2018年高中数学人教A版必修5 第二章 数列 单元测试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年高中数学人教A版必修5 第二章 数列 单元测试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 339.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-20 09:31:19 | ||
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文档简介
2018年高中数学人教A版必修5 第二章 数列 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（ ）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（ ）
A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤
5．在等差数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，若a3+a6=3，则S8的值为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．24
6．在等比数列{an}中，a7?a11=6，a4+a14=5，则等于（ ）
A． B． C．或 D．﹣或﹣
7．已知等比数列{an}的前n项和，则数列{log2an}的前12项和等于（ ）
A．66 B．55 C．45 D．65
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，则S9等于（ ）
A．81 B．17 C．24 D．73
9．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项的和，若a2017=m，则S2015=（ ）
A．2m B． C．m+1 D．m﹣1
二．填空题（共6小题）
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．
12．若an=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ．
13．已知{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q= ．
14．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．
15．等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10= ．
16．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an﹣1anan+1=324，则n= ．
三．解答题（共8小题）
17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．
18．数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
19．（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
20．已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
21．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=10，S3=24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最大值．
22．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
23．（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．
24．已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，且S3=13，a2=3．
（ I）求数列{an}的通项公式；
（ II）设bn=1+log3an，求数列{anbn}的前n项和Tn．
2018年高中数学人教A版必修5 第二章 数列 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（ ）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
【分析】由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6，可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6为等差数列，即可得出．
【解答】解：由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6，
可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6．
设3n+6为此数列的第k项，则3n+6=0+（k﹣1）×3，
解得k=n+3．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，写出a1、q和an，由此求出乌龟爬行的总距离Sn．
【解答】解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，
且a1=100，q=，an=10﹣2；
∴乌龟爬行的总距离为
Sn===．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】由题意可得a1+a2+a3+a4=40，并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80，结合等差数列的性质可得a1+an=30，进而利用等差数列的前n项和公式可得答案．
【解答】解：因为S4=40，所以a1+a2+a3+a4=40，
因为Sn﹣Sn﹣4=80，所以an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80，
所以根据等差数列的性质可得：4（a1+an）=120，即a1+an=30．
由等差数列的前n项和的公式可得：，并且Sn=210，
所以解得n=14．
故选：B．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质，以及等差数列的前n项和的公式．
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（ ）
A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤
【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，再由通项公式求得公差，依次可得每一尺的重量；再由由等差数列的前n项和求得金杖的质量为．
【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，
则d=，
∴，，．
∴每一尺依次重4斤，3.5斤，3斤，2.5斤，2斤；
S5=，
∴金杖重15斤．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
5．在等差数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，若a3+a6=3，则S8的值为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．24
【分析】由等差数列{an}的性质可得：a1+a8=a3+a6=3，可得S8==4（a3+a6）．
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a8=a3+a6=3，
则S8==4×3=12．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．在等比数列{an}中，a7?a11=6，a4+a14=5，则等于（ ）
A． B． C．或 D．﹣或﹣
【分析】根据等比中项的性质可知a7?a11=a4?a14求得a4?a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求．
【解答】解：a7?a11=a4?a14=6
∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2
∴=或，
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的性质．解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程．
7．已知等比数列{an}的前n项和，则数列{log2an}的前12项和等于（ ）
A．66 B．55 C．45 D．65
【分析】由题意可得等比数列{an}的首项为1，公比为2，log2an=log22n﹣1=n﹣1，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和，
可得首项为1，公比为2，
log2an=log22n﹣1=n﹣1，
则数列{log2an}的前12项和为×12×（0+11）=66．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式的运用，以及等差数列的求和公式的应用，考查运算能力，属于基础题．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，则S9等于（ ）
A．81 B．17 C．24 D．73
【分析】利用等比数列的性质，转化求解即可．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，（S9﹣S6）?S3=（S6﹣S3）2．
即：（S9﹣9）×1=64，
则S9=73．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力．
9．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．
【解答】解：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，
由已知得，
解得a1=1，d=1，
∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
10．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项的和，若a2017=m，则S2015=（ ）
A．2m B． C．m+1 D．m﹣1
【分析】利用迭代法可得an+2=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1，可得S2015=a2017﹣1，代值计算可得结果．
【解答】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．
则：（Ⅱ）∵an+2=an+an+1=an+an﹣1+an
=an+an﹣1+an﹣2+an﹣1
=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+an﹣2
=…
=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1，
∴S2015=a2017﹣1=m﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．
二．填空题（共6小题）
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．
【分析】先看n≥2根据题设条件可知an=2Sn﹣1，两式想减整理得an+1=3an，判断出此时数列{an}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．
【解答】解：当n≥2时，an=2Sn﹣1，
∴an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，
即an+1=3an，
∴数列{an}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，
∴an=2?3n﹣2，
当n=1时，a1=1
∴数列{an}的通项公式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式．解题的最后一定要验证a1．是基础题．
12．若an=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为 （﹣6，+∞） ．
【分析】根据数列的通项公式，利用递增数列的定义解不等式an+1＞an，即可得到结论．
【解答】解：若数列{an}为单调递增数列，则an+1＞an，
即2（n+1）2+λ（n+1）+3＞2n2+λn+3，
整理得λ＞﹣（4n+2），
∵n≥1，
∴﹣（4n+2）≤﹣6，
即λ＞﹣6，
故答案为：（﹣6，+∞）
解法二：
根据抛物线的单调性的性质得要使数列{an}为单调递增数列，则an+1＞an，
特别的a2＞a1，
则对称轴﹣＜
?λ＞﹣6
【点评】本题主要考查递增数列的应用，解不等式是解决本题的关键．
13．已知{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q= 或1 ．
【分析】先利用等比数列的性质分别用a2和q表示出a3和a4，进而代入2a4=a2+a3中求得q．
【解答】解：a3=qa2，a4=q2?a2
∵a2，a4，a3成等差数列
∴2a4=a2+a3
即2a2?q2=a2+q?a2
解得，q=1或﹣
故答案为1或﹣
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．
14．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．
【分析】由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．
【解答】解：由题意知数列{an}的首项为a1，公差为d．
因为数列{an}的前n项和是Sn，
所以，，．
又{}也是公差为d的等差数列，
则，两边平方得：①
，两边平方得：②
②﹣①得：③，
把③代入①得：d（2d﹣1）=0．
所以d=0或d=．
当d=0时，a1=0，不合题意，
当d=时，代入③解得．
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．
15．等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10= 12 ．
【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．
【解答】解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．
由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，
∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．
∴a1+a4+a7+a10=12．
故答案为12．
【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．
16．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an﹣1anan+1=324，则n= 14 ．
【分析】正项等比数列{an}中，由a1a2a3=4，a4a5a6=12，知a=4，a=12，a=36，a=108，a=324，再由an﹣1anan+1=a=324，能求出n．
【解答】解：正项等比数列{an}中，
∵a1a2a3=4，a4a5a6=12，
∴a=4，a=12，a=36，a=108，a=324，
∵an﹣1anan+1=a=324，
∴n=14．
故答案为14．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
三．解答题（共8小题）
17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．
【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．
【解答】解：a1=S1=3+2=5，
an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，
当n=1时，2n﹣1=1≠a1，
∴．
【点评】本题考查数列的性质和应用、数列的概念及简单表示法，解题时要注意前n项和与通项公式之间关系式的灵活运用．
18．数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
【分析】数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6求解．
【解答】解：（1）∵an=n2﹣7n+6，
∴=﹣6．
∴这个数列的第4项是﹣6．
（2）解方程n2﹣7n+6=150，
得n=16，或n=﹣9，
∵n∈N*，
∴150是这个数列的项，它是第16项．
（3）由an=n2﹣7n+6≥0，
得n≤1，或n≥6．
∴数列从第7项开始各项都是正数．
【点评】本题考查数列的通项公式的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
19．（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°，再由余弦定理和条件可得 cos A==，由此求得m的值．
（2）由cos A==可得bc≤a2，故S△ABC =sin A≤×，由此求得结果．
【解答】解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°．
又由a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形得=．
再由余弦定理可得 cos A==，
∴m=1． …（4分）
（2）∵cos A==，
∴bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2，
故S△ABC =sin A≤×=，
∴△ABC面积的最大值为．…（8分）
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及解三角形的方法，属于中档题．
20．已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
【分析】（1）设数列{an} 的公差为d，由等差数列的通项公式可得，解可得a1与d的值，代入等差数列的通项公式中即可得答案；
（2）由（1）可得a1与d的值，代入等差数列的前n项和公式可得Sn=n（n+1），又由a1，ak，Sk+2成等比数列，可得（ak）2=2（k+2）（k+3），解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设数列{an} 的公差为d，
由题意知，
解得a1=2，d=2，
则an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；
（2）由（1）可得a1=2，an=2n，
则Sn==n2+n=n（n+1），
若a1，ak，Sk+2成等比数列，
则有（ak）2=2（k+2）（k+3），
即4k2=2k2+10k+12，
变形可得：k2﹣5k﹣6=0，
解可得k=6或k=﹣1（舍）；
故k=6．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的通项公式．
21．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=10，S3=24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最大值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=10，S3=24．利用求和公式解得d，即可得出an．
（2）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=10，S3=24．
∴3×10+d=24，
解得d=﹣2．
∴an=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．
（2）Sn==﹣n2+11n=﹣+．
∴当n=5或6时，Sn最大，Sn=﹣52+55=30．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d≠0．S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列，可得2S3=S1+1+S4， =a1a5，即a2+a3=1+a4， =a1（a1+4d），d≠0．解出即可得出．
（2）由（1）可得：Sn==n2，可得s4=42=16，s6=62=36．s4，s6，sn成等比数列，可得=S4?Sn，362=16×n2，解出即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d≠0．
∵S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列，
∴2S3=S1+1+S4， =a1a5，
即a2+a3=1+a4， =a1（a1+4d），d≠0．
可得a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）由（1）可得：Sn==n2，∴s4=42=16，s6=62=36．
∵s4，s6，sn成等比数列，∴ =S4?Sn，∴362=16×n2，
化为：36=4n，解得n=9．此等比数列的公比==．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．
【分析】（1）根据题意取一个等比数列{an}：首项为1、公比为，由等比数列的通项公式求出an，再求出an=4时的项数n即可判断；
（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得，再进行证明直到推出矛盾；
（3）假设1，，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．
【解答】解：（1）取一个等比数列{an}：首项为1、公比为，
则，…2分
则令=4，解得n=5，
所以a1=1，，a5=4． …4分
（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分
则h2=2k2，所以h为偶数，…7分
设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，
则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分
所以假设不成立，所以是有理数． …10分
（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，
且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分
设公差为d，显然d≠0，则，
消去d得，，…13分
由n、m、p都为整数，所以为有理数，
由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分
所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分．
【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．
24．已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，且S3=13，a2=3．
（ I）求数列{an}的通项公式；
（ II）设bn=1+log3an，求数列{anbn}的前n项和Tn．
【分析】（ I）设{an} 的公比为 q，利用等比数列的前n项和的定义和通项公式列出关于首项和q的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（ II）利用上题中的通项公式得到bn=n，则anbn=3n﹣1，结合错误相减法来求Tn．
【解答】解：（I）设{an} 的公比为 q，
由已知得
解得或，
又因为数列 {an}为递增数列
所以a1=1，q=3，
∴an=3n﹣1（n∈N+）．
（ II）由题意知，bn=n，则anbn=3n﹣1，
∴Tn=1+2?3+3?32+…+n?3n﹣1，①
3Tn=3+2?32+3?33+…+n?3n，②
由①﹣②，得
﹣2Tn=1+3+32+…+3n﹣1+n?3n﹣，
∴Tn=+．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，考查了计算能力，属于中档题．
一．选择题（共10小题）
1．有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（ ）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（ ）
A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤
5．在等差数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，若a3+a6=3，则S8的值为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．24
6．在等比数列{an}中，a7?a11=6，a4+a14=5，则等于（ ）
A． B． C．或 D．﹣或﹣
7．已知等比数列{an}的前n项和，则数列{log2an}的前12项和等于（ ）
A．66 B．55 C．45 D．65
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，则S9等于（ ）
A．81 B．17 C．24 D．73
9．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项的和，若a2017=m，则S2015=（ ）
A．2m B． C．m+1 D．m﹣1
二．填空题（共6小题）
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．
12．若an=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ．
13．已知{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q= ．
14．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．
15．等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10= ．
16．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an﹣1anan+1=324，则n= ．
三．解答题（共8小题）
17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．
18．数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
19．（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
20．已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
21．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=10，S3=24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最大值．
22．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
23．（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．
24．已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，且S3=13，a2=3．
（ I）求数列{an}的通项公式；
（ II）设bn=1+log3an，求数列{anbn}的前n项和Tn．
2018年高中数学人教A版必修5 第二章 数列 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（ ）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
【分析】由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6，可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6为等差数列，即可得出．
【解答】解：由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6，
可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6．
设3n+6为此数列的第k项，则3n+6=0+（k﹣1）×3，
解得k=n+3．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，写出a1、q和an，由此求出乌龟爬行的总距离Sn．
【解答】解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，
且a1=100，q=，an=10﹣2；
∴乌龟爬行的总距离为
Sn===．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4=40，Sn=210，Sn﹣4=130，则n=（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】由题意可得a1+a2+a3+a4=40，并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80，结合等差数列的性质可得a1+an=30，进而利用等差数列的前n项和公式可得答案．
【解答】解：因为S4=40，所以a1+a2+a3+a4=40，
因为Sn﹣Sn﹣4=80，所以an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80，
所以根据等差数列的性质可得：4（a1+an）=120，即a1+an=30．
由等差数列的前n项和的公式可得：，并且Sn=210，
所以解得n=14．
故选：B．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质，以及等差数列的前n项和的公式．
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（ ）
A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤
【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，再由通项公式求得公差，依次可得每一尺的重量；再由由等差数列的前n项和求得金杖的质量为．
【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，
则d=，
∴，，．
∴每一尺依次重4斤，3.5斤，3斤，2.5斤，2斤；
S5=，
∴金杖重15斤．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
5．在等差数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，若a3+a6=3，则S8的值为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．24
【分析】由等差数列{an}的性质可得：a1+a8=a3+a6=3，可得S8==4（a3+a6）．
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a8=a3+a6=3，
则S8==4×3=12．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．在等比数列{an}中，a7?a11=6，a4+a14=5，则等于（ ）
A． B． C．或 D．﹣或﹣
【分析】根据等比中项的性质可知a7?a11=a4?a14求得a4?a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求．
【解答】解：a7?a11=a4?a14=6
∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2
∴=或，
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的性质．解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程．
7．已知等比数列{an}的前n项和，则数列{log2an}的前12项和等于（ ）
A．66 B．55 C．45 D．65
【分析】由题意可得等比数列{an}的首项为1，公比为2，log2an=log22n﹣1=n﹣1，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和，
可得首项为1，公比为2，
log2an=log22n﹣1=n﹣1，
则数列{log2an}的前12项和为×12×（0+11）=66．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式的运用，以及等差数列的求和公式的应用，考查运算能力，属于基础题．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，则S9等于（ ）
A．81 B．17 C．24 D．73
【分析】利用等比数列的性质，转化求解即可．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，（S9﹣S6）?S3=（S6﹣S3）2．
即：（S9﹣9）×1=64，
则S9=73．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力．
9．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．
【解答】解：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，
由已知得，
解得a1=1，d=1，
∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
10．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项的和，若a2017=m，则S2015=（ ）
A．2m B． C．m+1 D．m﹣1
【分析】利用迭代法可得an+2=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1，可得S2015=a2017﹣1，代值计算可得结果．
【解答】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．
则：（Ⅱ）∵an+2=an+an+1=an+an﹣1+an
=an+an﹣1+an﹣2+an﹣1
=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+an﹣2
=…
=an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+…+a2+a1+1，
∴S2015=a2017﹣1=m﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．
二．填空题（共6小题）
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．
【分析】先看n≥2根据题设条件可知an=2Sn﹣1，两式想减整理得an+1=3an，判断出此时数列{an}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．
【解答】解：当n≥2时，an=2Sn﹣1，
∴an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，
即an+1=3an，
∴数列{an}为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，
∴an=2?3n﹣2，
当n=1时，a1=1
∴数列{an}的通项公式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式．解题的最后一定要验证a1．是基础题．
12．若an=2n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围为 （﹣6，+∞） ．
【分析】根据数列的通项公式，利用递增数列的定义解不等式an+1＞an，即可得到结论．
【解答】解：若数列{an}为单调递增数列，则an+1＞an，
即2（n+1）2+λ（n+1）+3＞2n2+λn+3，
整理得λ＞﹣（4n+2），
∵n≥1，
∴﹣（4n+2）≤﹣6，
即λ＞﹣6，
故答案为：（﹣6，+∞）
解法二：
根据抛物线的单调性的性质得要使数列{an}为单调递增数列，则an+1＞an，
特别的a2＞a1，
则对称轴﹣＜
?λ＞﹣6
【点评】本题主要考查递增数列的应用，解不等式是解决本题的关键．
13．已知{an}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q= 或1 ．
【分析】先利用等比数列的性质分别用a2和q表示出a3和a4，进而代入2a4=a2+a3中求得q．
【解答】解：a3=qa2，a4=q2?a2
∵a2，a4，a3成等差数列
∴2a4=a2+a3
即2a2?q2=a2+q?a2
解得，q=1或﹣
故答案为1或﹣
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．
14．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．
【分析】由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．
【解答】解：由题意知数列{an}的首项为a1，公差为d．
因为数列{an}的前n项和是Sn，
所以，，．
又{}也是公差为d的等差数列，
则，两边平方得：①
，两边平方得：②
②﹣①得：③，
把③代入①得：d（2d﹣1）=0．
所以d=0或d=．
当d=0时，a1=0，不合题意，
当d=时，代入③解得．
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．
15．等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10= 12 ．
【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．
【解答】解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．
由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，
∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．
∴a1+a4+a7+a10=12．
故答案为12．
【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．
16．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，an﹣1anan+1=324，则n= 14 ．
【分析】正项等比数列{an}中，由a1a2a3=4，a4a5a6=12，知a=4，a=12，a=36，a=108，a=324，再由an﹣1anan+1=a=324，能求出n．
【解答】解：正项等比数列{an}中，
∵a1a2a3=4，a4a5a6=12，
∴a=4，a=12，a=36，a=108，a=324，
∵an﹣1anan+1=a=324，
∴n=14．
故答案为14．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
三．解答题（共8小题）
17．已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n，求an．
【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．
【解答】解：a1=S1=3+2=5，
an=Sn﹣Sn﹣1=（3+2n）﹣（3+2n﹣1）=2n﹣1，
当n=1时，2n﹣1=1≠a1，
∴．
【点评】本题考查数列的性质和应用、数列的概念及简单表示法，解题时要注意前n项和与通项公式之间关系式的灵活运用．
18．数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
【分析】数列{an}的通项公式是an=n2﹣7n+6求解．
【解答】解：（1）∵an=n2﹣7n+6，
∴=﹣6．
∴这个数列的第4项是﹣6．
（2）解方程n2﹣7n+6=150，
得n=16，或n=﹣9，
∵n∈N*，
∴150是这个数列的项，它是第16项．
（3）由an=n2﹣7n+6≥0，
得n≤1，或n≥6．
∴数列从第7项开始各项都是正数．
【点评】本题考查数列的通项公式的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
19．（理）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．
（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°，再由余弦定理和条件可得 cos A==，由此求得m的值．
（2）由cos A==可得bc≤a2，故S△ABC =sin A≤×，由此求得结果．
【解答】解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形内角和公式知A=60°．
又由a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形得=．
再由余弦定理可得 cos A==，
∴m=1． …（4分）
（2）∵cos A==，
∴bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2，
故S△ABC =sin A≤×=，
∴△ABC面积的最大值为．…（8分）
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及解三角形的方法，属于中档题．
20．已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
【分析】（1）设数列{an} 的公差为d，由等差数列的通项公式可得，解可得a1与d的值，代入等差数列的通项公式中即可得答案；
（2）由（1）可得a1与d的值，代入等差数列的前n项和公式可得Sn=n（n+1），又由a1，ak，Sk+2成等比数列，可得（ak）2=2（k+2）（k+3），解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设数列{an} 的公差为d，
由题意知，
解得a1=2，d=2，
则an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；
（2）由（1）可得a1=2，an=2n，
则Sn==n2+n=n（n+1），
若a1，ak，Sk+2成等比数列，
则有（ak）2=2（k+2）（k+3），
即4k2=2k2+10k+12，
变形可得：k2﹣5k﹣6=0，
解可得k=6或k=﹣1（舍）；
故k=6．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的通项公式．
21．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=10，S3=24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最大值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=10，S3=24．利用求和公式解得d，即可得出an．
（2）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=10，S3=24．
∴3×10+d=24，
解得d=﹣2．
∴an=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．
（2）Sn==﹣n2+11n=﹣+．
∴当n=5或6时，Sn最大，Sn=﹣52+55=30．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d≠0．S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列，可得2S3=S1+1+S4， =a1a5，即a2+a3=1+a4， =a1（a1+4d），d≠0．解出即可得出．
（2）由（1）可得：Sn==n2，可得s4=42=16，s6=62=36．s4，s6，sn成等比数列，可得=S4?Sn，362=16×n2，解出即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d≠0．
∵S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列，
∴2S3=S1+1+S4， =a1a5，
即a2+a3=1+a4， =a1（a1+4d），d≠0．
可得a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）由（1）可得：Sn==n2，∴s4=42=16，s6=62=36．
∵s4，s6，sn成等比数列，∴ =S4?Sn，∴362=16×n2，
化为：36=4n，解得n=9．此等比数列的公比==．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；
（2）证明：为无理数；
（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．
【分析】（1）根据题意取一个等比数列{an}：首项为1、公比为，由等比数列的通项公式求出an，再求出an=4时的项数n即可判断；
（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得，再进行证明直到推出矛盾；
（3）假设1，，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．
【解答】解：（1）取一个等比数列{an}：首项为1、公比为，
则，…2分
则令=4，解得n=5，
所以a1=1，，a5=4． …4分
（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分
则h2=2k2，所以h为偶数，…7分
设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，
则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分
所以假设不成立，所以是有理数． …10分
（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，
且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分
设公差为d，显然d≠0，则，
消去d得，，…13分
由n、m、p都为整数，所以为有理数，
由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分
所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分．
【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．
24．已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，且S3=13，a2=3．
（ I）求数列{an}的通项公式；
（ II）设bn=1+log3an，求数列{anbn}的前n项和Tn．
【分析】（ I）设{an} 的公比为 q，利用等比数列的前n项和的定义和通项公式列出关于首项和q的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（ II）利用上题中的通项公式得到bn=n，则anbn=3n﹣1，结合错误相减法来求Tn．
【解答】解：（I）设{an} 的公比为 q，
由已知得
解得或，
又因为数列 {an}为递增数列
所以a1=1，q=3，
∴an=3n﹣1（n∈N+）．
（ II）由题意知，bn=n，则anbn=3n﹣1，
∴Tn=1+2?3+3?32+…+n?3n﹣1，①
3Tn=3+2?32+3?33+…+n?3n，②
由①﹣②，得
﹣2Tn=1+3+32+…+3n﹣1+n?3n﹣，
∴Tn=+．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，考查了计算能力，属于中档题．