27.2.1相似三角形的判定
——平行线分线段成比例
学习目标：
在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激发学习数学的兴趣．
学习重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
学习难点：平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
具体过程：
一、新知引入
什么是相似多边形？
生：
多媒体展示：
如图，在△ABC和△A1B1C1中，
如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
.
这样的两个三角形有什么关系呢？
生：
对，两个三角形相似记作△ABC∽△A1B1C1，“∽”读作“相似于”．
上面的两个三角形的相似比为k，假如k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
生：当k＝1时，
二、新知讲解
知识点1 相似三角形
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我们称为相似三角形.
两个相似三角形用______________表示，读做“_______________”.
如△A1B1C1与△ABC相似,记作“△ A1B1C1 ∽△ABC”
①∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
②（其中k叫做__________）
符号语言：∵①②∴__________________（注意：对应顶点写在对应位置.）
小试牛刀：
如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，指出对应边、对应角， 并求出相似比．
知识点2 平行线分线段成比例的基本事实
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与DE：EF相等吗？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗？
猜想：
如果=，那么=？
如果=，那么=？
由此可以得出：_______
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
当l3∥l4∥l5时，总有＝，＝，＝等
想一想：通过探究，你得到了什么规律呢？
●归纳：我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段_________．
几何语言：∵ l3//l4//l5 ∴____________________
例题讲解：
例1如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
●总结：
巩固练习
1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( )
A.AB:AD ＝1:2 B．AE:EC＝1:2
C.AD:EC＝1:2 D．DE:BC＝1:2
(1)题 （2）题 (3题)
2.如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，________ .
3.如图，在△ABC中，DE||BC.求 的值；
知识点3 平行线分线段成比例的基本事实的推论
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？
图(1)中把l4看成平行于△ABC的边BC的直线，图(2)中把l3看成平行于△ABC的边BC的直线：
根据理解做出图形：
●归纳：平行线分线段成比例的基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的线段成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
∴
例题讲解：
例2 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
●总结：
应用提高
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
2 如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。
3.如图，在⊿ABC中，DE||BC,S⊿BCD:S⊿ABC=1：4，若AC=2，求EC的长度
4 如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：
三、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
四、布置作业
教材31页练习1、2题
当堂测评
1、如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2、如图27－2－12，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶DB＝5∶3，FC＝6，则DE的长为( )
图27－2－12
A．6 B．8 C．10 D．12
3、如图27－2－13，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是( )
图27－2－13
A. B．1 C． D．
4、如图，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，则AE∶AC＝________．
5、如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
6、如图27－2－15，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，求EF.
图27－2－15
27.2.1相似三角形的判定
——平行线分线段成比例
教学目标：
在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激发学习数学的兴趣．
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
教学难点：平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
教学过程：
一、新知引入
师：什么是相似多边形？
生：
教师用多媒体展示：
如图，在△ABC和△A1B1C1中，
如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
.
师：这样的两个三角形有什么关系呢？
生：△ABC和△A1B1C1相似．
师：对，两个三角形相似记作△ABC∽△A1B1C1，“∽”读作“相似于”．
师：上面的两个三角形的相似比为k，假如k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
生：当k＝1时，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，△ABC≌△A1B1C1.
师：所以全等是相似的特殊情况．
师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题．
二、新知讲解
知识点1 相似三角形
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我们称为相似三角形.
两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
如△A1B1C1与△ABC相似,记作“△ A1B1C1 ∽△ABC”
①∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
②（其中k叫做相似比）
符号语言：∵①②∴△ABC∽△A1B1C1
（注意：对应顶点写在对应位置.）
小试牛刀：
如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，指出对应边、对应角， 并求出相似比．
知识点2 平行线分线段成比例的基本事实
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与DE：EF相等吗？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗？
猜想：
如果=，那么=？
如果=，那么=？
由此可以得出：_______(=)
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
当l3∥l4∥l5时，总有＝，＝，＝等
想一想：通过探究，你得到了什么规律呢？
(引导学生按要求画图，测量．操作后，讨论．最后得出结论）
●归纳：我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
几何语言：∵ l3//l4//l5 ∴＝
例题讲解：
例1如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
●总结：(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上．
(2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性．若当△ABC∽△A′B′C′时，则△A′B′C′∽△ABC时，
巩固练习
1.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( )
A.AB:AD ＝1:2 B．AE:EC＝1:2
C.AD:EC＝1:2 D．DE:BC＝1:2
(1)题 （2）题 (3题)
2.如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，________ .
3.如图，在△ABC中，DE||BC.求 的值；
知识点3 平行线分线段成比例的基本事实的推论
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？
图(1)中把l4看成平行于△ABC的边BC的直线，图(2)中把l3看成平行于△ABC的边BC的直线：
引导学生思考、画图
●归纳：平行线分线段成比例的基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
∴
例题讲解：
例2 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
●总结：本题是证明等积式的典型题.要证明经常要把它转化为两个等式：我们通常把叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式.
应用提高
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
2 如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。
3.如图，在⊿ABC中，DE||BC,S⊿BCD:S⊿ABC=1：4，若AC=2，求EC的长度
4 如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：
三、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
学生口述定理．
四、布置作业
教材31页练习1、2题
当堂测评
1、如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2、如图27－2－12，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶DB＝5∶3，FC＝6，则DE的长为( )
图27－2－12
A．6 B．8 C．10 D．12
3、如图27－2－13，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是( )
图27－2－13
A. B．1 C． D．
4、如图，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，则AE∶AC＝________．
5、如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
6、如图27－2－15，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，求EF.
图27－2－15
当堂测评答案
1.A 2.C 3.B 4.2∶3
5.解：(1)∵EF∥BC，
∴＝.
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝＝＝.
(2)∵EF∥ BC，
∴＝.
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝＝＝，
∴FC＝AC－AF＝－5＝.
6.
