专题四 曲线运动 （原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
1.运动的合成与分解
Ⅱ
考查热点：平抛运动、运动的合成与分解?
命题方式：选择题、计算题(与其他知识相结合)。
复习策略：熟练掌握抛体运动的分析方法——运动的合成与分解，注意遵循“化曲为直”的思想。
2．抛体运动
Ⅱ
一、曲线运动
1．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
二、运动的合成与分解
1．基本概念
分运动合运动(物体实际的运动)
2．分解原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
(1)如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为代数运算。
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4-1-1所示。
图4-1-1
(3)两个分运动垂直时的合成满足：
a合＝，x合＝，v合＝
三、平抛运动
1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．
2．运动的性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，它的轨迹是一条抛物线．
3．处理方法：可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
4．做平抛运动的物体在空中飞行的时间由竖直高度决定．产生的水平距离由竖直高度和初速度决定．
5．平抛运动的规律
设平抛运动的初速度为，建立坐标系如下图
速度：水平方向
竖直方向
合速度的大小
合速度的方向
位移：水平方向
竖直方向
合位移的方向
说明：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tamα.做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过从水平抛出到该时刻物体水平位移的中点．
一 运动的合成与分解问题
1．合运动与分运动的关系
关系
理解
等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等
独立性
一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹由它们共同决定
同一性
各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
3．合运动的性质和轨迹的判断
1)合运动性质的判断
(1)判断方法：若加速度与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
2)合运动的轨迹的判断
(1)判断方法：无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向曲线的凹侧。
二 绳(杆)端速度分解问题
1、绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度是大小相等的。
2、解题思路
常见模型
三、渡河问题
1．过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．
2．船沿垂直河岸方向横渡，即v合垂直河岸，过河位移最小．
3．要求到达上游确定的某处，应使船的合运动指向该处．
说明（1）要求渡船沿着河中确定的航线运动时，有两种处理方法：一是使船的合速度沿着该航线；二是使垂直该航线两侧的分速度互相抵消．
（2）在渡河问题中，当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当船速v＞水速u时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽．如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸．此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法．如图5-1-8所示，以水速u矢量的末端为圆心，以船速v矢量的大小为半径作一圆，然后过出发点A作这个圆的切线AE，这就是合速度的方向．AE线就是位移最短的航线．这时航向与河岸的夹角
过河时间和航程分别为
四 平抛运动规律的应用
1．关于平抛运动必须掌握的三个问题
物理量
相关分析
飞行时间(t)
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 (x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝ ，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
2.平抛运动的两个重要推论
(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。
(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
五、类平抛运动
在具体的物理情景中，常把复杂的曲线运动，分解成几个简单的直线运动来处理．用类似平抛运动的解决方法解决问题，例如带电粒子在电场中的偏转运动等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系：
1．等时性：合运动与分运动经历的时间相等．即同时开始，同时进行，同时停止．
2．独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响．
3．等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
六 斜抛运动问题的求解
1．斜抛运动的特点
斜抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
2．斜抛运动的研究方法
(1)初速度的分解：如图4-2-9所示，把v0沿x、y方向分解在xOy直角坐标系上，有v0x ＝v0cos θ，v0y＝ v0sin θ。
(2)运动的分解
①水平x方向上物体不受力的作用，故水平方向以初速度v0x做匀速直线运动；
②竖直y方向上物体受竖直向下重力G作用，又有一竖直向上的初速度v0y，故物体做竖直上抛运动(初速度v0y竖直向上、a＝－g的匀变速直线运动)。
考点一、绳(杆)端速度分解问题
[典例1] 如图4-1-7所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度vA沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则图4-1-8的v -t图象中，最接近物体B的运动情况的是( )
图4-1-8
【思路点拔】(1)根据物体A下落速度的效果分解A的速度。
(2)根据连接A、B绳长的度不变，分析B的速度与A的分速度的关系。
[解析] 如图所示，与物体A相连的绳端速度vA(vA＝v)分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vAsin θ，在t＝0时刻θ＝0，vB＝0，C、D错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，A正确，B错误。
[答案] A
【规律方法】
绳(杆)端速度分解的基本步骤
考点二、渡河问题
[典例2] 小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
(1)水流的速度；
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
【思路点拔】过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．
[解析] (1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。
由x＝v2t1得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s。
(2)船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示。
v2＝v1cos α
d＝v1sin α·t2
由图甲可得d＝v1t1
联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m。
[答案] (1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
【规律方法】(1)船的航行方向即船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
(3)船沿河岸方向的速度为船在静水中的速度沿河岸方向的分速度与水流速度的合速度，而船头垂直于河岸方向时，船沿河岸方向的速度等于水流速度。
考点三、斜面上的平抛运动问题
[典题3] 滑雪比赛惊险刺激，如图4-2-12所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出①，经过t＝3.0 s落到斜坡上②的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg。不计空气阻力③，运动员视为质点(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g＝10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离④L；
(2)运动员离开O点时的速度⑤大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远⑥所用的时间t1。
[审题·破题]
审题
破题
①
③
此时运动员的速度方向水平，只受重力作用，以后运动员做平抛运动
②
位移与水平方向的夹角为θ
④
⑤
平抛运动的合位移，平抛运动的初速度，利用平抛运动规律求解
⑥
当速度平行于斜坡向下时，距离最远
[答题] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，则
Lsin 37°＝gt2(3分)
解得L＝＝75 m(2分)
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，则 Lcos 37°＝v0t(3分)
解得v0＝＝20 m/s(2分)
(3)当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向向下成37°时，运动员与斜坡距离最远，则＝tan 37°(3分)
解得t1＝1.5 s(2分)
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
【规律方法】斜面上的平抛常见的两类问题
（1）顺着斜面平抛并打到斜面上，如图4-2-13所示。
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
（2）对着斜面平抛，如图4-2-14所示。
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
考点四、类平抛运动
[典例4] 如图6-3-9所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏。现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O。试求：
(1)粒子从射入到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打到屏上的点P到O点的距离x。
[思路探究]
(1)粒子在电场中做类平抛运动，射出电场后做匀速直线运动。
(2)利用类平抛运动规律、牛顿运动定律和几何知识可求α和x的大小。
[解析] (1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入到打到屏上所用的时间t＝
(2)粒子在电场的运动情况如图所示。
设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy，由牛顿第二定律得粒子在电场中的加速度为a＝
所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝＝
(3)如(2)中图所示，设粒子在电场中的偏转距离为y，则
y＝a2＝
又x＝y＋Ltan α
解得x＝
[答案] (1) (2) (3)
【规律方法】
带电粒子在电场中运动问题的求解思路
在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，
(1)确定最终偏移距离
(2)确定偏转后的动能(或速度)
考点五、斜抛运动问题的求解
[典例5] [多选](2013·江苏高考)如图4-2-10所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B落地时的速度比A落地时的大
【思路点拔】(1)抛体运动都是只受到重力作用，是加速度相等的匀变速运动。
(2)抛体运动的处理方法是将运动分解为水平和竖直两个方向。
(3)斜抛运动在最高点的速度为抛出初速度的水平分速度。
[解析] A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度比A球大，C、D正确。
[答案] CD
【规律方法】
平抛运动和斜抛运动的相同点
(1)都只受到重力作用，加速度相同，相等时间内速度的变化量相同。
(2)都是匀变速曲线运动，轨迹都是抛物线。
(3)都采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题。
1．关于两个运动的合成，下列说法正确的是( )
A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动
B．方向不共线的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动
C．小船渡河的运动中，小船的对地速度一定大于水流速度
D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短
2.[多选]一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( )
A．质点沿x轴方向可能做匀速运动
B．质点沿y轴方向可能做变速运动
C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速
D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速
3.如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与竖直方向的夹角为60°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。质点运动到A点与质点运动到B的时间之比是( )
A. B.
C. D．条件不够，无法求出
4、如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va、vb、vc和运动的时间ta、tb、tc的关系分别是( )
A．va>vb>vc ta>tb>tc B．vaC．vatb>tc D．va>vb>vc ta5、如图，斜面AC与水平方向的夹角为α，在A点正上方与C等高处水平抛出一小球，其速度垂直于斜面落到D点，则CD与DA的比为( )
A. B.
C. D.
6．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是( )
A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线
B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线
C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动
D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动
7.[多选]甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是( )
A．乙船先到达对岸
B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L
8.[多选]如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程中下列说法正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后减小
9．[多选](2018·潍坊期中)如图所示，从水平地面上a、b两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平方向所成角度分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在ab连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体速度均沿水平方向，不计空气阻力。则( )
A．v1＞v2 B．v1＝v2
C．Oa＞Ob D．Oa＜Ob
10．[多选]如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，最后落在斜面上。其中有三次的落点分别是a、b、c，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A．落点b、c比较，小球落在c点的飞行时间短
B．小球落在a点和b点的飞行时间均与初速度v0成正比
C．三个落点比较，小球落在c点，飞行过程中速度变化最快
D．三个落点比较，小球落在c点，飞行过程中速度变化最大
11.[多选]在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc表面为球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，把此球以大小不同的初速度v0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
12、据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
A. B.
C. D.
13、如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)抛出点O离斜面底端的高度；
(2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
14．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：
(1)小球在M点的速度v1；
(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
(3)小球到达N点的速度v2的大小。
15、用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动，一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像，若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则O、P间的距离s是多少？(保留两位有效数字)
专题四 曲线运动 （解析版）
考点
要求
考点解读及预测
1.运动的合成与分解
Ⅱ
考查热点：平抛运动、运动的合成与分解?
命题方式：选择题、计算题(与其他知识相结合)。
复习策略：熟练掌握抛体运动的分析方法——运动的合成与分解，注意遵循“化曲为直”的思想。
2．抛体运动
Ⅱ
一、曲线运动
1．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
二、运动的合成与分解
1．基本概念
分运动合运动(物体实际的运动)
2．分解原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
(1)如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为代数运算。
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4-1-1所示。
图4-1-1
(3)两个分运动垂直时的合成满足：
a合＝，x合＝，v合＝
三、平抛运动
1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．
2．运动的性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，它的轨迹是一条抛物线．
3．处理方法：可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
4．做平抛运动的物体在空中飞行的时间由竖直高度决定．产生的水平距离由竖直高度和初速度决定．
5．平抛运动的规律
设平抛运动的初速度为，建立坐标系如下图
速度：水平方向
竖直方向
合速度的大小
合速度的方向
位移：水平方向
竖直方向
合位移的方向
说明：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tamα.做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过从水平抛出到该时刻物体水平位移的中点．
一 运动的合成与分解问题
1．合运动与分运动的关系
关系
理解
等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等
独立性
一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹由它们共同决定
同一性
各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
3．合运动的性质和轨迹的判断
1)合运动性质的判断
(1)判断方法：若加速度与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
2)合运动的轨迹的判断
(1)判断方法：无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向曲线的凹侧。
二 绳(杆)端速度分解问题
1、绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度是大小相等的。
2、解题思路
常见模型
三、渡河问题
1．过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．
2．船沿垂直河岸方向横渡，即v合垂直河岸，过河位移最小．
3．要求到达上游确定的某处，应使船的合运动指向该处．
说明（1）要求渡船沿着河中确定的航线运动时，有两种处理方法：一是使船的合速度沿着该航线；二是使垂直该航线两侧的分速度互相抵消．
（2）在渡河问题中，当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当船速v＞水速u时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽．如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸．此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法．如图5-1-8所示，以水速u矢量的末端为圆心，以船速v矢量的大小为半径作一圆，然后过出发点A作这个圆的切线AE，这就是合速度的方向．AE线就是位移最短的航线．这时航向与河岸的夹角
过河时间和航程分别为
四 平抛运动规律的应用
1．关于平抛运动必须掌握的三个问题
物理量
相关分析
飞行时间(t)
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 (x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝ ，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
2.平抛运动的两个重要推论
(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。
(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
五、类平抛运动
在具体的物理情景中，常把复杂的曲线运动，分解成几个简单的直线运动来处理．用类似平抛运动的解决方法解决问题，例如带电粒子在电场中的偏转运动等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系：
1．等时性：合运动与分运动经历的时间相等．即同时开始，同时进行，同时停止．
2．独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响．
3．等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
六 斜抛运动问题的求解
1．斜抛运动的特点
斜抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
2．斜抛运动的研究方法
(1)初速度的分解：如图4-2-9所示，把v0沿x、y方向分解在xOy直角坐标系上，有v0x ＝v0cos θ，v0y＝ v0sin θ。
(2)运动的分解
①水平x方向上物体不受力的作用，故水平方向以初速度v0x做匀速直线运动；
②竖直y方向上物体受竖直向下重力G作用，又有一竖直向上的初速度v0y，故物体做竖直上抛运动(初速度v0y竖直向上、a＝－g的匀变速直线运动)。
考点一、绳(杆)端速度分解问题
[典例1] 如图4-1-7所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度vA沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则图4-1-8的v -t图象中，最接近物体B的运动情况的是( )
图4-1-8
【思路点拔】(1)根据物体A下落速度的效果分解A的速度。
(2)根据连接A、B绳长的度不变，分析B的速度与A的分速度的关系。
[解析] 如图所示，与物体A相连的绳端速度vA(vA＝v)分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vAsin θ，在t＝0时刻θ＝0，vB＝0，C、D错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，A正确，B错误。
[答案] A
【规律方法】
绳(杆)端速度分解的基本步骤
考点二、渡河问题
[典例2] 小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
(1)水流的速度；
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
【思路点拔】过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．
[解析] (1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。
由x＝v2t1得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s。
(2)船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示。
v2＝v1cos α
d＝v1sin α·t2
由图甲可得d＝v1t1
联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m。
[答案] (1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
【规律方法】(1)船的航行方向即船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
(3)船沿河岸方向的速度为船在静水中的速度沿河岸方向的分速度与水流速度的合速度，而船头垂直于河岸方向时，船沿河岸方向的速度等于水流速度。
考点三、斜面上的平抛运动问题
[典题3] 滑雪比赛惊险刺激，如图4-2-12所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出①，经过t＝3.0 s落到斜坡上②的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg。不计空气阻力③，运动员视为质点(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g＝10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离④L；
(2)运动员离开O点时的速度⑤大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远⑥所用的时间t1。
[审题·破题]
审题
破题
①
③
此时运动员的速度方向水平，只受重力作用，以后运动员做平抛运动
②
位移与水平方向的夹角为θ
④
⑤
平抛运动的合位移，平抛运动的初速度，利用平抛运动规律求解
⑥
当速度平行于斜坡向下时，距离最远
[答题] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，则
Lsin 37°＝gt2(3分)
解得L＝＝75 m(2分)
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，则 Lcos 37°＝v0t(3分)
解得v0＝＝20 m/s(2分)
(3)当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向向下成37°时，运动员与斜坡距离最远，则＝tan 37°(3分)
解得t1＝1.5 s(2分)
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
【规律方法】斜面上的平抛常见的两类问题
（1）顺着斜面平抛并打到斜面上，如图4-2-13所示。
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
（2）对着斜面平抛，如图4-2-14所示。
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
考点四、类平抛运动
[典例4] 如图6-3-9所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏。现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O。试求：
(1)粒子从射入到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打到屏上的点P到O点的距离x。
[思路探究]
(1)粒子在电场中做类平抛运动，射出电场后做匀速直线运动。
(2)利用类平抛运动规律、牛顿运动定律和几何知识可求α和x的大小。
[解析] (1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入到打到屏上所用的时间t＝
(2)粒子在电场的运动情况如图所示。
设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy，由牛顿第二定律得粒子在电场中的加速度为a＝
所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝＝
(3)如(2)中图所示，设粒子在电场中的偏转距离为y，则
y＝a2＝
又x＝y＋Ltan α
解得x＝
[答案] (1) (2) (3)
【规律方法】
带电粒子在电场中运动问题的求解思路
在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，
(1)确定最终偏移距离
(2)确定偏转后的动能(或速度)
考点五、斜抛运动问题的求解
[典例5] [多选](2013·江苏高考)如图4-2-10所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B落地时的速度比A落地时的大
【思路点拔】(1)抛体运动都是只受到重力作用，是加速度相等的匀变速运动。
(2)抛体运动的处理方法是将运动分解为水平和竖直两个方向。
(3)斜抛运动在最高点的速度为抛出初速度的水平分速度。
[解析] A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度比A球大，C、D正确。
[答案] CD
【规律方法】
平抛运动和斜抛运动的相同点
(1)都只受到重力作用，加速度相同，相等时间内速度的变化量相同。
(2)都是匀变速曲线运动，轨迹都是抛物线。
(3)都采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题。
1．关于两个运动的合成，下列说法正确的是( )
A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动
B．方向不共线的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动
C．小船渡河的运动中，小船的对地速度一定大于水流速度
D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短
【解析】两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线＋匀速直线)，也可以合成为曲线运动(匀变速直线＋匀速直线)，故选项A错误；两个分运动为匀速直线运动，没有分加速度，合运动就没有加速度，则合运动一定是匀速直线运动，则选项B正确；小船对地的速度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)、等于水速、或小于水速，故选项C错误；渡河时间由小船垂直河岸方向的速度决定，由运动的独立性知与水速的大小无关，选项D错误。
【答案】B
2.[多选]一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( )
A．质点沿x轴方向可能做匀速运动
B．质点沿y轴方向可能做变速运动
C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速
D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速
【解析】质点做曲线运动，合力大致指向轨迹凹侧，即加速度大致指向轨迹凹侧，由题图可知加速度方向指向弧内，不可能沿y轴方向，x轴方向有加速度分量，所以沿x轴方向上，质点不可能做匀速运动，y轴方向可能有加速度分量，故质点沿y轴方向可能做变速运动，A错误，B正确；质点在x轴方向先沿正方向运动，后沿负方向运动，最终在x轴方向上的位移为零，所以质点沿x轴方向不能一直加速，也不能先加速后减速，只能先减速后反向加速，C错误，D正确。
【答案】BD
3.如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与竖直方向的夹角为60°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。质点运动到A点与质点运动到B的时间之比是( )
A. B.
C. D．条件不够，无法求出
【解析】设初速度大小为v0，将A、B两点的速度分解，在A点：tan(90°－60°)＝＝，在B点：tan 45°＝＝，由以上两式可求得：＝＝，故选项B正确。
【答案】B
4、如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va、vb、vc和运动的时间ta、tb、tc的关系分别是( )
A．va>vb>vc ta>tb>tc B．vaC．vatb>tc D．va>vb>vc ta【解析】三个物体落地的高度ha>hb>hc，根据h＝gt2，知ta>tb>tc，根据xa【答案】C
5、如图，斜面AC与水平方向的夹角为α，在A点正上方与C等高处水平抛出一小球，其速度垂直于斜面落到D点，则CD与DA的比为( )
A. B.
C. D.
【解析】设小球水平方向的速度为v0，将D点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过几何关系求解，得竖直方向的末速度为v2＝，设该过程用时为t，则DA间水平距离为v0t，故DA＝；CD间竖直距离为，故CD＝，得＝，故D正确。
【答案】D
6．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是( )
A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线
B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线
C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动
D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动
【解析】0～2 s内物体沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s时受沿y轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4 s内物体做类平抛运动，C项正确。
【答案】C
7.[多选]甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是( )
A．乙船先到达对岸
B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L
【解析】将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝，故A错误；若仅是河水流速v0增大，则渡河的时间仍为t＝，两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于水流速度时，甲船才可能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在沿岸方向的分速度仍不变，两船之间的相对速度不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确。
【答案】BD
8.[多选]如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程中下列说法正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后减小
【解析】与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vT是细绳的速度，即重物M的速度。设vT与v的夹角是θ，则vT＝vcos θ，开始时θ减小，则vT增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。
【答案】CD
9．[多选](2018·潍坊期中)如图所示，从水平地面上a、b两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平方向所成角度分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在ab连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体速度均沿水平方向，不计空气阻力。则( )
A．v1＞v2 B．v1＝v2
C．Oa＞Ob D．Oa＜Ob
【解析】两物体做斜抛运动，在竖直方向减速，在水平方向匀速
对从a点抛出的物体：v1x＝v1cos 30°＝v1，
v1y＝v1sin 30°＝v1，
竖直方向通过的位移为：h＝＝
对从b点抛出的物体：v2x＝v2cos 60°＝，
v2y＝v2sin 60°＝v2，
竖直方向通过的位移为：h′＝＝。
因h＝h′，
联立解得：v1＞v2，故A正确，B错误；
由于v1x＝v1，v2x＝v2，则有从a点抛出的物体在水平方向的速度大于从b点抛出的物体在水平方向的速度，故在水平方向上，从a点抛出的物体通过的位移大于从b点抛出的物体的位移，即Oa＞Ob，故C正确，D错误。
【答案】AC
10．[多选]如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，最后落在斜面上。其中有三次的落点分别是a、b、c，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A．落点b、c比较，小球落在c点的飞行时间短
B．小球落在a点和b点的飞行时间均与初速度v0成正比
C．三个落点比较，小球落在c点，飞行过程中速度变化最快
D．三个落点比较，小球落在c点，飞行过程中速度变化最大
【解析】由平抛运动规律h＝gt2得t＝ ，可知，落点为b时，小球的竖直位移较大，故飞行时间较长，A正确；落点为a、b时，两次位移方向相同，故tan θ＝，可见飞行时间t与v0成正比，B项正确；小球在飞行过程中速度变化快慢即加速度，均为g，C项错误；小球在飞行过程中，水平方向上速度不变，速度变化Δv＝gt，由t＝ 可知，小球落在b点时速度变化最大，D项错误。
【答案】AB
11.[多选]在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc表面为球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，把此球以大小不同的初速度v0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
【解析】平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h＝gt2，得t＝。设小球落在A点时，OA与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，到达A点时竖直方向的速度为vy，则x＝v0t＝Rsin θ，y＝＝＝Rcos θ，得vy2＝2gRcos θ，v02＝，又由vt＝＝＝，所以落在球面上的小球有最小速度，当cos θ＝时，速度最小，最小速度为，故A错误，B正确；由以上的分析可知，小球下落的时间t＝＝ ，其中cos θ与小球的初速度有关，故C错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平位移的中点”结论可知，由于O点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D正确。
【答案】BD
12、据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为( )
A. B.
C. D.
【解析】战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，合速度大小为v＝＝，选项D正确。
【答案】D
13、如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)抛出点O离斜面底端的高度；
(2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
【解析】(1)设小球击中滑块时的速度为v，竖直速度为vy，如图所示，由几何关系得
＝tan 37°
设小球下落的时间为t，竖直位移为y，水平位移为x，由运动学规律得vy＝gt，y＝gt2，x＝v0t
设抛出点到斜面底端的高度为h，由几何关系得
h＝y＋xtan 37°
联立解得h＝1.7 m。
(2)设在时间t内，滑块的位移为s，由几何关系得
s＝l－
设滑块的加速度为a，由运动学公式得s＝at2
对滑块，由牛顿第二定律得mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma
联立解得μ＝0.125。
【答案】(1)1.7 m (2)0.125
14．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：
(1)小球在M点的速度v1；
(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
(3)小球到达N点的速度v2的大小。
【解析】(1)设正方形的边长为s0。
小球竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1
水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1
解得v1＝6 m/s。
(2)由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过t1到达x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)，运动轨迹及N如图。
(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s，
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，
故v2＝＝4 m/s。
【答案】(1)6 m/s (2)见解析图 (3)4 m/s
15、用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动，一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像，若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则O、P间的距离s是多少？(保留两位有效数字)
【解析】根据牛顿第二定律，在OP段有F－μmg＝ma，
又2as＝vP2，
由平抛运动规律和几何关系有
物块的水平射程x＝vPt，
物块的竖直位移y＝gt2，
由几何关系有y＝xtan θ，
联立以上各式可以得到x＝，
