第四章 基本平面图形
1 线段、射线、直线
知能演练提升
一、能力提升
1.若射线OA与射线OB是同一条射线,则下列画图正确的是( ).
2.图中不同的线段有( ).
A.4条
B.8条
C.10条
D.15条
3.平面上不重合的2个点确定一条直线,不同的3个点最多可确定3条直线.若平面上不同的n个点最多可确定21条直线,则n的值为( ).
A.5 B.6
C.7 D.8
4.如图,线段、射线和直线的条数分别是( ).
A.5,3,1
B.3,1,1
C.3,3,1
D.3,2,1
5.在一条直线上顺次取四点A,B,C,D,则射线BD与射线 是同一条射线,射线AC与射线 是同一条射线,线段AB与线段 是同一条线段.?
6.如图,平面内有A,B,C,D四个点,按下列语句画图:
(1)画射线AB、直线BC、线段AC;
(2)连接AD与BC相交于点E.
7.如图,现有8个点,用一笔画的方法画出四段连接的折线,就把这8个点连起来了.下面给出16个点,请你用一笔画的方法,画出六段连接的折线,把这16个点连起来.
二、创新应用
8.如图,已知数轴的原点为O,点A表示2,点B表示-12.
(1)数轴是什么图形?
(2)在数轴原点O左边的部分(包括原点)是什么图形,怎样表示?
(3)数轴上不小于-12且不大于2的部分是什么图形,怎样表示?
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.D 3.C 4.D
5.BC AB或AD BA 6.略
7.解 如图所示.(答案不唯一)
二、创新应用
8.解 (1)直线.
(2)射线,射线OB.
(3)线段,线段AB(或BA).
2 比较线段的长短
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一、能力提升
1.(2017·广西柳州柳北区一模)如图,C,D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点.若AB=10 cm,BC=4 cm,则AD的长为( ).
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
2.(2017·湖南衡阳耒阳市中考模拟)如图,C,B是线段AD上的两点,若AB=CD,BC=2AC,则AC与CD的关系式为( ).
A.CD=2AC B.CD=3AC
C.CD=4AC D.不能确定
3.如图,C,D是线段AB上的两点,E是AC的中点,F是BD的中点.若EF=m,CD=n,则AB=( ).
A.m-n
B.m+n
C.2m-n
D.2m+n
4.已知A,B,C三点在同一直线上,线段AB=5 cm,BC=4 cm,则A,C两点间的距离是( ).
A.1 cm
B.9 cm
C.1 cm或9 cm
D.以上答案都不对
5.如图,C,D,E为线段AB上的点,且AC=CD=DE=EB,则图中有 个点是线段的中点.?
6.已知线段AB=6 cm,延长AB到点C,使AC=18 cm,则AB的中点P到AC的中点Q的距离为.
7.已知AB=8 cm,在AB的延长线上截取BC=5 cm,则AC= ;在线段AB上截取BD=5 cm,则AD= .?
8.如图,某地区有A,B,C,D四个村庄,为了解决当地的缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你帮助画出蓄水池O的位置,使它与四个村庄的距离之和最小.
9.如图,已知线段a,b(b>a),求作线段AD,使得AD=2(b-a).
二、创新应用
10.已知线段AB=6 cm,在直线AB上画线段BC=4 cm,若M,N分别是AB,BC中点.
(1)求M,N间的距离.
(2)若AB=a cm,BC=b cm,其中a>b,其他条件不变,此时M,N间的距离是多少?
知能演练·提升
一、能力提升
1.B 2.B 3.C 4.C 5.3 6.6 cm 7.13 cm 3 cm
8.解 如图,连接AC,BD,它们的交点是点O,点O就是修建蓄水池的位置,这一点到A,B,C,D四点的距离之和最小.
9.解 (1)画射线AM;
(2)在射线AM上截取AB=b;
(3)在线段AB上截取BC=a.则AC=b-a;
(4)在线段AC的延长线上截取CD=AC,则线段AD即为所求作的线段,如图.
二、创新应用
10.解 (1)当点C在A,B的右边时,如图①.
因为M,N分别是AB,BC的中点,
所以MB=12AB,BN=12BC.
因为AB=6 cm,BC=4 cm,
所以MN=MB+BN=12AB+12BC=12×6+12×4=5(cm).
当点C在A,B之间时,如图②.
由(1)可知MB=12AB,BN=12BC,
所以MN=BM-BN=12AB-12BC=12×6-12×4=1(cm).
所以M,N间的距离为5 cm或1 cm.
(2)当AB=a cm,BC=b cm时,
如图①,MN=12AB+12BC=a+b2(cm);
如图②,MN=12AB-12BC=a-b2(cm).
所以M,N间的距离为a+b2 cm或a-b2 cm.
3 角
知能演练提升
一、能力提升
1. 如图,下列说法:①∠α就是∠AOD;②∠α就是∠DOA;③以O为顶点的角有两个;④图中只有两个角能用顶点的大写字母表示.其中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.点B在点A的北偏东60°方向上,点C在点A的正西方,∠BAC的度数是( ).
A.30° B.90° C.120° D.150°
3.借助一副三角尺,能画出的度数是( ).
A.65° B.75° C.85° D.95°
4.(1)用度、分、秒表示48.13°为 ;?
(2)用度表示23°9'36″为 .?
5.计算:(1)33°52'+21°54'= ;?
(2)20°15'24″×3= .?
6.下列说法是否正确?为什么?
(1)平角是一条直线;
(2)钟表上的分针经过1小时形成一个周角.
7.如图.
(1)以B为顶点的角有几个?把它们表示出来.
(2)指出以射线BA为边的角.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有几个(平角、周角除外)?分别表示出来.
8.某人下午6点多外出购物,表上的时针和分针的夹角恰为110°,下午近7点回家,发现表上的时针和分针的夹角又是110°,试算一算此人外出共用了多长时间.
二、创新应用
9.观察如图所示的图形,并回答下列问题:
(1)图①中共有几条射线?几个角?
(2)依次写出图②③④中的射线条数和角的个数.
(3)仔细分析,你能总结出什么规律?
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.D 3.B
4.(1)48°7'48″ (2)23.16° 5.(1)55°46' (2)60°46'12″
6.解 (1)错.因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形,平角有顶点、边这些基本元素,而直线没有,所以“平角是一条直线”的说法是错误的.
(2)正确.因为分针经过1小时会旋转一周,所以分针经过1小时会回到初始位置,即能形成一个周角.
7.解 (1)以B为顶点的角有3个,分别是∠ABD,∠ABC,∠DBC.
(2)以射线BA为边的角有2个,分别是∠ABD和∠ABC.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有2个,分别是∠BDC和∠CDE.
8.解 设时针走了x°,则分针走了(110°×2+x°)=(220+x)°,
所以(220+x)°x°=121,解得x=20,
故用时20°0.5°=40(min),即此人外出共用了40 min.
二、创新应用
9.解 (1)题图①中共有2条射线,1个角.
(2)题图②中有3条射线,3个角;题图③中有4条射线,6个角;题图④中有5条射线,10个角.
(3)通过(1)(2)总结出以下规律:当从一个点引出n条射线时,共可组成n(n-1)2个角.
4 角的比较
知能演练提升
一、能力提升
1.如图,OB表示秋千静止时的位置,当秋千从OC荡到OA时,OB平分∠AOC,∠BOC=60°,则秋千从OC到OA转动的角度是( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.如图,已知射线OC平分∠AOB,射线OD,OE三等分∠AOB.又OF平分∠AOD,则图中等于∠BOE的角共有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知∠α和∠β的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且∠α>∠β,则∠α的另一边落在∠β的( ).
A.另一边上 B.内部
C.外部 D.以上结论都不对
4.(2017·山东德州夏津县一模)如图,将一副三角尺叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则∠AOC+∠DOB=( ).
A.90° B.120° C.160° D.180°
5.如图,已知OM是∠AOB的平分线,射线OC在∠BOM内,ON是∠BOC的平分线,∠AOC=80°,则∠MON的度数等于 .?
6.已知∠AOC=80°,∠BOC=50°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数是 .?
7.已知直线AB上有一点O,射线OD和射线OC在AB的同侧,∠AOD=42°,∠BOC=34°,则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数是 .?
8.如图,A,O,B三点在同一直线上,∠BOC=50°,∠AOD与∠DOC的度数比为10∶3,OE平分∠AOC,求∠DOE的度数.
二、创新应用
9.
(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)若(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)若(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从(1)(2)(3)的结果中能看出什么规律?
知能演练·提升
一、能力提升
1.D 2.C 3.C 4.D 5.40° 6.105° 7.142°
8.解 因为∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°,∠BOC=50°,
所以∠AOD+∠DOC=130°.
又因为∠AOD与∠DOC的度数比为10∶3,
所以∠AOD=130°×1013=100°,
∠DOC=130°×313=30°.
因为OE平分∠AOC,
所以∠EOC=12∠AOC
=12(∠AOD+∠DOC)=65°.
所以∠DOE=65°-30°=35°.
二、创新应用
9.解 (1)∠MON=12(90°+30°)-12×30°=60°-15°=45°.
(2)∠MON=12(∠AOB+∠BOC)-12∠BOC=12(α+30°)-12×30°=12α.
(3)∠MON=12(∠AOB+∠BOC)-12∠BOC=12×90°+12β-12β=45°.
(4)∠MON的度数始终等于∠AOB度数的一半.
5 多边形和圆的初步认识
知能演练提升
一、能力提升
1.下列说法:①经过点P的圆有无数个;②以点P为圆心的圆有无数个;③半径为3 cm且经过点P的圆有无数个;④以点P为圆心,以3 cm为半径的圆有无数个.其中错误的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.仔细观察图中两组图形对应的变化,则按此规律对应于第二组图形“?”处的图案应是( ).
3.(2017·安徽亳州蒙城县期末)从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m,n的值分别为( ).
A.4,3 B.3,3 C.3,4 D.4,4
4.如图,其中 是多边形; 是扇形.(填序号)?
5.如图,要在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪,要求草坪的半径长为20 m,则草坪的总面积为 .(π取3.14)?
6.如图,图①中多边形是由正三角形“扩展”而来的,图②中多边形是由正方形“扩展”而来的,以此类推.
探索:
(1)正三角形“扩展”而来的多边形的边数是 ;?
(2)正四边形“扩展”而来的多边形的边数是 ;?
(3)正五边形“扩展”而来的多边形的边数是 ;?
(4)正六边形“扩展”而来的多边形的边数是 ;?
则正n边形“扩展”而来的多边形的边数是 .?
7.如图,把一个圆分成四个扇形,求每个扇形的圆心角的度数.
8.如图,在三角形ABC中,∠C=90°,CA=CB=4,分别以A,B,C为圆心,以12AC为半径画弧,三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是多少?
二、创新应用
9.各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式为S=a+12b-1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积,如图所示,a=4,b=6,S=4+12×6-1=6.(小方格边长代表1)
(1)请在图甲中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积;
(2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为72,且每条边上除顶点外无其他格点.
知能演练·提升
一、能力提升
1.A 2.A 3.C 4.①③④ ② 5.628 m2
6.(1)12 (2)20 (3)30 (4)42 n(n+1)
7.解 因为一个周角为360°,所以分成的四个扇形的圆心角分别是∠AOB=∠BOC=360°×25%=90°;
∠COD=360°×30%=108°;
∠DOA=360°×20%=72°.
8.解 因为∠C=90°,CA=CB=4,
所以S三角形ABC=12AC·CB=12×4×4=8.
因为三条弧所对圆心角的度数和为180°,
所以三个扇形的面积和=12π×22=2π.
所以S阴影部分=8-2π.
二、创新应用
9.解 (1)画法不唯一,如图①或图②.
(2)a=3,b=3,画法不唯一,如图③,图④等.
