2018年高中数学人教A版必修4 第一章 三角函数 单元测试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年高中数学人教A版必修4 第一章 三角函数 单元测试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 630.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-20 09:29:18 | ||
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文档简介
2018年高中数学人教A版必修4 第一章 三角函数 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．π和2kπ﹣π（k∈Z） B．﹣和π
C．﹣π和π D．π和π
3．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角
B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同
D．不相等的角其终边必不相同
4．﹣300°化为弧度是（ ）
A．﹣π B．﹣π C．﹣π D．﹣π
5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
6．函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
7．函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象
8．已知a=sin1，b=cos1，c=tan1，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
9．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数y=sin（2x+）是（ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
二．填空题（共6小题）
11．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 ．
12．终边落在y轴上的角的集合是 ．
13．已知α是第一象限角，则π﹣α是第 象限角．
14．的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且，则x0= ．
15．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：
①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
③y=f（x）的最大值为4；
④y=f（x）的图象关于直线x=对称；
则其中正确结论的序号为 ．
16．当时，函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的最小值是 ，最大值是 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知α=．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
18．已知α是第一象限的角，且，求的值．
19．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
20．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
21．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
23．已知向量，，设函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）值域．
24．设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
2018年高中数学人教A版必修4 第一章 三角函数 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】直接利用正弦定理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状．
【解答】解：因为在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可知，sinBcosA=sinAcosB，
所以sin（A﹣B）=0，所以A﹣B=π，或A=B，因为A，B是三角形内角，所以A=B，三角形是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．π和2kπ﹣π（k∈Z） B．﹣和π
C．﹣π和π D．π和π
【分析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵π+π=2π，∴终边相同．
故选：C．
【点评】本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角
B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同
D．不相等的角其终边必不相同
【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断．
【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A不对；
B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；
C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；
D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．
故选：C．
【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断．
4．﹣300°化为弧度是（ ）
A．﹣π B．﹣π C．﹣π D．﹣π
【分析】利用rad即可得出．
【解答】解：﹣300°=﹣rad=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了角度与弧度的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
【解答】解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO==，
从而弧长为α?r=，
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
6．函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
【分析】化简函数是用一个角的一个三角函数的形式表示，然后求出周期，判断奇偶性．
【解答】解：函数=
所以函数是最小正周期为π的奇函数．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦，正弦函数的奇偶性，是基础题．
7．函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象
【分析】根据函数，求出φ，函数f（x）的图象关于直线对称，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次对各选择判断即可．
【解答】解：函数，
∵，即2sinφ=，
∵φ
∴φ=
又∵函数f（x）的图象关于直线对称，
∴，k∈Z．
可得ω=12k﹣10，
∵0＜ω＜12．
∴ω=2．
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x﹣）．
最小正周期T=，∴A不对．
当x=时，可得y≠0，∴B不对．
令﹣2x﹣，可得，∴C不对．
函数y=2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）．∴D项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．
8．已知a=sin1，b=cos1，c=tan1，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cos1、tan1的大小关系．
【解答】解：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，
sin1=MP．cos1=OM，tan1=AT
观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，
故有 tan1＞sin1＞cos1＞0，
故选：C．
【点评】本题考查利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．
9．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式整理，变化成一个逆用两角和的余弦公式的形式，写出最简形式，根据余弦函数的单调减区间写出结果．
【解答】解：∵
=
=cos（2x+）
∴2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，
∴
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变化和单调性，本题解题的关键是对于三角函数式的整理，注意公式的逆用．
10．函数y=sin（2x+）是（ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【分析】由条件利用诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．
【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin（2x+）=cos2x，故此函数是周期为=π的偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
二．填空题（共6小题）
11．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 ．
【分析】任意角的三角函数的定义，求出cos（）的值和sin（） 的值，即得Q的坐标．
【解答】解：由题意可得Q的横坐标为 cos（）=，Q的纵坐标为 sin（）=﹣sin=，
故Q的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，是一道基础题．
12．终边落在y轴上的角的集合是 {θ|θ=nπ+，n∈Z，} ．
【分析】当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时写出角θ的集合，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，写出角θ 的集合，
终边落在y轴上的角的集合是这2个集合的并集．
【解答】解：当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}
={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}．
故答案为 {θ|θ=nπ+，n∈Z}．
【点评】本题考查终边相同的角的概念和表示法，体现了分类讨论的数学思想．
13．已知α是第一象限角，则π﹣α是第 二 象限角．
【分析】先判断出﹣α的终边所在位置，再将﹣α逆时针旋转π得到π﹣α，它必在第二象限，然后判断出其终边所在的象限即可．
【解答】解：∵角α是第一象限角，
∴角﹣α是第四象限角，
将﹣α逆时针旋转π得到π﹣α，它必在第二象限．
∴π﹣α的终边在第二象限
∴π﹣α是第二象限的角
故答案为：二．
【点评】象限角是根据将角的顶点放到原点，始边放到x轴的正半轴，终边落在哪个象限角就是第几象限角．
14．的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且，则x0= ．
【分析】根据f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，得到f（x）周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）解析式，再根据点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，]，得到2x0+=kπ，y0=0，即可求出x0的值．
【解答】解：∵f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，
∴f（x）的周期为π，即=π，
∵ω＞0，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+），
∵点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，]，
∴2x0+=π，y0=0，
则x0=．
故答案为：
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：
①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
③y=f（x）的最大值为4；
④y=f（x）的图象关于直线x=对称；
则其中正确结论的序号为 ①②③④ ．
【分析】①根据三角函数的周期公式进行求解；
②根据三角函数的诱导公式进行转化；
③结合三角函数的有界性和最值进行求解判断；
④根据三角函数的对称性进行判断；
【解答】解：①函数的周期T=，故y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数正确；
②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；
故y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）正确；
③当4sin（2x+）=1时，y=f（x）的最大值为4，正确；
④当x=时，f（）=4sin（2×+）=4sin=4为最大值，即f（x）的图象关于直线x=对称，正确．
故正确的是①②③④，
故答案为：①②③④
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
16．当时，函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的最小值是 ，最大值是 2 ．
【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值
【解答】解：由正弦函数的性质可知，当，
y=3﹣sinx﹣2cos2x
=2sin2x﹣sinx+1
=
当时，；当时，ymax=2
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，及利用配方法求解二次函数的值域，但要注意sinx的范围不要漏掉．
三．解答题（共8小题）
17．已知α=．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
【分析】（1）有与α终边相同的角可以写成2kπ+α，k∈Z．
（2）令﹣4π＜2kπ+＜2π（k∈Z），解出整数k，从而求得在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角．
（3）根据β=2kπ+（k∈Z），求得=kπ+（k∈Z），即可判断是第几象限的角．
【解答】解：（1）所有与α终边相同的角可表示为
{θ|θ=2kπ+，k∈Z}．
（2）由（1）令﹣4π＜2kπ+＜2π（k∈Z），则有
﹣2﹣＜k＜1﹣．
又∵k∈Z，∴取k=﹣2，﹣1，0．
故在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角是﹣、﹣、．
（3）由（1）有β=2kπ+（k∈Z），则=kπ+（k∈Z），当k为偶数时，在第一象限，
当k为奇数时，在第三象限．
∴是第一、三象限的角．
【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，及一元一次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．
18．已知α是第一象限的角，且，求的值．
【分析】利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出sinα，代入求值即可．
【解答】解： =
由已知可得sin，
∴原式=．
【点评】本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题．
19．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【解答】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，
∴半径为50米，圆心角为2θ，∴ =100θ，
∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；
（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，
∴S′（θ）=﹣200sinθ+100，
令S′（θ）=0，可得θ=．
函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
∴θ=时，绿化带总长度最大．
【点评】利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．
20．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD?OD?cos60°=OC2
即，
解得（米）
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°
在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2?CD?AD?cos120°=．
∴AC=700（米）．
．
在直角△HAO中，AH=350（米），，
∴（米）．
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长．
21．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
【分析】（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为y=cos（2x+），再由T=可得答案．
（2）先根据x的范围确定2x+的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．
【解答】解：f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x
=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）
（1）T=π
（2）∵
∴
【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法．一般都先把函数化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再解题．
22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式进行化简结合函数的周期即可求ω的值；
（2）求出函数在[0，]上角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx?sin（ωx+）=sin2ωx+sinωx?cosωx
=sin2ωx+sin2ωx=（1+）sin2ωx，
∵函数f（x）的最小正周期为π．
∴T==π．
即ω=1．
（2）∵ω=1，
∴f（x）=（1+）sin2x，
若0≤x≤，则0≤2x≤，
∴当2x=时，函数取得最小值为（1+）sin=﹣（1+）×=﹣﹣，
当2x=时，函数取得最大值为（1+）sin=1+，
故函数f（x）的取值范围是[﹣﹣，1+]．
【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，利用倍角公式结合周期公式求出ω的值是解决本题的关键．
23．已知向量，，设函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）值域．
【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，确定函数解析式，利用辅助角公式化简函数，从而可得函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根据，确定，从而可得，进而可得函数f（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量，，
∴=．（4分）
所以其最小正周期为．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴，
∴．（10分）
所以函数f（x）的值域为．（12分）
【点评】本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，利用辅助角公式化简函数是解题的关键．
24．设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得函数f（x）的最小正周期及单调增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[﹣，]上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=?=（2cosx，1）?（cosx， sin2x）=2cos2x+sin2x
=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[1﹣，3]，
即函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值为3，最小值为1﹣．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、定义域和值域，属于中档题．
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．π和2kπ﹣π（k∈Z） B．﹣和π
C．﹣π和π D．π和π
3．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角
B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同
D．不相等的角其终边必不相同
4．﹣300°化为弧度是（ ）
A．﹣π B．﹣π C．﹣π D．﹣π
5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
6．函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
7．函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象
8．已知a=sin1，b=cos1，c=tan1，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
9．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数y=sin（2x+）是（ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
二．填空题（共6小题）
11．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 ．
12．终边落在y轴上的角的集合是 ．
13．已知α是第一象限角，则π﹣α是第 象限角．
14．的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且，则x0= ．
15．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：
①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
③y=f（x）的最大值为4；
④y=f（x）的图象关于直线x=对称；
则其中正确结论的序号为 ．
16．当时，函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的最小值是 ，最大值是 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知α=．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
18．已知α是第一象限的角，且，求的值．
19．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
20．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
21．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
23．已知向量，，设函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）值域．
24．设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
2018年高中数学人教A版必修4 第一章 三角函数 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】直接利用正弦定理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状．
【解答】解：因为在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可知，sinBcosA=sinAcosB，
所以sin（A﹣B）=0，所以A﹣B=π，或A=B，因为A，B是三角形内角，所以A=B，三角形是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．π和2kπ﹣π（k∈Z） B．﹣和π
C．﹣π和π D．π和π
【分析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵π+π=2π，∴终边相同．
故选：C．
【点评】本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角
B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同
D．不相等的角其终边必不相同
【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断．
【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A不对；
B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；
C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；
D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．
故选：C．
【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断．
4．﹣300°化为弧度是（ ）
A．﹣π B．﹣π C．﹣π D．﹣π
【分析】利用rad即可得出．
【解答】解：﹣300°=﹣rad=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了角度与弧度的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
【解答】解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO==，
从而弧长为α?r=，
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
6．函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
【分析】化简函数是用一个角的一个三角函数的形式表示，然后求出周期，判断奇偶性．
【解答】解：函数=
所以函数是最小正周期为π的奇函数．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦，正弦函数的奇偶性，是基础题．
7．函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象
【分析】根据函数，求出φ，函数f（x）的图象关于直线对称，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次对各选择判断即可．
【解答】解：函数，
∵，即2sinφ=，
∵φ
∴φ=
又∵函数f（x）的图象关于直线对称，
∴，k∈Z．
可得ω=12k﹣10，
∵0＜ω＜12．
∴ω=2．
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x﹣）．
最小正周期T=，∴A不对．
当x=时，可得y≠0，∴B不对．
令﹣2x﹣，可得，∴C不对．
函数y=2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）．∴D项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．
8．已知a=sin1，b=cos1，c=tan1，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cos1、tan1的大小关系．
【解答】解：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，
sin1=MP．cos1=OM，tan1=AT
观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，
故有 tan1＞sin1＞cos1＞0，
故选：C．
【点评】本题考查利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．
9．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式整理，变化成一个逆用两角和的余弦公式的形式，写出最简形式，根据余弦函数的单调减区间写出结果．
【解答】解：∵
=
=cos（2x+）
∴2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，
∴
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变化和单调性，本题解题的关键是对于三角函数式的整理，注意公式的逆用．
10．函数y=sin（2x+）是（ ）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【分析】由条件利用诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．
【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin（2x+）=cos2x，故此函数是周期为=π的偶函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
二．填空题（共6小题）
11．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 ．
【分析】任意角的三角函数的定义，求出cos（）的值和sin（） 的值，即得Q的坐标．
【解答】解：由题意可得Q的横坐标为 cos（）=，Q的纵坐标为 sin（）=﹣sin=，
故Q的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，是一道基础题．
12．终边落在y轴上的角的集合是 {θ|θ=nπ+，n∈Z，} ．
【分析】当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时写出角θ的集合，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，写出角θ 的集合，
终边落在y轴上的角的集合是这2个集合的并集．
【解答】解：当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}
={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}．
故答案为 {θ|θ=nπ+，n∈Z}．
【点评】本题考查终边相同的角的概念和表示法，体现了分类讨论的数学思想．
13．已知α是第一象限角，则π﹣α是第 二 象限角．
【分析】先判断出﹣α的终边所在位置，再将﹣α逆时针旋转π得到π﹣α，它必在第二象限，然后判断出其终边所在的象限即可．
【解答】解：∵角α是第一象限角，
∴角﹣α是第四象限角，
将﹣α逆时针旋转π得到π﹣α，它必在第二象限．
∴π﹣α的终边在第二象限
∴π﹣α是第二象限的角
故答案为：二．
【点评】象限角是根据将角的顶点放到原点，始边放到x轴的正半轴，终边落在哪个象限角就是第几象限角．
14．的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且，则x0= ．
【分析】根据f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，得到f（x）周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）解析式，再根据点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，]，得到2x0+=kπ，y0=0，即可求出x0的值．
【解答】解：∵f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，
∴f（x）的周期为π，即=π，
∵ω＞0，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+），
∵点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，]，
∴2x0+=π，y0=0，
则x0=．
故答案为：
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：
①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
③y=f（x）的最大值为4；
④y=f（x）的图象关于直线x=对称；
则其中正确结论的序号为 ①②③④ ．
【分析】①根据三角函数的周期公式进行求解；
②根据三角函数的诱导公式进行转化；
③结合三角函数的有界性和最值进行求解判断；
④根据三角函数的对称性进行判断；
【解答】解：①函数的周期T=，故y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数正确；
②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；
故y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）正确；
③当4sin（2x+）=1时，y=f（x）的最大值为4，正确；
④当x=时，f（）=4sin（2×+）=4sin=4为最大值，即f（x）的图象关于直线x=对称，正确．
故正确的是①②③④，
故答案为：①②③④
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
16．当时，函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的最小值是 ，最大值是 2 ．
【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值
【解答】解：由正弦函数的性质可知，当，
y=3﹣sinx﹣2cos2x
=2sin2x﹣sinx+1
=
当时，；当时，ymax=2
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，及利用配方法求解二次函数的值域，但要注意sinx的范围不要漏掉．
三．解答题（共8小题）
17．已知α=．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
【分析】（1）有与α终边相同的角可以写成2kπ+α，k∈Z．
（2）令﹣4π＜2kπ+＜2π（k∈Z），解出整数k，从而求得在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角．
（3）根据β=2kπ+（k∈Z），求得=kπ+（k∈Z），即可判断是第几象限的角．
【解答】解：（1）所有与α终边相同的角可表示为
{θ|θ=2kπ+，k∈Z}．
（2）由（1）令﹣4π＜2kπ+＜2π（k∈Z），则有
﹣2﹣＜k＜1﹣．
又∵k∈Z，∴取k=﹣2，﹣1，0．
故在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角是﹣、﹣、．
（3）由（1）有β=2kπ+（k∈Z），则=kπ+（k∈Z），当k为偶数时，在第一象限，
当k为奇数时，在第三象限．
∴是第一、三象限的角．
【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，及一元一次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．
18．已知α是第一象限的角，且，求的值．
【分析】利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出sinα，代入求值即可．
【解答】解： =
由已知可得sin，
∴原式=．
【点评】本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题．
19．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【解答】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，
∴半径为50米，圆心角为2θ，∴ =100θ，
∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；
（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，
∴S′（θ）=﹣200sinθ+100，
令S′（θ）=0，可得θ=．
函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
∴θ=时，绿化带总长度最大．
【点评】利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．
20．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD?OD?cos60°=OC2
即，
解得（米）
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°
在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2?CD?AD?cos120°=．
∴AC=700（米）．
．
在直角△HAO中，AH=350（米），，
∴（米）．
答：该扇形的半径OA的长约为445米．
【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长．
21．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
【分析】（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为y=cos（2x+），再由T=可得答案．
（2）先根据x的范围确定2x+的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．
【解答】解：f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x
=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）
（1）T=π
（2）∵
∴
【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法．一般都先把函数化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再解题．
22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式进行化简结合函数的周期即可求ω的值；
（2）求出函数在[0，]上角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx?sin（ωx+）=sin2ωx+sinωx?cosωx
=sin2ωx+sin2ωx=（1+）sin2ωx，
∵函数f（x）的最小正周期为π．
∴T==π．
即ω=1．
（2）∵ω=1，
∴f（x）=（1+）sin2x，
若0≤x≤，则0≤2x≤，
∴当2x=时，函数取得最小值为（1+）sin=﹣（1+）×=﹣﹣，
当2x=时，函数取得最大值为（1+）sin=1+，
故函数f（x）的取值范围是[﹣﹣，1+]．
【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，利用倍角公式结合周期公式求出ω的值是解决本题的关键．
23．已知向量，，设函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）值域．
【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，确定函数解析式，利用辅助角公式化简函数，从而可得函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根据，确定，从而可得，进而可得函数f（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量，，
∴=．（4分）
所以其最小正周期为．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴，
∴．（10分）
所以函数f（x）的值域为．（12分）
【点评】本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，利用辅助角公式化简函数是解题的关键．
24．设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得函数f（x）的最小正周期及单调增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[﹣，]上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=?=（2cosx，1）?（cosx， sin2x）=2cos2x+sin2x
=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[1﹣，3]，
即函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值为3，最小值为1﹣．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、定义域和值域，属于中档题．