，且N在抛物线上，
所以64＝4×(m＋6)，即m＝10，
所以直线l的方程为y＝2x＋10.