第三章 整式及其加减
1 字母表示数
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·吉林三模)用式子表示“比a的平方的2倍小1的数”为( ).
A.2a2-1 B.(2a)2-1
C.2(a-1)2 D.(2a-1)2
2.某商店举办促销活动,促销的方法是将原价为x元的衣服以45x-10元出售,则下列说法中,能正确表达该商店促销方法的是( ).
A.原价先减去10元,再打8折
B.原价先打8折,再减去10元
C.原价先减去10元,再打2折
D.原价先打2折,再减去10元
3.(2017·福建龙岩上杭县期中)电影院第一排有m个座位,后面每排比前一排多2个座位,则第n排的座位数为( ).
A.m+2n
B.m+2(n-1)
C.mn+2
D.m+n+2
4.(2017·湖南邵阳中考)如图,边长为a的正方形中阴影部分的面积为( ).
A.a2-πa22 B.a2-πa2
C.a2-πa D.a2-2πa
5.某种苹果的售价是每千克x元,用面值为100元的人民币购买了5 kg,应找回 元.?
6.一台电视机原价是2 500元,现按原价的8折出售,则购买a台这样的电视机需要 元.?
7.用灰白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案,则:
(1)第4个图案中有白色地面砖 块;?
(2)第n个图案中有白色地面砖 块.?
8.用含字母的式子表示:
(1)小亮的体重是m kg,小明比小亮轻n kg,小明的体重是多少千克?
(2)d箱苹果的质量是600 kg,每箱苹果的质量是多少?
(3)一个旅游团成人有a人,儿童人数是成人人数的2倍,这个旅游团有多少人?
(4)某品牌运动服每件c元,降价10%后的价格是多少元?
二、创新应用
9.一根弹簧原来的长度是10 cm,当弹簧受到的拉力为F N(F在一定范围内)时,弹簧的长度为l cm,测得有关数据如下表:
拉力/N
弹簧的长度/cm
1
10+0.5
2
10+1
3
10+1.5
4
10+2
…
…
(1)当F=7时,弹簧的长度为多少厘米?
(2)写出当拉力为F N时,弹簧的长度是多少厘米.
知能演练·提升
一、能力提升
1.A 2.B 3.B 4.A
5.(100-5x) 6.2 000a
7.(1)18 (2)(4n+2)
8.解 (1)小明的体重是(m-n)kg.
(2)每箱苹果的质量是600d kg.
(3)这个旅游团有(a+2a)人.
(4)降价10%后的价格是(c-10%c)元.
二、创新应用
9.解 (1)当F=7时,l=10+7×0.5=10+3.5=13.5(cm).
答:当F=7时,弹簧的长度为13.5 cm.
(2)当拉力为F N时,弹簧的长度为(10+0.5F) cm.
2 代数式
知能演练提升
一、能力提升
1.某家庭电话月租金为24元,每次市内通话平均 0.3元,每次长途通话平均1.8元.若半年内打市内电话m次,长途电话n次,则半年内应付话费为( ).
A.(0.3m+1.8n)元
B.24mn元
C.(24+0.3m+1.8n)元
D.(24×6+0.3m+1.8n)元
2.a,b,c,m都是有理数,且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c的关系是( ).
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.无法确定
3.(2017·安徽阜阳一模)阜阳某企业今年1月产值为a万元,2月比1月减少了10%,预计3月比2月增加15%,则3月的产值将达到( ).
A.(a-10%)(a+15%)万元
B.(a-10%+15%)万元
C.a(1-10%)(1+15%)万元
D.a(1-10%+15%)万元
4.在数学活动课上,同学们利用如图所示的程序进行计算,发现无论x取何正整数,结果都会进入循环,下列选项一定不是该循环的是( ).
A.4,2,1 B.2,1,4 C.1,4,2 D.2,4,1
5.运动时的心跳速率通常与人的年龄有关,如果用a表示一个人的年龄,用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,那么b=0.8(220-a).
(1)正常情况下,一个14岁的少年在运动时所能承受的每分心跳的最高次数是多少?
(2)一个45岁的人运动10 s心跳的次数为22次,他有危险吗?
6.有长为l的铁栏杆,利用它和一面墙围成一个长方形的花圃(如右图),花圃垂直于墙的一边长为x.
(1)用代数式表示花圃的面积;
(2)当l=20 m,x=4 m时,求花圃的面积.
二、创新应用
7.先填表,再回答问题.
x
-4
-3
-2
-1
-12
12
1
2
3
4
2x
(1)x可以取0吗?为什么?
(2)当x<0时,2x 0;当x>0时,2x0.?
(3)当x<0时,代数式2x的值随x的增大是怎样变化的?当x>0时,代数式2x的值随x的增大是怎样变化的?
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.A 3.C 4.D
5.解 (1)当a=14时,b=0.8×(220-14)=164.8≈165.
所以一个14岁的少年在运动时所能承受的每分心跳的最高次数约为165次.
(2)当a=45时,b=0.8×(220-45)=140.
45岁的人在运动时所能承受的每分心跳的最高次数为140次.22×6010=132.
因为140>132,所以一个45岁的人运动10 s心跳的次数为22次,他没有危险.
6.解 (1)因为花圃垂直于墙的一边长为x,所以花圃平行于墙的一边长为l-2x,所以花圃的面积为x(l-2x).
(2)当l=20 m,x=4 m时,花圃的面积为4×(20-2×4)=48(m2).
二、创新应用
7.解
x
-4
-3
-2
-1
-12
12
1
2
3
4
2x
-12
-23
-1
-2
-4
4
2
1
23
12
(1)x不可以取0,因为0不能作分母.
(2)< >
(3)当x<0时,代数式2x的值随x的增大而减小;当x>0时,代数式2x的值随x的增大而减小.
3 整式
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·福建南平中考模拟)下列各整式中,次数为3次的单项式是( ).
A.xy2 B.xy3 C.x+y2 D.x+y3
2.(2017·广东东莞校级一模)在式子1x,2x+5y,0.9,-2a,-3x2y,x+13中,单项式的个数是( ).
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.多项式2a2b-a2b-ab的项数及次数分别是( ).
A.3,3 B.3,2 C.2,3 D.2,2
4.单项式-12x2y3的次数是 .?
5.若多项式5-(m+1)a2+2an-4是关于a的三次二项式,则m-n= .?
6.按整式的分类,-32xy2是 式,其次数是 ;3x3y2+2x-y2是 式,其次数是 .?
7.已知代数式-23amb3c23是7次单项式,则m的值是 .?
8.用单项式填空:
(1)若三角形一条边长为a,并且这条边上的高为h,则这个三角形的面积为 ;?
(2)圆的半径为r,它的面积为 ;?
(3)1盒乒乓球有12只,n(n是12的倍数)只乒乓球有 盒.?
9.观察下列单项式:-x,3x2,-5x3,7x4,…,-37x19,39x20,…,写出第n个单项式.为了解决这个问题,特提供下面解题思路:
(1)这组单项式的系数的符号规律是 ,系数的绝对值规律是 .?
(2)这组单项式的次数的规律是 .?
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第n个单项式吗?
(4)请你根据猜想,写出第2 017个、第2 018个单项式.
二、创新应用
10.请你做评委:在一堂数学活动课上,同在一个学习小组的小明、小亮、小颖、小丁对刚学过的知识发表了自己的一些看法:
小明说:“绝对值不大于4的整数有7个.”
小亮说:“当m=3时,代数式3x-y-mx+2中不含x项.”
小颖说:“若|a|=3,|b|=2,则a+b的值为5或1.”
小丁说:“多项式-2x+x2y+y2是二次三项式.”
你觉得他们的说法正确吗?如果不正确,请帮他们改正.
知能演练·提升
一、能力提升
1.A 2.C 3.A 4.5 5.-8 6.单项 3 多项 5
7.2 8.(1)12ah (2)πr2 (3)n12
9.解 (1)(-1)n(或负号、正号依次出现) 2n-1(或从1开始的连续奇数)
(2)从1开始的连续自然数
(3)(-1)n(2n-1)xn.
(4)把n=2 017,n=2 018直接代入即可得到:第2 017个、第2 018个单项式分别为-4 033x2 017,4 035x2 018.
二、创新应用
10.解 小明的说法不正确,绝对值不大于4的整数有±4,±3,±2,±1,0,共9个;小亮的说法正确;小颖的说法不正确,|a|=3,a=±3,|b|=2,b=±2,所以a+b的值为±5或±1;小丁的说法不正确,应为三次三项式.
4 整式的加减
第一课时
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·黑龙江绥化中考)下列运算正确的是( ).
A.3a+2a=5a2
B.3a+3b=3ab
C.2a2bc-a2bc=a2bc
D.a5-a2=a3
2.代数式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3的值( ).
A.与字母a,b都有关
B.只与字母a有关
C.只与字母b有关
D.与字母a,b都无关
3.若关于x的多项式ax+bx中的同类项进行合并的结果等于0,则下列说法正确的是( ).
A.a,b都等于0
B.a,b,x都等于0
C.a,b相等
D.a,b互为相反数
4.如果整式mx2-mnx+n与nx2+mnx+m的和是一个单项式,那么下列m与n的关系正确的是( ).
A.m=n B.m=-n
C.m=n=0 D.mn=1
5.若P,Q均为四次多项式,则P+Q一定是( ).
A.四次多项式
B.八次多项式
C.次数不低于四次的整式
D.次数不高于四次的整式
6.如图是一个正方体纸盒的平面展开图,每一个正方形中都有一个单项式.当折成正方体后,“?”所表示的单项式与“?”所在的面相对的面上的单项式是同类项,则“?”所表示的单项式可以是( ).
A.b B.c C.d D.e
7.求下列多项式的值:
(1)23a2-8a-12+6a-23a2+14,其中a=12;
(2)3x2y2+2xy-7x2y2-32xy+2+4x2y2,其中x=2,y=-14.
二、创新应用
8.(2017·江西九江彭泽县期中)如果两个关于x,y的单项式2mxa+1y2与-4nx3y2是同类项(其中xy≠0).
(1)求a的值;
(2)如果这两个单项式的和为零,求(m-2n-1)2 017的值.
知能演练·提升
一、能力提升
1.C 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D
7.解 (1)原式=23-23a2+(-8+6)a+-12+14=-2a-14.
当a=12时,原式=-2a-14=-2×12?14=-54.
(2)原式=(3-7+4)x2y2+2-32xy+2=12xy+2.
当x=2,y=-14时,原式=12xy+2=12×2×-14+2=74.
二、创新应用
8.解 (1)由题意,得a+1=3,解得a=2.
(2)由题意,得2m-4n=0,解得m=2n,
(m-2n-1)2 017=(-1)2 017=-1.
第二课时
知能演练提升
一、能力提升
1.已知x的值是12,y的值是2,则(5xy2+5xy-7x)-(4xy2-7x+5xy)的值为( ).
A.12 B.2 C.±12 D.±2
2.若当x=1时,ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)·(1-a-b)的值为( ).
A.-16 B.-8 C.8 D.16
3.若单项式2x2ym与-13xny3的和仍是一个单项式,则多项式4n2-2(m2+mn)+(m2-4n2)的值是 .?
4.先化简,再求值:
(1)(3a2-ab+7)-(5ab-4a2+7),其中a=2,b=13;
(2)12x-2x-13y2+3-12x+19y2,其中x=-2,y=-23.
二、创新应用
5.由于看错了符号,某学生把一个代数式减去-4a2+2b2+3c2误认为加上-4a2+2b2+3c2,结果得出答案是a2-4b2-2c2,求原题的正确答案.
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.A
3.-21
4.解 (1)原式=3a2-ab+7-5ab+4a2-7=7a2-6ab.
当a=2,b=13时,原式=7a2-6ab=7×22-6×2×13=24.
(2)原式=12x-2x+23y2-32x+13y2=-3x+y2.当x=-2,y=-23时,原式=-3x+y2=-3×(-2)+-232=649.
二、创新应用
5.解 原代数式为(a2-4b2-2c2)-(-4a2+2b2+3c2)=a2-4b2-2c2+4a2-2b2-3c2=5a2-6b2-5c2,所以原题的正确答案为(5a2-6b2-5c2)-(-4a2+2b2+3c2)=5a2-6b2-5c2+4a2-2b2-3c2=9a2-8b2-8c2.
第三课时
知能演练提升
一、能力提升
1.减去-2x等于-3x2+4x+1的多项式是( ).
A.-3x2+2x+1 B.3x2-2x-1
C.-3x2+1 D.3x2+1
2.多项式4xy-3x2-xy+y2+x2与多项式3xy+2y-2x2的差( ).
A.与x,y有关 B.与x,y无关
C.只与x有关 D.只与y有关
3.(2017·江苏苏州期中)已知m2+2mn=13,3mn+2n2=21,则2m2+13mn+6n2-44的值为( ).
A.45 B.5 C.66 D.77
4.把3+[3a-2(a-1)]化简得 .?
5.已知A=8x2y-6xy2-3xy,B=6xy2-3xy+4x2y,若A+B-3C=0,则C-A= .?
6.一个长方形的两边长分别是2a+b和a-b,则它的周长是 .?
7.已知一个多项式与9x2+3x的和等于9x2-4x-1,求这个多项式.
8.先化简,再求值:a3b2+2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-2ab2-2,其中a=-2,b=2.
9.某市的张、王、李三家合办一个股份制企业,总股数为(5a2-3a-2)股,每股1元,张家持有(2a2+1)股,王家比张家少(a-1)股,年终按股本额18%的比例支付股利,获利的20%缴纳个人所得税,请你帮助李家算算年终能得到多少钱.
二、创新应用
10.现给出三个多项式:2a2+3ab+b2,12a2+3ab-b2,-32a2-ab,请你选择其中两个进行加法(或减法)运算.
知能演练·提升
一、能力提升
1.A 2.D 3.A 4.a+5 5.6xy2-4x2y+xy 6.6a
7.解 由题意,得(9x2-4x-1)-(9x2+3x)=9x2-4x-1-9x2-3x=-7x-1.
8.解 原式=a3b2+2a2b+2ab2-2a2b+2-2ab2-2=a3b2.当a=-2,b=2时,原式=a3b2=(-2)3×22=-32.
9.解 王家持有的股数为
(2a2+1)-(a-1)=2a2-a+2(股).
李家持有的股数为
(5a2-3a-2)-(2a2+1)-(2a2-a+2)=a2-2a-5(股).
所以李家年终可获得的钱数为
1×(a2-2a-5)×18%×(1-20%)
=0.144(a2-2a-5)
=0.144a2-0.288a-0.72(元).
答:李家年终能获得(0.144a2-0.288a-0.72)元.
二、创新应用
10.解 答案不唯一,如:我选2a2+3ab+b2与12a2+3ab-b2进行加法运算.
(2a2+3ab+b2)+12a2+3ab-b2=2a2+3ab+b2+12a2+3ab-b2=52a2+6ab.
5 探索与表达规律
知能演练提升
一、能力提升
1.(2017·江苏扬州中考)在一列数:a1,a2,a3,…,an中,a1=3,a2=7,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个位数字,则这一列数中的第2 017个数是( ).
A.1 B.3 C.7 D.9
2.观察下列图形,第n个图形中三角形的个数是( ).
A.2n+2 B.4n+4 C.4n-4 D.4n
3.(2017·湖北武汉中考)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,…,若最后三个数的和为768,则n为( ).
A.9 B.10 C.11 D.12
4.如图,下列图案均由长度相同的小棒按一定的规律拼搭而成:第(1)个图案需7根小棒,第(2)个图案需13根小棒……依此规律,第(11)个图案需( )根小棒.
A.156 B.157 C.158 D.159
5.观察下表,请推测第5个图形有 根火柴棍.?
序号
1
2
3
…
图形
…
6.如图,一个点阵从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点……按此规律,第n行有 个点.?
7.小明在心里想好一个数,把这个数乘3,然后加7,再把所得新数乘4,然后再把得到的数减3,最后再把得到的数乘7.若最终小明得到的结果是595,则小明心里想好的数是 .?
8.用棋子按下面的方式摆出三角形.
(1)按照上图的方式依次添加每条边上的棋子数量,并填写下表:
每条边上的棋子数
2
3
4
5
6
棋子总数
(2)按照此方法摆下去,摆出一条边上有n个棋子的三角形共用了多少个棋子?
二、创新应用
9.某个月的月历如图,其中用实线框出的六个小正方形恰好是一个正方体的展开图.
(1)如果C所在的方格内的数字是16,那么A所在方格的数字是几?
(2)设A所在方格内的数字是x,如果把此展开图折叠成原来的正方体,请用含x的代数式表示A所对的面的数字.
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.D 3.B 4.B
5.45 6.(3×2n-1-1) 7.5
8.解 (1)填表如下:
每条边上的棋子数
2
3
4
5
6
棋子总数
3
6
9
12
15
(2)用n来表示每条边上的棋子数,则棋子总数可表示为3(n-1)或3n-3.
二、创新应用
9.解 (1)因为C所在方格内的数字为16,所以D所在方格内的数字为17,A所在方格内的数字为17-7=10.
(2)A所对的面为F.A所在方格的数字为x,D所在方格的数字为x+7,C所在方格的数字为x+6,F所在方格的数字为x+6+7=x+13.
