新湘教版 数学 八年级上 5.3 二次根式的加法和减法（1） 教学设计
课题
5.3 二次根式的加法和减法（1）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：理解和掌握二次根式加减法的计算法则；
过程与方法：通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较，体会类比思想，培养学生运算能力.
情感态度与价值观：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探究热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
重点
二次根式的加减法计算法则.
难点
探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确地进行二次根式加减法的运算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在七年级的学习中，我们学习了同类项及其相关知识，下面请同学们回答：
问题1、什么是同类项? 怎样合并同类项？
答案：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
问题2、合并下列各式的同类项:
解：
注意：①根据分配律把同类项的系数相加；
②字母部分保持不变.
学生听老师的提问，然后回答问题.
通过回顾利用合并同类项，为合并被开方数相同的二次根式做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
做一做：你能仿照合并同类项的方法，完成下面的计算吗？
解：
思考：如图所示，是由面积分别为8 和18 的正方形ABCD和正方形CEGH拼成．求BE的长.
/
追问：如何求BE 的长？
答案：利用数量关系：BE=BC+CE进行求解即可.
/
想一想：观察上面的计算过程，你能说一说二次根式的加减法是如何进行计算吗？
归纳：在进行二次根式的加减运算时，通常应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，但被开方数不变.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
判断同类二次根式的条件：
（1）化成最简二次根式；
（2）被开方数相同
例1：计算.
解：
指出：二次根式的加、减混合运算，首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.
练习1：计算：
解：
归纳：二次根式加减运算的步骤：
(1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项．
注意：整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用．
例2：如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2. 求圆环的宽度d（π取3.14）.
/
解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2， S2＝πr2，可知
答：圆环的宽度d为
练习2：已知四边形ABCD四条边的长分别是cm，cm，cm和4cm.求它的周长．
解：周长＝＋＋＋4
＝5＋6＋6＋8
＝11＋14(cm).
答：这个四边形的周长是(11＋14)cm.
学生独立进行尝试，然后小组交流，并得出计算方法
学生读题，在老师的引导下列出算术并尝试计算，然后班内交流，并认真听老师的点评，最后归纳出二次根式加减法的计算方法.
独立完成例1与练习1，小组交流后，认真听老师的讲解.
学生独立完成例2及练习，并小组交流，然后老师点评.
体会“合并”在二次根式加减法中的作用.
体会二次根式加减法的计算方法与步骤.
提高学生二次根式加减法的计算能力，并体会与整式运算的共同之处.
体会二次根式加减法在实际问题中的应用.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是( )
A. B. C. D.
答案：B
2．下列计算正确的是( )
A．4－3＝1 B.＋＝
C.－＝ D．3＋2＝5
答案：C
3.计算：
4. 三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，则这个三角形的周长是________________cm.
解：
答案：
5．计算：
(1)＋－；
(2)2＋5－3；
(3)(3＋2)－(2＋3)．
答案：(1)5 (2)－3 (3)－
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
如图，面积为48 cm2的正方形的四个角均是面积为3 cm2的小正方形，将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边长．
/
解：－2＝4－2＝2(cm)，
∴这个长方体盒子的底面边长为2 cm.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、二次根式加减的步骤是什么？
答案：首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.
问题2、二次根式加减的运算依据是什么？
答案：实数的运算满足乘法对加法的分配律．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第172页习题5.3A组第1、2题
能力作业
教材第172页习题5.3B组第5题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
5.3 二次根式的加法和减法（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列根式中，能与
3
合并的二次根式为（ ）
A．
24
B．
3
2
C．
12
D．
18
2．下列运算正确的是（ ）
A．2
2
+
2
=2 B．
6
?
3
=3 C．
2
+
8
=3
2
D．
9
?
3
=3
3．二次根式：①
12
；②
3
2
；③
2
3
；④
27
中，能与
3
合并的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
4．下列运算正确的是（ ）
A．
??
+
2??
=
3??
B．3
2
?
2
=3
C．2+
3
=2
3
D．
8
+
18
=5
2
5．如图，数轴上与1、
2
两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称（即AB=AC），则点C表示的数是（ ）
/
A．2?
2
B．
2
?1 C．1?
2
D．2
2
?2
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．计算
18
﹣
1
2
8
的结果是________．
7．若最简二次根式
??+1
与
10
可以合并，则 ??的值为_______.
8．整数??的取值范围是2??
与
2
是同类二次根式，则??=____________
9．已知三角形三边分别为
18
????，
12
????，
18
????，则它的周长为________????．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．计算下列各式：
（1）； （2）
11．计算：
2
3
??
9x
?x2
1
x
+6x
4
x
，其中x=5.
12．一个三角形的三边长分别为3
??
3
、
1
2
12??
、
3??
4
4
3??
．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
试题解析
/
2．C
【解析】分别根据二次根式的加减及乘除法则进行计算即可．
解：A．2
2
+
2
=3
2
，故本选项错误；
B．
6
与
3
不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C．
2
+
8
=3
2
，故本选项正确；
D．
9
?
3
=3?
3
，故本选项错误．
故选C．
3．C
【解析】把各二次根式化简，然后根据能合并的是同类二次根式进行判断即可．
解：①
12
=2
3
；②
3
2
=3；③
2
3
=
6
3
；④
27
=3
3
；
所以，能与
3
合并的是①和④． 故选：C．
4．D
【解析】根据二次根式有加法运算法则进行逐一判断即可.
解:A选项不是同类二次根式不能合并,故A错;B选项中合并之后应为2
2
,故B错
C选项中不是二次根式不能合并,故C错.而D选项中
8
+
18
=2
2
+2
2
=5
2
,故D正确,
故选D.
5．A
【解析】由题意可得AB=
2
﹣1，由对称的性质可得AB=AC=
2
﹣1，1﹣（
2
﹣1）=2﹣
2
即为点C表示的数．
解：AB=
2
﹣1，
AB=AC=
2
﹣1，
1﹣（
2
﹣1）=2﹣
2
．
故选A．
6．2
2
【解析】原式各项化简后，合并即可得到结果．
解：原式=3
2
-
2
=2
2
，
故答案为：2
2
7．9
【解析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解.
解：根据题意可得：x＋1＝10，解得：x＝9，故答案为9.
8．8或18
【解析】根据同类二次根式的定义可知，将
??
化简为最简二次根式后，如果根式部分与
2
相同，则??为所求.
解：∵
??
与
2
是同类二次根式，28
=2
2
，
18
=3
2
，
∴??=8或??=18，
故答案为：8或18.
9．6
2
+2
3
【解析】三角形的周长等于三边之和，即
8
+
12
+
18
，化简再合并同类二次根式．
解：
8
+
12
+
18
=2
2
+2
3
+3
2
=5
2
+2
3
（cm）.
10．（1）；（2）
【解析】（1）直接将被开方数相同的二次方根合并即可；
（2）先考虑绝对值里边式子的正负，然后利用绝对值的代数意义化简，去括号合并后即可得到结果.
解：（1）原式 ；
（2）原式=
11．17
5
【解析】先分别化简每一个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入数值进行计算即可.
解：原式=
2
3
x?3
x
-x2?
x
x
+6x?
2
x
x
=2x?
x
-x?
x
+12
x
=（2x-x+12）?
x
=(12+x)
x
，
当x=5时，原式=(12+5)×
5
=17
5
.
12．（1）
5
2
3??
；（2）x=12时，C=15.
【解析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
解：
1
3
??
3
+
1
2
12??
+
3??
4
4
3??
=3×
3??
3
+
1
2
×2
3??
+
3??
4
?
2
3??
3??
,
=
3??
+
3??
+
1
2
3??
=
5
2
3??
.
2
根式内取偶数的完全平方数，如3??=36时，??=12,此时三角形的周长C=15.
/
课件21张PPT。二次根式的加法和减法（1）数学湘教版 八年级上新知导入1、什么是同类项 ? 怎样合并同类项？所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.2、合并下列各式的同类项:解：注意：①根据分配律把同类项的系数相加；
②字母部分保持不变.新知讲解做一做：你能仿照合并同类项的方法，完成下面的计算吗？解：新知讲解 思考：如图所示，是由面积分别为8 和18 的正方形ABCD和正方形CEGH拼成．求BE的长.数量关系：BE=BC+CE如何求BE 的长？解：(化成最简二次根式)(分配律)答：BE的长为新知讲解 想一想：观察下面的计算过程，你能说一说二次根式的加减法是如何进行计算吗？(分配律)(化成最简二次根式) 在进行二次根式的加减运算时，通常应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，但被开方数不变.新知讲解几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式判断同类二次根式的条件：
（1）化成最简二次根式；
（2）被开方数相同新知讲解例1：计算.解：新知讲解练习1：计算：解：二次根式加减运算的步骤：
(1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项．
注意：整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用．新知讲解新知讲解 例2：如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2. 求圆环的宽度d（π取3.14）. 解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，
由S1＝πR2， S2＝πr2，可知 答：圆环的宽度d为新知讲解课堂练习BC课堂练习3. 计算： 课堂练习课堂练习拓展提高课堂总结1、二次根式加减的步骤是什么？2、二次根式加减的运算依据是什么？ 首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.实数的运算满足乘法对加法的分配律．板书设计
课题：5.3二次根式的加法和减法（1）??
教师板演区?
学生展示区1、二次根式的加减法
2、依据：分配律基础作业
教材第172页习题5.3A组第1、2题
能力作业
教材第172页习题5.3B组第5题
作业布置
