第二章 有理数及其运算
1 有理数
知能演练提升
一、能力提升
1.下列语句:①不带“-”的数都是正数;②如果a是正数,那么-a一定是负数;③不存在既不是正数也不是负数的数;④0 ℃表示没有温度.
其中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列说法中:①0既不是正数,也不是负数,它是有理数;②30%是正分数;③有理数包括正有理数和负有理数;④自然数是正整数.其中正确的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2017·四川成都中考)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10 ℃记作+10 ℃,则-3 ℃表示气温为( ).
A.零上3 ℃ B.零下3 ℃
C.零上7 ℃ D.零下7 ℃
4.在0,-2,5,14,-0.3中,负数的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
5.某运动员参加了7次百米竞赛,若以10.8 s为基准成绩,比基准成绩高记为正数,比基准成绩低记为负数,这7次的成绩简记为+0.1,-0.3,+0.5,-0.1,+0.3,-0.2,+0.2,则这7次的成绩表示高于基准成绩的次数是 .?
6.按规律在空格处填入适当的数.
(1)2,0,-2,0,2,0, , ,2,…;?
(2)1,-12,13, ,15,….?
7.判断表中各数分别是什么数,在相应的空格内打“√”.
整数
正分数
负数
有理数
2 017
0
3.14
-101
-72
8.某同学以语文、数学、外语三科的平均分为基准,高出这三科平均分的部分记作正数,低于平均分的部分记作负数,成绩记录如下表:
科目
语文
数学
外语
成绩/分
+15
-3
-6
请回答,该同学成绩最好和最差的科目分别是什么?
二、创新应用
9.童童家住黄河边的开封市,黄河大堤高出开封市地面20 m,另有开封铁塔高约59 m,是开封市的一大景观.童童和好朋友明明、玲玲出去玩,童童站在黄河大堤上,玲玲站在地面上放风筝,顽皮的明明则爬上了铁塔顶(如图).童童说:“以大堤为基准,记为0 m,则玲玲所在的位置高为-20 m,明明所在的位置高为+59 m.”明明说:“以铁塔顶为基准,记为0 m,则玲玲所在的位置高为-59 m,童童所在的位置高为-39 m.”玲玲说:“明明的位置比我高59 m.”他们谁说得对?
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.B 3.B 4.B 5.4
6.(1)-2 0 (2)-14
7.
整数
正分数
负数
有理数
2 017
√
√
0
√
√
3.14
√
√
-101
√
√
√
-72
√
√
8.解 语文高出平均分15分,最好;外语低于平均分6分,最差.
二、创新应用
9.解 明明和玲玲说得都对;童童说得不对.由于基准(0 m点)的选法不同,表示的结果也不相同.若以大堤为基准,则地面比大堤低 20 m,记作-20 m,而铁塔比大堤高59-20=39(m),应记作+39 m,所以童童说得不对.
10 科学记数法
知能演练提升
一、能力提升
1.餐桌边的一蔬一饭,舌尖上的一饮一酌,实属来之不易.舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计,中国每年浪费食物总量折合成粮食约500亿千克,将数据500亿用科学记数法表示为( ).
A.5×1010 B.50×109 C.5×109 D.0.5×1011
2.世界文化遗产长城总长约为6 700 000 m,若将6 700 000用科学记数法表示为6.7×10n(n是正整数),则n的值为( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
3.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.496 0亿千米,用科学记数法表示1个天文单位应是( ).
A.1.496 0×107 km B.14.960×107 km
C.1.496 0×108 km D.0.149 60×109 km
4.(2017·山西中考)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为( ).
A.186×108 t B.18.6×109 t
C.1.86×1010 t D.0.186×1011 t
5.小明用科学记数法记录一个较大的数据时,由于位数太多,他少数了一位,把数据写成了5.27×1018,这个数据应该有 位.?
6.一个草履虫每小时大约能够形成60个食物泡,每个食物泡中大约含有30个细菌,一个草履虫每天大约能够吞食多少个细菌?100个草履虫呢?(用科学记数法表示结果)
7.一粒纽扣式电池能够污染60 L水,某市每年报废的纽扣电池有近10 000 000粒,如果废电池不回收,那么该市一年报废的电池所污染的水约有多少升?(用科学记数法表示结果)
8.(2017·江苏泰州高港区校级月考改编)我国约有9.6×106 km2的土地,平均1 km2的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105 t煤所产生的能量.
(1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤?(用科学记数法表示)
(2)若1 t煤大约可以发出8×103 kW·h电,那么(1)中的煤大约发出多少千瓦时电?(用科学记数法表示)
二、创新应用
9.现在一张光盘可存储500亿字节的信息,这个容量相当于存5 000本书的内容.
(1)中国国家图书馆藏书约2亿本,居世界第五位.如果制成光盘,那么我们每个家庭都可拥有一个藏书量极大的家庭图书馆,且成本低,占地极小,试求出大约可制成多少张光盘(结果用科学记数法表示).
(2)如果你一天看两本书,那么一张光盘可供你看大约多少天?大约几年?
知能演练·提升
一、能力提升
1.A 2.B 3.C 4.C 5.20
6.解 30×60×24=43 200=4.32×104(个),4.32×104×100=4.32×106(个).
答:一个草履虫每天大约能够吞食4.32×104个细菌,100个草履虫则可吞食4.32×106个细菌.
7.解 10 000 000×60=600 000 000=6×108(L).
答:一年报废的电池所污染的水约有6×108 L.
8.解 (1)(9.6×106)×(1.3×105)
=(9.6×1.3)×(106×105)
=1.248×1012(t).
答:一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1012 t煤.
(2)(1.248×1012)×(8×103)
=(1.248×8)×(1012×103)
=9.984×1015(kW·h).
答:(1)中的煤大约发出9.984×1015 kW·h电.
二、创新应用
9.解 (1)200 000 000÷5 000=40 000=4×104(张).
(2)5 000÷2=2 500(天),2 500÷365≈7(年).
11 有理数的混合运算
知能演练提升
一、能力提升
1.计算-22-(-2)3×(-1)2-(-1)3的结果是( ).
A.-30 B.-1 C.24 D.5
2.计算-2×32--3÷122的结果是( ).
A.0 B.-54 C.-18 D.18
3.已知119×21=2 499,则119×213-2 498×212等于( ).
A.431 B.441 C.451 D.461
4.32×3.14+3×(-9.42)= .?
5.计算:-22×14÷-122×(-2)3= .?
6.空调是一种常用的电器,若空调开放热风或冷风时平均每分使室内温度升高或降低0.5 ℃(规定开放热风为正),则等式0.5×10=5表示空调在开放 风,工作时间为 ,室温变化为 ;若空调开放冷风10 min,则室温变化可列式表达为 ,表示室温变化为 .?
7.计算:
(1)-9÷3+12-23×12+32;
(2)(-1)2 017-[(-2)3+32]÷-17.
二、创新应用
8.前进的道路:从起点——数字1出发,顺次经过每一个分岔口,选择+,-,×,÷四种运算之一进行运算,到达目的地时结果要恰好是10.你能找到前进的道路吗?道路不止1条,请你至少找出3条来,并列出你的算式.
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.B 3.B 4.0 5.32
6.热 10 min 升高5 ℃ (-0.5)×10=-5 降低5 ℃
7.解 (1)原式=-9÷3+12×12-23×12+9=-3+6-8+9=4.
(2)原式=-1-(-8+9)×(-7)=-1+7=6.
二、创新应用
8.解 ①[1-(-2)]×3+(-4)+5=10;
②[1-(-2)]÷3-(-4)+5=10;
③[1-(-2)+3+(-4)]×5=10;
④1×(-2)+3-(-4)+5=10.
12 用计算器进行运算
知能演练提升
一、能力提升
1.用计算器计算-2×(-5)4时,按键的顺序为( ).
A.(-)2×(-)5x?4=
B.(-)2×(5)x24=
C.(-)2×((-)5)x?4=
D.(-)2×-5x?4=
2.下列叙述正确的是( ).
A.算式的输入顺序就是计算器的计算顺序
B.在用计算器进行有理数计算时,要从左到右依次输入
C.乘方运算中,计算器只能求平方运算,所用键为x2
D.分数无法输入计算器
3.用计算器计算:
(1)7.5×(35-123)+8.12;
(2)-0.252÷24×(-1)21+38+13-3.75×24.
4.如图,在一块直径为2.4 m的圆形钢板中挖去直径分别为0.8 m和1.6 m的两个圆,求剩下的钢板(阴影部分)的面积.(用计算器计算,结果精确到0.01 m2,π取3.14)
5.(1)用计算器计算下列各式,将结果填写在横线上.
99.999×11= ;?
99.999×12= ;?
99.999×13= ;?
99.999×14= .?
(2)不用计算器,你能直接写出99.999×19的值吗?
6.圆柱形汽油贮藏罐的高约为12.5 m,底面圆的直径长约16 m.
(1)求这个贮藏罐的容积;(V=πr2h,π取3.14)
(2)如果每0.001 m3的汽油的质量是0.8 kg,求罐里能贮藏汽油的质量.(用计算器计算,结果精确到万位)
二、创新应用
7.世界上最大的沙漠——非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成一个长方体.撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900 m,沙层的深度大约是366 cm.已知撒哈拉沙漠中沙的体积约为33 345 km3.
(1)用科学记数法将沙漠中沙的体积表示成立方米.
(2)撒哈拉沙漠的宽度是多少米?(用计算器计算,结果精确到万位)
(3)如果一粒沙子的体积大约是0.036 8 mm3,那么撒哈拉沙漠中大约有多少粒沙子?(用计算器计算,结果用科学记数法表示)
知能演练·提升
一、能力提升
1.C 2.B
3.(1)965.61 (2)-72.996 093 75
4.解 阴影部分的面积为3.14×(2.4÷2)2-3.14×(0.8÷2)2-3.14×(1.6÷2)2=0.64×3.14≈2.01(m2).
5.解 (1)1 099.989;1 199.988;1 299.987;1 399.986.
(2)能,99.999×19=1 899.981.
6.解 (1)3.14×1622×12.5=2 512(m3).
(2)0.8×(2 512÷0.001)≈2.01×106(kg).
二、创新应用
7.解 (1)3.334 5×1013 m3.
(2)3.334 5×1013÷5 149 900÷3.66≈1.77×106(m).
(3)3.334 5×1013÷(0.036 8÷109)≈9.06×1023(粒).
2 数轴
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·江苏扬州中考)若数轴上表示-1和3的两点分别是点A和点B,则点A和点B之间的距离是( ).
A.-4 B.-2 C.2 D.4
2.(2017·福建龙岩上杭县期中)在数轴上距表示-2的点有3个单位长度的点所表示的数是( ).
A.1 B.-1 C.-5或1 D.-5
3.已知数轴上的A点到原点的距离是2,则数轴上到A点距离是3的点所表示的数有( ).
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
4.A为数轴上表示-1的点,将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点,则B点所表示的数为( ).
A.-3 B.3 C.1 D.1或-3
5.如图,小亮从永宁大道的街房花园(原点)向东步行500 m后,又掉头向西走了1 000 m,下列选项中,表示其始末位置正确的是( ).
A.A,B分别是始末位置
B.B,C分别是始末位置
C.E,C分别是始末位置
D.B,D分别是始末位置
6.如图,A,B两点在数轴上,点A对应的数为2,若线段AB的长为3,则点B对应的数为 .?
7.如图,数轴上一动点从点A出发,先向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则点A表示的数为.
8.小明家、苗苗家、学校与丽丽家依次位于一条东西走向的大街上,小明家位于学校西边30 m处,丽丽家位于学校东边100 m处,小明从家里沿这条大街向东走了40 m,接着向西走了70 m到达苗苗家,试以学校为原点,以向东为正方向,用数轴表示出小明家、学校、丽丽家、苗苗家的位置.
9.有两滴墨水滴在数轴上.根据图中标出的数值,请写出墨迹盖住的整数.
二、创新应用
10.在数轴上,一只蚂蚁从原点出发,它先向右爬了2个单位长度到达点A,再向右爬了3个单位长度到达点B,然后向左爬了9个单位长度到达点C.
(1)写出A,B,C三点表示的数.
(2)根据C点在数轴上的位置回答:蚂蚁实际上是从原点出发,向什么方向爬行了几个单位长度?
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.-1 7.-2
8.解
9.解 -8~-3之间的整数有-7,-6,-5,-4;4~9之间的整数有5,6,7,8.
二、创新应用
10.解 (1)先画出数轴,根据题意在数轴上表示出点A,B,C的位置如图:
因此A点表示2,B点表示5,C点表示-4.
(2)因为C点对应的是数轴上-4这一点,所以可看做蚂蚁实际上是从原点出发,向左爬行了4个单位长度.
3 绝对值
知能演练提升
一、能力提升
1.下列说法正确的是( ).
A.一个数的绝对值一定比0大
B.一个数的相反数一定比它本身小
C.绝对值等于它本身的数一定是正数
D.最小的正整数是1
2.如图,四个有理数在数轴上的对应点分别为点M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是( ).
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
3.-13的相反数是( ).
A.13 B.-13
C.3 D.-3
4.数轴上点A,B表示的数分别是5,-3,它们之间的距离可以表示为( ).
A.-3+5 B.-3-5
C.|-3+5| D.|-3-5|
5.如图中的数轴,O是原点,A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c.根据图中各点的位置,下列各数的绝对值的比较正确的是( ).
A.|b|<|c| B.|b|>|c|
C.|a|<|b| D.|a|>|c|
6.如果|-a|=-a,那么下列结论成立的是( ).
A.a<0 B.a≤0
C.a>0 D.a≥0
7.已知a=-10,|a|=|b|,则b的值等于( ).
A.10 B.-10 C.0 D.±10
8.若|a|=0,则a= ;若|a|=3,则a= ;若|-a|=2,则a= ;若|a|=|-4|,则a= .?
9.大家知道|5|=|5-0|,它在数轴上的意义是表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子|6-3|,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.类似地,式子|a+5|在数轴上的意义是 .?
10.比较有理数的大小.
(1)-4与-0.5;
(2)-212与|-2.5|;
(3)1,0,-1与|-2|.
11.某商场举行了一次青年营业员“一手抓”技术比赛,要求参赛的5位选手各尝试抓出500 g糖果.结果有3位选手抓出的糖果超过500 g,2位不足500 g,如果把超出的部分记为正数,不足的部分记为负数,这5位选手的结果(单位:g)分别是+3,+6,+4,-2,-4,那么,优胜者应该是哪位营业员?为什么?
二、创新应用
12.张师傅要从6个圆形机器零件中选取2个质量好的拿去使用,经过检验,比规定直径长的记为正数,比规定直径短的记为负数.6个圆形机器零件的直径记录如下(单位:mm):+0.3,-0.1,-0.2,-0.3,+0.4,+0.3.你认为张师傅会拿走哪2个零件?请你用绝对值的知识加以解释.
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D
8.0 ±3 ±2 ±4
9.表示a的点与表示-5的点之间的距离
10.解 (1)因为|-4|=4,|-0.5|=0.5,且4>0.5,
所以-4<-0.5.
(2)因为|-2.5|=2.5>0,所以-212<|-2.5|.
(3)因为|-2|=2>1,所以-1<0<1<|-2|.
11.解 |+3|=3,|+6|=6,|+4|=4,|-2|=2,|-4|=4,
所以优胜者应该是结果是-2 g的那位营业员,因为他的结果与500 g最接近.
二、创新应用
12.解 绝对值越小,说明越接近规定的直径.
因为|+0.4|>|+0.3|=|-0.3|>|-0.2|>|-0.1|,
所以张师傅会拿走记录的直径为-0.1 mm和-0.2 mm 的2个零件.
4 有理数的加法
第一课时
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·山东滨州中考)计算-(-1)+|-1|,其结果为( ).
A.-2 B.2 C.0 D.-1
2.两数相加,如果和小于每个加数,那么这两个加数( ).
A.一个为0,一个为负数
B.都是负数
C.一个为正数一个为负数且负数的绝对值较大
D.符号不能确定
3.若|a|=3,|b|=2,则|a+b|等于( ).
A.5 B.1
C.5或1 D.±5或±1
4.任选一个大于-4的负整数填在□里,任选一个小于3的正整数填在◇里,对于“□+◇”,运算结果为负数的情况有( ).
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
5.-213与它的相反数的和等于 .?
6.计算:
(1)(-9)+21;
(2)(-6)+0;
(3)(-2 017)+(-2 018);
(4)(-6)+(-3)+|-9|.
7.小明去文具店购买学习用品,爸爸给了10元,妈妈给了20元,其中小明购买笔记本支付12元,购买中性笔支付6元.我们规定小明得到的钱用正数表示,购买东西支付的钱用负数表示.
(1)小明共得到多少钱?如何用算式表示?
(2)小明购买学习用品共支出多少钱?如何用算式表示?
(3)小明还剩余多少钱?如何用加法算式表示?
(4)如果小明想再购买价值15元的文具盒,他还差几元钱?如何用加法算式表示?
二、创新应用
8.将-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8这九个数分别填入下图中,使得每行的三个数,每列的三个数,斜对角的三个数相加均为0,怎么填?你是怎么想的?
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.B 3.C 4.B 5.0
6.解 (1)(-9)+21=+(21-9)=12.
(2)(-6)+0=-6.
(3)(-2 017)+(-2 018)=-(2 017+2 018)=-4 035.
(4)(-6)+(-3)+|-9|=-(6+3)+9=-9+9=0.
7.解 (1)30元 10+20=30(元)
(2)18元 (-12)+(-6)=-18(元)
(3)12元 30+(-18)=12(元)
(4)3元 12+(-15)=-3(元)
二、创新应用
8.解 答案不唯一,如:
2
-8
6
4
0
-4
-6
8
-2
想法略.
第二课时
知能演练提升
一、能力提升
1.用简便方法计算:(+3.5)+(-7.89)+(-2.5)+(-0.64)+7.89+0.64等于( ).
A.0 B.1 C.-2 D.3.5
2.杨梅开始采摘啦!每筐杨梅以5 kg为基准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,记录(单位:kg)如图所示,则这4筐杨梅的总质量是( ).
A.19.7 kg B.19.9 kg
C.20.1 kg D.20.3 kg
3.下列使用加法的运算律最为合理的是( ).
A.(-8)+(-5)+8=[(-8)+(-5)]+8
B.16+-27+-56++57=
-27+-56+16++57
C.(-2.6)+(+3.3)+(+1.7)+(-2.4)=[(-2.6)+(-2.4)]+[(+3.3)+(+1.7)]
D.9+(-2)+(-4)+1+(-1)=[9+(-2)+(-4)+(-1)]+1
4.在一次区级数学竞赛中,某校8名参赛学生的成绩与全区参赛学生平均成绩80分的差分别为(单位:分)5,-2,8,14,7,5,9,-6,则该校数学竞赛的平均成绩是 .?
5.计算:(1)314+-235+534+-825;
(2)(-0.6)+(+0.08)+(-3.4)+(+0.92)+(+1.98);
(3)1+(-2)+3+(-4)+…+2 017+(-2 018).
6.仓库内原来存有某种原料4 500 kg,七天中存入和领出情况如下(存入为正,单位:kg):1 500,-300,-670,400,-1 700,-200,-250.问:第七天末仓库还存有这种原料多少千克?
二、创新应用
7.一名足球守门员练习折返跑,从球门线出发,离开球门线记作正数,返回记作负数,记录如下(单位:m):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置?
(2)在练习过程中,守门员离开球门线的最远距离是多少米?
(3)守门员全部练习结束后,他共跑了多少米?
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.C 3.C 4.85分
5.解 (1)原式=314+534+-235+-825=
9+(-11)=-2.
(2)原式=[(-0.6)+(-3.4)]+[(+0.08)+(+0.92)+(+1.98)]=(-4)+2.98=-1.02.
(3)原式=[1+(-2)]+[3+(-4)]+…+[2 017+(-2 018)]=(-1)+(-1)+…+(-1)1 009个
=-1 009.
6.解 4 500+1 500+(-300)+(-670)+400+(-1 700)+(-200)+(-250)=(4 500+1 500+400)+[(-300)+(-1 700)+(-200)+(-670)+(-250)]=6 400+(-3 120)=3 280(kg).所以第七天末仓库还存有这种原料3 280 kg.
二、创新应用
7.解 (1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=(5+10+12)-(3+8+6+10)=27-27=0(m).
所以守门员最后回到了球门线的位置.
(2)在练习过程中,守门员离开球门线的最远距离是12 m.
(3)|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54(m).
所以守门员全部练习结束后,他共跑了54 m.
5 有理数的减法
知能演练提升
一、能力提升
1.下列说法正确的是( ).
A.两个数之差一定小于被减数
B.减去一个负数,差一定大于被减数
C.减去一个正数,差不一定小于被减数
D.0减去任何数,差都是负数
2.(2017·天津河北区校级模拟)下列算式正确的是( ).
A.(-14)-5=-9 B.0-(-3)=3
C.(-3)-(-3)=-6 D.|5-3|=-(5-3)
3.(2017·贵州遵义汇川区校级期中改编)-1减去-23与35的和所得差是( ).
A.-1415 B.-1615 C.-3415 D.1615
4.若一个数加-2.6的和为-0.37,则这个数是( ).
A.-2.23 B.-2.97 C.2.23 D.2.97
5.小明做了这样一道计算题:|(-3)+●|,其中“●”表示被墨水污染看不到的一个数,他分析了后边的答案,得知该题的计算结果为6,则“●”表示的数应该是( ).
A.3 B.-3 C.9 D.-3或9
6.某矿井示意图如右图所示,以地面为基准,A点的高度是+4.2 m,B,C两点的深度分别是-15.6 m与-30.5 m.A点比B点高多少?比C点呢?
7.设A是-4的相反数与-12的绝对值的差,B是比-6大5的数.
(1)求A-B;
(2)求B-A;
(3)从(1)(2)的计算结果中,你能知道A-B与B-A之间有什么关系吗?
二、创新应用
8.(2017·四川内江隆昌县校级期中)下表列出了国外几个大城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的小时数).
城市
纽约
巴黎
东京
与北京的时差
-13
-7
+1
(1)如果现在是北京时间上午8:00,那么东京时间是多少?
(2)如果小强在北京时间下午15:00打电话给远在纽约的姑姑,你认为合适吗?请说明理由.
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6.解 A点比B点高+4.2-(-15.6)=19.8(m),A点比C点高+4.2-(-30.5)=34.7(m).
答:A点比B点高19.8 m,A点比C点高34.7 m.
7.解 由已知得A=-(-4)-|-12|=4-12=-8,B=(-6)+5=-1.
(1)A-B=-8-(-1)=(-8)+1=-7.
(2)B-A=(-1)-(-8)=(-1)+8=7.
(3)从(1)(2)的计算结果看,A-B与B-A互为相反数.
二、创新应用
8.解 (1)8+1=9,东京时间为上午9:00.
(2)不合适.15-13=2,也就是说纽约时间正好是凌晨2:00,正在睡觉,所以不合适.
6 有理数的加减混合运算
第一课时
知能演练提升
一、能力提升
1.-11与-6的和与2的差是( ).
A.5 B.-5 C.-19 D.19
2.下列算式的结果为4的是( ).
A.(-2.25)+(-1.25)
B.-12?-34+2
C.0.125+-34-(-4.625)
D.-|-7.75|+(+3.5)-5.625
3.数学活动课上,王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”,对于任意有理数a和b,有a☆b=a-b+1,根据新运算,计算(2☆3)☆2的值是( ).
A.0 B.-1 C.-2 D.1
4.计算:-2-(-3)+(-8)= .?
5.-9,+6,-3的和比它们绝对值的和小 .?
6.计算:
(1)25?-35+|-3|;
(2)-1.5-+13+(-3).
7.小虫从某点O出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,各段路程依次为(单位:cm):
-60,+40,-82,+80,-16,+38.
(1)小虫最后是否回到出发点O?
(2)小虫离开出发点O最远是多少?
(3)在爬行过程中,如果每爬行10 cm奖励一粒芝麻,那么小虫一共得到多少粒芝麻?
二、创新应用
8.如图,有一口水井,水面比井口低3 m,一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬,第一次往上爬0.5 m后,又往下滑了0.1 m;第二次往上爬了0.47 m后,又往下滑了0.15 m;第三次往上爬了0.6 m,又往下滑了0.15 m;第四次往上爬了0.8 m,又往下滑了0.1 m;第五次往上爬了0.55 m,没有下滑.它能爬出井口吗?如果不能,那么第六次它至少要往上爬多少米?
知能演练·提升
一、能力提升
1.C 2.C 3.B 4.-7 5.24
6.解 (1)原式=25+35+3=4.
(2)原式=-1.5-13-3=-456.
7.解 (1)-60+40+(-82)+80+(-16)+38=0(cm).
所以小虫最后回到出发点O.
(2)-60+40+(-82)=-102(cm).
所以小虫离开出发点O最远是102 cm.
(3)|-60|+40+|-82|+80+|-16|+38=316(cm),316÷10=31.6.
所以小虫一共得到31粒芝麻.
二、创新应用
8.解 因为0.5-0.1+0.47-0.15+0.6-0.15+0.8-0.1+0.55=2.92-0.5=2.42<3,所以它不能爬出井口,第六次它至少要往上爬3-2.42=0.58(m).
第二课时
知能演练提升
一、能力提升
1.将6+(-4)+(+5)+(-3)写成省略加号的和的形式为( ).
A.6-4+5+3 B.6+4-5-3
C.6-4-5-3 D.6-4+5-3
2.下列各式统一成加法正确的是( ).
A.-5-(-7)+9=-5+(-7)+9
B.-5-(-7)-(-9)=-5+7+9
C.-5+(-7)-(-9)=-5+(-7)+(-9)
D.-5-7-(-9)=-5+(-7)+(-9)
3.若一个数是11,另一个数比11的相反数大2,则这两个数的和为( ).
A.24 B.-24 C.2 D.-2
4.(2017·安徽六安裕安区校级模拟)为计算简便,把(-2.4)-(-4.7)-(+0.5)+(+3.4)+(-3.5)写成省略加号的和的形式,并按要求交换加数的位置正确的是( ).
A.-2.4+3.4-4.7-0.5-3.5
B.-2.4+3.4+4.7+0.5-3.5
C.-2.4+3.4+4.7-0.5-3.5
D.-2.4+3.4+4.7-0.5+3.5
5.计算:
(1)712-345+412-415;
(2)3.587-(-5)+(-5.5)+(+7)-3.25-(+1.587).
6.阅读下面的解题过程并填空:
计算:53.27-(-18)+(-21)+46.73-15+21.
解:原式=53.27+18-21+46.73-15+21(第一步)
=(53.27+46.73)+(-21+21)+(18-15)(第二步)
=100+0+3(第三步)
=103.
计算过程中,第一步把原式化成 的形式;第二步是根据 得到的,目的是使计算简化.?
你能根据以上的解题技巧计算下题吗?
-2123++314?-23?+14.
7.小明和他的同学做游戏,把一副扑克牌只保留红桃、黑桃两种,抽到红桃牌加上上面的数,抽到黑桃牌减去上面的数.小明抽了5张牌,分别是黑10,红Q(12),红7,黑2,红8,小明最后的得数是多少?
8.某公司财务处在一天中办理了5项现金业务:报销单据3.7万元,收到A公司贷款11.6万元,支出广告费7.8万元,收到B公司贷款2.4万元,购买办公用品1.3万元.问这一天该公司财务的总计是增加了还是减少了?增加或减少了多少万元?
二、创新应用
9.计算:14+(-3)-(-6)-(-27).
解:14+(-3)-(-6)-(-27)
=14+(-3)+(+6)+(+27)(第一步)
=14-3+6+27(第二步)
=(14+6)-(3+27)(第三步)
=20-30(第四步)
=-(30-20)(第五步)
=-10.(第六步)
上面的计算过程是否正确?如果不正确,错在第几步?并写出正确的计算过程.
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.B 3.C 4.C
5.解 (1)原式=712+412+-345+-415
=12-8=4.
(2)原式=3.587+5-5.5+7-3.25-1.587
=(3.587-1.587)+(5+7)+(-5.5-3.25)
=2+12-8.75=14-8.75=5.25.
6.解 省略括号和加号的和 加法交换律和结合律
原式=-2123+314+23?14
=-21-23+3+14+23?14
=(-21+3)+-23+23+14-14=-18.
7.解 依题意,得-10+12+7-2+8=15.
答:小明最后的得数是15.
8.解 设收入为正,则支出为负,根据题意,得-3.7+11.6-7.8+2.4-1.3=(11.6+2.4)+(-3.7-7.8-1.3)=14-12.8=1.2(万元),因此这一天该公司财务的总计是增加了,增加了1.2万元.
二、创新应用
9.解 不正确,错在第三步.
正确的计算过程如下:14+(-3)-(-6)-(-27)=14+(-3)+(+6)+(+27)=14-3+6+27=(14+6+27)-3=47-3=44.
第三课时
知能演练提升
一、能力提升
1.某天股票甲开盘价为18元,上午11:30时跌了1.2元,下午收盘时又涨了0.8元,则股票甲这天收盘时价格为( ).
A.16元 B.18.4元 C.17.6元 D.20元
2.王明同学记录了他所在的城市5月2日至5月6日每天最高气温的变化情况,且5月1日的最高气温为25 ℃,则5月2日至5月6日气温最高的是( ).
时间
2日
3日
4日
5日
6日
每天最高气温的变化(与前一天比较)
升2 ℃
降3 ℃
升6 ℃
降5 ℃
降4 ℃
A.5月2日 B.5月3日
C.5月4日 D.5月6日
3.下表是某水库一周内水位的变化情况(用正数记水位比前一日上升数,用负数记水位比前一日下降数):
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/m
+0.12
-0.02
-0.13
-0.20
-0.08
-0.02
-0.32
则下列说法中正确的有( ).
①这一周水位总体变化为下降0.01 m;②本周内星期一的水位最高;③本周内星期六的水位比星期三下降了0.43 m.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.10袋小麦以每袋150 kg为标准,超过150 kg的部分记为正数,不足150 kg的部分记为负数,记录情况如下表:
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
差值/kg
-6
-3
-1
+7
+3
+4
-3
-2
-2
+1
(1)与标准质量相比较,10袋小麦总计超过或不足多少千克?
(2)每袋小麦的平均质量是多少千克?
5.某汽车厂本周计划每天生产100辆小汽车,由于一些特殊原因,实际每天的生产量不稳定,下表是本周每天的汽车生产量与计划生产量的变化情况:
星期
一
二
三
四
五
六
日
生产量增减数/辆
+2
-3
+7
-1
-6
+4
-2
(注:正数表示每天的生产量比计划生产量多,负数表示每天的生产量比计划生产量少)
(1)请算出本周星期五的生产量.
(2)完成下面的本周生产量记录表:
星期
一
二
三
四
五
六
日
生产量/辆
(3)请用折线统计图表示该汽车厂本周的生产量情况.
6.小明暑假期间通过做手工挣零花钱.下面是小明某一周的收支情况(收入为正,支出为负):
星期
一
二
三
四
五
六
日
收支情况/元
+15
+10
0
+20
+15
+10
+14
-8
-12
-19
-10
-9
-11
-8
(1)这一周小明有多少节余?
(2)照这样,小明一个月(按30天计算)能有多少节余?
(3)按以上的支出水平,小明一个月(按30天计算)至少要挣多少钱才够花?
二、创新应用
7.一位病人每天早上需要测量一次血压,下表是该病人一周内星期一至星期五收缩压的变化情况(“+”表示上升,“-”表示下降):
星期
一
二
三
四
五
收缩压的变化(与前一天比较)
+30
-20
+17
+18
-20
(1)本周星期三与星期一相比较收缩压 了(填“上升”或“下降”);?
(2)通过计算说明本周星期五收缩压与上周星期日相比是上升了还是下降了,并求出上升或下降了多少;
(3)如果该病人本周星期五的收缩压为185,那么他上周星期日的收缩压为多少?
知能演练·提升
一、能力提升
1.C 2.C 3.B
4.解 (1)(-6)+(-3)+(-1)+(+7)+(+3)+(+4)+(-3)+(-2)+(-2)+(+1)=-2(kg).
答:与标准质量相比较,10袋小麦总计不足2 kg.
(2)(10×150-2)÷10=149.8(kg).
答:每袋小麦的平均质量是149.8 kg.
5.解 (1)100-6=94(辆),所以本周星期五的生产量是94辆.
(2)102 97 107 99 94 104 98 (3)略.
6.解 (1)(+15+10+0+20+15+10+14)+(-8-12-19-10-9-11-8)=7(元),所以这一周小明节余7元.
(2)7÷7×30=30(元),
所以照这样,小明一个月能节余30元.
(3)|-8-12-19-10-9-11-8|÷7×30=330(元).
所以小明一个月至少要挣330元才够花.
二、创新应用
7.解 (1)下降
(2)(+30)+(-20)+(+17)+(+18)+(-20)=25.
所以本周星期五收缩压与上周星期日相比是上升了,上升了25.
(3)185-25=160.
所以如果该病人本周星期五的收缩压为185,那么他上周星期日的收缩压为160.
7 有理数的乘法
第一课时
知能演练提升
一、能力提升
1.下列三种说法:①如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0;②如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0;③如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是0或1或-1.其中正确的说法有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列计算错误的是( ).
A.-4×(-3)×(-2)×(-1)=24
B.(-36)×16-19-13=10
C.(-15)×(-4)×+15×-12=6
D.-56×(-1)×0×6=0
3.(2017·福建福州长乐区校级模拟)若a+b<0,ab>0,则这两个数( ).
A.都是正数 B.都是负数
C.一正一负 D.符号不能确定
4.(2017·江西吉安中考模拟)已知 ×-12 017=-1,则 等于( ).
A.12 017 B.2 016 C.2 017 D.2 018
5.若“三角形”表示a-b+c,“方框”表示x-y+z-w,则×= .?
6.计算:
(1)213×-37;
(2)(-4)×1.25×(-8);
(3)(-5)×8×0.25×(-1).
7.某服装店以32元的价格购进30件连衣裙,针对不同的顾客,30件连衣裙的售价不完全相同.若以47元为标准,将超过的钱数记为正,不足的钱数记为负,记录结果如下表:
售出件数
7
6
3
5
4
5
每件价格/元
+3
+2
+1
0
-1
-2
该服装店售完这30件连衣裙后,赚了多少钱?
二、创新应用
8.定义:a是不为1的有理数,我们把11-a称为a的差倒数.如2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数是11-(-1)=12.已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,求a2 018的值.
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.C 3.B 4.C 5.-63
6.解 (1)原式=-73×37=-1.
(2)原式=(-5)×(-8)=+(5×8)=40.
(3)原式=+(5×8×0.25×1)=10.
7.解 以47元为标准价,这30件连衣裙售价的总增减量为7×(+3)+6×(+2)+3×(+1)+5×0+4×(-1)+5×(-2)=21+12+3+0-4-10=22(元).
(47-32)×30+22=472(元).
所以该服装店售完这30件连衣裙后,赚了472元.
二、创新应用
8.解 a1=-13,
a2=11-a1=11--13=34,
a3=11-a2=11-34=4,
a4=11-a3=11-4=-13,…
因为a1,a2,a3,…的值分别以-13,34,4的值为循环,2 018=3×672+2,所以a2 018=a2=34.
第二课时
知能演练提升
一、能力提升
1.n个不等于零的有理数相乘,它们的积的符号( ).
A.由因数的个数决定
B.由正因数的个数决定
C.由负因数的个数决定
D.由负因数的大小决定
2.下列运算过程有错误的个数是( ).
①3-412×2=3-412×2;
②-4×(-7)×(-125)=-(4×125×7);
③91819×15=10-119×15=150-1519;
④[3×(-25)]×(-2)=3×[(-25)×(-2)]=3×50.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2017·福建龙岩新罗区校级期中改编)若|x|=3,|y|=5,且xy<0,则x+y的值是( ).
A.2 B.-2 C.-8 D.2或-2
4.计算:(1)910-115×30= ;?
(2)-2.125×-3117×(-8)= .?
5.大于-3且小于4的所有整数的和为 ,积为 .?
6.比较大小:173×1139×(-3.1) (-173)×31139×0.1.?
7.(2017·西藏拉萨城关区校级期中)计算:
(1)-0.75×(-0.4)×123;
(2)0.6×-34×-56×-223.
8.学习了有理数的乘法以后,老师布置了一道作业题:计算-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4.小刚一看感叹说:“这么麻烦的数据,需要算很久啊!”聪明的同学,你能用运算律帮助小刚简化一下计算过程吗?
二、创新应用
9.讲完“有理数的乘法”后,老师在课堂上出了下面一道计算题:711516×(-8).
不一会儿,不少同学算出了答案,老师把班上同学的解答归类写到黑板上:
解法一:原式=-1 15116×8=-9 20816=-57512.
解法二:原式=71+1516×(-8)=71×(-8)+1516×(-8)=-57512.
解法三:原式=72-116×(-8)=72×(-8)-116×(-8)=-57512.
对这三种解法,大家议论纷纷,你认为哪种解法最好?理由是什么?
知能演练·提升
一、能力提升
1.C 2.A 3.D 4.(1)25 (2)-52 5.3 0 6.=
7.解 (1)原式=34×25×53=12.
(2)原式=-35×34×56×83=-1.
8.解 -3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4=-3.14×35.2+3.14×(-46.6)-3.14×18.2=-3.14×(35.2+46.6+18.2)=-3.14×100=-314.
二、创新应用
9.解 解法三最好.理由:将带分数分成整数和真分数,利用乘法对加法的分配律简化了运算过程.
8 有理数的除法
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·黑龙江哈尔滨双城区校级月考)已知整数a,b满足ab=-6,则ab的值有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2017·甘肃陇南宕昌县期中)下列运算错误的是( ).
A.13÷(-3)=3×(-3)
B.-5÷-12=-5×(-2)
C.8-(-2)=8+2
D.0÷3=0
3.下列各式的值等于9的是( ).
A.+63-7 B.-637 C.-63-(-7) D.-63-7
4.计算12-7×(-4)+8÷(-2)的结果是( ).
A.-24 B.-20 C.6 D.36
5.(2017·四川巴中南江县校级期中)计算a|a|+b|b|(ab≠0)的结果是( ).
A.±2 B.0 C.±2或0 D.2
6.等式[(-7.3)-□]÷-67=0中,□表示的数是.
7.观察下列一组数据:-3,-6,-12,-24, ,-96,…,按你发现的规律在横线上填上适当的数.?
8.计算:
(1)(-6)÷-35÷-14;
(2)(-0.75)÷54÷(-0.3);
(3)(-12.5)÷-76÷-14.
9.某冷冻厂的一个冷库的温度是-2 ℃,现有一批食品需要在-28 ℃的条件下冷藏,若每小时降温4 ℃,则几小时能降到所要求的温度?
二、创新应用
10.火车在东西向的铁路上运行,规定自车站向东为正,向西为负,进A站以前的时间为负,出A站以后的时间为正.请你以上述信息为背景,编制一个问题,解释算式“(-180)÷(-3)”的含义.
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.A 3.D 4.D 5.C 6.-7.3 7.-48
8.解 (1)原式=-6÷35÷14=-6×53×4=-40.
(2)原式=0.75÷1.25÷0.3=2.
(3)原式=-252×67×4=-3007.
9.解 [-2-(-28)]÷4=132(h),所以132 h能降到所要求的温度.
二、创新应用
10.解 如一列火车匀速向A站行驶,当火车在离A站西侧180 km时,火车进A站还需3 h,则火车的速度为(-180)÷(-3)=60(km/h).
9 有理数的乘方
知能演练提升
一、能力提升
1.一根1 m长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第六次后剩下的绳子的长度为( ).
A.123 m B.125 m
C.126 m D.1212 m
2.(2017·浙江杭州中考)-22=( ).
A.-2 B.-4 C.2 D.4
3.如图所示的图形都是由同样大小的长方形按一定的规律组成的,其中第(1)个图形的面积为2 cm2,第(2)个图形的面积为8 cm2,第(3)个图形的面积为18 cm2……则第(10)个图形的面积为( ).
A.196 cm2 B.200 cm2
C.216 cm2 D.256 cm2
4.假期里王老师有一个紧急通知,要用电话尽快通知到50个同学,假设每通知一个同学需要1 min时间,同学接到电话后也可以相互通知,则要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( ).
A.8 min B.7 min
C.6 min D.5 min
5.计算:23×122= .?
6.某种细胞每过20 min便由1个分裂成2个,经过3 h 后,这种细胞能由1个分裂成 个.?
7.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,求(a+b)2 018+(cd)2 018的值.
8.计算:
(1)-(-5)2;
(2)--233;
(3)-5-24;
(4)-(-2)2×(-3)2.
二、创新应用
9.看一看下面的算式:
(3×5)2=152=225,32×52=9×25=225;
-12×42=(-2)2=4,-122×42=14×16=4;
……
由此我们可以得出结论:(ab)n=anbn.
利用乘法交换律、结合律及乘方的意义可以验证:
(ab)n=(ab)·(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab
=(a·a·a·…·a)n个a·(b·b·b·…·b)n个b
=anbn.
利用以上信息计算:22 018×122 017.
知能演练·提升
一、能力提升
1.C 2.B 3.B 4.C 5.2 6.512(或29)
7.解 因为a,b互为相反数,所以a+b=0.
又因为c,d互为倒数,所以cd=1.
所以(a+b)2 018+(cd)2 018=02 018+12 018=0+1=1.
8.解 (1)原式=-(-5)×(-5)=-25.
(2)原式=--23×-23×-23=827.
(3)原式=-5-2×2×2×2=516.
(4)原式=-(-2)×(-2)×(-3)×(-3)=-36.
二、创新应用
9.解 22 018×122 017=22 017×122 017×2
=2×122 017×2=12 017×2=2.
