人教版 八年级 下册
第十五章 分式
问题 :
一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江以最大船速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。江水的流速是多少？
如果设江水的流速为v千米/时。
=
最大船速顺流航行100千米所用时间
以最大航速逆流航行60千米所用的时间
15.1.1从分数到分式
1.长方形的面积为10cm?,长为7cm.宽应为
______cm;长方形的面积为S,长为a,宽应
为______;
S
a
?
思 考
2.把体积为200cm?的水倒入底面积为 33cm?的
圆柱形容器中,水面高度为_____cm;把体积为V的
水倒入底面积为S的圆柱形容器中,
水面高度为______;
V
S
思 考
请大家观察式子 , ， ,
与分数 ， 有什么相同点和不同点。
都具有分数的形式
相同点
不同点
（观察分母）
分母中有无 字母
探 究
分式定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B
中含有字母，那么称 为分式。
其中A叫做分式的分子，B为分式的分母。
判断：下面的式子哪些是分式？
分式:
1、分式 的分母有什么条件限制？
当B=0时，分式 无意义。
当B≠0时，分式 有意义。
2、当 =0时分子和分母应满足什么条件？
当A=0而 B≠0时，分式值为零。
探 究
典例分析
取全体实数
(2) 当x为何值时，分式有意义?
(1) 当x为何值时，分式无意义?
1. 已知分式 ,
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
∴当x = -2时分式:
解：(1)当分母等于零时,分式无意义。
无意义。
∴ x = -2
即 x+2=0
试一试
2. 已知分式 ,
(4) 当x= - 3时，分式的值是多少?
(3) 当x为何值时，分式的值为零?
（４）当x ＝ -３时，
解：(３)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
的值为零。
∴当x = 2时分式
∴ x ≠ -2
而 x+2≠０
∴x = ±2
则 x2 - 4=0
试一试
课堂练习：
1、下列各式哪些是分式，哪些是整式？
①
＋m2
②1＋x＋y2－
③
④
⑤
⑥
⑦
2、当x= 时，分式
无意义。
4.当x是什么数时，分式
解：由x+2>0，2x-5>0得x>2.5。
所以当x>2.5或x<-2时，分式
的值为正。
的值为正？
由x+2<0，2x-5<0得x<-2。
★ 学习内容：分式的概念 数学思想：类比
1.分式 有意义的条件是__________．
3.分式 值为0的条件是_____________．
2.分式 无意义的条件是__________．
谈收获：
B≠0
B=0
A≠0，B=0
再 见
15.1.2分式的基本性质
１、下列各式中，属于分式的是（ ）.
A、 B、 C、 D、
２、当＿＿时，分式 有意义.
复习回顾
3、当＿＿时，分式 的值为零.
B
情 境
分数的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的数，分数的值不变.
分数的基本性质：
问 题
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说说看！
分数的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的数，分数的值不变.
分数
分式
数
分式
整式
分数
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
分式的基本性质
用式子表示为：
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
例2 观察填空：
看分子（分母）怎么变，想分母（分子）怎么变.
例2 观察填空：
（ ）
（ ）
（÷ ）
（÷ ）
（× ）
（× ）
为何（1）（2）（3）
不规定
而（4）规定了
1、填空:
．
课堂检测
课堂检测
课堂检测
A、扩大两倍 B、扩大四倍 C、不变 D、缩小两倍
C
A、扩大两倍 B、扩大四倍 C、不变 D、缩小两倍
A
各抒己见
分式的基本性质
分数的基本性质
类 比
分式的有关变形
分式的运算
注意：在对分式进行变形时要注意同乘（或除以) 同一 个不等于0的整式.
?
15.2.1 分式的乘除
[问题1]:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的水占容积的 时,求高为多少?
分析:长方体容器的高为 ;
水高为 .
分式乘法
[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
分析:大拖拉机的工作效率是 公顷/天,
小拖拉机的工作效率是 公顷/天,
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的 倍.
分式除法
观察下列运算：
猜一猜
与同伴交流。
探究新知
?
一、解读探究：
经观察、类比不难发现
由学生自己归纳总结出分式乘除法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
合作学习
?
二、应用迁移，巩固提高：
例1计算
解：
注意：分式运算的结果通常要化成最简分式或整式
例2计算
解：
小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分
②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．
学习小结
今天你学到了哪些知识？
作业：
（1）
（2）
（3）
（4） -8x
（5）
（6）
计算：
再见
15.2.2分式的加减
1．这是小学数学的同分母分数相加减，那么你能说说同分母分数相加减的法则吗？
想一想：
会分数的加减，就会分式的加减
2．你认为
3．猜一猜，同分母的分式应该如何加减?
1．同分母分数加减法的法则如何叙述？
想一想
【同分母的分数加减法的法则】
分母不变,分子相加减.
同分母的分数相加减，
同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似
【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，
分母不变,分子相加减.
例1 计算:
计算 ：
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
例2
归纳总结
同分母分式加减的基本步骤
做一做
做一做
尝试完成下列各题：
自我发展的平台
随堂练习
1．计算：
解 : (1)
(2)
分母不同怎么进行加减?
和小学做分数加减一样，通分呗！
想一想
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 : 如何计算？
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
（1）异分母的分式加减法要遵守什么法则呢?
小学数学中,异分母的分数如何加减？
分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
分式的加减法法则：
例3 计算:
计算 ：
解：原式=
=
=
= x + y
分母不同，先化为同分母。
例4
计算 :
计算：
（1）
（5）先化简，再求值： ．
其中x=3．
（2）
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减。
当分子是多项式时，相加减要注意添括号．
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
我 们 的 收 获
在物理学上的应用
在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知
CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律
可知总电阻R与R1R2满足关系式 ；
试用含有R1的式子表示总电阻R．
C
A
B
D
例3
解：因为
即
所以
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
我 们 的 收 获
第 146页习题 (4、5）
作 业
分式的加减法
15.2.3 整数指数幂
知识回顾
关于整数指数幂运算，
我们已经研究了什么内容？
知识回顾
知识回顾
知识回顾
知识回顾
知识回顾
知识回顾
想一想
对于am，当m=7，0，-7时，你能分别说出它们的意义吗？
填空：
（1）30= ， (-3)0= ， b0= ；
（2）3-2= ，(-3)-2= ； b-2= (b≠0)
2. (a≠0)
课堂练习
1
1
1
知识回顾
例9．计算：
畅所欲言！
这节课你学习了什么？
必做：课本P145第2题.
选做：课本P148阅读与思考“容器中的水能倒完吗”
作业
15.3 分式方程
第十五章 分式
分式知识树
分式方程
分式的运算
分 式
分式
约分
通分
分式的
乘除
分式的
加减
整数
指数幂
1.理解分式方程的意义。
2.会解分式方程，
理解解分式方程可能无解的原因。
问题。
学习目标：
一.旧知回顾
1. 你能说出这是什么方程吗？
2.怎么解这个方程？
二.问题导入
观察方程：
与
有什么区别？
分式方程：分母中含有未知数的方程
【加深理解】
分式方程的定义： 中含有 的方程叫做分式方程。
分母
X
X
√
辨析：判断下列各式哪个是分式方程？
√
未知数
X
三.探究解法
例1：解方程：
解：方程两边乘(x+5)(x-5)
得 x+5=10
解得：x=5
检验：当x=5时，(x+5)(x-5)=0
X=5不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解
1、分式方程解题思路：
分式方程 去分母 整式方程
2、分式方程为什么要检验？
如何检验？
解法反思
转化
例2.解方程：
三.探究解法
解：方程两边乘x(x-3)
得 2x=3x-9
解得：x=9
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0
所以,原分式方程的解为X=9 。
例2.解方程：
三.探究解法
解：方程两边乘 (x+1) (x-1)
得 2x+2=4
解得：x=1
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0
X=1不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解
教材: 152页练习
巩固提高
这节课我们学习了哪些知识？你有什么体会？还有什么疑惑？
【课堂小结】
达标测试：
C
1.下列式子中是分式方程的是（ ）
达标测试：
2.解下列方程：
X=3
无解
课堂延伸：
已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围。
