【易错题解析】北师大版九年级数学下册 第三章 圆 单元测试卷
阅卷人
???
一、单选题（共10题；共30分）
得分
???
1.如图，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是（ ） /
A.?40°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?80°
2.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????/B.?4???????????????????????????????????????????/C.?5???????????????????????????????????????????/D.?6
3.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=63°，则∠BCD为（?? ） /
A.?37°???????????????????????????????????????B.?47°???????????????????????????????????????C.?27°???????????????????????????????????????D.?63°
4.已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A.?在圆内???????????????????????????????/B.?在圆上???????????????????????????????/C.?在圆外???????????????????????????????/D.?不能确定
5.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（? ） /
A.?2
5
?????????????????????????????????????/B.?
5
?????????????????????????????????????/C.?2
13
?????????????????????????????????????/D.?
13
6.如图，DC 是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连结BC，DB，则下列结论错误的是（ ? ） /
A.?弧AD=弧BD??????????????????????????/B.?AF=BF??????????????????????????/C.?OF=CF??????????????????????????/D.?∠DBC=90°
7.如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB=50°，则∠D的度数为（?? ） /
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?70°
8.已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（ ） /
A.?
1
3
??????????????????????????????????????????/B.?
3
4
??????????????????????????????????????????/C.?
4
5
??????????????????????????????????????????/D.?
2
3
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=4，则弦BC的长为（?? ）
/
A.2
3
B.4
3
C.3 D.4
10.如图，在直径为4的⊙O中，弦AC=2
3
，则劣弧AC所对的圆周角∠ABC的余弦值是:（??） /
A.?
3
2
???????????????????????????????????????/B.?
3
3
???????????????????????????????????????/C.?
2
2
???????????????????????????????????????/D.?
1
2
阅卷人
???
二、填空题（共10题；共30分）
得分
???
11.已知点O到直线l的距离为6，以O为圆心，r为半径作⊙O，若⊙O上只有3个点到直线l的距离为2，则r的值为________．
12.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（
????
）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为________. //
13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为________． 14.已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________cm．
15.（2016?海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧 /上，AB=8，BC=3，则DP=________///
16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2
2
， 那么sin∠ACD的值是?________． 17.如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，/， ∠AOB=60°，则∠COD的度数是?________度． 18.如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=________?度． ///
19.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为________（度）．
20.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=
2
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________．
阅卷人
???
三、解答题（共8题；共60分）
得分
???
21.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？ /
22.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，求CD的长 ． /
23.如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为
????
上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长．
/
24.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
/
25.如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°求证：△ABC是等边三角形.
/
26.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB经过点O，CD是弦，且CD⊥AB于点F，连接AD，过点B的直线与线段AD的延长线交于点E，且∠E=∠ACF． （1）若CD=2
15
， AF=3，求⊙O的周长； （2）求证：直线BE是⊙O的切线． /
27.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. / (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
28.如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。 （1）求证：∠DAC＝∠BAC； （2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，猜想：此时∠DAC相等的角是哪一个？并证明你的结论。
//
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】8
12.【答案】
16??
3
+2
3
（cm2）
13.【答案】5
14.【答案】1
15.【答案】5.5
16.【答案】
1
3
17.【答案】120
18.【答案】125
19.【答案】55
20.【答案】
3
2
三、解答题
21.【答案】解： ??=
240??×10
180
+
240??×20
180
=
40
3
??+
80
3
??=40?? ，AC=BD=20-10=10cm， ∴周长=( 40??+20 )cm
22.【答案】解：连接 O A ， / ∵ ????⊥???? ， ????=24 ， ∴ ????=
1
2
????=12 ， 在 ???????????? 中， ∵ ????=13 ， ????=12 ， ∴ ????=5 ， ∴ ????=?????????=13?5=8
23.【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴OD=EF=3，
∴AB=6
24.【答案】解：连结BE，如图，
/
∵OD⊥AB，∴AC=BC=
1
2
AB=
1
2
×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵ ??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
， ∴
??
2
=
4
2
+
(???2)
2
，解得 x=5， ∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，∴∠ABE=90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
6
2
=2
13
．
25.【答案】解：∵∠APC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角??? ∴∠ABC=∠APC=60°
又∵∠BPC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角??? ∴∠BAC=∠BPC=60°?? ∴△ABC是等边三角形.
26.【答案】解：（1）连接OC．设半径为r， ∵OA⊥CD， ∴DF=FC=
15
， 在RT△OFC中，∵∠OFC=90°，FC=
15
，OF=r﹣3，OC=r， ∴r2=（r﹣3）2+（
15
）2 ， ∴r=4， ∴⊙O的周长为8π． （2）证明：∵OA⊥CD， ∴DF=FC，AD=AC，∠AFD=90° ∴∠ADC=∠ACD， ∵∠E=∠ACD， ∴∠ADC=∠E， ∴CD∥EB， ∴∠AFD=∠ABE=90°， ∴BE是⊙O的切线． /
27.【答案】(1)证明：连接OD，∵OB＝OD， / ∴∠OBD＝∠ODB. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BC. 又∠C＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC， ∴
????
????
＝
????
????
，∴
??
6
＝
10???
10
，解得r＝
15
4
.
28.【答案】解：（1）连OC，构建平行线OC∥AD．然后由两直线平行，内错角相等推知∠OCA=∠DAC，再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知，∠BAC=∠OCA，所以根据等量代换易证明：∠DAC=∠BAC； （2）根据（2）的思路，可以直接写出答案． 证明：（1）连OC， 则OC=OA， ∴∠BAC=∠OCA ∵EF切⊙O于C， ∴OC⊥EF ∵AD⊥EF， ∴OC∥AD ∴∠OCA=∠DAC ∴∠DAC=∠BAC (2）∠BAG=∠DAC，理由如下： 连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°， ∵∠AGD+∠GAD=90°， 又∵∠B=∠AGD， ∴∠BAC=∠GAD； 即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC， ∴∠BAG=∠DAC． /
【易错题解析】北师大版九年级数学下册 第三章 圆 单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是（ ） /
A.?40°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?80°
【答案】A
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】由于圆心角∠AOB和圆周角∠ACB所对的弧相同，因此可直接用圆周角定理进行求解．
【解答】∵∠ACB与∠AOB同对着/ ， 而∠ACB为圆周角，∠AOB为圆心角； ∴∠ACB=
1
2
∠AOB=40°．故选A．
【点评】本题考查圆心角、圆周角的应用能力．
2.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????/B.?4???????????????????????????????????????????/C.?5???????????????????????????????????????????/D.?6
【答案】D
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，OP>5cm，结合选项即可判断求解。
3.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=63°，则∠BCD为（?? ） /
A.?37°???????????????????????????????????????B.?47°???????????????????????????????????????C.?27°???????????????????????????????????????D.?63°
【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC， / ∵AB是圆的直径， ∴∠BCA=90°， 又∠ACD=∠ABD=63°， ∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣63°=27°． 故答案为：C． 【分析】连接AC，利用直径上的圆周角是直角可得∠BCA=90°，再由圆周角定理可得∠ACD=∠ABD=63°，继而求出∠BCD的度数.
4.已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A.?在圆内???????????????????????????????/B.?在圆上???????????????????????????????/C.?在圆外???????????????????????????????/D.?不能确定
【答案】A
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】点到圆心的距离为3，小于圆的半径5，所以点在圆内，故答案为A。【分析】考查点与圆的位置关系：比较点到圆心的距离与半径的大小，当点到圆心的距离大于半径，点在圆外；当点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内。
5.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（? ） /
A.?2
5
?????????????????????????????????????/B.?
5
?????????????????????????????????????/C.?2
13
?????????????????????????????????????/D.?
13
【答案】A
【考点】垂径定理
【解析】【分析】如图，过O作OC⊥AP于点C，连接OB， / ∵OP=4，∠APO=30°， ∴OC=
1
2
OP=
1
2
×4=2 ∵OB=3， ∴根据勾股定理，得????=
??
??
2
???
??
2
=
3
2
?
2
2
=
5
∴根据垂径定理，得AB=2
5
故选A.
6.如图，DC 是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连结BC，DB，则下列结论错误的是（ ? ） /
A.?弧AD=弧BD??????????????????????????/B.?AF=BF??????????????????????????/C.?OF=CF??????????????????????????/D.?∠DBC=90°
【答案】C
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【分析】∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F， ∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点， A、弧AD=弧BD，正确，故本选项错误； B、AF=BF，正确，故本选项错误； C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意； D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误； 故选C．
7.如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB=50°，则∠D的度数为（?? ） /
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?70°
【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=50°， ∴∠CBA=40°， ∴∠D=40°， 故选B． 【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角的度数．
8.已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（ ） /
A.?
1
3
??????????????????????????????????????????/B.?
3
4
??????????????????????????????????????????/C.?
4
5
??????????????????????????????????????????/D.?
2
3
【答案】D
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE)?构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．
【解答】解：连接AO并延长交圆于E，连CE．
/ ∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角)； 在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6， ∴sin∠E=
????
????
=
2
3
； 又∵∠B=∠E（同弧所对的圆周角相等)， ∴sinB=
2
3
． 故选D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=4，则弦BC的长为（?? ）
/
A.2
3
B.4
3
C.3 D.4
【答案】B
【考点】圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连结OC，设OA与BC交于点D．
/
∵AB=AC，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OB=OC，
∴OA⊥BC，BD=DC．
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=4．
∵在直角△OBD中，∠ODB=90°，∠BOD=60°，
∴BD=OB?sin∠BOD=4×
3
2
=2
3
，
∴BC=2BD=4
3
．
故选B．
【分析】连结OC，设OA与BC交于点D．根据圆心角、弧、弦的关系得出∠AOB=∠AOC，又OB=OC，根据等腰三角形三线合一的性质得出OA⊥BC，BD=DC．再证明△AOB是等边三角形，得到OB=AB=4．解直角△OBD，求出BD=OB?sin∠BOD=4×
3
2
=2
3
，那么BC=2BD=4
3
．
10.如图，在直径为4的⊙O中，弦AC=2
3
，则劣弧AC所对的圆周角∠ABC的余弦值是:（??） /
A.?
3
2
???????????????????????????????????????/B.?
3
3
???????????????????????????????????????/C.?
2
2
???????????????????????????????????????/D.?
1
2
【答案】D
【考点】垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值
【解析】
【分析】连接OA，OC，过O作OD垂直于AC，由垂径定理得到D为AC的中点，求出AD的长，在直角三角形AOD中，由OA与AD的长，利用勾股定理求出OD的长，进而确定出∠OAC的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半即可求出所求角的度数．
【解答】连接OA，OC，过O作OD⊥AC， / ∴D为AC的中点，即AD=CD=
1
2
AC=
3
， 在Rt△AOD中，OA=2，AD=
3
， 根据勾股定理得：????=
??
??
2
???
??
2
=1， ∴OD=
1
2
OA，又OA=OC， ∴∠OAD=∠OCD=30°， ∴∠AOC=120°， ∵∠AOC与∠ABC都对弧AB， ∴∠ABC=
1
2
∠AOC=60°， 则cos∠ABC=
1
2
． 故选D
【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知点O到直线l的距离为6，以O为圆心，r为半径作⊙O，若⊙O上只有3个点到直线l的距离为2，则r的值为________．
【答案】8
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由图可知，r=6+2=8， / 故答案为：8． 【分析】根据题意画出图形，由图形并结合题意可得r=6+2=8。
12.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（
????
）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为________. /
【答案】
16??
3
+2
3
（cm2）
【考点】三角形的面积，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°， ∴∠OBC=30°， ∴OB=4cm，BC=2
3
cm， 则S扇形OAB=
120??×
4
2
360
=
16
3
?? （cm2），S扇形OAB=
1
2
OC×BC=2
3
（cm2）， 故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=
16
3
??+2
3
（cm2）． 【分析】根据平角的定义由∠AOB=120°得出∠BOC=60°，根据三角形的内角和得出∠OBC=30°，根据含30o角的直角三角形的边之间的关系得出BC的长，然后根据扇形的面积公式及三角形的面积公式，分别计算出S扇形OAB，S扇形OAB，根据S重叠=S扇形OAB+S△OBC即可得出答案。
13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为________． /
【答案】5
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC ， / ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD ， ∴CE=DE=
1
2
CD=
1
2
×6=3，设⊙O的半径为xcm ， 则OC=xcm ， OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2 ， ∴x2=32+（x﹣1）2 ， 解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5． 【分析】连接OC ， 根据垂径定理得出CE=DE=
1
2
CD=3，设⊙O的半径为xcm ， 则OC=xcm ， OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中根据勾股定理列出方程，求解得出答案。
14.已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________cm．
【答案】1
【考点】弧长的计算，圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面圆的半径是rcm， 由题意，得 2πr=
120??×3
180
， 解得r=1． 故答案为：1． 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长=底面圆的周长。即可求解。
15.（2016?海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧 /上，AB=8，BC=3，则DP=________/
【答案】5.5
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径， ∴OA=OB=OD=4，∠C=90°， 又∵DE⊥AC， ∴OP∥BC， ∴△AOP∽△ABC， ∴ /，即 /， ∴OP=1.5． ∴DP=OP+OP=5.5， 故答案为：5.5． 【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2
2
， 那么sin∠ACD的值是?________． /
【答案】
1
3
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB， ∴/， ∴∠B=∠ACD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB=/=3， ∴sin∠ACD=sin∠B=/=
1
3
， 故答案为：
1
3
． 【分析】根据垂径定理得到/?，根据圆周角定理得到∠B=∠ACD，∠ACB=90°，由勾股定理得到AB=/=3，根据三角函数的定义即可得到结论．
17.如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，/， ∠AOB=60°，则∠COD的度数是?________度． /
【答案】120
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵/， ∠AOB=60°， ∴∠BOC=∠AOB=60°， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BOD=180°， ∴∠COD=180°﹣∠BOC=120°． 故答案为120． 【分析】先由/?，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根据直径的定义得出∠BOD=180°，则∠COD=180°﹣∠BOC=120°．
18.如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=________?度． /
【答案】125
【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC，垂足分别为M，N，P ∵∠A=70°，∠B+∠C=180°﹣∠A=110° ∵⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等， ∴OM=ON=OP， ∴O是∠B，∠C平分线的交点 ∴∠BOC=180°﹣
1
2
（∠B+∠C）=180°﹣
1
2
×110°=125°． / 【分析】过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC，垂足分别为M，N，P，根据三角形内角和定理及角平分线定理即可得到∠BOC的度数．
19.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为________（度）． /
【答案】55
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°， ∴∠C=
1
2
∠AOB=55°． 故答案为：55． / 【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
20.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=
2
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________． /
【答案】
3
2
【考点】垂线段最短，勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， / 在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=
2
，???????????? ∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1， ∵∠EOF=2∠BAC=120°， 而∠EOH=∠HOF， ∴∠EOH=60°， 在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=
1
2
?sin60°=
3
4
， ∵OH⊥EF， ∴EH=FH， ∴EF=2EH=
3
2
， 即线段EF长度的最小值为
3
2
． 故答案为
3
2
． 【分析】? 由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，根据勾股定理得AD=BD=1，即此时圆的直径为1，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系知∠EOF=2∠BAC=120°,根据垂径定理得∠EOH=60°，在Rt△EOH中根据正弦定义得出EH的长，根据垂径定理知EF=2EH，从而得出答案。
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？ /
【答案】解： ??=
240??×10
180
+
240??×20
180
=
40
3
??+
80
3
??=40?? ，AC=BD=20-10=10cm， ∴周长=( 40??+20 )cm
【考点】弧长的计算
【解析】【分析】根据弧长计算公式l=
??πr
180
分别算出广告标志的两段弧长，再用大圆的半径减去小圆的半径，算出AC,BD的长，再相加即可得出答案。
22.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，求CD的长 ． /
【答案】解：连接 O A ， / ∵ ????⊥???? ， ????=24 ， ∴ ????=
1
2
????=12 ， 在 ???????????? 中， ∵ ????=13 ， ????=12 ， ∴ ????=5 ， ∴ ????=?????????=13?5=8
【考点】垂径定理
【解析】【分析】连接 O A ,根据垂径定理得出AD=
1
2
AB=12 ，根据勾股定理即可算出OD的长，再根据线段的和差，由CD=OC?OD即可算出答案。
23.如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为
????
上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长．
/
【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴OD=EF=3，
∴AB=6
【考点】菱形的判定与性质，圆的认识
【解析】【分析】连接OD，由条件可得四边形OFDE是矩形，根据矩形对角线相等可知OD=EF=3，利用同圆半径相等即可解答。
24.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
/
【答案】解：连结BE，如图，
/
∵OD⊥AB，∴AC=BC=
1
2
AB=
1
2
×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵ ??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
， ∴
??
2
=
4
2
+
(???2)
2
，解得 x=5， ∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，∴∠ABE=90°， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
6
2
=2
13
．
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【分析】连结BE，利用垂径定理求出AC的长，再在Rt△ACO中，利用勾股定理求出OC、AE的长，然后利用三角形中位线定理及勾股定理求出CE。
25.如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°求证：△ABC是等边三角形.
/
【答案】解：∵∠APC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角??? ∴∠ABC=∠APC=60°
又∵∠BPC与∠BAC都是弧BC所对的圆周角??? ∴∠BAC=∠BPC=60°?? ∴△ABC是等边三角形.
【考点】等边三角形的判定，圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60° ，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形得出结论。
26.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB经过点O，CD是弦，且CD⊥AB于点F，连接AD，过点B的直线与线段AD的延长线交于点E，且∠E=∠ACF． （1）若CD=2
15
， AF=3，求⊙O的周长； （2）求证：直线BE是⊙O的切线． /
【答案】解：（1）连接OC．设半径为r， ∵OA⊥CD， ∴DF=FC=
15
， 在RT△OFC中，∵∠OFC=90°，FC=
15
，OF=r﹣3，OC=r， ∴r2=（r﹣3）2+（
15
）2 ， ∴r=4， ∴⊙O的周长为8π． （2）证明：∵OA⊥CD， ∴DF=FC，AD=AC，∠AFD=90° ∴∠ADC=∠ACD， ∵∠E=∠ACD， ∴∠ADC=∠E， ∴CD∥EB， ∴∠AFD=∠ABE=90°， ∴BE是⊙O的切线． /
【考点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC．设半径为r，在RT△OFC中利用勾股定理即可解决问题． （2）只要证明CD∥EB，即可得到∠AFD=∠ABE=90°，由此可以得出结论．
27.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. / (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
【答案】(1)证明：连接OD，∵OB＝OD， / ∴∠OBD＝∠ODB. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BC. 又∠C＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC， ∴
????
????
＝
????
????
，∴
??
6
＝
10???
10
，解得r＝
15
4
.
【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】考查切线的判定。
28.如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。 （1）求证：∠DAC＝∠BAC； （2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，猜想：此时与∠DAC相等的角是哪一个？并证明你的结论。//
【答案】解：（1）连OC，构建平行线OC∥AD．然后由两直线平行，内错角相等推知∠OCA=∠DAC，再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知，∠BAC=∠OCA，所以根据等量代换易证明：∠DAC=∠BAC； （2）根据（2）的思路，可以直接写出答案． 证明：（1）连OC， 则OC=OA， ∴∠BAC=∠OCA ∵EF切⊙O于C， ∴OC⊥EF ∵AD⊥EF， ∴OC∥AD ∴∠OCA=∠DAC ∴∠DAC=∠BAC (2）∠BAG=∠DAC，理由如下： 连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°， ∵∠AGD+∠GAD=90°， 又∵∠B=∠AGD， ∴∠BAC=∠GAD； 即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC， ∴∠BAG=∠DAC． /
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】（1）连结OC，得OC∥AD。连OC，构建平行线OC∥AD．然后由两直线平行，内错角相等推知∠OCA=∠DAC，再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知，∠BAC=∠OCA，所以根据等量代换易证明：∠DAC=∠BAC； （2）连结BG，得∠ACD＝∠B。 【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有平行线性质，等腰三角形的性质以及圆周角的定理。
