第三章 二次函数复习学案

第三章 二次函数知识总结
基础知识梳理
二次函数的概念：
一般地，形如①______________________（a,b,c,是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。其中②_______________是二次项系数，③_____________是一次项系数，④______________是常数项。
二次函数的图像和性质：
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
图象
性质
a>0,抛物线开口向⑤________
a<0,抛物线开口向⑥_________
对称轴是直线⑦_______________，顶点是⑧_______________
当x<时，y随x的增大而⑨___________；当x>时，y随x的增大而⑩___________
当x<时，y随x的增大而?__________；当x>时，y随x的增大而?________________
性质
抛物线有最?________点，当x=时，y有最小值，14_________
抛物线有最15_______值，当x=时，y有最大值，16_____________
二次函数与一元二次方程的关系：
抛物线与x轴的交点与一元二次方程的根的判别关系：
有两个交点 △17________0。
有一个交点（顶点在x轴上） △18________0。
没有交点 △19________0。
典型例题剖析
剖析点一 求抛物线的顶点坐标:
1.配方法
【例1】已知抛物线y=x2-4x+8,则二次函数图象的顶点坐标是_______________。
思路分析:观察抛物线表达式中二次项和一次项的系数,用配方法比较简单,即y=x2-4x+8=(x-2)2+4.故二次函数图象的顶点坐标是(2,4).
答案:(2,4)
方法总结：
形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数图象的顶点坐标为(h,k),当二次函数关系式的二次项系数为1或容易配方时,就采用配方法,它是求抛物线顶点的基本方法之一。
2.公式法
【例2】已知二次函数y=7x2+23x+8,则二次函数图象的顶点坐标是_____________。
思路分析:∵a=7,b=23,c=8,∴，。∴此二次函数图象的顶点坐标是。 答案：
方法总结
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数,当a,b,c的值比较复杂,特别是实际问题中确定顶点的题目,用配方法比较麻烦时,可采用公式法,即顶点坐标公式为,这也是求抛物线顶点的基本方法之一。
3.代入法
【例3】已知抛物线y=-x2+x+6的对称轴为直线x=,则此抛物线的顶点坐标是_________。
思路分析:当x=时,y=， ∴此抛物线的顶点坐标是。
答案:
方法总结：
当已知抛物线的对称轴时,常用代入法。
4.交点法
【例4】二次函数y=2(x-1)(x+3)的图象的顶点坐标是_______________。
思路分析:∵x1=1,x2=-3，∴，。
故二次函数图象的顶点坐标是(-1,-8)
答案:(-1,-8)
方法总结：
形如y=a(x-x1)(x-x2)的二次函数,由于 a(x-x1)(x-x1)=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
==,
所以顶点坐标为。
跟踪练习
1.已知点(1,4),(3,4)在二次函数y=3x2+kx-2k的图象上,求二次函数图象的顶点坐标。

剖析点二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的位置与各项系数符号的判别
【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①abc>0；②-4a<0；
③4a-2b+c<0；④b=-2a。则其中正确的是( )
A.①③ B.③④ C.②③ D.①④
思路分析:
由抛物线的开口向下,得到a<0,∵>0,∴b>0.由抛物线与y轴交于正半轴，得到c>0,∴abc<0,①错误,∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,②错误.∵x=-2时对应的函数值为负数,∴4a-2b+c<0,③正确,∵对称轴为直线x=1,∴=1,即b=-2a,④正确,因此其中正确的结论是③④。 答案:B
方法总结
二次函数各项系数的判别可以结合图象进行判断,由开口方向可知a的符号,由对称轴的位置结合开口方向能判断出b的符号,由图象与y轴的交点可判断c的符号。
跟踪练习
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=- 下列结论中正确的是( )
A. abc>0
B. a+b=0
C. 2b+c>0
D. 4a+c<2b

剖析点三 二次函数的综合题
【例6】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),直线y=-x+3恰好经过B,C两点。
(1)写出点C的坐标。
(2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标。
(3)点P在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB,求点P的坐标。

思路分析:
(1)由直线y=-x+3可求出C点坐标；
(2)由B,C两点坐标便可求出抛物线的解析式,从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
(3)由题意可得出OB,OC,OA,AB的长,从而可得出∠OBC的度数及CB的长,设抛物线对称轴与x轴交于点F,过点A作AE⊥BC于点E,证明△AEC∽△AFP,根据两边成比例,便可求出PF的长度,从而求出P点坐标。
【自主解答】
方法总结
本题前两问考查了二次函数的基本性质,较为简单。第三问结合二次函数的图象考查了三角形的相似,综合性较强。
跟踪练习
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B。
(1)求点A,B的坐标。
(2)若直线L与直线AB关于抛物线的对称轴对称:求直线L的解析式。
(3)若该抛物线在-2

聚焦历年中考
1.(2018·泰安中考)二次函数y=ax2+bx-c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）

2.(2018·临沂中考)二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表:
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
…
y
…
4
0
-2
-2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A.抛物线的开口向下 B.当x>-3时,y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2 D.抛物线的对称轴是x=-
3.(2107 广州中考)对于二次函数y=-x2+x-4,下列说法正确的是（ ）
A.当x>0时,y随x的增大而增大 B.当x=2时,y有最大值一3
C.图象的顶点坐标为(-2,-7) D.图象与x轴有两个交点
4.(2018·新疆中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.a>0
B.c<0
C.3是方程ax2+bx-c=0的一个根
D.当x<1时,y随x的增大而减小

5.（2017 枣庄中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下四个结论:①abc=0；②a+b+c>0；③a>b；④4ac-b2<0,其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.(2017·日照中考)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若,是抛物线上两点,则,其中结论正确的是( )
A.①② B.②③
C.②④ D.①③④

7.(2018· 烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①4acb;③2a+b>0.其中正确的有（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.(2017·营口中考)如图所示，二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0).下面的四个结论：
①AB=4；②b2-4ac>0；③ab<0；④a-b+c<0
其中正确的结论是_______________(填写序号)。
9.(2017· 堰中考)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,y1),(-1,y2)(1,0),且y1<00;②a+3b+2c≤0;③对于自变量x的任意一个取值,都有;④在-20;②b+c>0;③b,c是关于x的一元二次方程x2+(a-1)x+=0的两个实数根;
④a-b-c≥3.其中正确结论是_____________(填写序号)
11.(2018·长春中考)如图所示,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=-x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为_______________。

12.(2018·日照中考)如图所示,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位下降1米后,水面的宽度为____________米。
13.(2017·扬州中考)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)。未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大,a的取值范围应为__________________。
14.(20168·衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图所示).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为______________m2.


15.(2018· 自贡中考)抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O,A两点(其中O为坐标原点),过点P(2,2a)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B,C不重合），连接AP交y轴于点N，接BC和PC。
(1)当a=时,求抛物线的解析式和BC的长。
(2)如图所示,当a>1时,若AP⊥PC,求a的值。

16.(2017·菏泽中考)如图所示,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点。
(1)试求抛物线的解析式。
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积。
(3)若直线y=-x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点,求b的取值范围。
17.(2018·安徽中考)如图所示,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)。
(1)求a,b的值。
(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2

18.(2017·南京中考)如图所示,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变,得到函数y=2x的图象,类似地,我们可以认识其他函数。
(1)把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的________倍,横坐标不变,得到函数y=的图象;也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的_________倍,纵坐标不变,得到函数y=的图象。
(2)已知下列变化:①向下平移2个单位;②向右平移1个单位;③向右平移个单位;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变。
(Ⅰ)函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数_________________的图象。
(Ⅱ)为了得到函数y=-(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点____________。
A.①→⑤→③ B.①→⑥→③ C.①→②→⑥ D.①→③→⑥
(3)函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数的图象?(写出一种即可)

19.(2018·淄博中考)已知,点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,)，直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为。
(1)求a的值。
(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标。
(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF。
参考答案及解析
基础知识梳理
①y=ax2+bx+c ②a ③b ④c ⑤上 ⑥下 ⑦x=
⑧() ⑨减小 ⑩增大 ?增大 ?减小 ?低 ?
?高 ? ?> ?= ?<
典型例题剖析
【例6】(1)y=-x+3与y轴交于点C,故C(0,3)
(2)∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C,
∴,解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-1)(x-3)。∴对称轴为直线x=2,点A(1,0)。
(3)由y=x2-4x+3,可得D(2,-1),A(1,0), ∴OB=3, 0C=3, OA = 1, AB =2,
可得△OBC是等腰直角三角形。 ∴∠OBC=45°,CB=3.
如图所示,设抛物线对称轴与x轴交于点F。
∴AF=1。过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠AEB=90o。 可得BE=AE=,CE=2.
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP。
∴，,解得PF=2。∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为(2,2)或(2,-2)。
跟踪练习
1.解:设二次函数图象的顶点坐标是(x,y),则x==2,y=3×22+2k-2k=12,故二次函数图象的顶点坐标是(2,12)。
2.D
3.解:(1)当x=0时,y=-2，∴点A的坐标为(0,-2)。
抛物线的对称轴为直线=1，∴点B的坐标为(1,0)。
(2)易得A点关于对称轴的对称点为A’(2,-2),则直线l经过点A’.B，
设直线l的解析式为y=kx+b, 则 解得
∴直线l的解析式为y=-2x+2.
(3)∵抛物线对称轴为x=1， ∴抛物线在2结合图象可以观察到抛物线在一2∴抛物线与直线l的交点横坐标为-1, 当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,则抛物线过点(-1,4)。
当x=-1时,m+2m-2=4,解得m=2。
∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2。
聚焦历年中考
1.A 解析:∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上,∴a>0.
∵对称轴在y轴的左侧,∴b>0.
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限。
故选A
2.D 解析:将点(-4,0),(-1,0),(0,4)代入到二次函数y= ax2+bx+c中,
得解得 ∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4。
A.a=1>0,抛物线开口向上,A不正确;
B.当x≥时,y随x的增大而增大,B不正确；
C.y=x2+5x+4=(x+)2-,二次函数的最小值是-，C不正确;
D.，抛物线的对称轴是x=,D正确。
故选D
3.B
4.C 解析:A.图象开口向下,所以a<0,故A错误;
B.图象与y轴交点在y轴的正半轴,所以c>0,故B错误;
C.因为对称轴为直线x=1,所以(-1,0)与(3,0)关于x=1对称,故x=3是ax2+bx+c=0的一个根,故C正确;
D由图象可知:当x<1时,y随x的增大而增大,故D错误。
故选C.
5.C 解析:∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点,∴c=0,∴abc=0∴①正确;
∵x=1时,y<0 ∴a+b+c<0,∴②不正确;
∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴是直线x=-,
∴，∴b=3a,又∵a<0,b<0,∴③正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点,∴△>0, ∴b2-4ac>0,即4ac-b2<0,∴④正确;
综上,可得正确结论有3个:即①③④。故选C
6.C 解析:∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a>0
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴c>0 ∴abc<0,所以①错误;
∵b=-2a,∴2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)。∴当x=2时,y>0。∴4a+2b+c>0,所以③错误;
∵点(-,y1)到对称轴的距离比点(,y2)到对称轴的距离远,
∴y1 7.B 解析:∵抛物线与x轴有两个交点,∴△>0.∴b2-4ac>0.∴4ac∵x=-1时,y<0 ∴a-b+c<0, ∴a+c∵对称轴x>1,a<0,∴>1 ∴-b<2a, ∴2a+b>0,故③正确.
故选B.
8.①②④ 解析:∵抛物线对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0), ∴A(-3,0).
∴AB=4,故①正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;
∵抛物线开口向上,∴a>0
∵抛物线对称轴在y轴左侧,∴a,b同号,∴ab>0,故③错误;
当x=-1时,y=a-b+c此时最小,为负数,故④正确; 故答案为:①②④
9.② 解析:由题意可得二次函数图象如图所示:
∴a<0,b<0,c>0,
∴abc>0,故①正确；
∵a+b+c=0,c=-a-b, ∴a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a。
又∵x=-1时,y>0, ∴a-b+c>0. ∴b-a ∵c>0, ∴b-a可以是正数,故②错误 。
函数。∵，
∴函数y’有最小值-。∴x2+x≥-,故③正确。
∵y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0), ∴a+b+c=0，∴c=-a-b。
令y=0,则ax2+bx-a-b=0,设它的两个根分别为x1,1,∵，∴。
∵-210.①③④
11. 15
12.2解析:建立平面直角坐标系,如图所示：
设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,
则通过画图可得知O为原点。
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求
出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2)。
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(-2,0)到抛物线解析式得出a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2。
当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离。
可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出-1=-0.5x2+2,解得x=±.
所以水面宽度增加到2米。故答案为:2米。
13.0∵每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,
∴ 解得a≤5,又∵a>0,
即a的取值范围是:0 14.144 解析:如图所示,设总占地面积为S(m2),CD的长度x(cm)
由题意知:AB=CD=EF=GH=xm, ∴BH=(48-4x)m,
∵0 0 ∴0∴x=6时,S可取得最大值,最大值为144.
15.解:(1)∵抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)经过原点O,∴b=0 .
∵a= ∴抛物线解析式为y=-x2+6x.∵x=2时,y=8,∴点B坐标为(2,8).
∵对称轴x=3,B,C关于对称轴对称,∴点C坐标为(4,8), ∴BC=2.
(2)∵AP⊥PC,∴∠APC=90o.∵∠CPB+∠APM=90°,∠APM+∠PAM=90°,
∴∠CPB=∠PAM.∵∠PBC=∠PMA=90°,∴△PCB∽△APM.
∴.∴,
整理得a2-4a+2=0,解得a=2±. ∵a>1,∴a=2+.
16.解:(1)由题意,得 ,解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x+2.
(2)如图所示 ∵y=x2-x+2=(x-1)2+,∴顶点D的坐标为(1,)。
∵直线BC为y=-x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3)。
∴。
(3)由消去y,得x2-x+4-2b=0.
当△=0时,直线与抛物线相切,即1-4(4-2b)=0,∴b=.
当直线y=-x+b经过点C时,b=3；
当直线y=-x+b经过点B时,b=5.
∵直线y=-x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点。
∴8
17.解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得,解得。
(2)如图所示,过点A作AD⊥x轴,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F。；
；
。
则，
∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16。
18.解:(1)6 6 (2)(I)y=4(x-1)2-2 (Ⅱ)D
(3)∵y=2x+4 2x+1==2x-4+3= 3
2x+4 =2(x+2)-1,
∴函数y= 的图象先将纵坐标变为原来的一,横坐标不变,得到y=2;再向左平移2个单位,向下平移1个单位即可得到函数y=-2x+4的图象.(答案不唯一)
19.解:(1)∵圆心Q的纵坐标为，∴设Q（m,）,F(0,)。
∵QO=QF,∴m2+()2 = m2+(-)2。
∴a=1
∴抛物线的解析式为y=x2。
(2)∵M在抛物线上,设M(t,t2),Q(m,)。∵O,Q,M在同一条直线上，
∴KOM= KOQ，∴。∴m=。∵QO=QM，∴m2+()2=(m-t)2+(-t2)2。
整理,得-t2+t4+t2-2mt=0,
∴4t4+3t2-1=0 ∴(t2+1)(4t2-1)=0。∴t1=,t2=。
当t1=时,m1= 当t2=时,m2=-。
∴，。
(3)设M(n,n2)(n>0) ∴N(n,0),F(0,）。
∴MF=，
MN +OF=,∴MF=MN+OF