2018年高中数学人教A版必修4 第三章 三角恒等变换 单元测试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年高中数学人教A版必修4 第三章 三角恒等变换 单元测试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 742.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-20 09:29:52 | ||
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文档简介
2018年高中数学人教A版必修4 第三章 三角恒等变换 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．当时，若，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．或
4．函数y=[cos（x+）+sin（x+）][cos（x+）﹣sin（x+）]在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知sin（﹣α）=，则cos（2α+）=（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
6．函数y=sin（2x+）?cos（x﹣）+cos（2x+）?sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x= B．x= C．x=π D．x=
7．若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．函数y=2sin2（x+）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
9．若sin74°=m，则cos8°=（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．已知tanθ=2，则sinθcosθ= ．
12．“无字证明”（proofswithoutwords），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．
13．下列函数中周期是2的函数是
①y=2cos2πx﹣1②y=sinπx+cosπx③④y=sinπxcosπx．
14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）= ．
15．已cosθ=，则cos2θ= ．
16．若，α是第三象限的角，则= ．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
18．已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
19．求证：﹣2cos（α+β）=．
20．若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）．
21．已知向量，，设函数f（x）=+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
22．已知向量=（， =（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．
23．已知函数有f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）．
（1）求f（）及f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在闭区间[﹣，]的最值．
24．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
2018年高中数学人教A版必修4 第三章 三角恒等变换 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．当时，若，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．
【解答】解：由诱导公式得，
所以；
又，
且，
所以sinα﹣cosα＞0，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．
2．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．
【解答】解：∵α为锐角，sinα=，
∴cosα=，
那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．或
【分析】根据sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA﹣2sinB）cosA=0．根据正余弦定理求解即可．
【解答】解：由题意，sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，
可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA﹣2sinB）cosA=0，
∴cosA=0或3sinA=sinB．
①当cosA=0时，A=90°．
∵c=，C=，
∴B=．
b=tanB?c=
那么△ABC的面积S=bc=．
②当3sinA=sinB，由正弦定理，可得3a=b…①．
cosC==?a2+b2﹣7=ab…②
解得a=1，b=3．
那么△ABC的面积S=absinC=，
故选：D．
【点评】本题考查了三角恒等式的化简能力和正余弦定理的运用．属于基础题．
4．函数y=[cos（x+）+sin（x+）][cos（x+）﹣sin（x+）]在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】化简函数y，得出函数y的一个周期为π，且与y=sin2x的图象关于x轴对称，由此得出正确的选项．
【解答】解：∵函数y=[cos（x+）+sin（x+）][cos（x+）﹣sin（x+）]
=cos2（x+）﹣sin2（x+）
=cos（2x+）
=﹣sin2x，
∴函数y的一个周期为π，且与y=sin2x的图象关于x轴对称；
∴满足条件的是选项B．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
5．已知sin（﹣α）=，则cos（2α+）=（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦函数求解即可．
【解答】解：∵sin（﹣α）=，
∴cos（2α+）=﹣cos（π﹣﹣2α）=﹣cos（﹣2α）=﹣1+2sin2（﹣α）=﹣1+2×（）2=﹣．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式以及二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．
6．函数y=sin（2x+）?cos（x﹣）+cos（2x+）?sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x= B．x= C．x=π D．x=
【分析】利用诱导公式变形，再由两角差的正弦化简，得到y=cosx，求其对称轴方程后得答案．
【解答】解：y=sin（2x+）?cos（x﹣）+cos（2x+）?sin（﹣x）
=sin（2x+）?cos（x﹣）﹣cos（2x+）?sin（x﹣）
=sin[（2x+）﹣（x﹣）]=sin（x+）=cosx．
∴原函数的对称轴方程为x=kπ，k∈Z．
取k=1，得x=π．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的正弦，考查了余弦函数的图象和性质，是基础题．
7．若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．函数y=2sin2（x+）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
【分析】将函数y化简，根据三角函数的性质可得答案．
【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，
化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．
∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．
故选：A．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．
9．若sin74°=m，则cos8°=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式可得 sin74°=m=cos16°，再由半角公式可得cos8°=，由此可得结论．
【解答】解：∵sin74°=m=cos16°，
∴cos8°==，
故选：C．
【点评】本题主要考查半角公式、诱导公式的应用，属于中档题．
10．已知，，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过平方关系式与已知表达式，求出sinα，cosα，即可得到结果．
【解答】解：因为，，
又sin2α+cos2α=1，
所以sinα=﹣，cosα=，
所以tanα==．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的平方关系式的应用，三角函数值的求法，考查计算能力．
二．填空题（共6小题）
11．已知tanθ=2，则sinθcosθ= ．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinθcosθ的值．
【解答】解：由tanθ=2，
则sinθcosθ===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
12．“无字证明”（proofswithoutwords），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ ．
【分析】左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为 S1=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积 S2 还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，再由
2个图中空白部分的面积相等，可得S1=S2，从而得出结论．
【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1．
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（+sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．
故阴影部分的面积 S1=S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．
在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，
而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．
故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1=S2，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中档题．
13．下列函数中周期是2的函数是 ②③
①y=2cos2πx﹣1②y=sinπx+cosπx③④y=sinπxcosπx．
【分析】利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．
【解答】解：对于①y=cos2πx，∴；
对于，∴；
对于；
对于④，∴；
故答案为②③
【点评】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=解题．
14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）= ．
【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣）=，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解．
【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]═sin（﹣α）=﹣sin（α﹣）=﹣，
∵α是锐角，α﹣∈（﹣，），
∴cos（α﹣）===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15．已cosθ=，则cos2θ= ﹣ ．
【分析】直接利用二倍角的余弦公式可得 cos2θ=2cos2θ﹣1，运算求得结果．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得 cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
16．若，α是第三象限的角，则= ﹣ ．
【分析】利用平方关系及α所在的象限可求出sinα，由商数关系可得出tanα，利用正切的倍角公式可求得，再根据α所在的象限可判断出所在的象限，进而确定的值即可．
【解答】解：∵，α是第三象限的角，∴ =，
∴=．
∵，∴，化为，，解得或﹣3．
∵α是第三象限的角，∴，∴（k∈Z）．
①当k=2n（n∈N*）时，，可知是第二象限的角，则，∴；
②当k=2n+1（n∈N*）时，，可知是第四象限的角，则，∴；
因此应舍去，故．
∴==．
故答案为．
【点评】熟练掌握同角三角函数基本关系式、倍角公式、由α所在的象限判断所在象限是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
【分析】（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．
（Ⅱ）利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．
【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+），
=，
由于函数的最小正周期为π，
故ω==1，
（Ⅱ）所以：f（x）=，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于x在区间[0，]上，
所以：函数的单调递增区间为：[]．
函数的单调递减区间为：[]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．
18．已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
【分析】由已知结合三角函数的定义可得tanα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．
【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴tan．
∴=．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19．求证：﹣2cos（α+β）=．
【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）?sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．
【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα
=sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ．
两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．
∴原式得证
【点评】证明三角恒等式，可先从两边的角入手变化，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．
20．若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）．
【分析】通过切化弦，化简已知条件得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），利用分析法化简所要证明的恒等式，得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）即可．
【解答】证明：由tan（α+β）=2tanα，得，即sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）（*）
另一方面，要证3sinβ=sin（2α+β），即证3sin[（α+β）﹣α]=sin[（α+β）+α]，
即证3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα=sin（（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
化简，得sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）
∵上式与（*）式相同．所以，命题成立．
【点评】本题考查条件恒等式的证明，两角和的正弦函数与同角三角函数的基本关系式的应用，分析法的证明方法的应用．
21．已知向量，，设函数f（x）=+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．
（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．
【解答】解：向量，，函数+b．
则==．
（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，
∴（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈[0，3]，
∴ω=1，
∴，
由，
解得：（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∴，即时，函数f（x）单调递增；
，即时，函数f（x）单调递减．
又，
∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．
即sin≤﹣b﹣＜sin或，
所以满足条件的．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
22．已知向量=（， =（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用向量共线的充要条件，把三角函数关系式通过恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调递增区间．
（2）利用（1）的解析式，首先确定A的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求得结果．
【解答】解：（1）向量=（， =（cosx，cosx），x∈R，
f（x）=．
=，
=，
=，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，
则：（0＜A＜π），
解得：A=，
利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．
解得：bc=1
所以△ABC的面积为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，向量共线的充要条件的应用，正弦型函数的性质单调性的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题型．
23．已知函数有f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）．
（1）求f（）及f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在闭区间[﹣，]的最值．
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦化简，然后直接取x=求值，结合复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；
（2）由x的范围求出化简后函数相位的范围，进一步求得f（x）在闭区间[﹣，]的最值．
【解答】解：f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）
===sin（2x+）．
（1）．
由，解得：．
∴f（x）的单调递增区间为；
（2）∵x∈[﹣，]，
∴，
则sin（2x+）∈．
∴f（x）的最小值为﹣，最大值为1．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查了三角函数的最值，是中档题．
24．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；
（Ⅱ）求得2x﹣的范围，结合正弦函数的图象可得2m﹣≥，即可得到所求最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x
=sin（2x﹣）+，
f（x）的最小正周期为T==π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，
可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，
即有2m﹣≥，解得m≥，
则m的最小值为．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．
一．选择题（共10小题）
1．当时，若，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．或
4．函数y=[cos（x+）+sin（x+）][cos（x+）﹣sin（x+）]在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知sin（﹣α）=，则cos（2α+）=（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
6．函数y=sin（2x+）?cos（x﹣）+cos（2x+）?sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x= B．x= C．x=π D．x=
7．若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．函数y=2sin2（x+）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
9．若sin74°=m，则cos8°=（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．已知tanθ=2，则sinθcosθ= ．
12．“无字证明”（proofswithoutwords），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．
13．下列函数中周期是2的函数是
①y=2cos2πx﹣1②y=sinπx+cosπx③④y=sinπxcosπx．
14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）= ．
15．已cosθ=，则cos2θ= ．
16．若，α是第三象限的角，则= ．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
18．已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
19．求证：﹣2cos（α+β）=．
20．若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）．
21．已知向量，，设函数f（x）=+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
22．已知向量=（， =（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．
23．已知函数有f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）．
（1）求f（）及f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在闭区间[﹣，]的最值．
24．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
2018年高中数学人教A版必修4 第三章 三角恒等变换 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．当时，若，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．
【解答】解：由诱导公式得，
所以；
又，
且，
所以sinα﹣cosα＞0，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．
2．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．
【解答】解：∵α为锐角，sinα=，
∴cosα=，
那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．或
【分析】根据sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA﹣2sinB）cosA=0．根据正余弦定理求解即可．
【解答】解：由题意，sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，
可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA﹣2sinB）cosA=0，
∴cosA=0或3sinA=sinB．
①当cosA=0时，A=90°．
∵c=，C=，
∴B=．
b=tanB?c=
那么△ABC的面积S=bc=．
②当3sinA=sinB，由正弦定理，可得3a=b…①．
cosC==?a2+b2﹣7=ab…②
解得a=1，b=3．
那么△ABC的面积S=absinC=，
故选：D．
【点评】本题考查了三角恒等式的化简能力和正余弦定理的运用．属于基础题．
4．函数y=[cos（x+）+sin（x+）][cos（x+）﹣sin（x+）]在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】化简函数y，得出函数y的一个周期为π，且与y=sin2x的图象关于x轴对称，由此得出正确的选项．
【解答】解：∵函数y=[cos（x+）+sin（x+）][cos（x+）﹣sin（x+）]
=cos2（x+）﹣sin2（x+）
=cos（2x+）
=﹣sin2x，
∴函数y的一个周期为π，且与y=sin2x的图象关于x轴对称；
∴满足条件的是选项B．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
5．已知sin（﹣α）=，则cos（2α+）=（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦函数求解即可．
【解答】解：∵sin（﹣α）=，
∴cos（2α+）=﹣cos（π﹣﹣2α）=﹣cos（﹣2α）=﹣1+2sin2（﹣α）=﹣1+2×（）2=﹣．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式以及二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．
6．函数y=sin（2x+）?cos（x﹣）+cos（2x+）?sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x= B．x= C．x=π D．x=
【分析】利用诱导公式变形，再由两角差的正弦化简，得到y=cosx，求其对称轴方程后得答案．
【解答】解：y=sin（2x+）?cos（x﹣）+cos（2x+）?sin（﹣x）
=sin（2x+）?cos（x﹣）﹣cos（2x+）?sin（x﹣）
=sin[（2x+）﹣（x﹣）]=sin（x+）=cosx．
∴原函数的对称轴方程为x=kπ，k∈Z．
取k=1，得x=π．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的正弦，考查了余弦函数的图象和性质，是基础题．
7．若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．函数y=2sin2（x+）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
【分析】将函数y化简，根据三角函数的性质可得答案．
【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，
化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．
∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．
故选：A．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．
9．若sin74°=m，则cos8°=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式可得 sin74°=m=cos16°，再由半角公式可得cos8°=，由此可得结论．
【解答】解：∵sin74°=m=cos16°，
∴cos8°==，
故选：C．
【点评】本题主要考查半角公式、诱导公式的应用，属于中档题．
10．已知，，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过平方关系式与已知表达式，求出sinα，cosα，即可得到结果．
【解答】解：因为，，
又sin2α+cos2α=1，
所以sinα=﹣，cosα=，
所以tanα==．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的平方关系式的应用，三角函数值的求法，考查计算能力．
二．填空题（共6小题）
11．已知tanθ=2，则sinθcosθ= ．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinθcosθ的值．
【解答】解：由tanθ=2，
则sinθcosθ===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
12．“无字证明”（proofswithoutwords），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ ．
【分析】左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为 S1=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积 S2 还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，再由
2个图中空白部分的面积相等，可得S1=S2，从而得出结论．
【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1．
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（+sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．
故阴影部分的面积 S1=S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．
在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，
而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．
故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1=S2，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中档题．
13．下列函数中周期是2的函数是 ②③
①y=2cos2πx﹣1②y=sinπx+cosπx③④y=sinπxcosπx．
【分析】利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．
【解答】解：对于①y=cos2πx，∴；
对于，∴；
对于；
对于④，∴；
故答案为②③
【点评】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=解题．
14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）= ．
【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣）=，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解．
【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]═sin（﹣α）=﹣sin（α﹣）=﹣，
∵α是锐角，α﹣∈（﹣，），
∴cos（α﹣）===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15．已cosθ=，则cos2θ= ﹣ ．
【分析】直接利用二倍角的余弦公式可得 cos2θ=2cos2θ﹣1，运算求得结果．
【解答】解：由二倍角的余弦公式可得 cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
16．若，α是第三象限的角，则= ﹣ ．
【分析】利用平方关系及α所在的象限可求出sinα，由商数关系可得出tanα，利用正切的倍角公式可求得，再根据α所在的象限可判断出所在的象限，进而确定的值即可．
【解答】解：∵，α是第三象限的角，∴ =，
∴=．
∵，∴，化为，，解得或﹣3．
∵α是第三象限的角，∴，∴（k∈Z）．
①当k=2n（n∈N*）时，，可知是第二象限的角，则，∴；
②当k=2n+1（n∈N*）时，，可知是第四象限的角，则，∴；
因此应舍去，故．
∴==．
故答案为．
【点评】熟练掌握同角三角函数基本关系式、倍角公式、由α所在的象限判断所在象限是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
【分析】（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．
（Ⅱ）利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．
【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+），
=，
由于函数的最小正周期为π，
故ω==1，
（Ⅱ）所以：f（x）=，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于x在区间[0，]上，
所以：函数的单调递增区间为：[]．
函数的单调递减区间为：[]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．
18．已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
【分析】由已知结合三角函数的定义可得tanα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．
【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴tan．
∴=．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19．求证：﹣2cos（α+β）=．
【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）?sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．
【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα
=sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ．
两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．
∴原式得证
【点评】证明三角恒等式，可先从两边的角入手变化，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．
20．若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）．
【分析】通过切化弦，化简已知条件得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），利用分析法化简所要证明的恒等式，得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）即可．
【解答】证明：由tan（α+β）=2tanα，得，即sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）（*）
另一方面，要证3sinβ=sin（2α+β），即证3sin[（α+β）﹣α]=sin[（α+β）+α]，
即证3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα=sin（（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
化简，得sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）
∵上式与（*）式相同．所以，命题成立．
【点评】本题考查条件恒等式的证明，两角和的正弦函数与同角三角函数的基本关系式的应用，分析法的证明方法的应用．
21．已知向量，，设函数f（x）=+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．
（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．
【解答】解：向量，，函数+b．
则==．
（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，
∴（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈[0，3]，
∴ω=1，
∴，
由，
解得：（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∴，即时，函数f（x）单调递增；
，即时，函数f（x）单调递减．
又，
∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．
即sin≤﹣b﹣＜sin或，
所以满足条件的．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
22．已知向量=（， =（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用向量共线的充要条件，把三角函数关系式通过恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调递增区间．
（2）利用（1）的解析式，首先确定A的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求得结果．
【解答】解：（1）向量=（， =（cosx，cosx），x∈R，
f（x）=．
=，
=，
=，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，
则：（0＜A＜π），
解得：A=，
利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．
解得：bc=1
所以△ABC的面积为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，向量共线的充要条件的应用，正弦型函数的性质单调性的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题型．
23．已知函数有f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）．
（1）求f（）及f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在闭区间[﹣，]的最值．
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦化简，然后直接取x=求值，结合复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；
（2）由x的范围求出化简后函数相位的范围，进一步求得f（x）在闭区间[﹣，]的最值．
【解答】解：f（x）=sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）
===sin（2x+）．
（1）．
由，解得：．
∴f（x）的单调递增区间为；
（2）∵x∈[﹣，]，
∴，
则sin（2x+）∈．
∴f（x）的最小值为﹣，最大值为1．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查了三角函数的最值，是中档题．
24．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；
（Ⅱ）求得2x﹣的范围，结合正弦函数的图象可得2m﹣≥，即可得到所求最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x
=sin（2x﹣）+，
f（x）的最小正周期为T==π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，
可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，
即有2m﹣≥，解得m≥，
则m的最小值为．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．