第二章一元二次方程单元测试A卷

第二章一元二次方程单元测试A卷
考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列各数是方程解的是（ ??）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?0
2.用配方法将变形，正确的是（ ??） A. B. C. D.
3. 把一元二次方程 化为一般形式是（?????? ） A. B. C. D.
4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值（ ??） A.-2 B.2 C.2或-2 D.0
5. 已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（?? ）
A.?10??????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????C.?14??????????????????????????????????????D.?12或14
6. 方程x2=x+1的解是（?? ）
A.????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????D.?无实数根
7. 用因式分解法解一元二次方程 时，原方程可化为（?????? ）
A.?????????B.???????????C.????????????D.?
8. 已知，则的值为(??? ) A.-2 B.6 C.6或-2 D.-6或2
9. 若关于x的一元二次方程(a?1)x2?2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（?? ） A.?﹣1??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
10. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（???? ）
A.?100(1+x)=121??????????????B.?100(1-x)=121??????????????C.?100(1+x)2=121??????????????D.?100(1-x)2=121
二、填空题（共8题；共24分）
11. 方程x2－2x－3＝0的解为________.
12. 如果一元二次方程经过配方后，得，那么a=________.
13. 若代数式3x2＋1的值等于28，则x的值为________．
14. 已知关于x的方程的两根为1和2，则方程 的两根分别________．15. 已知方程x2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为____．16. 关于 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________．
17. 若a，b是一元二次方程x2-2018x+1=0的两根，则 的值是________．18. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程________．
三、计算题（共2题；共12分）
19. ( 6分 ) 解方程：????
（1）． （2）．
20. ( 6分 ) 先化简，再求值：，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．
四、解答题（共4题；共32分）
21. ( 8分 ) 巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
22. ( 8分 ) 某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元．求该单位这次共有多少人参加旅游？
23. ( 8分 ) 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
24. ( 8分 ) 如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是cm2？
五、综合题（共2题；共22分）
25. ( 10分 ) 使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）
（1）当m=0时，求该函数的零点．
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．
26. ( 12分 ) 已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长.
（1）如果x=-1 是方程的根，试判断 △ABC的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由.
（3）如果 △ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】方程两边同时乘以3得：x2+2=6，移项、合并同类项得：x2=4，解得：x=±2，故x=2是原方程的根。故答案为：B.【分析】解方程求出方程的根，可解答。
2.【答案】C
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2-2x-2=0，
移项得：x2-2x=2，
配方得：x2-2x+1=3，即（x-1）2=3．
故答案为：C．
【分析】将方程的常数项移到方程的右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式，即可求解。
3.【答案】C
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ，去括号，移项，合并同类项，﹣2x2+4x-3=0,变形后得 ．
故答案为：C.
【分析】通过去括号，移项，合并同类项，就可将此方程转化为一元二次方程的一般形式。
4.【答案】A
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】因为0是方程的根，所以a2–4=0，又因为a 2，所以a=–2.
故答案为：A
【分析】将x=0代入方程，求出a的值，再根据二次项系数不为0，就可确定出a的值。
5.【答案】C
【考点】直接开平方法解一元二次方程，三角形三边关系
【解析】【解答】解方程 得： ，当第三边的长为4时，因为4+4=8>6，此时能围成三角形；当第三边长为2时，因为2+4=6，此时不能围成三角形；∴此三角形的第三边长只能取4，∴此三角形的周长为：4+4+6=14.故答案为：C【分析】利用直接开平方法，求出方程的解，再根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对x的值进行判断，由三角形的周长计算方法即可算出答案。
6.【答案】B
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【解析】【解答】解：x2=x+1， x2﹣x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，x= ，故选B．【分析】先移项，再求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．
7.【答案】B
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】由x(x?3)=x?3，x(x?3)?(x?3)=0，(x?3）(x?1)=0，故答案为：B.
【分析】将方程的右边看成一个整体，移到方程的左边，利用提公因式法分解因式即可。
8.【答案】B
【考点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设t=a2+b2 ， 则原方程可化为：t2-4t-12=0，
分解因式得：（t-6）（t+2）=0，
解得：t1=6，t2=-2．
∵a2+b2是非负数，
∴a2+b2=6．
故答案为：B．
【分析】将a2+b2看着整体，利用换元法将原方程转化为t2-4t-12=0，利用因式分解法求出t的值，再根据a2+b2是非负数，就可得出结果。
9.【答案】B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a?1)x2?2x+2=0有实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-8（a-1）≥0，a-1≠0，解得， a≠1，∴整数a的最大值为0.故答案为：B.
【分析】根据方程有实数根，可得△≥0，a-1≠0，求出a的取值范围，再得出a的最大整数解即可.
10.【答案】C
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量× =增长后的数量.
【分析】此题是一道平均增长率的问题，利用公式a(1+x)n=p,（a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，p是增长结束达到的量）；设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 x，利用公式即可列出方程。
二、填空题
11.【答案】x1＝3，x2＝－
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2－2x－3＝0,(x-3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0，∴x1＝3，x2＝－1【分析】利用观察方程的特点：右边为0，左边可分解因式，因此利用因式分解法解此方程。
12.【答案】-6
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =3? 即 ?则a=-6【分析】由(x?3)2=3，可得出x2?6x+6=0，从而可求得a的值。
13.【答案】3或-3
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得3x2＋1=28，即3x2=27，所以x=3或-3.故答案为3或-3【分析】根据题意，可列方程3x2＋1=28，观察方程的特点，未知数项只含有x2项，因此通过移项、x2的系数化为1，再利用直接开平方法，可求解。
14.【答案】2,3
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ax2+bx+1=0 的两根为1和2，∴a(x?1)2+b(x?1)+1=0的两根为x-1=1或x-1=2∴x1=2，x2=3故答案为：2,3
【分析】由已知ax2+bx+1=0 的两根为1和2，可得出a(x?1)2+b(x?1)+1=0的两根为x-1=1或x-1=2，即可求出答案。
15.【答案】14或16
【考点】配方法解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】配方得，x2?10x＋25?25＋24＝0，解得x＝6或4，
∵方程x2?10x＋24＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，
∴这个等腰三角形的周长为14或16．
【分析】利用配方法求出方程的解，根据方程x2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，得出该等腰三角形的两边长分别为6,和4，由于没有明确的告诉谁是等腰三角形的底边，谁是腰长，故需要分①6为底，4为腰，②4为底，6为腰两种情况，根据三角形的三边关系进行判断能否构成三角形，再根据三角形的周长计算方法算出答案。
16.【答案】k≥-4
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，∴b2-4ac=16+4k≥0解之：k≥-4故答案为：k≥-4【分析】抓住题中关键的已知条件：关于 的一元二次方程 有实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求解即可。
17.【答案】2018
【考点】代数式求值，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2-2018x+1=0的两根，∴a＋b=2018,ab=1,∴故答案为2018.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出a＋b=2018,ab=1，再根据异分母分式的加法法则通分计算出异分母分式的加法，再整体代入即可算出答案。
18.【答案】x（x﹣1）=2550
【考点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程．解：全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张；全班应该送照片x（x﹣1），则可列方程为：x（x﹣1）=2550．故答案为x（x﹣1）=2550．【分析】根据题意由每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，得到每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张和2550张，可列出方程.
三、计算题
19.【答案】（1）解： ，
，
，
，

（2）解：（x+3）2-（1﹣2x）2=0，
（x+3+1-2x）(x+3-1+2x)=0，
(-x+4)(3x+2)=0，
∴
【考点】配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】1.利用配方法解一元二次方程的方法求出方程的解即可。2用因式分解法解一元二次方程即可。
20.【答案】解：原式= ∵x2+2x-3=0，? ∴x1=-3,x2 =1∵‘m是方程x2 +2x-3=0的根，? ∴m=-3或m=1?∵m+3≠0, ∴.m≠-3,??? ∴m=1当m=l时，原式：?
【考点】利用分式运算化简求值，因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将分式的除法转化为乘法，约分化简，然后求出方程的根，再将使分式有意义的m的值代入化简后的分式，计算可求解。
四、解答题
21.【答案】解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】根据等量关系：下调前每平方米的均价×（1-下调的百分率）2=两次下调后每平方米的均价，列方程求解。
22.【答案】解：设该单位这次参加旅游的共有x人．∵100×25＜2700，∴x＞25．[100-2（x-25）]x=2700，x2-75x+1350=0，解得x1=30，x2=45，当x=30时，100-2（x-25）=90＞70，符合题意；x=45时，100-2（x-25）=60＜70，不符合题意；答：该单位这次参加旅游的共有30人．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设该单位这次参加旅游的共有x人．因为100×25=2500＜2700，所以x＞25，根据题意可列方程得，[100-2（x-25）]x=2700，解方程即可求解。
23.【答案】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可得出2AB+BC=100，设AB的长度为x可表示出BC的长，再根据矩形ABCD的面积=400，列方程求解，然后根据AB≤25，可得出答案。
24.【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2 cm2 ， 由题意得（6﹣x）× x=2 解得：x1=2，x2=4，答：经过2s或4s△PCQ的面积是2 cm2
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2cm2 ， 可得出PC的长，再利用解直角三角形求出PC边上的高，然后利用三角形的面积公式建立方程，可解答。
五、综合题
25.【答案】（1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，?? 解得x=± ，所以，m=0时，该函数的零点为± （2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3）=4m2+8m+24=4（m+1）2+20，∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，? ∴△=4（m+1）2+20＞0，∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，即，无论m取何值，该函数总有两个零点
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，先将m=0代入y=x2﹣2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；证明时要注意正确运用配方法。
26.【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形（2）解：△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，∴a2+c2=b2 ， ∴△ABC是直角三角形（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，∴x1=0，x2=-1，即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将x=-1带入方程可得（a+b）-2c+（b-a）=0，整理得b=c，根据等腰三角形的定义可知，△ABC是等腰三角形；（2）由一元二次方程的根的判别式可得，方程有两个相等的实数根，则，即（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，整理得a2+c2=b2 ， 根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形；（3）由等边三角形的性质可知，a=b=c，带入方程可得2ax2+2ax=0，解得x1=0，x2=-1。