1.1.1 任意角
A级 基础巩固
一、选择题
1.与－30°终边相同的角是( )
A.－330° B.150°
C.30° D.330°
解析：因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·
360°＋(－30°)，k∈Ｚ，取k＝1，得α＝330°.
答案：D
2.下列说法正确的是( )
A.锐角是第一象限角 B.第二象限角是钝角
C.第一象限角是锐角 D.第四象限角是负角
解析：由于锐角范围是(0°，90°)，显然是第一象限角；
－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角.故选A.
答案：A
3.若α是第二象限角，那么和2α都不是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：由α是第二象限角，那么在第一、三象限，2α在第三、四象限，所以和2α都不是第二象限角.
答案：B
4.若α＝k·180°＋45°(k∈Ｚ)，则α在( )
ＴA.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析：当k＝2m＋1(m∈Ｚ)时，α＝2m·180°＋225°＝m·
360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Ｚ)时，α＝
m·360°＋45°，故α为第一象限角.
答案：A
5．下面说法正确的个数为( )
(1)第二象限角大于第一象限角；
(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
(3)钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．
答案：B
二、填空题
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又
50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
答案：－1 030°
7.自行车的车轮按逆时针方向滚动两周，则转过的角为 .
解析：车轮滚动两周旋转720°.结合正角的定义可知所求角为720°.
答案：720°
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.
答案：120°，300°
三、解答题
9.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0°≤α＜360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.
(1)750°； (2)－795°； (3)950°20′.
解：(1)因为750°＝2×360°＋30°，
所以在0°≤α＜360°范围内，终边与750°角相同的角是
30°角，它是第一象限角.
(2)因为－795°＝－3×360°＋285°，
所以在0°≤α＜360°范围内，终边与－795°角相同的角是285°角，它是第四象限角.
(3)因为950°20′＝2×360°＋230°20′，
所以在0°≤α＜360°范围内，终边与950°20′角相同的角是230°20′角，它是第三象限角.
10.已知角α是第三象限角.
求：(1)角是第几象限的角；
(2)角2α终边的位置.
解：(1)因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Ｚ)，
所以90Ｔ°＋k·180°＜＜135°＋k·180°(k∈Ｚ)，
当k为偶数时，为第二象限角，
当k为奇数时，为第四象限角，
则是第二象限或第四象限的角.
(2)因为180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Ｚ)，
所以360°＋2k·360°＜2α＜540°＋2k·360°(k∈Ｚ)，
即角2α终边在第一象限或第二象限或y轴的正半轴.
B级 能力提升
1.与－463°终边相同的角可以表示为( )
A.k·360°＋463°，k∈Ｚ B.k·360°＋103°，k∈Ｚ
C.k·360°＋257°，k∈Ｚ D.k·360°－257°，k∈Ｚ
解析：；因为－463°＝－360°×2＋257°，所以与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°，k∈Ｚ.
答案：C
2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．
解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·
360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．
答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {－45°，315°}
3.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.
解：(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Ｚ}，
终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Ｚ}，
终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Ｚ}，
终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Ｚ}，
所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Ｚ}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋
220°，k∈Ｚ}.
(2)终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Ｚ}，
终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Ｚ}，
故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α
360°＋75°，k∈Ｚ}.
1.1.2 弧度制
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
答案：D
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C. π D．－π
解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
答案：B
3.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Ｚ)的形式是( )
ＴA.－－6π B.－6π
C.－－8π D.－8π
解析：－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋，故选D.
答案：D
4.在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
解析：由于r＝10，α＝，所以弧长l＝r·α＝.
答案：A
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为( )
A. B. C.π D.2
解析：由题意可知 所以
所以S＝lr＝.
答案：A
二、填空题
6.半径为12 cm的圆中，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为___________.
解析：圆心角α＝＝，所以α＝2kπ＋，k∈Ｚ.
答案：
7.设扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是___________
解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l，由题设可得?则扇形圆心角所对的弧度数是α＝＝2.
答案：2
8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．
解析：(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，
所以r＝＝＝.
(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝＝1.
答案：(1) (2)1
三、解答题
9.已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
解：设扇形的半径是R，弧长是l，扇形的周长为y，则y＝l＋2R.
由题意，得lR＝25，则l＝，
故y＝＋2R(R＞0).
利用函数单调性的定义，可以证明：
当0＜R≤5时，
函数y＝＋2R是减函数；
当R＞5时，函数y＝＋2R是增函数.
所以当R＝5时，y取最小值20，
此时l＝10，α＝＝2，
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值.
10.已知α＝2 000°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Ｚ，β∈[0，2Ｔπ))的形式；
(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).
解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋.
(2)因为θ与α的终边相同，
所以θ＝2kπ＋，k∈Ｚ，
又θ∈(4π，6π)，
所以当k＝2时，θ＝4π＋π＝.
[B级 能力提升]
1.圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A.1 B. C.或 D.或
解析：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.
答案：C
2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.
解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad，所以经过一小时，时针转过－ rad.
答案：－
3.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小；
(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)由于圆O的半径为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝.
(2)因为α＝，所以l＝|α|·r＝，
S扇＝lr＝××10＝.
又S△AOB＝×10×10×＝25，
所以S＝S扇－S△AOB＝－25＝50.
1.2.1 任意角的三角函数
A级 基础巩固
一、选择题
1.若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以点P在第四象限.
答案：D
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP
C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM
解析：因为π是第二象限角，
所以sin π＞0，cos π＜0，
所以MP＞0，OM＜0，
所以MP＞0＞OM.
答案：D
3.已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sinαcos α等于 ( )
A.－ B.－
C. D.
解析：由题意可得，角α的终边上的一点为(1，－3)，则sin α＝＝，cos α＝＝，
所以sin αcos α＝－.
答案：A
4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．
答案：B
5．函数y＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1.
又sin ＝－1，
所以x≠＋2kπ，k∈Z.
答案：A
二、填空题
6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．
解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝.
答案：
7.已知角α的终边经过点(－，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
解析：由三角函数定义知，r＝ ＝1，
则sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝.
答案：－ －
8．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为____________．
解析：作图如下，因为θ∈，所以θ >，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.
答案：AT>MP>OM
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)cos＋tan .
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin
30°＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos＋tan＝
cos ＋tan ＝＋1＝.
10.设角x的终边不在坐标轴上，求函数
y＝＋＋的值域.
解：当x为第一象限角时，sin x，cos x，tan x均为正值，所以＋＋＝3.
当x为第二象限角时，sin x为正值，cos x，tan x为负值，所以＋＋＝－1.
当x为第三象限角时，sin x，cos x为负值，tan x为正值，所以＋＋＝－1.
当x为第四象限角时，sin x，tan x为负值，cos x为正值，所以＋＋＝－1.
综上，y的值域为{－1，3}
[B级 能力提升]
1.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值的是( )
A. B. C. D.
解析：由于θ为锐角，所以由三角函数及三角形中两边之和大于第三边可知，sin θ＋cos θ＞1，故选A.
答案：A
2.若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin θ＝m，则cos θ的值为_________.
解析：因为角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin θ＝m，所以x＝－，y＝m，r＝，
sin θ＝＝m，所以＝＝，
所以cos θ＝＝－.
答案：－
3.设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，试比较a，b，c三数的大小.
解：因为a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，作出三角函数线(如图)，结合图象可得c＞b＞a.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列各项中可能成立的一项是( )
A.sin α＝且cos α＝
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α在第二象限时，tan α＝－
解析：A不满足平方关系；C由tan α＝1且cos α＝－1得sin α＝－1，不满足平方关系；D不满足商数关系.
答案：B
2.已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是( )
A. B.－
C. D.－
解析：因为α是第二象限角，所以sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝＝－.
答案：D
3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：将sin α＋cos α＝两边平方，得1＋2sin αcos α＝，即2sin α·cos α＝－.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．
答案：A
4．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得
＋＝1，解得m＝0或8.
答案：C
5.化简－可得( )
A.－ B.
C.－ D.
解析：－
＝
＝＝－
答案：A
二、填空题
6．在△ABC中，若cos(A＋B)>0，sin C＝，则tan C等于________．
解析：在△ABC中，因为cos(A＋B)>0，
所以0所以角C是钝角，所以cos C＝－ ＝－，
所以tan C＝＝＝－.
答案：－
7．若＝10，则tan α的值为________．
解析：因为＝10，
所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，
所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.
所以tan α＝－2.
答案：－2
8．已知－解析：由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，即2sin xcosx＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x·cos x＝，
又因为－0，sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－.
答案：－
三、解答题
9.已知tan α＝－2，计算：
(1)；
(2).
解：(1)＝＝＝－.
(2)＝＝＝＝－5.
10.(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值.
(2)若cos α＝，求tan α的值.
解：(1)因为sin α＝－，α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
tan α＝＝＝.
(2)因为cos α＝＞0，
所以α是第一、四象限角.
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
所以tan α＝＝.
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
B级 能力提升
1．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α＝( )
A. B. C. D.
解析：因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1，
又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，
所以tan α＝，所以sin α＝cos α，即cos α＝sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋sin2α＝1，
所以sin2α＝(α为锐角)，
所以sin α＝.
答案：B
2.化简：(＋)(1－cos α)＝ .
解析：原式＝(＋)(1－cos α)
＝(1－cos α)
＝
＝
＝sin α.
答案：sin α
3.求证：＝.
证明：法一 左边＝
＝
＝
＝＝右边.
所以等式成立.
法二 右边＝
＝
＝
＝＝左边.
第1课时 诱导公式二、三、四
A级 基础巩固
一、选择题
1.以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin(360°＋200°)＝sin 200°；
②sin(180°－200°)＝－sin 200°；
③sin(180°＋200°)＝sin 200°；
④sin(－200°)＝sin 200°.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：由诱导公式知①正确，②③④错误，故选B.
答案：B
2.已知sin＝，则sin的值为( )
A.－ B. C. D.－
解析：根据三角函数的诱导公式，
可得sin＝sin＝sin＝，故选C.
答案：C
3．已知sin(π＋α)＝，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：因为sin(π＋α)＝，所以sin α＝－.
因为α为第三象限角，所以cos α＝－.
所以cos(π－α)＝－cos α＝.
答案：C
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2 017)＝5，则f(2 018)等于( )
A．4 B．3 C．－5 D．5
解析：因为f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，所以f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝asin α＋bcos β＝－5.
答案：C
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A. B.
C．－1 D．1
解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝
tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m；
所以原式＝＝＝＝
.
答案：A
二、填空题
6．已知tan＝，则tan＝________．
解析：因为tan＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
答案：－
7．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－.
故cos(α－2π)＝cos α＝ ＝
＝.
答案：
8．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________．
解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝
sin2α＋cos2α＋1＝2.
答案：2
三、解答题
9.计算：
(1)cos ＋cos ＋cos＋cos ；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°).
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋
＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°＋tan (－10°)＋sin 66°－sin (180°－66°)
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 66°＝0.
10.计算：
(1)sin (－)＋2sin πsin π＋sinπ；
(2)sin 585°cos 1 290°＋cos (－30°)sin 210°＋tan 135°.
解：(1)sin ＋2sinπsin π＋sinπ
＝－sin ＋2sinsin＋sinπ
＝－－2sin sin＋
＝2sin2＝.
(2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°sin (180°＋30°)＋tan (180°－45°)
＝sin 225°cos 210°－cos 30°sin 30°－tan 45°
＝(－sin 45°)·(－cos 30°)－cos 30°·sin 30°－1
＝×－×－1
＝－－1＝.
[B级 能力提升]
1.若sin (－α)＝，且α∈，则cos (π＋α)的值为( )
A. B.－
C.± D.以上都不对
解析：因为sin (－α)＝，
所以sin α＝－.
又α∈，
所以cos α＝＝.
所以cos (π＋α)＝－cos α＝－.
答案：B
2．已知f(x)＝则f＋f＝________．
解析：f＝sin＝sin ＝，f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－，
所以f＋f＝－＝－2.
答案：－2
3.求sin·tan －cos ·tan的值.
解：sin·tan －cos ·tan
＝sin·tan－cos ·tan
＝sin·tan －cos ·tan＝－sin ·tan ＋cos ·tan
＝－××＋×1＝0.
第2课时 诱导公式五、六
A级 基础巩固
一、选择题
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5° B．cos 5°
C．0 D．2sin 5°
解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：C
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．
答案：B
3．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－.
原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.
答案：B
4．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos ＝sin B D．sin ＝cos
解析：因为A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C，＝，＝，
所以cos(A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，
sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
cos ＝cos ＝sin ，
sin ＝sin＝cos .
答案：D
5.已知sin ＝，则cos 的值是( )
A.－ B.
C. D.－
解析：因为cos
＝cos
＝sin
＝，
所以选B.
答案：B
二、填空题
6．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________．
解析：因为cos α＝，且α是第四象限角，
所以sin α＝－＝－ ＝－.
所以cos＝－sin α＝.
答案：
7.已知cos α＝，则sin ·cos ·tan (π－α)＝__________.
解析：sincostan (π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
答案：
8．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝________．
解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin2
45°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋＝1＋1＋＝.
答案：
三、解答题
9．化简：＋.
解：因为sin＝cos α，cos＝sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
所以原式＝＋＝
－sin α＋sin α＝0.
10.(1)已知sin α＝，sin β＝1，求cos (α＋β)的值；
(2)已知sin ＝，求cos 的值.
解：(1)由sin β＝1得β＝＋2kπ(k∈Ｚ[?HZ]ZＺＸ)，
所以Ｔcos (α＋β)＝cos＝－sin α＝－.
(2)因为＋α－＝，
所以＋α＝＋.
所以cos＝cos＝－sin＝－.
B级 能力提升
1．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x
C．f＝－cos x D．f(π－x)＝－f(x)
解析：f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin x；f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin x；f＝sin＝－sin＝－cos x；f(π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x)．
答案：C
2.已知cos ＝，则sin ＝_________
解析：因为＋＝，
所以sin＝sin＝
cos＝.
答案：
3．设tan＝a.
求证：＝.
证明：左边＝
＝ ＝.
将tan＝a代入得，左边＝＝右边，
所以等式成立．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析：由题意－m＝sin ，所以－m＝1，所以m＝－1.
答案：C
2．在同一坐标系中函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同
解析：解析式相同，定义域不同．
答案：B
3.函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
解析：由y＝sin (－x)＝－sin x可知，其图象和y＝sin x的图象关于x轴对称.
答案：B
4．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．
答案：B
5.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是( )
A.(0，π) B.
C. D.
解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下.
因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x＜－的解集是.故选C.
答案：C
二、填空题
6．用“五点法”画出y＝2sin x在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．
解析：可结合函数y＝sin x的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．
答案：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)
7．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
答案：[－1，0]
8．函数y＝的定义域是______________．
解析：由logsin x≥0知0答案：{x|2kπ三、解答题
9．用“五点法”作函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：
x
0
π
2π
－2cos x
－2
0
2
0
－2
－2cos x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：
10．判断方程sin x＝的根的个数．
解：当x＝3π时，y＝＝<1；
当x＝4π时，y＝＝>1.
分别作出函数y＝sin x及y＝的简图在y轴的右侧图象，如下图所示．
观察图象知，直线y＝在y轴右侧与曲线y＝sin x有且只有3个交点，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点O(0，0)，一共有7个交点．所以方程根的个数为7.
B级 能力提升
1.已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝的所有根的和等于( )
A.0 B.π C.－π D.－2π
解析：若f(x)＝，即|sin x|＝，
则sin x＝或sin x＝－.
因为x∈[－2π，2π]，所以方程sin x＝的4个根关于x＝－对称，则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π，
由对称性可得sin x＝－的四个根之和为2π.
综上，方程f(x)＝的所有根的和等于0.故选A.
答案：A
2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
解析：因为sin α∈[－1，1]，所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是∪.
答案：∪
3.若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的范围.
解：原函数可化为分段函数
f(x)＝
如图所示，
由图象可得k∈(1，3).
第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，周期为π的函数是( )
A．y＝2sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
解析：根据公式T＝可知函数y＝cos的最小正周期是T＝＝π.
答案：D
2．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B. C. D.
解析：因为f(x)是偶函数，
所以＝＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝π＋3kπ(k∈Z)，
又φ∈[0，2π]，所以φ＝π.
答案：C
3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．
而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．
答案：D
4．函数y＝sin是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
解析：由诱导公式得，y＝sin＝－cos x，所以该函数为周期为2π的偶函数．
答案：D
5.若函数f(x)＝asin x＋2x＋3，且f(－1)＝7，则f(1)＝( )
A.4 B.－4 C.1 D.－1
解析：函数f(x)＝asin x＋2x＋3，令g(x)＝asin x＋2x，
则g(－x)＝－asin x－2x＝－g(x)，
所以g(x)＝asin x＋2x是奇函数，
f(－1)＝g(－1)＋3＝7，
g(－1)＝4，g(1)＝－4，f(1)＝g(1)＋3＝－4＋3＝－1.故选D.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝cos 2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．
解析：函数的定义域为R，f(－x)＝cos 2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos 2x＋1＝f(x)．
故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．
答案：y轴
7.已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是_______.
解析：f(10)＝f(6×1.5＋1)＝f(1)＝20.
答案：20
8.若函数f(x)＝2cos(ωx＋)的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则ω的最大正整数值是_______.
解析：ω＝，因为T∈(1，3)，
所以＜ω＜2π.
所以ω的最大正整数值为6.
答案：6
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg(sin x＋)；
(2)f(x)＝sin.
解：(1)因为1＋sin2x＞sin2x，所以＞|sin x|≥－sin x，
所以sin x＋＞0，
所以函数f(x)的定义域为R.
f(－x)＝lg[sin(－x)＋]＝
lg(－sin x＋)＝lg＝
－lg(sin x＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝sin＝－cos ，x∈R.
又f(－x)＝－cos＝－cos ＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．
10.函数f(x)满足f(x＋2)＝－.求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.
证明：因为f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
[B级 能力提升]
1.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于( )
A.1 B. C.0 D.－
解析：f＝f＝f＝sin ＝.
答案：B
2．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，
所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，
且
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．
答案：5
3．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解：当x∈时，
g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，
所以由g(x)＝解得x＋＝－或，即x＝－或－.
又因为g(x)的最小正周期为π.
所以g(x)＝的解集为
.
第2课时正、余弦函数的单调性与最值
A级 基础巩固
一、选择题
1.函数y＝－cos x，x∈(0，2π)，其单调性是( )
A.[ZK(#]在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数
B.在，上是增函数，在上是减函数
C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数
D.在上是增函数，在，上是减函数
解析：y＝－cos x在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数.
答案：A
2．y＝sin x－|sin x|的值域是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．[－2，0]
解析：y＝因此函数的值域为[－2，0]．
答案：D
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°答案：C
4.函数y＝sin 在区间[0，π]上的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Ｚ)得kＴπ＋≤x≤kπ＋(k∈Ｚ)，
取k＝0，则一个单调递减区间为.
答案：B
5．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：因为x∈，所以－≤2x－≤π，
所以当2x－＝－时，
f(x)＝sin有最小值－.
答案：B
二、填空题
6．函数y＝2sin的值域是________．
解析：因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤π，
所以0≤sin≤1，
所以y＝2sin的值域为[0，2]．
答案：[0，2]
7.当x＝_________时，函数f(x)＝cos2x＋sin x取最大值.
解析：当|x|≤时，－≤sin x≤，f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋，所以sin x＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
答案：
8.函数y＝sin 的单调递增区间是 .
解析：由题意得，函数y＝sin＝－sin，
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Ｚ，
解得kＴπ＋≤x≤kπ＋，k∈Ｚ，所以函数的递增区间是，k∈Ｚ.
答案：，k∈Ｚ
三、解答题
9.已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围.
解：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Ｚ)得－＋≤x≤＋(k∈Ｚ).
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Ｚ).
据题意得，?(k∈Ｚ).
从而解得0＜ω≤.
故ω的取值范围是.
10.求下列函数的值域：
(1)y＝2cos，x∈；
(2)y＝cos2x－3cos x＋2.
解：(1)因为－＜x＜，所以0＜2x＋＜.
所以－＜cos＜1.
所以y＝2cos，x∈的值域为(－1，2).
(2)令t＝cos x，因为x∈R，所以t∈[－1，1].
所以原函数化为y＝t2－3t＋2＝(t－)2－.
所以二次函数图象开口向上，直线t＝为对称轴.
所以[－1，1]为函数的单调减区间.
所以当t＝－1时，ymax＝6；当t＝1时，ymin＝0.
所以y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0，6].
[B级 能力提升]
1.已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是( )
A. B. C.π D.
解析：画出函数y＝sin x的草图，可以取a＝，则b∈，则b－a的取值范围为.
答案：A
2．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
解析：根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
所以sin ＝1，
所以＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.
又0<ω<2，所以ω＝.
答案：
3.已知函数f(x)＝2asin ＋a＋b的定义域是，值域是[－5，1]，求a，b的值.
解：因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin( 2x＋)≤1.
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
1.4.3 正切函数的性质与图象
A级 基础巩固
一、选择题
1.关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.在区间上单调递增
C.为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
解析：因为2×(－)＋＝，所以是函数y＝tan图象的一个对称中心，故选C.
答案：C
2.函数y＝tan 的最小正周期为( )
A.2π B.π C. D.
解析：根据周期公式计算得T＝＝，故选C.
答案：C
3.函数y＝tan 的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：由x－≠kπ＋(k∈Ｚ)得x≠kπ＋，k∈Ｚ.
答案：D
4．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
解析：令y＝tan＝0，则有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z，再令k＝0，得x＝，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为.故可排除C、D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B.
答案：A
5.已知函数y＝tan( 2x＋φ)的图象过点则φ可以是( )
A.－ B. C.－ D.
解析：因为图象过点，
所以0＝tan.
所以tan＝0.
所以φ＝－＋kπ(k∈Ｚ)，
所以φ可以是－，故选A.
答案：A
二、填空题
6.函数y＝|tan x|的最小正周期是_________.
解析：y＝|tan x|的图象是y＝tan x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期也为π.
答案：π
7.－tan与tan的大小关系是_________.
解析：－tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan.
因为0＜＜＜＜π，
所以tan＞0，tan＜0，
所以－tan＜－tan，
即－tan＜tan.
答案：－tan＜tan
8．y＝tan 满足下列哪些条件________(填序号)．
①在上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为.
解析：当x∈，所以y＝tan 在上单调递增正确；tan＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，因此①②正确；T＝＝2π，所以③不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．
答案：①②
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
解：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan
在(k∈Z)内单调递增，
所以f(x)＝－3tan在
(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π.单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，
f＝3tan＝3tan＝－3tan ，
因为0＜＜＜，且y＝tanx 在上单调递增，
所以tan ＜tan ，所以f(π)＞f.
10．求函数y＝tan的定义域，单调区间及对称中心．
解：由5x＋≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z，
函数定义域为.
由kπ－<5x＋函数的单调递增区间是，k∈Z，
由5x＋＝得x＝－，k∈Z，函数图象的对称中心坐标为，k∈Z.
B级 能力提升
1.若f(n)＝tan(n∈N *)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝( )
A.－ B. C.0 D.－2
解析：由题意可知，T＝＝3，
f(1)＝，f(2)＝－，f(3)＝0?f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
故f(1)＋f(2)＋……＋f(2 017)＝672×0＋f(1)＝.
答案：B
2．若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝________．
解析：因为＝，所以|a|＝，所以a＝±.
答案：±
3.设函数f(x)＝asin 和φ(x)＝btan，k＞0，若它们的最小正周期之和为，且f＝φ，f＝－φ＋1，求f(x)，φ(x)的解析式.
解：因为f(x)的最小正周期为，
φ(x)的最小正周期为，
由已知得＋＝，所以k＝2.
所以f(x)＝asin，φ(x)＝btan.
因为
所以
所以所以
所以f(x)＝sin，φ(x)＝tan.
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝3sin的振幅和周期分别为( )
A．3，4 B．3，
C.，4 D.，3
解析：由于函数y＝3sin，所以振幅是3，周期是T＝＝4.
答案：A
2．(2016·四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
解析：把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象．
答案：A
3.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析：由图象可知所求函数的周期为π，
故ω＝3.将代入解析式得π＋φ＝＋2kπ，所以φ＝－＋2(k－1)π(k∈Ｚ).令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos，
又因为f＝－Acos＝－，
故A＝.
所以f(0)＝Acos＝Acos＝，故选C.
答案：C
4．已知ω>0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.
答案：A
5．函数f(x)＝sin( ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，若f＝，则sin ＝( )
A．－ B.
C．± D．－
解析：因为f(x)的图象两个相邻最高点的距离为π，
所以T＝π＝，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin( 2x＋φ)．
因为f(x)＝sin( 2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以k＝0时，φ＝－，
所以f(x)＝sin，
所以f＝sin＝，
所以sin＝.
又0＜α＜，故cos＝，
所以sin＝sin
＝－sin
＝－sin
＝－cos＝－.
答案：A
二、填空题
6．把y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为________．
解析：把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx，所以ω＝.
答案：
7．把函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，然后把横坐标扩大到原来的3倍，则得到的函数解析式为________．
解析：把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，则得到y＝sin的图象，即解析式为y＝sin，然后把横坐标扩大为原来的3倍，得到函数y＝sin的图象，则解析式为y＝sin.
答案：y＝sin
8．若函数f(x)＝2sin( 2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)在[0，π]上的单调减区间是________．
解析：函数f(x)＝2sin( 2x＋φ)的图象过点(0，)，则2sin φ＝，sin φ＝.因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
因为0≤x≤π，所以0≤2x≤2π，≤2x＋≤，由于y＝sin x在上为减函数，所以≤2x＋≤，解得≤x≤.
答案：
三、解答题
9．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin( x＋)在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)说明该函数图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎栏平移和伸缩变换得到？
解：(1)先列表，后描点并画图．
x＋
0
π
2π
x
－
y
0
1
0
－1
0
(2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象．或把y＝sin x的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin，即y＝sin的图象．
10．函数f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，则f＝2，求α的值．
解：(1)因为函数f(x)的最大值为3，
所以A＋1＝3，即A＝2.
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以最小正周期T＝π，
所以ω＝2，故函数f(x)的解析式为
y＝2sin＋1.
(2)因为f＝2sin＋1＝2，
所以sin＝，
因为0＜α＜，所以－＜α－＜，
所以α－＝，故α＝.
B级 能力提升
1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )
A．y＝4sin＋2 B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析：因为最大值是4，故选项A不符合题意．
又因为T＝＝，所以ω＝4，故排除选项B.
令4x＋＝＋kπ，k∈Z?4x＝＋kπ，k∈Z?x＝＋，k∈Z，
令＋＝，得k＝?Z，排除选项C，故选D.
答案：D
2．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
解析：由题设可得T＝4＝π?ω＝＝2，则f(x)＝2sin( 2x＋φ)．由f＝0?＋φ＝2kπ，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，则φ＝－，所以f(x)＝2sin，f＝2sin＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝Asin( ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变化得到．
解：(1)由题设图象知，最小正周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.
因为点在f(x)的图象上，所以Asin＝0，即sin＝0.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜，从而＋φ＝π，
即φ＝.
又点(0，1)在f(x)的图象上，所以Asin ＝1，解得A＝2，所以f(x)＝2sin.
(2)先将函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，
得到函数y＝sin，x∈R的图象，
再把函数y＝sin，x∈R图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，
得到函数y＝sin，x∈R的图象，
最后把函数y＝sin，x∈R图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，
得到函数f(x)＝2sin，x∈R的图象．
1.6 三角函数模型的简单应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：因为T＝＝，所以f＝＝80.
答案：C
2．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B.
答案：C
3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
解析：因为10≤t≤15时，有π<5≤≤<π此时F(t)＝50＋4sin 是增函数，即车流量在增加．
答案：C
4．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：函数y＝－sin x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.
答案：C
5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，
所以T＝＝＝1 s，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
答案：D
二、填空题
6．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．
解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，
故解得A＝3，k＝12，ω＝.又t＝0时，y＝12，所以φ＝0.
答案：y＝12＋3sin t
7．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s内往复运动的次数是________________．
解析：周期T＝ s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.
答案：25
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，
y＝23＋5cos＝20.5
答案：20.5
三、解答题
9．在波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝3sin ＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推．
(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？
(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？
解：(1)白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，此时t＝170对应的6月20日(闰年除外)，类似地，t＝353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼最短．
(2)D(t)＞10.5，即3sin＋12＞10.5，
所以sin＞－，t∈[0，365]，
所以49＜t＜292，292－49＝243.
所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．
10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f(t)＝10－2sin，又≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10故在10时至18时实验室需要降温．
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin
B．f(x)＝3sin
C．f(x)＝3sin
D．f(x)＝3sin
解析：由题意知A＝3，T＝6－2＝4，所以T＝16，
故T＝＝16，所以ω＝，所以f(x)＝3sin，
因为最高点为(2，3)，所以3sin＝3，
即sin＝1，又0＜φ＜π.
所以φ＝，所以f(x)＝3sin.
答案：C
2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．
解析：由题意得解得A＝2，B＝6.
周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝＝.
所以f(x)＝2sin＋6.
又当x＝3时，y＝8，所以8＝2sin＋6.
所以sin＝1，
结合|φ|＜可得φ＝－.
所以f(x)＝2sin＋6.
答案：2sin＋6
3.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
第一章 三角函数
章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．关注角的概念的推广
(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化．如小于90°的角可能是零角、锐角或负角．
(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．
2．确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin α<0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．
3．关注正切函数的定义域
(1)正切函数y＝tan x的定义域为，不可写为{x|x≠k·360°＋90°，k∈Z}．
(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件．
4．平方关系应用的关注点
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，开方后求另一个三角函数值，易错的地方是未对角所在象限进行讨论．
5．正确应用诱导公式
(1)明确诱导公式的基本功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．
(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化．
6．关注三角函数的定义域、值域
(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1.
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即.
7．正确掌握含三角函数的复合函数的单调性
(1)要求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间，先研究正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的相应单调区间，再把其中的“x”用“ωx＋φ”代替，解关于x的不等式即可求出所求的单调区间，但要特别关注A的正负．
(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.
专题一 三角函数的概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1] (1)设角α属于第二象限，＝－cos ，试判定角属于第几象限．
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．
又＝－cos ≥0，所以cos ≤0.
所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．
综上所述，是第三象限角．
(2)3tan x＋≥0，即tan x≥－.
所以kπ－≤x归纳升华
1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论．
2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．
[变式训练] (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；
(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的正切值．
解：(1)因为θ为第四象限角，所以0所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0，
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.
(2)因为θ∈，所以cos θ<0，
所以r＝＝＝－5cos θ，
故sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.
专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式
在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．
[例2] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：法一：由已知＝－4，
所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝
4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝
＝＝
＝.
法二：由已知＝－4，
解得tan θ＝2，即＝2，
所以sin θ＝2cos θ，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝
(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝
cos2θ＝＝＝.
归纳升华
三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)若式子中有角，k∈Z，则先利用诱导公式化简．
[变式训练] 已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α－sin αcos α＋5cos2α.
解：(1)原式＝＝＝＝5.
(2)原式＝
＝
＝＝2.
专题三 三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例3] 函数y＝Asin(wx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.
又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.
答案：A
归纳升华
1．求解析式的方法：A＝，k＝，ω＝，由“五点作图法”中方法令ωx＋φ＝0，，π，π或2π求φ.
2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．
[变式训练] 函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．(π，0)
C. D.
解析：函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数y＝sin＝sin
＝cos x的图象，它的一个对称中心是(π，0)．
答案：B
专题四 三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
[例4] 已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为
(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，
所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z.
所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是
.
归纳升华
1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．
[变式训练] (2014·安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B. C．0 D．－
解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π，
又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，
即f＝f＋sin＝0，
所以f＝，
所以f＝f＝f＝.
答案：A
专题五 转化与化归思想
化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sin x来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．
[例5] 求函数y＝sin的单调区间．
解：将原函数化为y＝－sin.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得3kπ－π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递减．
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得3kπ＋π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递增．
故原函数的单调递减区间为
(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)．
归纳升华
1．求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x的系数为正数是关键．
2．在求形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．
[变式训练] 已知函数f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)由(1)知f＝－cos＝sin α，
因为f(α)·f＝－，即cos α·sin α＝，
可得(sin α－cos α)2＝，
又≤α≤，cos α≥sin α，
所以f(α)＋f＝sin α－cos α＝－.
(3)由f＝2f(α)结合(2)得sin α＝－2cos α，
联立sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，
所以f(α)·f＝－cos α·sin α＝2cos2α＝.
3.1.1 两角差的余弦公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0.
答案：A
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝( )
A. B. C. D．－
解析：a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－
15°)＝cos 45°＝.
答案：A
3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
解析：因为a∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝
×＋×＝.
答案：D
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
答案：B
5．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
解析：因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)，β－∈.
又因为cos(α＋β)＝，sin＝，
所以sin (α＋β)＝＝，
cos＝ ＝，
所以cos
＝cos
＝cos (α＋β)cos＋sin(α＋β)·sin
＝×＋×＝.
故选C.
答案：C
二、填空题
6．cos(x＋270°)cos(x－180°)＋sin(x＋270°)sin(x－180°)的值等于________．
解析：原式＝cos[(x＋270°)－(x－180°)]＝
cos 450°＝cos(360°＋90°)＝cos 90°＝0.
答案：0
7.sin 75°＋sin 15°的值等于________．
解析：原式＝cos 60°·cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝
cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
答案：
8．已知sin ＝，A∈，则cos A＝________．
解析：由A∈，可知A＋∈，则cos＝－，cosA＝cos＝cos·cos ＋sin sin＝－×＋×＝.
答案：
三、解答题
9．(1)化简： cos(α－β)cos(α－γ)－sin(α－β)sin(γ－α)；
(2)已知sin α＝，α∈，求cos的值．
解：(1)原式＝cos(α－β)cos(α－γ)＋sin(α－β)sin(α－γ)＝cos[(α－β)－(α－γ)]＝cos(γ－β)．
(2)因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－.
10．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
解：因为α∈，β∈，
所以α－∈，－β∈.
因为cos＝－，sin＝ ，
所以sin＝ ＝＝，
cos＝ ＝ ＝.
所以cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
B级 能力提升
1．已知x∈R, sin x－cos x＝m，则m的取值范围为( )
A．－1≤m≤1 B．－≤m≤
C．－1≤m≤ D．－≤m≤1
解析：sin x－cos x＝＝
＝cos，
因为x∈R，
所以－1≤cos≤1，
所以－≤m≤.
答案：B
2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期是________．
解析：由于f(x)＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝cos，所以T＝＝π.
答案：π
3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0, 求证：cos (α－ β )＝－.
证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋sin β )2＝(－sin γ)2①
(cos α＋cos β )2＝(－cos γ)2②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β )＝1.
即2＋2cos(α－ β )＝1，所以cos(α－ β )＝－.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，则tan β＝( )
A. B. C．3 D.
解析：因为sin α＝，α为锐角，
所以cos α＝＝.
所以tan α＝＝，
所以tan β＝tan [(β－α)＋α]＝
＝，故选A.
答案：A
2.sin－cos的值是( )
A. B. C．－ D．sin
解析：sin －cos
＝2
＝2sin＝2sin ＝.
答案：A
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＋cos Bcos C＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
4．化简cos 15°cos 45°－sin 15°·sin 45°的值为( )
A．－ B. C. D．－
解析：根据两角和的余弦公式可得，cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝，故选C.
答案：C
5．已知cos－cos α＝，则cos的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：由题意可得
cos－cos α
＝cos αcos ＋sin αsin －cos α
＝－cos αcos ＋sin αsin
＝－
＝－cos，
据此有－cos＝，
所以cos＝－.
答案：B
二、填空题
6．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋ β )＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋ β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7．计算＝________．
解析：原式＝＝
tan(45°－15°)＝.
答案：
8．已知cos＝，则cos α＝________．
解析：由于0＜α－＜，且cos＝，
所以sin＝.
所以cos α＝cos ＝
coscos－sinsin＝
×－×＝.
答案：
三、解答题
9．已知sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜ β＜，求角α＋ β的值．
解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0.
因为＜ β ＜，所以＜＋ β＜.
由已知可得cos＝，cos＝－，
则cos(α＋ β )＝cos＝
cos·cos＋sin ·sin＝×＋×＝－.
因为＜α＋ β ＜π.
所以α＋ β＝.
10．设方程12x2－πx－12π＝0的两根分别为α， β，求cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β的值．
解：由题意知α＋ β＝，
故原式＝cos(α＋ β )－sin(α＋ β )＝
2sin＝2sin ＝2sin＝
2＝
2＝.
B级 能力提升
1．已知3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是( )
A．－ B. C．－ D.
解析：因为3sin x－cos x
＝2
＝2sin( x＋φ)，
所以cos φ＝，sin φ＝－.
又因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：A
2．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________．
解析：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.②
由①＋②，得2cos αcos β＝，
即cos αcosβ＝.
由②－①，得2sin αsinβ＝，
即sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
3．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C.已知sin＝2cos A.
(1)求角A的值；
(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.
解：(1)由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A，因为A∈(0，π)，且cos A≠0，
所以tan A＝，所以A＝.
(2)因为B∈，cos(A－B)＝，
所以A－B＝－B∈.
因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，
所以sin(A－B)＝，
所以sin B＝sin [A－(A－B)]＝sin A cos (A－B)－cos A·sin (A－B)＝.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下列各式中，值为的是( )
A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2
C. D.
解析：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
cos2－sin2＝cos ＝；
＝tan 45°＝；
＝cos2 15°≠.
答案：C
2.的值是( )
A. B. C．2 D.
解析：原式＝＝＝2.
答案：C
3.等于( )
A.cos 12° B．2cos 12°
C．cos 12°－sin 12° D．sin 12°－cos 12°
解析：＝ ＝
＝
|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.
答案：C
4．已知cos＝，则sin 2α的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：因为cos＝，
所以sin 2α＝－cos＝－cos＝
1－2cos2＝1－×2＝.
答案：A
5．若α∈，且sin2 α＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
A. B. C. D.
解析：因为sin2 α＋cos 2α＝，
所以sin2 α＋cos2 α－sin2 α＝cos2 α＝
所以cos α＝±.
又α∈，
所以cos α＝，sin α＝.所以tan α＝.
答案：D
二、填空题
6．(2016·四川卷)cos2－sin2＝________．
解析：cos2－sin2＝cos ＝.
答案：
7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．
解析：因为sin ＋cos ＝，
所以＝，
即1＋2sin cos＝，所以sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2 θ＝1－2×＝.
答案：
8．已知sin ＝，则sin 2x的值等于________．
解析：法一：因为sin＝，所以cos ＝
1－2sin2＝1－2×＝，
所以 sin 2x＝cos＝.
法二：由sin＝，得(sin x－cos x)＝－，
所以sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，
所以sin 2x＝.
答案：
三、解答题
9．求证：＝sin 2α.
证明：法一：左边＝＝
＝＝
＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
10．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解：f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
所以sin≥sin ＝－.
所以当x∈时，f(x)≥－.
B级 能力提升
1．函数f(x)＝cos 2x＋4cos x (x∈R)的值域为( )
A．[－3，2] B．[－2，3]
C．[－1，3] D．[－3，5]
解析：f(x)＝2cos2x＋4cos x－1＝2(cos x＋1)2－3，由于cos x∈[－1，1]，故f(x)∈[－3，5]．
答案：D
2．若＝－，则sin 2α＝________．
解析：
＝
＝－(sin α＋cos α)
＝－?sin α＋cos α＝，
平方得1＋sin 2α＝?sin 2α＝－.
答案：－
3．已知α为锐角且tan＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解：(1)因为tan＝2，
所以＝2，
即＝2，
解得tan α＝.
(2)
＝
＝
＝＝cos α＋sin α.
因为α为锐角且tan α＝，
所以cos α＝3sin α.
由sin2α＋cos2α＝1，
得sin2α＝，
所以sin α＝，cos α＝，
可得cos α＋sin α＝.
3.2 简单的三角恒等变换
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
解析：因为y＝sin 2x＋cos 2x
＝2
＝2sin，
所以最小正周期为T＝＝＝π.
答案：C
2．若函数f(x)＝－sin2 x＋(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：f(x)＝－＋＝cos 2x.
答案：D
3．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( )
A．－ B．± C．－1 D．±1
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.
答案：C
4．若sin(α＋ β )cos β－cos(α＋ β )sin β＝0，则sin(α＋2 β )＋sin(α－2 β )等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
解析：因为sin(α＋ β )cos β－cos(α＋ β )sin β＝sin(α＋ β－ β )＝sin α＝0，
所以sin(α＋2 β )＋sin (α－2 β )＝2sin αcos 2 β＝0.
答案：C
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x＜，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．2 C.＋1 D.＋2
解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x＝
cos x＝sin x＋cos x＝
2sin.
因为0≤x＜，所以≤x＋＜π，
所以当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
答案：B
二、填空题
6．已知α为第二象限角，sin α＝，则tan 2α＝________．
解析：由sin α＝，且α为第二象限角得，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，tan 2α＝＝－.
答案：－
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
解析：因为3sin x－cos x＝2＝2sin，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
8.－＝________．
解析：原式＝＝
＝＝4.
答案：4
三、解答题
9．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．
解：因为θ∈(π，2π)，
所以∈，
所以sin ＝ ＝，
cos ＝－＝－，
所以sin ＋cos ＝.
10．已知2sin＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.
证明：由2sin＝sin θ＋cos θ，
得cos α＋sin α＝sin θ＋cos θ，
两边平方得，2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，①
又sin2β＝sin 2θ，②
由①②两式消去sin 2θ，得2(1＋sin 2α)＝1＋2sin2β，
即2sin 2α＋cos 2β＝0，所以sin 2α＋cos 2β＝0.
B级 能力提升
1．(2016·山东卷)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B．π
C. D．2π
解析：法一：因为f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝4
＝4sincos＝2sin，
所以T＝＝π.
法二：因为f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以T＝＝π.
答案：B
2．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A等于________．
解析：在△ABC中，＝－，
所以sin2＋cos 2A＝sin2＋cos 2A＝
cos2 ＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝－.
答案：－
3．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
第三章 三角恒等变换
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．熟练把握三角中的相关公式
本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键．
2．关注角的取值范围
由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现．
专题一 三角函数式的求值问题
三角函数式求值主要有以下三种题型．
(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题．
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋ β )－ β，2α＝(α＋ β)＋(α－ β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
[例1] (1)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B. C．1 D.
(2)的值是( )
A. B. C. D．－
解析：(1)因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.
(2)原式＝＝
－＝－＝
－tan (45°＋15°)＝－tan 60°＝－.
答案：(1)A (2)D
归纳升华
对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段．
[变式训练] 已知sin＝，cos 2α＝，则sin α＝( )
A. B．－ C．－ D.
解析：因为sin＝，
所以sin α－.
cos α＝，即sin α－cos α＝，因为cos 2α＝，
所以cos2 α－sin2 α＝，即(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝，
所以cos α＋sin α＝－，可得sin α＝.
答案：D
专题二 三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．
三角函数式的证明实质上也是化简，具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的.
[例2] 化简(tan 10°－)·.
解：原式＝·＝
＝
＝＝
＝－2.
归纳升华
本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件，解法简捷，明快．
[变式训练] 求证：＝.
证明：法一：右边＝＝＝
＝
＝
＝左边．
所以原命题成立．
法二：左边＝＝
＝
＝＝右边，
所以原命题成立．
专题三 三角恒等变换的综合应用
高考常以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
[例3] (2015·重庆卷)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝
cos xsin x－(1＋cos 2x)＝
sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
归纳升华
高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等．解答时通常是先将函数简化为形如f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B的形式，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
[变式训练] (2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为f(x)＝cos2x＋6cos＝cos 2x＋
6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，
又sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
答案：B
专题四 转化与化归思想
本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即α＋ β＝α－(－ β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．
[例4] 已知sin·sin＝，α∈，求sin 4α.
解：因为α＋＋－α＝，
所以sin＝cos.
所以sin·sin＝
sin·cos＝
sin＝cos 2α＝，
又因为π＜2α＜2π，cos 2α＝，
所以sin 2α＝－.
所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
归纳升华
解三角函数求值问题，要优先考虑角与角之间的关系，＋α与－α互余，从而化为同角“＋α”．
[变式训练] 已知sin＝，cos＝－，且α－和－ β分别为第二、第三象限角，求tan 的值．
解：因为sin＝，且α－为第二象限角，
所以cos＝－ ＝－.
又cos＝－，且－ β为第三象限角，
所以sin＝－ ＝－.
所以tan＝－，tan＝，
所以tan ＝tan＝
＝＝－.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( )
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
解析：A项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确．
答案：D
2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是( )
A．－1 B．2 C．1 D．3
解析：||＝2－(－1)＝3.
答案：D
3．如图所示，在⊙O中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案：C
4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝.
答案：D
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：由＝知四边形为平行四边形；由||＝||知四边形ABCD为菱形．
答案：C
二、填空题
6．有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量是有向线段；
③向量00
④向量大于向量；
⑤单位向量都相等．
其中，正确的说法是________(填序号)．
解析：
序号
正误
原因
①
√
||＝||＝AB
②
×
向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来
③
×
0是一个向量，而0是一个数量
④
×
向量不能比较大小
⑤
×
单位向量的模均为1，但方向不确定
答案：①
7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
8．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
三、解答题
9．如图所示，四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解：(1)与相等的向量有，，与相等的向量为.
(2)与模相等的向量有，，.
10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
解：(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量是，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个向量．
B级 能力提升
1．已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
解析：因为||＝2，
所以终点A到起点O的距离为2.
又因为O点固定，
所以A点的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
答案：C
2．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案：①③④
3．如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了 km到了C村，问B、C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？
解：由题可知||＝1，||＝，
∠CAB＝90°，则||＝2.
又tan∠ACB＝＝＝，
所以∠ACB＝30°，故B，C两村间的距离为2 km，B村在C村的南偏东60°的方向上．
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是( )
A. B.
C．0 D.
解析：－＋＝＋＝0.
答案：C
2．在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝.
答案：D
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案：A
4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C. D.
解析：作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
答案：D
5.如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析：因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以＝，＝，＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立．
－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立．
＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立．
－－＝－＝＋≠0，故D不成立．
答案：A
二、填空题
6．化简(＋)＋(－)＝________．
解析：(＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝0＋＝.
答案：
7．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
解析：当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.
答案：20，4
8．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c, 则＝________(用a，b，c表示)．
解析：在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
三、解答题
9．如图所示，已知a，b，求作a－b.
解：
10．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
[B级 能力提升]
1．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A.＝0 B.＝0或＝0
C．四边形ABCD是矩形 D．四边形ABCD是菱形
解析：＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，所以四边形ABCD是矩形．
答案：C
2．对于非零向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
3．如图所示，?ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a、b表示、；
(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
即||＝||.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形，所以a⊥b，
所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．因为?ABCD的两条对角线不可能平行，
所以a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
答案：C
2．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量＝( )
A.＋ B.－
C．－－ D．－＋
解析：因为D是AB的中点，所以＝，
所以＝－＝－.
答案：D
3．已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：因为＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，所以＝＋＝－4a＋8b，＋＝2a＋4b＝＝2，所以A，B，D三点共线．
答案：A
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：如图，因为＋＝2，
所以P是线段AC的中点，
所以＝－，即＋＝0.
答案：B
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：由已知条件可知BE＝3DE，
所以DF＝AB，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
答案：A
二、填空题
6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，
又方向相反，所以a＝－b.
答案：－
7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λ a＋b与a＋2b平行，
所以λ a＋b＝t(a＋2b)，即λ a＋b＝t a＋2t b，
所以解得
答案：
8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．
解析：因为＋＋＝0，所以点M是△ABC的重心，所以＋＝3，所以m＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
解：设＝，则＝＋，则＝＋＝＋＋＝
＋－＋a(－)＝(1＋a)－a
所以x＋y＝1＋a－a＝1.
10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
(1)解：根据向量的线性运算法则，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与同向，且的长度为长度的2倍，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
B级 能力提升
1．如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＋＝
解析：因为G是△ABC的重心，所以BG＝BE，CG＝2GF，DG＝AG，所以＝，＝2，＝－，所以＋＝＋＝＝.所以C不正确．
答案：C
2．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________(用，表示)．
解析：＝t，－＝t(－)，＝＋t－t＝(1－t)＋t.
答案：(1－t)＋t
3．设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：＋＝1.
(1)证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
所以与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，
所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以
解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.
(3)证明：因为M，P，N三点共线，O为直线外一点，
所以存在实数x，y，使得＝x＋y，且x＋y＝1.
又因为＝α a＋β b，且a，b不共线，
所以＝xma＋ynb＝α a＋β b，所以xm＝α，yn＝β，
所以＋＝x＋y＝1.
2.3.1 平面向量基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案：B
2．在菱形ABCD中，∠A＝，则与的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知AC平分∠BAD，所以与的夹角为.
答案：A
3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
解析：因为＝2，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：C
4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.
答案：D
5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，所以m＝，解得m＝－1或m＝3，选A.
答案：A
二、填空题
6．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝________．
解析：因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
所以(1＋λ)＝＋λ
所以＝＋＝
a＋b
答案：a＋b
7．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．
解析：如图，作向量＝a，＝b，则＝a－b.由已知，得OA＝1，OB＝，OA⊥AB，
所以△OAB为等腰直角三角形，
所以∠AOB＝45°，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
8．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．
解析：由解得
答案：3a－4b 3b－2a
三、解答题
9.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．
解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在直角△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
10．如图所示，?ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.
解：＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
＝－＝＋－＝b＋a－a＝b－a.
如图所示，连接DB，延长CG，交BD于点O，点G是△CBD的重心，
故＝＋＝＋＝＋＝－b－＝－a－b.
[B级 能力提升]
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案：B
2．如图，向量＝，若＝x＋y，则x－y＝________．
解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以x＝，y＝.所以x－y＝－.
答案：－
3．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得，
?
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝
(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以，?
所以c＝2a＋b.
(3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝
(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
所以?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
2.3.3 平面向量的坐标运算
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知a＝(3，1)，b＝(－2，5)，则3a－2b＝( )
A．(2，7) B．(13，－7)
C．(2，－7) D．(13，13)
解析：3a－2b＝3(3，1)－2(－2，5)＝(13，－7)．故选B.
答案：B
2．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
解析：b＝(3，2)－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．
答案：A
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析：＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
答案：A
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
答案：D
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
解析：因为c＝λ1a＋λ2b，
所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
所以
解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
二、填空题
6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．
解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，
所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
7．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．
解析：因为F1＋F2＋F3＝0，
所以F3＝－F1－F2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．
答案：(－3，－4)
8．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，
故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
三、解答题
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin
60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以所以
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
B级 能力提升
1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y.
解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
答案：A
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．
因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
3．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
所以
解得
(3)设O为坐标原点，
因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
所以M(0，20)．
又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)，所以＝(9，－18)．
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－ B. C．－或 D．0
解析：由题意知，1×2－m2＝0，所以m＝±.
答案：C
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：A中向量e1为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝e2，所以e1∥e2；
D中e1＝4e2，所以e1∥e2.
答案：B
3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2 B．2 C．－2 D．0
解析：由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故
k＝－2.
答案：C
4．已知点P(－3，5)，Q(2，1)，向量m＝(－λ，1)，若∥m，则实数λ等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：由题意得＝(5，－4)，因为∥m，所以4λ＝5，即λ＝，故选C.
答案：C
5．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
答案：D
二、填空题
6．已知向量a＝(1，m)，b＝(3m，1)，且a∥b，则m2的值为_______．
解析：因为a∥b，所以1－3m2＝0，所以m2＝.
答案：
7．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则＝(4，6)．
又与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，则λ＝.
答案：
8．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λ a＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝
(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.
答案：或
三、解答题
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M(2.5，2.5，)，N(1.5，0.5)，
所以＝(2.5，2.5)，＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，
所以，共线．
10．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)k a－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为k a－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，解得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，所以解得m＝.
B级 能力提升
1．若a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：因为a＝，
b＝，a∥b，
所以×－sin α·cos α＝0，
即sin α·cos α＝.
把α＝30°，45°，60°，75°代入验证可知45°能使上式成立．
答案：B
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________．
解析：由向量的坐标运算知，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－3b＝(5，－3)．由两向量共线可得5×(3m＋2n)＝－3×(2m－n)，化简得＝－.
答案：－
3．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
解：(1)＝(x，1)，＝(4，x)．
因为，共线，所以x2－4＝0，
则当x＝±2时，两向量，共线．
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)，
则∥，此时A，B，C三点共线，
又∥，
从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．
当x＝2时，A，B，C，D四点不共线．
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．在△ABC中，设＝a，＝b，且|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则||＝( )
A．1 B. C. D.
解析：因为||＝|＋|，所以||＝＝＝，选C.
答案：C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.
答案：A
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析：|a－b|＝ ＝ ＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：A
4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：因为＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．
答案：B
5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝
|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝
|a|2－2|a|－96＝－72，
所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.
答案：C
二、填空题
6．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则在方向上的正射影数量是________．
解析：如图所示，作向量＝，则与的夹角为∠ABE＝π－＝，所以在方向上的正射影的数量为||·cos＝2×＝－.
答案：－
7．如图，在四边形ABCD中，||＝4，·＝12，E为AC的中点，若＝2，则·＝________．
解析：因为||＝4，E是AC的中点，所以AE＝CE＝2.·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－22＝12?2＝16?2＝4，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝4－4＝0.
答案：0
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋m b＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．
解析：因为3a＋m b＋7c＝0，所以3a＋m b＝－7c，
所以(3a＋m b)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6m a·b＝49.
又a·b＝|a| |b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.
答案：－8或5
三、解答题
9．已知|a|＝1，|b|＝，
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a·b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，此时a·b＝|a||b|＝.
(2)|a＋b|＝ ＝ ＝
＝1.
10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5.
因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，
所以9－6a·b＋1＝5.
所以a·b＝.
所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝
1＋6×＋9×1＝15.
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝
3×1＋8×－3×1＝.
所以cos θ＝＝＝.
因为0°≤θ ≤180°，
所以sin θ＝ ＝ ＝.
所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.
B级 能力提升
1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
解析：因为·＝·，
所以·(－)＝0，
即·＝0, 则⊥.
同理⊥，⊥.
所以O是△ABC的垂心．
答案：B
2．如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________．
解析：·＝·＝·＝(－)·＝＝4.
答案：4
3．如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)在方向上的正射影．
解：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.
(2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，
所以·＝||||·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，
所以·＝|||·cos 120°＝4×3×＝－6.
(4)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为||·cos 120°＝4×＝－2.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝( )
A．(－3，6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6，3)
解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ＜0)，
由于|b|＝3，所以|b|＝＝＝3，所以λ＝－3，所以b＝(－3，6)．
答案：A
2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝( )
A．1 B．3 C．4 D．5
解析：因为a＝(x，y)，b＝(－1，2)，
所以a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，
所以解得
所以a＝(2，1)，
所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝＝5.
答案：D
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a·c＝0，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B. C．2 D．10
解析：由??
所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
所以|a＋b|＝，故选B.
答案：B
4．若a＝(2，1)，b＝(3，4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2 B．2 C. D．10
解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cos θ＝|a|·＝＝＝2.
答案：B
5．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6 C．6 D．8
解析：法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，
解得m＝8.
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.
答案：D
二、填空题
6．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
解析：由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝1×＋×1＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
7．若|a|＝2，b＝(，)，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________．
解析：因为b＝(，)，所以|b|＝2.
因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0，
所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，
所以a·b＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为.
答案：
8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．
解析：由于a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a与b不共线同向．
由a·b>0?－3λ＋10>0，解得λ<.
当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－，
因此λ的取值范围是λ<且λ≠－.
答案：
三、解答题
9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，
|b|＝＝，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，
2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.
10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ；
(3)求向量在上的投影．
解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，
所以＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，
所以2＋＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，
所以|2＋|＝ ＝5.
(2)由(1)知＝(－1，1)，＝(1，5)，
所以cos θ＝＝.
(3)由(2)知向量与的夹角的余弦为cos θ＝，且||＝.
所以向量在上的投影为||cos θ＝×＝
.
B级 能力提升
1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析：＝(－1，－3)，＝(3，－1)．
因为·＝－3＋3＝0，
所以AC⊥AB.
又因为||＝，||＝，
所以AC＝AB.
所以△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
2．设向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夹角为，则实数m＝________．
解析：因为a＝(1，)，b＝(m，)．
所以|a|＝＝2，|b|＝，
a·b＝m＋3.
又a，b的夹角为，
所以m＋3＝2×，
解得m＝－1.
答案：－1
3．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值；
(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．
解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以a＋b＝(3，4)，
则|a＋b|＝5.
(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；
因为向量k a＋b与a＋2b平行，
所以8(2k＋1)＝16，则k＝.
(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；
因为向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，
所以
解得k>－或k≠.
2.5 平面向量应用举例
A级 基础巩固
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N C．2 N D．2 N
解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N.
答案：D
2．平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：由题意知a－b＝d－c，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：D
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( )
A．100焦耳 B．50焦耳
C．50焦耳 D．200焦耳
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米
WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝
10×10×＝50(焦耳)．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为＝－＝－.
所以2＝＝2－·＋2，
即2＝1.
所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
解析：由＋＋＝，
得＋＋＋＝0，
即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
二、填空题
6．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.
解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，
水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，所以|υ2|＝＝＝5(km/h)．
答案：5
7．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是________．
解析：因为·＝4×4·cos A＝8，
所以cos A＝，所以∠A＝，
所以△ABC是正三角形．
答案：正三角形
8．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________．
解析：由F1＋F2＋F3＝0，可得F1＋F2＝－F3，所以(－F3)2＝(F1＋F2)2，化简可得：F＝F＋F＋2F1·F2，由于|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，所以2F1·F2＝－1，所以|F1－F2|＝＝＝
＝.
答案：
三、解答题
9．在直角坐标平面xOy内，已知向量＝(1，5)，＝(7，1)，＝(1，2)，点P为满足＝t(t∈R)的动点，当·取得最小值时，求：
(1)向量的坐标；
(2)cos∠APB的值．
解：(1)因为＝t＝(t，2t)，
＝－＝(1－t，5－2t)，
＝－＝(7－t，1－2t)，
所以·＝(1－t)(7－t)＋(5－2t)(1－2t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当·取得最小值时，t＝2，
所以＝(2，4)．
(2)因为＝(－1，1)，＝(5，－3)，
||＝，||＝，
所以cos∠APB＝＝－.
10．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少(取重力加速度大小为10 m/s2)?
解：如图所示，设木块的位移为s，
则：F·s＝|F|·|s|cos 30°＝
50×20×＝500(J)．
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2.
则|f1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)．
所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．
因此f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J.
B级 能力提升
1．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：＋－2＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0.
即2＝2，所以||＝||.
答案：B
2．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力对物体m所做的功为________J(g＝9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
3.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．
解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，
所以M(8，4)，N(4，2)．
设点E(e，0)，则＝(8，4)，＝
(4，2)，＝(e，0)，＝(4－e，2)，
由⊥得·＝0，
即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，即||＝5.
所以S△AEM＝||||＝×5×4＝10.
第二章 平面向量
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．有关向量的注意点
(1)零向量的方向是任意的．
(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．
(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．
2．向量的运算律中的注意点
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．
(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).
专题一 有关向量共线问题
有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λ b(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
[例1] 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若k a＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．
解：法一：向量k a＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使k a＋2b＝λ(2a－4b)．
因为k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝
(k－6，2k＋4)．
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，
所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．
所以解得
即实数k的值为－1.
法二：因为k a＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝
(k－6，2k＋4)，
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，
ka＋2b与2a－4b平行，
所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.
解得k＝－1.
归纳升华
1．向量与非零向量a共线?存在唯一实数 λ使b＝λa.
2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0.
[变式训练] 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝m b＋n c的实数m、n；
(2)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)因为a＝mb＋nc，
所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．
所以解得
(2)因为(a＋k c)∥(2b－a)，a＋k c＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．
所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
专题二 有关向量的夹角、垂直问题
非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，
cos θ＝＝ .
[例2] 已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．
解：由已知|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝13.
所以a2＋2a·b＋b2＝13，则()2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝()2－6＋22＝1，
所以|a－b|＝1.
所以cos θ＝＝＝＝－.
归纳升华
1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；
2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的.
[变式训练] (1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D．π
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．
(1)解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，
所以|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.
所以cos θ＝.又因为0≤θ ≤π，所以θ＝.
(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，所以x＝－.
答案：A (2)－
专题三 有关向量的模的问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝ ；
(4)应用三角形或平行四边形法则．
[例3] 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
(2)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cos x，sin x)，则|a＋b|的取值范围为________．
解析：法一：因为2＝16，所以||＝4.
又|－|＝||＝4，
所以|＋|＝4，因为M为BC的中点，所以＝－.
所以＝＋＝＋，所以＝(＋)，
所以||＝|＋|＝×4＝2.
法二：如图所示，四边形ABDC是平行四边形，又|＋|＝|－|，
所以||＝||，所以四边形ABDC是矩形，
所以||＝||，
又2＝16，
所以||＝4，
所以||＝2.
(2)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)，
所以a＋b＝(cos x，sin x－1)．
所以|a＋b|＝＝＝
因为－1≤sin x≤1，所以0≤|a＋b|≤2.
答案：(1)C (2)[0，2]
归纳升华
解答该类题目有以下几个关键点：
1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．
2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．
3．数形结合法的运用可使解题简捷．
[变式训练] 已知向量a和b的模都是2，其夹角为60°，又知＝a＋2b，＝－2a＋b，则||＝________．
解析：＝－＝－3a－b，
||2＝·＝(－3a－b)2＝9a2＋6a·b＋b2.
因为|a|＝|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝2，
所以||2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×4＋6×2＋4＝52.
所以||＝2.
答案：2
专题四 数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．
[例4] 已知向量a与b不共线，且|a|＝|b|≠0，则下列结论正确的是( )
A．向量a＋b与a－b垂直
B．向量a－b与a垂直
C．向量a＋b与a垂直
D．向量a＋b与a－b共线
解析：如图所示，作＝a，＝b，以OA和OC为邻边作?OABC.由于|a|＝|b|≠0，则四边形OABC是菱形，所以必有AC⊥OB.
又因为a＋b＝，a－b＝，所以(a＋b)⊥(a－b)．
答案：A
归纳升华
通过本题可以得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上可以作为结论记住．
[变式训练] 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)．
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
·(＋)
＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2y2－2y
＝2－，
所以当x＝0，y＝时，[·(＋)]min＝－.
答案：B
