第三章 二次函数单元测试题（含答案）
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文档简介
鲁教版数学九年级上册第三单元测试题
（时间：60分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列表达式中能够表示y是x的函数的是( )
A.y=±(x>0) B.x2+y2=1 C.y= D.x= 9y2
2.若y与x的关系式为y=36x2-6,当x=时,y的值为( )
A.5 B.10 C.2 D.-2
3.关于二次函数y=ax2+b,下列说法正确的是( )
A.若a>0,则y随x的增大而增大 B.x>0,y随x的增大而增大
C.x<0,y随x的增大而增大 D.若a>0,则y有最小值
4.二次函数y=-(x-)2+的对称轴是（ ）
A.x=- B. x= C.x=1 D.x=-1
5.如图所示,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是直线x=-1,则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )
A.(-3,0)
B.(-2,0)
C.r=-3
D.x=-2
6.抛物线y=-3x2-0.1x+4与x轴的交点的个数是( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
7.二次函数y=-x2+2x-1配方后,结果正确的是( )
A.y=-(x+1)2-1 B. y= -(x-3)2+2 C.y=(x-3)2+2= C.y=-(x+3)2+2
8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
9.如果对于任意实数x,二次函数y=ax2+bx+c+1的值都小于1,那么有( )
A.a>0,b2-4ac>0 B.a<0,b2-4ac>0 C.a>0,b2-4ac<0 D.a<0,b2-4ac<0
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( )
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4
C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
D.当x<1时,y随x的增大而增大
11.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数图象的顶点必在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.已知抛物线y=k(x+1)(x-)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2018·泰安中考)将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的表达式为__________________________。
14.某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行_________________m才能停下来。
15.一个y关于x的二次函数同时满足两个条件:①图象过(-2,-1)点;②当x<0时,y随x的增大而减小.这个函数表达式为____________________(写一个即可)。
16.开口向上的抛物线y=a(x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若∠ACB=90°,则C点坐标为________________。
17.(2017·通辽中考)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论：abc<0;②b2-4aC>0;③4b+c<0;④若B(),C(,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2⑤当-3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)__________________。
三、解答题(共49分)
18.(6分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1),B(0,2),C(1,3)。
(1)求其函数表达式、对称轴和顶点坐标。
(2)若二次函数图象与x轴交于M,N两点,求△CMN的面积。
19.(6分)(2018·成都中考)某果园有100颗橙子树,平均每颗树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树。
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系。
(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?
20.(6分)如图所示,用长12m的篱笆和一堵足够长的墙围出一块五边形苗圃 ABCDE.已知AE⊥AB,
BC⊥AB,∠C=∠D=∠E。设CD=DE=x m,五边形 ABCDE的面积为S m2,当x取什么值时,S最大？并求出S的最大值。
21.(6分)(2017·青岛中考)如图所示,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案,按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示。已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边OA的距离分别为m，m。
(1)求该抛物线的函数表达式,并求图案最高点到地面的距离。
(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案?
销售量p/件
P=50-x
销售单价
q(元/件)
当1≤x≤20时,
当21≤x≤40时,
22.(7分)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示:
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件。
(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数表达式。
(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
23.(8分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)。
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点。
(2)把该函数的图象向下平移多少个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
24.(10分)如图所示,已知抛物线y=-x2+bx+c的图象过点A(-3,0),C(0,3)。
(1)求抛物线的表达式。
(2)探究:如图①所示,在抛物线的对称轴DE上是否存在点P,使得点P到直线AD和到x轴的距离相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)探究:如图②所示,在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F,使得?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。
参考答案及解析
1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.B
8.B 解析:抛物线与x轴的交点为(-2,0),(3,0),与y轴交点为(0,-6),三个点中只有(-2,0)离原点最近,故|m|的最小值是2.
9.D 10.D 11.D 12.C
13.y=2(x+2)2-2 解析:抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故得到抛物线的表达式为y=2(x+2)2-2.
故答案为y=2(x+2)2-2.
14.600 解析:在二次函数y=60x-1.5x2中，，
∴y的最大值是600，即飞机要滑行600m才能停下来。
15.y=x2-5(答案不唯一) 16.(0,-4),
17.②③⑤ 解析:由图象可知,a<0,b<0,c>0∴abc>0,故①错误
∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确
∵抛物线对称轴为x=-1,与x轴交于A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),
∴a+b+c=0，，∴b=2a,c=-3a,
∴4b+c=8a-3a=5a<0,故③正确。
∵BC为函数图象上的两点,又点C离对称轴近,
∴y1由图象可知,-3≤x≤1时,y≥0,故⑤正确.
∴②③⑤正确。 故答案为②③⑤
18.解:(1)将(-1,-1),(0,2),(1,3)代入y=ax2+bx+c,得 解得,
∴表达式为y=-x2+2x+2, 即y=-(x-1)2+3.∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,3).
(2)令y=0,得-x2+2x+2=0,∴x1=1+,x2=1-, ∴MN=(1+)-(1-)=2,
∴。
19.解:(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为:y=600-5x(0≤x<120);
(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w, 则w=(600-5x)(100+x) =-5x2+100x+60000 =-5(x-10)2+60500
则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为 60500个。
20.解:连接CE,作DF⊥CE于点F.∵五边形的内角和为540°，
∴∠AED=∠EDC=∠DCB= =120°,∴∠DEC=120°-90°=30°.
在Rt△EDF中,ED=x,EF=ED· cos∠DEC==x,DF=ED.sin∠DEC=,在等腰三角形DEC中,BC=2EP=x,又∵AE+ED+ DC+BC=12,∴AE=CB=(12-2x)=6-x。
∴S=×EC×DF + AB×AE=×x×x+x×(6-x),即S=-x2+6x,
∴当x=4时,S有最大值12。
21.解:(1)根据题意,得B(,),C(，)，
把点B,C的坐标代人y=ax2+bx,得 解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x ∴图案最高点到地面的距离=
(2)令y=0,即-x2+2x=0,∴x1=0，x2=2 ∴10÷2=5,
∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案.
22解:(1)当1≤x≤20时,令30+x=35,解得x=10.当21≤x≤40时,令20+=35,解得x=35.
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件.
(2)当1≤x≤20时,y=(30+x-20)(50-x)=-x2+15x+500；
当21≤x≤40时,y=(20+-20)(50-x)=。∴y=
(3)当1≤x≤20时,y=-x2+15x+500-=-(x-15)2+612.5.
∵-<0,∴当x=15时,y有最大值y1,且y1=612.5.
当21≤x≤40时,26250>0,∴y随x的增大而减小,即当x=21时，y=有最大值y2，
且y2=。∵y1 ∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点 。
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函数y=(x-m)2+3的图象向下平移3个单位后,得到函数=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0)，
因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象向下平移3个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点。
24.解:(1)∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3)，
∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3
(2)存在.
当P在∠DAB的平分线上时,如图①所示,作PM⊥AD于点M，
设P(-1,m),则PM= PD. sin∠ADE=(4-m),PE=m,∵PM= PE,
∴(4-m)=m,解得m=-1.
∴P点坐标为(-1,-1)
当P在∠DAB的外角平分线上时,如图②所示,作PN⊥AD于点N。
设P(-1,n),则PN=PD·sin∠ADE=(4-n),PE=-n, ∵PN=PE,
∴(4-n)=-n,解得n=--1∴P点坐标为(-1,--1)
综上可知,存在满足条件的P点,其坐标为(-1,-1)或(-1,--1)
(3)∵抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,∴B(1,0),
∴ ∵,∴,
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图③所示。
∵
∴FQ=9, ∵BC的表达式为y=-3x+3,
设,则,∴，
解得或(舍去)
∴点F的坐标是。
（时间：60分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列表达式中能够表示y是x的函数的是( )
A.y=±(x>0) B.x2+y2=1 C.y= D.x= 9y2
2.若y与x的关系式为y=36x2-6,当x=时,y的值为( )
A.5 B.10 C.2 D.-2
3.关于二次函数y=ax2+b,下列说法正确的是( )
A.若a>0,则y随x的增大而增大 B.x>0,y随x的增大而增大
C.x<0,y随x的增大而增大 D.若a>0,则y有最小值
4.二次函数y=-(x-)2+的对称轴是（ ）
A.x=- B. x= C.x=1 D.x=-1
5.如图所示,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是直线x=-1,则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )
A.(-3,0)
B.(-2,0)
C.r=-3
D.x=-2
6.抛物线y=-3x2-0.1x+4与x轴的交点的个数是( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
7.二次函数y=-x2+2x-1配方后,结果正确的是( )
A.y=-(x+1)2-1 B. y= -(x-3)2+2 C.y=(x-3)2+2= C.y=-(x+3)2+2
8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
9.如果对于任意实数x,二次函数y=ax2+bx+c+1的值都小于1,那么有( )
A.a>0,b2-4ac>0 B.a<0,b2-4ac>0 C.a>0,b2-4ac<0 D.a<0,b2-4ac<0
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( )
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4
C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
D.当x<1时,y随x的增大而增大
11.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数图象的顶点必在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.已知抛物线y=k(x+1)(x-)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.(2018·泰安中考)将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的表达式为__________________________。
14.某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行_________________m才能停下来。
15.一个y关于x的二次函数同时满足两个条件:①图象过(-2,-1)点;②当x<0时,y随x的增大而减小.这个函数表达式为____________________(写一个即可)。
16.开口向上的抛物线y=a(x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若∠ACB=90°,则C点坐标为________________。
17.(2017·通辽中考)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论：abc<0;②b2-4aC>0;③4b+c<0;④若B(),C(,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2⑤当-3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)__________________。
三、解答题(共49分)
18.(6分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1),B(0,2),C(1,3)。
(1)求其函数表达式、对称轴和顶点坐标。
(2)若二次函数图象与x轴交于M,N两点,求△CMN的面积。
19.(6分)(2018·成都中考)某果园有100颗橙子树,平均每颗树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树。
(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系。
(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?
20.(6分)如图所示,用长12m的篱笆和一堵足够长的墙围出一块五边形苗圃 ABCDE.已知AE⊥AB,
BC⊥AB,∠C=∠D=∠E。设CD=DE=x m,五边形 ABCDE的面积为S m2,当x取什么值时,S最大？并求出S的最大值。
21.(6分)(2017·青岛中考)如图所示,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案,按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示。已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边OA的距离分别为m，m。
(1)求该抛物线的函数表达式,并求图案最高点到地面的距离。
(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案?
销售量p/件
P=50-x
销售单价
q(元/件)
当1≤x≤20时,
当21≤x≤40时,
22.(7分)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示:
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件。
(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数表达式。
(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
23.(8分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)。
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点。
(2)把该函数的图象向下平移多少个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
24.(10分)如图所示,已知抛物线y=-x2+bx+c的图象过点A(-3,0),C(0,3)。
(1)求抛物线的表达式。
(2)探究:如图①所示,在抛物线的对称轴DE上是否存在点P,使得点P到直线AD和到x轴的距离相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)探究:如图②所示,在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F,使得?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由。
参考答案及解析
1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.B
8.B 解析:抛物线与x轴的交点为(-2,0),(3,0),与y轴交点为(0,-6),三个点中只有(-2,0)离原点最近,故|m|的最小值是2.
9.D 10.D 11.D 12.C
13.y=2(x+2)2-2 解析:抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故得到抛物线的表达式为y=2(x+2)2-2.
故答案为y=2(x+2)2-2.
14.600 解析:在二次函数y=60x-1.5x2中，，
∴y的最大值是600，即飞机要滑行600m才能停下来。
15.y=x2-5(答案不唯一) 16.(0,-4),
17.②③⑤ 解析:由图象可知,a<0,b<0,c>0∴abc>0,故①错误
∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确
∵抛物线对称轴为x=-1,与x轴交于A(-3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),
∴a+b+c=0，，∴b=2a,c=-3a,
∴4b+c=8a-3a=5a<0,故③正确。
∵BC为函数图象上的两点,又点C离对称轴近,
∴y1
∴②③⑤正确。 故答案为②③⑤
18.解:(1)将(-1,-1),(0,2),(1,3)代入y=ax2+bx+c,得 解得,
∴表达式为y=-x2+2x+2, 即y=-(x-1)2+3.∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,3).
(2)令y=0,得-x2+2x+2=0,∴x1=1+,x2=1-, ∴MN=(1+)-(1-)=2,
∴。
19.解:(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为:y=600-5x(0≤x<120);
(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w, 则w=(600-5x)(100+x) =-5x2+100x+60000 =-5(x-10)2+60500
则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为 60500个。
20.解:连接CE,作DF⊥CE于点F.∵五边形的内角和为540°，
∴∠AED=∠EDC=∠DCB= =120°,∴∠DEC=120°-90°=30°.
在Rt△EDF中,ED=x,EF=ED· cos∠DEC==x,DF=ED.sin∠DEC=,在等腰三角形DEC中,BC=2EP=x,又∵AE+ED+ DC+BC=12,∴AE=CB=(12-2x)=6-x。
∴S=×EC×DF + AB×AE=×x×x+x×(6-x),即S=-x2+6x,
∴当x=4时,S有最大值12。
21.解:(1)根据题意,得B(,),C(，)，
把点B,C的坐标代人y=ax2+bx,得 解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x ∴图案最高点到地面的距离=
(2)令y=0,即-x2+2x=0,∴x1=0，x2=2 ∴10÷2=5,
∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案.
22解:(1)当1≤x≤20时,令30+x=35,解得x=10.当21≤x≤40时,令20+=35,解得x=35.
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件.
(2)当1≤x≤20时,y=(30+x-20)(50-x)=-x2+15x+500；
当21≤x≤40时,y=(20+-20)(50-x)=。∴y=
(3)当1≤x≤20时,y=-x2+15x+500-=-(x-15)2+612.5.
∵-<0,∴当x=15时,y有最大值y1,且y1=612.5.
当21≤x≤40时,26250>0,∴y随x的增大而减小,即当x=21时，y=有最大值y2，
且y2=。∵y1
即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点 。
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函数y=(x-m)2+3的图象向下平移3个单位后,得到函数=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0)，
因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象向下平移3个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点。
24.解:(1)∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3)，
∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3
(2)存在.
当P在∠DAB的平分线上时,如图①所示,作PM⊥AD于点M，
设P(-1,m),则PM= PD. sin∠ADE=(4-m),PE=m,∵PM= PE,
∴(4-m)=m,解得m=-1.
∴P点坐标为(-1,-1)
当P在∠DAB的外角平分线上时,如图②所示,作PN⊥AD于点N。
设P(-1,n),则PN=PD·sin∠ADE=(4-n),PE=-n, ∵PN=PE,
∴(4-n)=-n,解得n=--1∴P点坐标为(-1,--1)
综上可知,存在满足条件的P点,其坐标为(-1,-1)或(-1,--1)
(3)∵抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,∴B(1,0),
∴ ∵,∴,
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图③所示。
∵
∴FQ=9, ∵BC的表达式为y=-3x+3,
设,则,∴，
解得或(舍去)
∴点F的坐标是。