2018年高中数学人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年高中数学人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 697.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-20 09:31:02 | ||
图片预览
文档简介
2018年高中数学人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．设△ABC的内角A，B，C的所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（0，）
C．（，） D．（，+∞）
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3acosC=2ccosA，tanA=，则角B的度数为（ ）
A．120° B．135° C．60° D．45°
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC+sinC），a=2，c=，则角C=（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A等于（ ）
A．45° B．120° C．60° D．30°
6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=．若a2sinC=24sinA，a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的S=（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC﹣cosC=1﹣cos，若△ABC的面积S=（a+b）sinC=，则△ABC的周长为（ ）
A．2+5 B． +5 C．2+3 D． +3
8．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h
C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h
9．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
10．函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （ ）
A．a2+b2=0 B．a+b=0 C．a=b D．ab=0
二．填空题（共6小题）
11．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为 ．
12．已知△ABC满足BC?AC=2，若C=， =，则AB= ．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是
．
14．三角形的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则此三角形外接圆半径为 ．
15．在△ABC中，BC=2，AC=2，C=150°，则△ABC的面积为 ．
16．在如图所示的平面四边形ABCD中，AB=1，BC=，△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD=90°，则BD长的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a．
（1）求角B、C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．
18．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC﹣c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若∠ABC=，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．
19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+（c﹣2b）cosA=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且，求b+c的值．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．
21．已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．
（1）求边BC的长；
（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．
22．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积S的最大值．
23．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．
24．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
2018年高中数学人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．设△ABC的内角A，B，C的所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（0，）
C．（，） D．（，+∞）
【分析】先用余弦定理获得a，b，c的关系式，进而根据三边长成等比数列求得c=代入，整理可得关于的等式，利用cosA的范围获得不等式，解不等式即可．
【解答】解：由余弦定理知cosB=，
∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，即c=，
∴cosB==（+﹣1），
设=t，则cosB=（t2+﹣1），
∵﹣1＜cosB＜1，
∴﹣1＜（t2+﹣1）＜1
∵t2+≥2，
∴t2+﹣1≥1，
只需求（t2+﹣1）＜1，整理得t4﹣3t2+1＜0，
求得＜t2＜，
∴＜t＜，
即＜＜，
∵正弦定理知=，
∴＜＜，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．本题主要是利用正弦定理和余弦定理把解三角形问题转换成解不等式问题．
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3acosC=2ccosA，tanA=，则角B的度数为（ ）
A．120° B．135° C．60° D．45°
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanA=tanC，进而解得tanC，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanB的值，结合范围B∈（0°，180°），即可得解B的值．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，tanA=，
∴3sinAcosC=2sinCcosA，可得：tanA=tanC，解得：tanC=，
∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣1，
∵B∈（0°，180°），
∴B=135°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC+sinC），a=2，c=，则角C=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA=，结合范围A∈（0，π），可求sinA的值，进而根据正弦定理可得sinC的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：∵b=a（cosC+sinC），
∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴可得： sinA=cosA，可得：tanA=，
∵A∈（0，π），
∴A=，可得：sinA=，
又∵a=2，c=，
∴由正弦定理可得：sinC===，
∵c＜a，C为锐角，
∴C=．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
4．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理即可得出．
【解答】解：由图可知AB=，BC==2，AC==，
由余弦定理得cos∠ABC==．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A等于（ ）
A．45° B．120° C．60° D．30°
【分析】利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣a2，
∴cosA===．
A∈（0°，180°），
∴A=60°．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=．若a2sinC=24sinA，a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=24，则由a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA得a2+c2﹣b2=27，利用公式可得结论．
【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=24sinA得ac=24，
则a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA可得a（c﹣b）（c+b）=（27﹣a2）a，
则c2﹣b2=27﹣a2，
即c2+a2﹣b2=27，
∴S==，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC﹣cosC=1﹣cos，若△ABC的面积S=（a+b）sinC=，则△ABC的周长为（ ）
A．2+5 B． +5 C．2+3 D． +3
【分析】由已知求得cos，进一步求得cosC，sinC的值，代入S=（a+b）sinC=，求得a+b，进一步求得ab，则a，b可求，再由余弦定理取得c，则△ABC的周长可求．
【解答】解：由sinC﹣cosC=1﹣cos，得，
∴2sin﹣2cos，得sin（）=﹣．
∵0＜C＜π，∴＜＜，则cos（）=．
则cos=cos[（）+]=cos（）cos﹣sin（）sin
==．
∴cosC==，则sinC=．
由S=（a+b）sinC=，得S=（a+b）×=，得a+b=4．
又S=（a+b）sinC=，可得a+b=ab=4，
则a=b=2．
∴c2=a2+b2﹣2ab?cosC=，
∴c=，
则△ABC的周长为2+2+=．
故选：D．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查三角形的解法，是中档题．
8．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h
C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h
【分析】由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得=，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．
【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，
∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°
∴SNM=105°
∴∠MSN=30°，
△MNS中利用正弦定理可得， =．
MN==10（）n mile，
∴货轮航行的速度v==20（） n mile/h．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．
9．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
【分析】根据题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的长
【解答】解：由题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°
利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°
∴AB=700米
故选：C．
【点评】本题以方位角为载体，考查三角形的构建，考查余弦定理的运用，属于基础题．
10．函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （ ）
A．a2+b2=0 B．a+b=0 C．a=b D．ab=0
【分析】由给出的函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，且0在其定义域中，由f（0）=0求出b的值，再取特殊值f（﹣1）=﹣f（1）求出a的值，然后证明当a=b=0时函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，从而可得结论．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，且函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，
则，f（0）=0，即barccos0=0，
所以，b=0．
再由f（﹣1）=﹣f（1），得：
﹣|arcsin（﹣1）+a|+barccos（﹣1）=﹣|arcsin1+a|+barccos1，
即﹣|+a|+πb=﹣|+a|，
||=||，
所以，a=0
所以，函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的必要条件是a=0，b=0．
下面证明充分性
若a=0，b=0．
则f（x）=x|arcsinx|，
f（﹣x）=﹣x|srxsin（﹣x）|=﹣x|﹣arcsinx|=﹣x|arcsinx|=﹣f（x）．
所以f（x）是奇函数．
综上，f（x）是奇函数的充要条件是 a=0且b=0，即a2+b2=0．
故选：A．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．
判断充要条件的方法是：
①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
此题是中档题．
二．填空题（共6小题）
11．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为 15 ．
【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，推出a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，利用sinA=，求出A=60°或120°．判断A的值．利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a﹣b=b﹣c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA=，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因为三条边不相等，
则必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA=
=
=
=﹣．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
故选D．
【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
12．已知△ABC满足BC?AC=2，若C=， =，则AB= ．
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值化简可得b=，由BC?AC=2，可解得a，b的值，利用余弦定理即可得解．
【解答】解：设三角形的边AB，BC，AC所对的边分别为c，a，b，
∵=，C=，
∴=﹣，解得：cosC=﹣=﹣，
∴b=，
∵BC?AC=2，可得：ab=2，解得：a=，b=2．
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5a2=10，
∴c=．即AB的值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是
．
【分析】利用余弦定理，结合c2=（a﹣b）2+6，C=，求出ab=6，利用S△ABC=absinC，求出△ABC的面积．
【解答】解：由c2=（a﹣b）2+6，可得c2=a2+b2﹣2ab+6，
由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+b2﹣ab，
所以：a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab，
所以ab=6；
所以S△ABC=absinC=×6×=．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定ab=6是关键．
14．三角形的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则此三角形外接圆半径为 1 ．
【分析】设AB=1，AC=，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通过cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，则可得A=90°，外接圆的直径2R=BC，从而可求结果．
【解答】解：设AB=1，AC=，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，
则BD=DC=x，
△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，
△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=，
因为cos∠ADB=﹣cos∠ADC
所以=﹣
∴x=1
∴BC=2
∴AB2+AC2=BC2即A=90°
∴外接圆的直径2R=BC=2，从而可得R=1
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了利用余弦定理求解三角形的应用，直角三角形的性质的应用，属于三角知识的综合应用．
15．在△ABC中，BC=2，AC=2，C=150°，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】根据题目的条件，直接求出三角形的面积即可．
【解答】解：在△ABC中，BC=2，AC=2，C=150°，则△ABC的面积为： BC?ACsinC=×=1．
故答案为：1．
【点评】本题是基础题，考查三角形面积的求法，考查计算能力．
16．在如图所示的平面四边形ABCD中，AB=1，BC=，△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD=90°，则BD长的最大值为 1+ ．
【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2=4﹣2cosα，由正弦定理得sinβ=，在△BCD中，可得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos（900+β），运用诱导公式和辅助角公式，以及正弦函数的值域即可得到最大值．
【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，
则在△ABC中，
由余弦定理得AC2=1+3﹣2cosα=4﹣2cosα，
由正弦定理得=，
即sinβ=，
∵△ACD为等腰直角三角形，AD=AC，
在△BCD中，
由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos（900+β）
即BD2=3+AC2+2ACsinβ
=3+4﹣2cosα+2sinα
=7+2sin（α﹣）
∴当α=时，sin（α﹣）取得最大值1，
对角线BD最大，最大值为1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于难题．
三．解答题（共8小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a．
（1）求角B、C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．
【分析】（I）由正弦定理，将题中等式化成，结合利用两角差的正弦公式展开，化简整理得sin（B﹣C）=1．根据角B、C的取值范围，结合特殊三角函数的值，即可算出．
（II）由（I）的结论，结合正弦定理，算出，根据正弦定理的面积公式得到=，利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可算出△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理，得．…（1分）
展开，得，…（2分）
化简得sinBcosC﹣cosBsinC=1，即sin（B﹣C）=1．…（3分）
∵，可得，…（4分）
∴．…（5分）
又∵，∴，
解之得：．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
由正弦定理，得．…（8分）
∴△ABC的面积为…（9分）
==．…（12分）
【点评】本题给出△ABC中，并给出边角关系式，求角B、C的大小并依此求三角形的面积．着重考查了三角形面积公式、诱导公式、二倍角的三角函数公式和利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．
18．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC﹣c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若∠ABC=，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解A的大小；
（2）根据角A和∠ABC=，可得角C的值，可得AD=AC，利用余弦定理，即可求解AD，即可求解△ABC的面积
【解答】解：由2acosC﹣c=2b．
正弦定理，可得2sinAcosC﹣sinC=2sinB
即2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）
可得：﹣sinC=2cosAsinC、
sinC≠0
∴cosA=，
A∈（0，π）
则A=．
（2）由（1）可知A=．∠ABC=
∴C=
则AC=AB．
设AD=x，则AB=2x，
在△ABD中利用余弦定理：可得BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA．
即7x2=35，可得x=，
故得△ABC的面积S=×=．
【点评】本题主要考察了正余弦定理的应用，和与差式的应用，属于基础题．
19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+（c﹣2b）cosA=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且，求b+c的值．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解A即可．
（2）通过三角形的面积，以及余弦定理，转化求解即可．
【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…（2分）
即sin（A+C）=sinB=2sinBcosA…（4分）
∴，∵0＜A＜π，∴…（6分）
（2）∵，
∴bc=8…（8分）
∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3bc，
∴（b+c）2=a2+3bc=12+24=36…（11分）
∴b+c=6…（12分）
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．
【分析】（1）利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值，利用向量的数量积求出bc，然后求解三角形的面积．
（2）利用余弦定理以及（1）的结果，代入求解即可．
【解答】解：（1）因为，
所以，．
又由得bccosA=3，所以bc=5
因此．
（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，
由余弦定理，得，所以
【点评】本题考查向量的数量积是应用，余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
21．已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．
（1）求边BC的长；
（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．
【分析】（1）根据正弦定理，得，△ABC的周长为+1，即可求边BC的长．
（2）根据△ABC的面积为sinA=AC?ABsinA，可得AC?AB的值，，利用余弦定理即可求A
【解答】解：（1）由正弦定理，得，
∵，
∴，BC=1．
（2）∵，
∴．
又，
由余弦定理，得==，
∴A=60°．
【点评】本题考查了正余弦定了的运用和△ABC的面积的处理，周长的利用．属于基础题．
22．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积S的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理以及和与差的公式即可求解角A的大小；
（2）根据△ABC的面积S=bccosA，余弦定理建立关系，基本不等式可得答案；
【解答】解：（1）因为（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
可得2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC=0，
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB，
∵0＜B＜π，sinB≠0．
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2cbcosA，
∴a2=b2+c2﹣bc．
即4+bc=b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号．
∴bc≤4，
那么：△ABC的面积S=bcsinA×sin=．
此时△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积S的最大值为．
【点评】本题考查△ABC的面积的求法，正余弦定理的合理运用．属于基础题．
23．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．
【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t，
在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2?12?10tcos 120°，
∴t=2或t=﹣（舍去），
故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
24．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【分析】连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，从而∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，A1B2=10，在△B1A1B2中，由余弦定理求出B1B2得出乙船的速度．
【解答】解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，
连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．
∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，
在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1?A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．
∴B1B2=10．
∴乙船的航行速度是海里/小时．
【点评】本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．
一．选择题（共10小题）
1．设△ABC的内角A，B，C的所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（0，）
C．（，） D．（，+∞）
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3acosC=2ccosA，tanA=，则角B的度数为（ ）
A．120° B．135° C．60° D．45°
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC+sinC），a=2，c=，则角C=（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A等于（ ）
A．45° B．120° C．60° D．30°
6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=．若a2sinC=24sinA，a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的S=（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC﹣cosC=1﹣cos，若△ABC的面积S=（a+b）sinC=，则△ABC的周长为（ ）
A．2+5 B． +5 C．2+3 D． +3
8．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h
C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h
9．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
10．函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （ ）
A．a2+b2=0 B．a+b=0 C．a=b D．ab=0
二．填空题（共6小题）
11．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为 ．
12．已知△ABC满足BC?AC=2，若C=， =，则AB= ．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是
．
14．三角形的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则此三角形外接圆半径为 ．
15．在△ABC中，BC=2，AC=2，C=150°，则△ABC的面积为 ．
16．在如图所示的平面四边形ABCD中，AB=1，BC=，△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD=90°，则BD长的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a．
（1）求角B、C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．
18．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC﹣c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若∠ABC=，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．
19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+（c﹣2b）cosA=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且，求b+c的值．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．
21．已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．
（1）求边BC的长；
（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．
22．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积S的最大值．
23．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．
24．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
2018年高中数学人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．设△ABC的内角A，B，C的所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（0，）
C．（，） D．（，+∞）
【分析】先用余弦定理获得a，b，c的关系式，进而根据三边长成等比数列求得c=代入，整理可得关于的等式，利用cosA的范围获得不等式，解不等式即可．
【解答】解：由余弦定理知cosB=，
∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，即c=，
∴cosB==（+﹣1），
设=t，则cosB=（t2+﹣1），
∵﹣1＜cosB＜1，
∴﹣1＜（t2+﹣1）＜1
∵t2+≥2，
∴t2+﹣1≥1，
只需求（t2+﹣1）＜1，整理得t4﹣3t2+1＜0，
求得＜t2＜，
∴＜t＜，
即＜＜，
∵正弦定理知=，
∴＜＜，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．本题主要是利用正弦定理和余弦定理把解三角形问题转换成解不等式问题．
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3acosC=2ccosA，tanA=，则角B的度数为（ ）
A．120° B．135° C．60° D．45°
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanA=tanC，进而解得tanC，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanB的值，结合范围B∈（0°，180°），即可得解B的值．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，tanA=，
∴3sinAcosC=2sinCcosA，可得：tanA=tanC，解得：tanC=，
∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣1，
∵B∈（0°，180°），
∴B=135°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC+sinC），a=2，c=，则角C=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA=，结合范围A∈（0，π），可求sinA的值，进而根据正弦定理可得sinC的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：∵b=a（cosC+sinC），
∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴可得： sinA=cosA，可得：tanA=，
∵A∈（0，π），
∴A=，可得：sinA=，
又∵a=2，c=，
∴由正弦定理可得：sinC===，
∵c＜a，C为锐角，
∴C=．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
4．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理即可得出．
【解答】解：由图可知AB=，BC==2，AC==，
由余弦定理得cos∠ABC==．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A等于（ ）
A．45° B．120° C．60° D．30°
【分析】利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣a2，
∴cosA===．
A∈（0°，180°），
∴A=60°．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=．若a2sinC=24sinA，a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=24，则由a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA得a2+c2﹣b2=27，利用公式可得结论．
【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=24sinA得ac=24，
则a（sinC﹣sinB）（c+b）=（27﹣a2）sinA可得a（c﹣b）（c+b）=（27﹣a2）a，
则c2﹣b2=27﹣a2，
即c2+a2﹣b2=27，
∴S==，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC﹣cosC=1﹣cos，若△ABC的面积S=（a+b）sinC=，则△ABC的周长为（ ）
A．2+5 B． +5 C．2+3 D． +3
【分析】由已知求得cos，进一步求得cosC，sinC的值，代入S=（a+b）sinC=，求得a+b，进一步求得ab，则a，b可求，再由余弦定理取得c，则△ABC的周长可求．
【解答】解：由sinC﹣cosC=1﹣cos，得，
∴2sin﹣2cos，得sin（）=﹣．
∵0＜C＜π，∴＜＜，则cos（）=．
则cos=cos[（）+]=cos（）cos﹣sin（）sin
==．
∴cosC==，则sinC=．
由S=（a+b）sinC=，得S=（a+b）×=，得a+b=4．
又S=（a+b）sinC=，可得a+b=ab=4，
则a=b=2．
∴c2=a2+b2﹣2ab?cosC=，
∴c=，
则△ABC的周长为2+2+=．
故选：D．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查三角形的解法，是中档题．
8．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/h
C．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h
【分析】由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得=，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．
【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，
∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°
∴SNM=105°
∴∠MSN=30°，
△MNS中利用正弦定理可得， =．
MN==10（）n mile，
∴货轮航行的速度v==20（） n mile/h．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．
9．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（ ）
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
【分析】根据题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的长
【解答】解：由题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°
利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°
∴AB=700米
故选：C．
【点评】本题以方位角为载体，考查三角形的构建，考查余弦定理的运用，属于基础题．
10．函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （ ）
A．a2+b2=0 B．a+b=0 C．a=b D．ab=0
【分析】由给出的函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，且0在其定义域中，由f（0）=0求出b的值，再取特殊值f（﹣1）=﹣f（1）求出a的值，然后证明当a=b=0时函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，从而可得结论．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，且函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，
则，f（0）=0，即barccos0=0，
所以，b=0．
再由f（﹣1）=﹣f（1），得：
﹣|arcsin（﹣1）+a|+barccos（﹣1）=﹣|arcsin1+a|+barccos1，
即﹣|+a|+πb=﹣|+a|，
||=||，
所以，a=0
所以，函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的必要条件是a=0，b=0．
下面证明充分性
若a=0，b=0．
则f（x）=x|arcsinx|，
f（﹣x）=﹣x|srxsin（﹣x）|=﹣x|﹣arcsinx|=﹣x|arcsinx|=﹣f（x）．
所以f（x）是奇函数．
综上，f（x）是奇函数的充要条件是 a=0且b=0，即a2+b2=0．
故选：A．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．
判断充要条件的方法是：
①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
此题是中档题．
二．填空题（共6小题）
11．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为 15 ．
【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，推出a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，利用sinA=，求出A=60°或120°．判断A的值．利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a﹣b=b﹣c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA=，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因为三条边不相等，
则必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA=
=
=
=﹣．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
故选D．
【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
12．已知△ABC满足BC?AC=2，若C=， =，则AB= ．
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值化简可得b=，由BC?AC=2，可解得a，b的值，利用余弦定理即可得解．
【解答】解：设三角形的边AB，BC，AC所对的边分别为c，a，b，
∵=，C=，
∴=﹣，解得：cosC=﹣=﹣，
∴b=，
∵BC?AC=2，可得：ab=2，解得：a=，b=2．
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=5a2=10，
∴c=．即AB的值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是
．
【分析】利用余弦定理，结合c2=（a﹣b）2+6，C=，求出ab=6，利用S△ABC=absinC，求出△ABC的面积．
【解答】解：由c2=（a﹣b）2+6，可得c2=a2+b2﹣2ab+6，
由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+b2﹣ab，
所以：a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab，
所以ab=6；
所以S△ABC=absinC=×6×=．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定ab=6是关键．
14．三角形的两边长分别为，第三边上的中线长为1，则此三角形外接圆半径为 1 ．
【分析】设AB=1，AC=，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通过cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，则可得A=90°，外接圆的直径2R=BC，从而可求结果．
【解答】解：设AB=1，AC=，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，
则BD=DC=x，
△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，
△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=，
因为cos∠ADB=﹣cos∠ADC
所以=﹣
∴x=1
∴BC=2
∴AB2+AC2=BC2即A=90°
∴外接圆的直径2R=BC=2，从而可得R=1
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了利用余弦定理求解三角形的应用，直角三角形的性质的应用，属于三角知识的综合应用．
15．在△ABC中，BC=2，AC=2，C=150°，则△ABC的面积为 1 ．
【分析】根据题目的条件，直接求出三角形的面积即可．
【解答】解：在△ABC中，BC=2，AC=2，C=150°，则△ABC的面积为： BC?ACsinC=×=1．
故答案为：1．
【点评】本题是基础题，考查三角形面积的求法，考查计算能力．
16．在如图所示的平面四边形ABCD中，AB=1，BC=，△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD=90°，则BD长的最大值为 1+ ．
【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2=4﹣2cosα，由正弦定理得sinβ=，在△BCD中，可得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos（900+β），运用诱导公式和辅助角公式，以及正弦函数的值域即可得到最大值．
【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，
则在△ABC中，
由余弦定理得AC2=1+3﹣2cosα=4﹣2cosα，
由正弦定理得=，
即sinβ=，
∵△ACD为等腰直角三角形，AD=AC，
在△BCD中，
由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos（900+β）
即BD2=3+AC2+2ACsinβ
=3+4﹣2cosα+2sinα
=7+2sin（α﹣）
∴当α=时，sin（α﹣）取得最大值1，
对角线BD最大，最大值为1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于难题．
三．解答题（共8小题）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a．
（1）求角B、C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．
【分析】（I）由正弦定理，将题中等式化成，结合利用两角差的正弦公式展开，化简整理得sin（B﹣C）=1．根据角B、C的取值范围，结合特殊三角函数的值，即可算出．
（II）由（I）的结论，结合正弦定理，算出，根据正弦定理的面积公式得到=，利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可算出△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理，得．…（1分）
展开，得，…（2分）
化简得sinBcosC﹣cosBsinC=1，即sin（B﹣C）=1．…（3分）
∵，可得，…（4分）
∴．…（5分）
又∵，∴，
解之得：．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
由正弦定理，得．…（8分）
∴△ABC的面积为…（9分）
==．…（12分）
【点评】本题给出△ABC中，并给出边角关系式，求角B、C的大小并依此求三角形的面积．着重考查了三角形面积公式、诱导公式、二倍角的三角函数公式和利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．
18．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC﹣c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若∠ABC=，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解A的大小；
（2）根据角A和∠ABC=，可得角C的值，可得AD=AC，利用余弦定理，即可求解AD，即可求解△ABC的面积
【解答】解：由2acosC﹣c=2b．
正弦定理，可得2sinAcosC﹣sinC=2sinB
即2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）
可得：﹣sinC=2cosAsinC、
sinC≠0
∴cosA=，
A∈（0，π）
则A=．
（2）由（1）可知A=．∠ABC=
∴C=
则AC=AB．
设AD=x，则AB=2x，
在△ABD中利用余弦定理：可得BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA．
即7x2=35，可得x=，
故得△ABC的面积S=×=．
【点评】本题主要考察了正余弦定理的应用，和与差式的应用，属于基础题．
19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+（c﹣2b）cosA=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，且，求b+c的值．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解A即可．
（2）通过三角形的面积，以及余弦定理，转化求解即可．
【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA…（2分）
即sin（A+C）=sinB=2sinBcosA…（4分）
∴，∵0＜A＜π，∴…（6分）
（2）∵，
∴bc=8…（8分）
∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3bc，
∴（b+c）2=a2+3bc=12+24=36…（11分）
∴b+c=6…（12分）
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．
【分析】（1）利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值，利用向量的数量积求出bc，然后求解三角形的面积．
（2）利用余弦定理以及（1）的结果，代入求解即可．
【解答】解：（1）因为，
所以，．
又由得bccosA=3，所以bc=5
因此．
（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，
由余弦定理，得，所以
【点评】本题考查向量的数量积是应用，余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
21．已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．
（1）求边BC的长；
（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．
【分析】（1）根据正弦定理，得，△ABC的周长为+1，即可求边BC的长．
（2）根据△ABC的面积为sinA=AC?ABsinA，可得AC?AB的值，，利用余弦定理即可求A
【解答】解：（1）由正弦定理，得，
∵，
∴，BC=1．
（2）∵，
∴．
又，
由余弦定理，得==，
∴A=60°．
【点评】本题考查了正余弦定了的运用和△ABC的面积的处理，周长的利用．属于基础题．
22．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积S的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理以及和与差的公式即可求解角A的大小；
（2）根据△ABC的面积S=bccosA，余弦定理建立关系，基本不等式可得答案；
【解答】解：（1）因为（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
可得2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC=0，
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB，
∵0＜B＜π，sinB≠0．
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2cbcosA，
∴a2=b2+c2﹣bc．
即4+bc=b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号．
∴bc≤4，
那么：△ABC的面积S=bcsinA×sin=．
此时△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积S的最大值为．
【点评】本题考查△ABC的面积的求法，正余弦定理的合理运用．属于基础题．
23．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．
【分析】设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，根据各自的速度表示出BC与AC，由∠ABC=120°，利用余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t，
在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2?12?10tcos 120°，
∴t=2或t=﹣（舍去），
故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
24．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【分析】连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，从而∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，A1B2=10，在△B1A1B2中，由余弦定理求出B1B2得出乙船的速度．
【解答】解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，
连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．
∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，
在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1?A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．
∴B1B2=10．
∴乙船的航行速度是海里/小时．
【点评】本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．