专题六 万有引力（原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
万有引力定律及其应用
Ⅱ
考查热点：万有引力定律、天体或卫星的运动。天体质量、密度的计算、卫星运动的各物理量间的比较、卫星的发射与变轨问题
?命题方式：选择题、计算题(与其他知识相结合)。
?复习策略：复习天体的运动时，可从两方面展开：F万＝F向和mg＝F万。
环绕速度
Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度
Ⅰ
经典时空观和相对论时空观
Ⅰ
一、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．公式
F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫万有引力常量。
3．适用条件
公式适用于质点间的相互作用。
(1)当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
二、万有引力定律的应用及三种宇宙速度
1．万有引力定律的基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
(2)基本公式
G＝mgr＝ma＝
其中gr为距天体中心r处的重力加速度。
2.三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s ,是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．第一宇宙速度又叫环绕速度．
说明：“环绕速度”与“发射速度”不同．卫星环绕地球运动时所需的向心力等于地球对卫星的万有引力，即：
（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的脱离速度．第二宇宙速度又叫脱离速度．
（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的逃逸速度．第三宇宙速度又叫逃逸速度．
三、地球的卫星
1．地球同步卫星的特点——六个一定
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)速率一定：运动速度v＝≈3.07 km/s(为恒量)。
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
2．极地卫星和近地卫星及同步卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
(4)地球同步卫星：它是相对地面静止的卫星，其运行周期为24h，它只能定位于赤道正上方．
一、天体质量和密度的估算
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R
G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝。
2．通过卫星做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
(1)由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝。
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度。
二、两类问题
1、天体的运动
(1)万有引力提供向心力，＝
2、星球表面的问题
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
三．卫星变轨问题
(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。
(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。
四、赤道表面的物体、近地卫星、同步卫星三者比较
比较内容
赤道表面的物体
近地卫星
同步卫星
向心力来源
万有引力的分力
万有引力
向心力方向
指向地心
重力与万有引力的关系
重力略小于万有引力
重力等于万有引力
线速度
v1＝ω1R
v2＝
v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度
角速度
ω1＝ω自
ω2＝
ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度
a1＝ωR
a2＝ωR＝
a3＝ω(R＋h)＝
a1＜a3＜a2
考点一、天体质量和密度的估算
【典例1】[多选]2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则( )
A．高景一号卫星的质量为
B．高景一号卫星的角速度为
C．高景一号卫星的线速度大小为2π
D．地球的质量为
【思路点拔】利用天体的运动的处理方法：万有引力提供向心力
【解析】高景一号卫星的质量不可求，选项A错误；由题意知，卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度ω＝，选项B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动线速度的大小v＝，选项C错误；由v＝ωr得r＝，该卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mω2r，解得地球的质量M＝，选项D正确。
【答案】BD
【规律方法】(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
考点二、天体的运动
【典例2】“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍。下列说法正确的是( )
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7
【思路点拔】
【解析】根据G＝mr，可得T＝2π，代入数据，A正确；根据G＝m，可得v＝ ，代入数据，B错误；根据G＝mω2r，可得ω＝ ，代入数据，C错误；根据G＝ma，可得a＝，代入数据，D错误。
【答案】A
【规律方法】天体的运动的处理方法万有引力提供向心力，
＝
考点三、天体表面重力加速度与抛体运动的综合
【典例3】据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取g＝10 m/s2)( )
A．5∶2 B．2∶5
C．1∶10 D．10∶1
【思路点拔】由星球表面问题处理方法得到g的表达式，写出平均密度的表达式
【解析】 根据h＝和g＝可得，M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。
【答案】D
【规律方法】星球表面的问题的处理方法
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
考点四、变轨问题
【典例4】[多选]发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率
D．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度
【思路点拔】掌握离心运动及向心运动的条件，从而分析出速度变化半径变化的情况。
【解析】由G＝m得v＝ 可知，A错误；由G＝mω2r得ω＝ 可知，B正确；卫星在轨道1上经过Q点经过加速才能做离心运动沿轨道2运动，C错误；由万有引力定律和牛顿第二定律知，D正确。
【答案】BD
【规律方法】(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。
(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。
考点五、双星问题
【典例5】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A. T B. T C. T D. T
【思路点拔】
【解析】设两颗双星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可得G＝m1r1，G＝m2r2，联立解得m1＋m2＝，即T2＝，因此，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时，两星圆周运动的周期为T′＝ T，B正确，A、C、D错误。
【答案】B
【规律方法】要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得，对M1 有G ＝ M1 ＝ M1 ωr1 ，对M2 有G ＝ M2 ＝ M2 ωr2 。在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成两子星做圆周运动的轨道半径。
1．关于万有引力定律，下列说法正确的是( )
A．牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值
B．万有引力定律只适用于天体之间
C．万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的
2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
3． 如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
4. [多选]目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
5．宇航员站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为( )
A． B．
C． D．
6．[多选]通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
7．“嫦娥五号”探测器预计在2018年发射升空，自动完成月面样品采集后从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为( )
地球和月球的半径之比
4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
6
A． B．
C．4 D．6
8．[多选]我国成功发射了“神舟十号”载人飞船，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．飞船的运行速度小于地球的第一宇宙速度
B．若知道飞船运动的周期和轨道半径，再利用万有引力常量，就可算出地球的质量
C．若宇航员从船舱中慢慢“走”出并离开飞船，飞船速率将减小
D．若有两个这样的飞船在同一轨道上，相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行，只要后一飞船向后喷气加速，则两飞船一定能实现对接
9. [多选]如图2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
10.如图所示，A、B是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，不计A、B两卫星之间的引力，则A、B两卫星的周期之比为( )
A．k3 B．k2
C．k D．k
11．[多选]欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它在近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )
A．ma B．m
C．m(R＋h)ω2 D．m
12．[多选])由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为
D．地球的密度为
13.开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：
(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
14．如图5所示，一位宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一斜坡上的A点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点B，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的第一宇宙速度。
专题六 万有引力（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
万有引力定律及其应用
Ⅱ
考查热点：万有引力定律、天体或卫星的运动。天体质量、密度的计算、卫星运动的各物理量间的比较、卫星的发射与变轨问题
?命题方式：选择题、计算题(与其他知识相结合)。
?复习策略：复习天体的运动时，可从两方面展开：F万＝F向和mg＝F万。
环绕速度
Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度
Ⅰ
经典时空观和相对论时空观
Ⅰ
一、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．公式
F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫万有引力常量。
3．适用条件
公式适用于质点间的相互作用。
(1)当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。
二、万有引力定律的应用及三种宇宙速度
1．万有引力定律的基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
(2)基本公式
G＝mgr＝ma＝
其中gr为距天体中心r处的重力加速度。
2.三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s ,是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．第一宇宙速度又叫环绕速度．
说明：“环绕速度”与“发射速度”不同．卫星环绕地球运动时所需的向心力等于地球对卫星的万有引力，即：
（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的脱离速度．第二宇宙速度又叫脱离速度．
（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的逃逸速度．第三宇宙速度又叫逃逸速度．
三、地球的卫星
1．地球同步卫星的特点——六个一定
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)速率一定：运动速度v＝≈3.07 km/s(为恒量)。
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
2．极地卫星和近地卫星及同步卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
(4)地球同步卫星：它是相对地面静止的卫星，其运行周期为24h，它只能定位于赤道正上方．
一、天体质量和密度的估算
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R
G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝。
2．通过卫星做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
(1)由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝。
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度。
二、两类问题
1、天体的运动
(1)万有引力提供向心力，＝
2、星球表面的问题
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
三．卫星变轨问题
(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。
(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。
四、赤道表面的物体、近地卫星、同步卫星三者比较
比较内容
赤道表面的物体
近地卫星
同步卫星
向心力来源
万有引力的分力
万有引力
向心力方向
指向地心
重力与万有引力的关系
重力略小于万有引力
重力等于万有引力
线速度
v1＝ω1R
v2＝
v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度
角速度
ω1＝ω自
ω2＝
ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度
a1＝ωR
a2＝ωR＝
a3＝ω(R＋h)＝
a1＜a3＜a2
考点一、天体质量和密度的估算
【典例1】[多选]2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则( )
A．高景一号卫星的质量为
B．高景一号卫星的角速度为
C．高景一号卫星的线速度大小为2π
D．地球的质量为
【思路点拔】利用天体的运动的处理方法：万有引力提供向心力
【解析】高景一号卫星的质量不可求，选项A错误；由题意知，卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度ω＝，选项B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动线速度的大小v＝，选项C错误；由v＝ωr得r＝，该卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mω2r，解得地球的质量M＝，选项D正确。
【答案】BD
【规律方法】(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
考点二、天体的运动
【典例2】“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍。下列说法正确的是( )
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7
【思路点拔】
【解析】根据G＝mr，可得T＝2π，代入数据，A正确；根据G＝m，可得v＝ ，代入数据，B错误；根据G＝mω2r，可得ω＝ ，代入数据，C错误；根据G＝ma，可得a＝，代入数据，D错误。
【答案】A
【规律方法】天体的运动的处理方法万有引力提供向心力，
＝
考点三、天体表面重力加速度与抛体运动的综合
【典例3】据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取g＝10 m/s2)( )
A．5∶2 B．2∶5
C．1∶10 D．10∶1
【思路点拔】由星球表面问题处理方法得到g的表达式，写出平均密度的表达式
【解析】 根据h＝和g＝可得，M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。
【答案】D
【规律方法】星球表面的问题的处理方法
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
考点四、变轨问题
【典例4】[多选]发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率
D．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度
【思路点拔】掌握离心运动及向心运动的条件，从而分析出速度变化半径变化的情况。
【解析】由G＝m得v＝ 可知，A错误；由G＝mω2r得ω＝ 可知，B正确；卫星在轨道1上经过Q点经过加速才能做离心运动沿轨道2运动，C错误；由万有引力定律和牛顿第二定律知，D正确。
【答案】BD
【规律方法】(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。
(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。
考点五、双星问题
【典例5】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A. T B. T C. T D. T
【思路点拔】
【解析】设两颗双星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可得G＝m1r1，G＝m2r2，联立解得m1＋m2＝，即T2＝，因此，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时，两星圆周运动的周期为T′＝ T，B正确，A、C、D错误。
【答案】B
【规律方法】要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得，对M1 有G ＝ M1 ＝ M1 ωr1 ，对M2 有G ＝ M2 ＝ M2 ωr2 。在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成两子星做圆周运动的轨道半径。
1．关于万有引力定律，下列说法正确的是( )
A．牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值
B．万有引力定律只适用于天体之间
C．万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的
【解析】牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量的数值，万有引力定律适用于任何物体之间，万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律，选项A、B错误，C正确；地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不相同的，选项D错误。
【答案】C
2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
【解析】天体表面的物体所受重力mg＝，又知ρ＝，所以M＝，故 ＝3＝64。D正确。
【答案】D
3． 如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
【解析】甲、乙两卫星分别绕质量分别为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛顿第二定律得G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π ，ω＝ ，v＝ 。由于M甲＜M乙，所以a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，A正确。
【答案】A
4. [多选]目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
【解析】当卫星在轨道半径变小的过程中，地球引力和气体阻力夹角为钝角，合力做正功，动能增大，轨道半径越小，在轨道上运行的速度越大，A错误；地球对卫星的引力做功，引力势能一定减小，B正确；气体阻力对卫星做负功，机械能减小，C错误；卫星克服阻力做的功与动能的增加量之和等于引力势能的减小量，D正确。
【答案】BD
5．宇航员站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为( )
A． B．
C． D．
【解析】设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，h＝gt2。设该星球的质量为M，在星球表面有 mg＝。由以上两式得，该星球的质量为M＝，A正确。
【答案】A
6．[多选]通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
【解析】根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力，则有＝m，整理可得M＝，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则由＝m2r，整理得M＝，故选项D正确。
【答案】AD
7．“嫦娥五号”探测器预计在2018年发射升空，自动完成月面样品采集后从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为( )
地球和月球的半径之比
4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
6
A． B．
C．4 D．6
【解析】在地球表面，重力等于万有引力，故mg＝G，解得M＝，故地球的密度ρ＝＝＝。同理，月球的密度ρ0＝。故地球和月球的密度之比＝＝，B正确。
【答案】B
8．[多选]我国成功发射了“神舟十号”载人飞船，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．飞船的运行速度小于地球的第一宇宙速度
B．若知道飞船运动的周期和轨道半径，再利用万有引力常量，就可算出地球的质量
C．若宇航员从船舱中慢慢“走”出并离开飞船，飞船速率将减小
D．若有两个这样的飞船在同一轨道上，相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行，只要后一飞船向后喷气加速，则两飞船一定能实现对接
【解析】根据G＝m，得v＝ ，飞船的轨道半径r大于地球半径R，所以飞船的运行速度小于地球的第一宇宙速度，A正确；根据G＝mr，若知道飞船运动的周期和轨道半径，再利用万有引力常量，就可算出地球的质量，B正确；若宇航员从船舱中慢慢“走”出并离开飞船，飞船速率仍为v＝ ，是不变的，C错误；若有两个这样的飞船在同一轨道上，相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行，如果后一飞船向后喷气加速，会偏离原来的轨道，无法实现对接，D错误。
【答案】AB
9. [多选]如图2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
【解析】地球对一颗卫星的引力，利用万有引力公式计算，两个质点间的距离为r，地球与一颗卫星间的引力大小为，A错误，B正确；由几何知识可得，两颗卫星之间的距离为r，两颗卫星之间利用万有引力定律可得引力大小为，C正确；三颗卫星对地球引力的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两个力夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于零，D错误。
【答案】BC
10.如图所示，A、B是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，不计A、B两卫星之间的引力，则A、B两卫星的周期之比为( )
A．k3 B．k2
C．k D．k
【解析】设卫星绕地球做圆周运动的半径为r，周期为T，则在t时间内与地心连线扫过的面积为S＝πr2，即＝＝k，根据开普勒第三定律可知＝，联立解得＝k3，A正确。
【答案】A
11．[多选]欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它在近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )
A．ma B．m
C．m(R＋h)ω2 D．m
【解析】“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得F＝ma，A正确；由万有引力定律得F＝G，又在月球表面上，G＝mg，解得F＝m，B正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R＋h，C、D错误。
【答案】AB
12．[多选])由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为
D．地球的密度为
【解析】因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，选项A错误；因在地球的两极G＝mg0，则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F＝G＝mg0，选项B正确；在赤道上：G－mg＝mR；联立解得：R＝，选项C正确；地球的密度为ρ＝，联立解得：ρ＝，选项D正确。
【答案】BCD
13.开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：
(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
【解析】(1)由万有引力充当向心力：＝m2r，
解得M＝
月球的密度：ρ＝，解得ρ＝。
(2)椭圆轨道的半长轴：a＝，
设椭圆轨道上运行周期为T1，
由开普勒第三定律有：＝，
在轨道Ⅱ上运行的时间为t＝，
解得t＝ 。
【答案】(1) (2)
14．如图5所示，一位宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一斜坡上的A点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点B，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的第一宇宙速度。
【解析】(1)设该星球表面的重力加速度为g，A、B两点之间的距离为L，则根据平抛运动规律有，
水平方向上有x＝Lcos α＝v0t
竖直方向上有y＝Lsin α＝gt2
解得g＝
(2)设该星球质量为M，其第一宇宙速度为v，对绕该星球表面运行的质量为m′的卫星，由万有引力定律得
＝m′g
又由万有引力定律和牛顿第二定律有
