2018年人教A版必修1《第3章 函数的应用》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年人教A版必修1《第3章 函数的应用》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 758.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-20 09:35:12 | ||
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文档简介
人教A版必修1《第3章 函数的应用》2017年单元测试卷
一．选择题（共14小题）
1．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（ ）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（ ）
A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）
4．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）
5．已知f（x）=|x?ex|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．（，+∞）
C．（﹣，﹣2） D．（2，）
6．若x0是方程lnx+x﹣3=0的实数解，则x0属于区间（ ）
A．（1，1.5） B．（1.5，2） C．（2，2.5） D．（2.5，3）
7．方程lnx+2x=6的根所在的区间为（ ）
A．（2，2.25） B．（2.25，2.5） C．（2.5，2.75） D．（2.75，3）
8．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
9．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）
①f（2x）=2f（x）；
②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；
③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A．y=2x﹣2 B．y=（x2﹣1） C．y=log2x D．y=x
11．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
12．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．
C．（﹣3，1）∪ D．
13．2011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（ ）
级数 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过1500元 3
2 1500元﹣4500元 10
注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额．
A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
14．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（ ）
A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
二．填空题（共13小题）
15．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 ?
16．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是 ．
17．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
18．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围 ．
19．若对任意m∈（﹣2，﹣1），f（x）=mx2﹣（5m+n）x+n在x∈（3，5）上存在零点，则实数n的取值范围是 ．
20．用二分法求方程x3+4=6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0，1）内，则下一步可断定该根所在的区间为 ．
21．设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ，b= ．
22．已知x，y之间的一组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y=x+1；②y=2x﹣1；③y=；④y=x，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是 （填序号）．
23．函数y=x2与函数h=lnx2在（0，+∞）上增长较快的一个是 ．
24．已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是 ．
25．设函数f（x）=，则f（f（3））= ．
26．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 元．
27．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是 （填序号）．
①劳动产值为10000元时，工资为50元；
②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；
③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；
④劳动产值为10000元时，工资为90元．
三．解答题（共8小题）
28．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．
29．已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞4．
30．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．
31．已知函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log2[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．
32．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足．
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；
（3）求证：．
33．设函数f（x）=|x﹣2|+2x﹣3，记f（x）≤﹣1的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．
34．设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．
（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；
（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；
（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．
35．已知函数f（x）=log2；
（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
人教A版必修1《第3章 函数的应用》2017年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．
【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．
令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．
2．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（ ）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，
f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，即f（e﹣1）?f（2）＜0，
∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （e﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．
3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（ ）
A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）
【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n﹣．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．
设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．
①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2 在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=，
∴y==，故其切点为，
∴；
由（1≤x＜2）解之得．
综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．
故选：C．
【点评】此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法．
4．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）
【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log2x为定值，
设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，
又由f（t）=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log2x+2，f′（x）=，
将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣=0，
令h（x）=log2x﹣，
分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，
则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，
则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选：C．
【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．
5．已知f（x）=|x?ex|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．（，+∞）
C．（﹣，﹣2） D．（2，）
【分析】做出函数f（x）=|x?ex|的图象，根据图象可判断在（，+∞）上可有一个跟，在（0，）上可有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）＜0，求解即可．
【解答】解：g（x）=﹣1的x有四个，
∴f2（x）+tf（x）+1=0有4个根，
f（x）=|x?ex|的图象如图：
在x＜0时，有最大值f（﹣1）=，
故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）+1=0
一根在（0，）中间，一根在（，+∞），
∴y（）＜0，
∴+t+1＜0，
∴t＜﹣﹣1，
∴t＜﹣﹣e=﹣，
故选：A．
【点评】考查了抽象函数的理解和利用数学结合的思想求解问题．难点是对函数图象的理解．
6．若x0是方程lnx+x﹣3=0的实数解，则x0属于区间（ ）
A．（1，1.5） B．（1.5，2） C．（2，2.5） D．（2.5，3）
【分析】由方程lnx+x=3，设对应函数f（x）=lnx+x﹣3，然后根据根的存在性定理进行判断即可．
【解答】解：∵方程lnx+x﹣3=0，
∴设对应函数f（x）=lnx+x﹣3，
∵f（2）=ln2+2﹣3=ln2﹣1＜0，f（2.5）=ln2.5+2.5﹣3=ln2.5﹣0.5lne＞0，
∴根据根的存在性定理可知在区间（2，2.5）内函数存在零点，
即x0属于区间（2，2.5）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键，将方程转化为函数即可．
7．方程lnx+2x=6的根所在的区间为（ ）
A．（2，2.25） B．（2.25，2.5） C．（2.5，2.75） D．（2.75，3）
【分析】方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，而函数f（x）=lnx+2x﹣6在定义域上单调连续，从而即可求零点的区间．
【解答】解：令f（x）=lnx+2x﹣6，则f（x）在（2，3）上为增函数．
f（2）=ln2﹣2＜0，f（2.25）=ln2.25﹣1.5＜0，f（2.5）=ln2.5﹣1＜0，f（2.75）=ln2.75﹣0.5＞0，f（3）=ln3＞0，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题．
8．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
【分析】由题意知函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，
f（3）=log23﹣＜0；f（4）=log24﹣=＞0；
故函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间是（3，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
9．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）
①f（2x）=2f（x）；
②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；
③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可
【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f（2x）≠2f（x）；①错．
对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．
对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2?Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；
对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．
故选：C．
【点评】题适合充分利用选择题的优势来解答填空题．用逆向思维处理题目会事半功倍，属于中档题．
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A．y=2x﹣2 B．y=（x2﹣1） C．y=log2x D．y=x
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案．
【解答】解：由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在（0，+∞）上是增函数，
且y的变化随x的增大越来越快；
∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；
∴排除A，C、D答案；
∴B中函数y=（x2﹣1）符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
11．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
【分析】分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；
a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，
∴﹣2＜a＜2．
综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：A．
【点评】本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．
C．（﹣3，1）∪ D．
【分析】当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），化为关于m的不等式组，解得即可．
【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）≥1，
当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，
∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），
∴或或，
解得﹣3＜m＜1或x＞，
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数和不等式组的解集，属于中档题．
13．2011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（ ）
级数 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过1500元 3
2 1500元﹣4500元 10
注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额．
A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
【分析】个人所得税的税率是累进税率，利用题意，可得（X﹣3500﹣1500）×10%=245﹣45，即可得出结论．
【解答】解：设吴某该月工资收入为x元．1500×3%=45元．
（X﹣3500﹣1500）×10%=245﹣45，得x=7000元．
故选：A．
【点评】本题知识点比较单一就是考查个人所得税的累进税率这一个知识点，比较基础．
14．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（ ）
A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
【分析】由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元，再利用优惠劵1比优惠劵3减免的多，即可得出结论．
【解答】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．
他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免21.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免21.42元；
标价为239元，优惠劵1减免23.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免25.02元；
故选：C．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
二．填空题（共13小题）
15．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 4 ?
【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．
【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，
∴f（a）=2﹣log2a=0，
∴log2a=2，
解得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．
16．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是 （，+∞） ．
【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，
则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，
而函数f（x）=，其图象如图，
若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．
17．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ﹣1≤m＜2 ．
【分析】根据题意，求出直线y=x与射线y=2（x＞m）、抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f（x）图象上，由此不难得到实数m的取值范围．
【解答】解：根据题意，直线y=x与射线y=2（x＞m）有一个交点A（2，2），
并且与抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分有两个交点B、C
由，联解得B（﹣1，﹣1），C（﹣2，﹣2）
∵抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分必须包含B、C两点，
且点A（2，2）一定在射线y=2（x＞m）上，才能使y=f（x）图象与y=x有3个交点
∴实数m的取值范围是﹣1≤m＜2
故答案为：﹣1≤m＜2
【点评】本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题．
18．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围 ．
【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．
【解答】解：f（x）=|xex|=，
当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
如图：
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，
再令g（m）=m2+tm+1，
因为g（0）=1＞0，
则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围
是．
故答案为．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．
19．若对任意m∈（﹣2，﹣1），f（x）=mx2﹣（5m+n）x+n在x∈（3，5）上存在零点，则实数n的取值范围是 0＜n≤3 ．
【分析】分类讨论，利用零点存在性定理，即可得出结论．
【解答】解：对称轴x=（），f（3）=﹣6m﹣2n，f（5）=﹣4n，
若n≤0，f（3）＞0，f（5）≥0在x∈（3，5）上没有零点，
∴n＞0，f（5）＜0，f（3）＞0，解得0＜n≤3．
故答案为：0＜n≤3．
【点评】本题考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．用二分法求方程x3+4=6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0，1）内，则下一步可断定该根所在的区间为 （，1） ．
【分析】构造函数，旅游零点存在定理，即可得出结论．
【解答】解：令f（x）=x3﹣6x2+4，
则f（0）=4＞0，f（1）=﹣1＜0，f（）=＞0，
由f（）f（1）＜0知根所在区间为（，1）．
故答案为：（，1）．
【点评】此题是个基础题．考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力．
21．设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ﹣2 ，b= 1 ．
【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．
【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，
∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）
=x3+3x2﹣（a3+3a2）
∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
∴，解得或（舍去），
故答案为：﹣2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
22．已知x，y之间的一组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y=x+1；②y=2x﹣1；③y=；④y=x，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是 ④ （填序号）．
【分析】根据最小二乘法的思想得变量x与y间的线性回归直线方程必过点（，），故只需计算，，并代入选项即可得正确结果
【解答】解：根据最小二乘法的思想得变量x与y间的线性回归直线必过点（，），
则=，
==6，
①y=x+1，当x=4时，y=5，不成立；
②y=2x﹣1，当x=4时，y=7≠6，
③y=；当x=4时，y=6，当x=6时，y=9.2
④y=x，当x=4时，y=6．当x=6时，y=9，
综上拟合程度最好的直线是④
故答案为：④
【点评】本题考查了最小二乘法的思想，线性回归方程的特点，理解最小二乘法，记住回归直线的性质是解决本题的关键
23．函数y=x2与函数h=lnx2在（0，+∞）上增长较快的一个是 y=x2 ．
【分析】都是增函数时，指数函数最快，对数函数最慢，幂函数在中间．
【解答】解：函数y=x2是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数；
函数h=lnx2是对数函数，且在（0，+∞）上是增函数；
故函数y=x2与函数h=lnx2在（0，+∞）上增长较快的一个是：y=x2．
故答案为：y=x2．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数与幂函数的增长速度区别，属于基础题．
24．已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是 4 ．
【分析】由条件x＞0，y＞0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a、b、c、d转化成关于x、y的表达式=（x＞0，y＞0）
【解答】解：∵x、a、b、y成等差数列，
∴a+b=x+y
∵x、c、d、y成等比数列，
∴cd=xy
则=（x＞0，y＞0），
故答案为4．
【点评】本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．
25．设函数f（x）=，则f（f（3））= 3 ．
【分析】利用分段函数直接求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（f（3））=f（）=f（）=1﹣log2（2﹣）=1+2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
26．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 2.3 元．
【分析】根据邮资标准进行求解即可．
【解答】解：邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420﹣100=320，
每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，
则需要付0.4×4=1.6元，
则共付费0.7+1.6=2.3元，
故答案为：2.3
【点评】本题主要考查函数的应用问题，比较基础．
27．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是 ③ （填序号）．
①劳动产值为10000元时，工资为50元；
②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；
③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；
④劳动产值为10000元时，工资为90元．
【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．
【解答】解：∵回归直线方程为=60+90x，
∴当x增加1时，y要增加90元，
∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，
故答案为：③．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是看清题目中自变量的值每增加1个单位，y的值就平均增加90，注意平均一词．
三．解答题（共8小题）
28．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．
（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．
（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故f′（x）=0有唯一解x=0．
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 递减 极小值 递增
又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．
不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，
当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．
∴t﹣1=fmin（x）=f（0）=1，∴t=2．
（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而，
记，因为（当t=1时取等号），
所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．
综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．
②当0＜a＜1时，由，
综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．
【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．
29．已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞4．
【分析】（1）问题转化为方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点，即可求实数a的取值范围；
（2）解得：x1=，x2=．要证明x1+x2＞4，即证明+＞4，即证明lnt+tlnt＞2t﹣2，构造函数即可证明．
【解答】（1）解：∵f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点，
∴方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点．
令h（x）=，则h′（x）=，…（3分）
于是x∈（0，2）时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2）上单调递减，当x→0时，h（x）→+∞；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增，当x→+∞时，h（x）→+∞；
∴h（x）min=h（2）=，
∴a的取值范围为（，+∞）． …（5分）
（2）证明：∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上的零点，
∴ax12=，ax22=，
两式相除可得（）2=． …（7分）
令=t（t＞1），①
上式变为t2=，即x2﹣x1=2lnt，②
联立①②解得：x1=，x2=． …（9分）
要证明x1+x2＞4，
即证明+＞4，
即证明lnt+tlnt＞2t﹣2．
令h（t）=lnt+tlnt﹣2t+2，则h′（t）=+lnt﹣1． …（10分）
令y=+lnt﹣1，y′=＞0，
故y=+lnt﹣1在（1，+∞）上单调递增，故y＞0，即h′（t）＞0，
故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，
即lnt+tlnt＞2t﹣2，得证． …（12分）
【点评】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．
30．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．
【分析】（Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象，利用函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．
（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0），
则．…（2分）
从而可得函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象分别如下图所示．…（4分）
因为函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，
则题设可等价转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．…（5分）
由右上图可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）
即：当a=4或0＜a≤3时，函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点．…（7分）
（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，…（8分）
因为f（x）是定义在R上的奇函数，当f（x）=﹣4时，解得或1…（9分）
结合左上图可知，，…（10分）
即：．…（11分）
所以所求解集为． …（12分）
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．
31．已知函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log2[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．
【分析】（1）由已知中函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增根据函数取零点的条件，可得f’（1）=0，由此构造关于实数a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数f（x）的解析式及其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性和极值，再根据方程f（2x）=m有三个不同实数解，即f（x）=m有三个不同的正实数解，求出满足条件的实数m的取值范围；
（3）根据函数y=log2[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，则f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，构造关于P的不等式组，解不等式组求出实数p的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数
∴f’（x）=﹣x3+2x2+2ax﹣2
依题意，f（x） 在区间[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在x=1处有极值，即f’（1）=﹣1+2+2a﹣2=0，解出a=，
（2）由（1）得
f’（x）=﹣x3+2x2+x﹣2
令t=2x，（t＞0）则t=2x为增函数，每个x对应一个t，
而由题意：f（2x）=m有三个不同的实数解，就是说，关于t的方程f（t）=m在t＞0时有三个不同的实数解．
∵f’（t）=﹣t3+2t2+t﹣2=﹣（t+1）（t﹣1）（t﹣2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增区间，得﹣（t+1）（t﹣1）（t﹣2）≥0，保证t＞0，求得f（t）的增区间为1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的减区间，得﹣（t+1）（t﹣1）（t﹣2）≤0，保证t＞0，求得f（t）的减区间为0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1时有极小值，极小值为f（1）=，
在t=2时有极大值，极大值为f（2）=，
在t趋向于0时，f（t）趋向于﹣2．
∵＜＜﹣2
f（t）在t＞0上的图象为双峰形的一半，则要使f（t）=m有三个不同的实数解，须﹣＜m＜
（3）∵函数y=log2[f（x）+p]的真数部分为f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函数y=log2[f（x）+p]的图象与x轴无交点，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值为f（﹣1）=﹣，即f（x）≤﹣
所以f（x）+p≤p﹣，要使f（x）+p≠1，只有p﹣＜1，才能满足题意，解之得，p＜，
又由f（x）+p＞0，即p＞，
故p的范围是＜p＜．
【点评】本题考查的知识点是函数取极值的条件，函数与方程的综合应用，根的存在性及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，指数函数的性质，对数函数的性质，是对函数性质及解答方法比较综合的考查，熟练掌握基本初等函数的性质，会使用导数法求函数的单调性和极值点是解答本题的关键．
32．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足．
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；
（3）求证：．
【分析】（1）令m=n=1，由f（m）+f（n）=f（mn），得f（1）+f（1）=f（1），由此能求出f（1）．
（2）由f（2）=1，知f（x）＜2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），由f（x）在（0，+∞）上单调递增，能求出f（x）＜2的解集．
（3）由f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，知x∈（0，1）时，f（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，由|f（a）|=|f（b）|，知f（a）=f（b）或f（a）=﹣f（b）．由此能够证明．
【解答】（1）解：令m=n=1，
由f（m）+f（n）=f（mn），
得f（1）+f（1）=f（1）
∴f（1）=0…（3分）
（2）解：∵f（2）=1，
∴f（x）＜2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴0＜x＜4，
∴f（x）＜2的解集为 （0，4）…（7分）
（3）证明：∵f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，1）时，f（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
又|f（a）|=|f（b）|，
∴f（a）=f（b）或f（a）=﹣f（b），
∵0＜a＜b，
∴f（a）=﹣f（b）
∴f（a）+f（b）=f（ab）=0，
∴ab=1，
∴0＜a＜1＜b，
又∵
∴，
∴4b=a2+2ab+b2，
4b﹣b2﹣2=a2，考虑到0＜a＜1，
∴0＜4b﹣b2﹣2＜1，又b＞1
∴．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
33．设函数f（x）=|x﹣2|+2x﹣3，记f（x）≤﹣1的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．
【分析】（Ⅰ）化简，通关当x≤2时，当x＞2时，分别求解f（x）≤﹣1的解集．
（Ⅱ）求出当x∈M时，f（x）=x﹣1，化简x[f（x）]2﹣x2f（x），利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，
当x≤2时，由f（x）=x﹣1≤﹣1，解得，x≤0，此时x≤0．
当x＞2时，由f（x）=3x﹣5≤﹣1，解得，显然不成立，
故f（x）≤﹣1的解集为M={x|x≤0}．
（Ⅱ）证明：当x∈M时，f（x）=x﹣1，
于是，
∵函数在（﹣∞，0]上是增函数，∴g（x）≤g（0）=0，
故x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．
【点评】本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
34．设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．
（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；
（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；
（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．
【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）?M1．
（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．
（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，
得到对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．
【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）?M1．…（4分）
（2）由…（2分）
∴，…（3分）
故 a＞1．…（1分）
（3）由，…（1分）
即：
∴对任意x∈[1，+∞）都成立
∴…（3分）
当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）； …（1分）
当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）； …（1分）
当1≤k＜3时，．…（1分）
综上：…（1分）
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
35．已知函数f（x）=log2；
（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
【分析】（1）根据对数运算性质得=2，从而解出x的值；
（2）令g（x）=，判断g（x）的单调性得出g（x）的值域，根据对数的运算性质化简即可证明f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）利用（2）中的结论得出f（xn+1）与f（xn）的关系，判断f（xn）的周期，分别用f（x1）表示出f（x2），f（x3），f（x4），根据f（x）的单调性得出，从而求出f（x1）的范围，继而解出x1的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=log2=1，
∴=2，解得；
（2）令g（x）=，则g′（x）==．
∵a∈（1，+∞），∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣1，1）上是增函数，
又g（﹣1）=，g（1）==1，
∴﹣1＜g（x）＜1，即∈（﹣1，1）．
∵f（x）﹣f（）=log2﹣log2=log2﹣log2
=log2（）=log2，
f（）=log2=log2．
∴f（）=f（x）﹣f（），
∴f（）﹣f（x）=﹣f（）．
（3）∵f（x）的定义域为（﹣1，1），
f（﹣x）=log2=﹣log2=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
∵xn+1=（﹣1）n+1，
∴xn+1=．
①当n为奇数时，f（xn+1）=f（）=f（xn）﹣f（）=f（xn）﹣1，
∴f（xn+1）=f（xn）﹣1；
②当n为偶数时，f（xn+1）=f（﹣）=﹣f（）=1﹣f（xn），
∴f（xn+1）=1﹣f（xn）．
∴f（x2）=f（x1）﹣1，f（x3）=1﹣f（x2）=2﹣f（x1），f（x4）=f（x3）﹣1=1﹣f（x1），
f（x5）=1﹣f（x4）=f（x1），f（x6）=f（x5）﹣1=f（x1）﹣1，…
∴f（xn）=f（xn+4），n∈N+．
设h（x）=，则h′（x）==＞0，
∴h（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴f（x）=log2=log2h（x）在（﹣1，1）上是增函数．
∵x3≥xn对任意n∈N*成立，
∴f（x3）≥f（xn）恒成立，
∴，即，
解得：f（x1）≤1，即log2≤1，
∴0＜≤2，
解得：﹣1＜x1≤．
【点评】本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，属于难题．
一．选择题（共14小题）
1．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（ ）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（ ）
A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）
4．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）
5．已知f（x）=|x?ex|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．（，+∞）
C．（﹣，﹣2） D．（2，）
6．若x0是方程lnx+x﹣3=0的实数解，则x0属于区间（ ）
A．（1，1.5） B．（1.5，2） C．（2，2.5） D．（2.5，3）
7．方程lnx+2x=6的根所在的区间为（ ）
A．（2，2.25） B．（2.25，2.5） C．（2.5，2.75） D．（2.75，3）
8．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
9．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）
①f（2x）=2f（x）；
②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；
③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A．y=2x﹣2 B．y=（x2﹣1） C．y=log2x D．y=x
11．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
12．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．
C．（﹣3，1）∪ D．
13．2011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（ ）
级数 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过1500元 3
2 1500元﹣4500元 10
注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额．
A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
14．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（ ）
A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
二．填空题（共13小题）
15．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 ?
16．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是 ．
17．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
18．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围 ．
19．若对任意m∈（﹣2，﹣1），f（x）=mx2﹣（5m+n）x+n在x∈（3，5）上存在零点，则实数n的取值范围是 ．
20．用二分法求方程x3+4=6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0，1）内，则下一步可断定该根所在的区间为 ．
21．设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ，b= ．
22．已知x，y之间的一组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y=x+1；②y=2x﹣1；③y=；④y=x，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是 （填序号）．
23．函数y=x2与函数h=lnx2在（0，+∞）上增长较快的一个是 ．
24．已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是 ．
25．设函数f（x）=，则f（f（3））= ．
26．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 元．
27．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是 （填序号）．
①劳动产值为10000元时，工资为50元；
②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；
③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；
④劳动产值为10000元时，工资为90元．
三．解答题（共8小题）
28．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．
29．已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞4．
30．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．
31．已知函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log2[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．
32．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足．
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；
（3）求证：．
33．设函数f（x）=|x﹣2|+2x﹣3，记f（x）≤﹣1的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．
34．设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．
（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；
（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；
（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．
35．已知函数f（x）=log2；
（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
人教A版必修1《第3章 函数的应用》2017年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．
【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．
令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．
2．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（ ）
A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）
【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，
f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，即f（e﹣1）?f（2）＜0，
∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （e﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．
3．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（ ）
A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）
【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n﹣．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．
设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．
①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2 在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=，
∴y==，故其切点为，
∴；
由（1≤x＜2）解之得．
综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．
故选：C．
【点评】此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法．
4．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）
【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣log2x为定值，
设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，
又由f（t）=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log2x+2，f′（x）=，
将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣=0，
令h（x）=log2x﹣，
分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，
则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，
则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选：C．
【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．
5．已知f（x）=|x?ex|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．（，+∞）
C．（﹣，﹣2） D．（2，）
【分析】做出函数f（x）=|x?ex|的图象，根据图象可判断在（，+∞）上可有一个跟，在（0，）上可有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）＜0，求解即可．
【解答】解：g（x）=﹣1的x有四个，
∴f2（x）+tf（x）+1=0有4个根，
f（x）=|x?ex|的图象如图：
在x＜0时，有最大值f（﹣1）=，
故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）+1=0
一根在（0，）中间，一根在（，+∞），
∴y（）＜0，
∴+t+1＜0，
∴t＜﹣﹣1，
∴t＜﹣﹣e=﹣，
故选：A．
【点评】考查了抽象函数的理解和利用数学结合的思想求解问题．难点是对函数图象的理解．
6．若x0是方程lnx+x﹣3=0的实数解，则x0属于区间（ ）
A．（1，1.5） B．（1.5，2） C．（2，2.5） D．（2.5，3）
【分析】由方程lnx+x=3，设对应函数f（x）=lnx+x﹣3，然后根据根的存在性定理进行判断即可．
【解答】解：∵方程lnx+x﹣3=0，
∴设对应函数f（x）=lnx+x﹣3，
∵f（2）=ln2+2﹣3=ln2﹣1＜0，f（2.5）=ln2.5+2.5﹣3=ln2.5﹣0.5lne＞0，
∴根据根的存在性定理可知在区间（2，2.5）内函数存在零点，
即x0属于区间（2，2.5）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决本题的关键，将方程转化为函数即可．
7．方程lnx+2x=6的根所在的区间为（ ）
A．（2，2.25） B．（2.25，2.5） C．（2.5，2.75） D．（2.75，3）
【分析】方程lnx+2x=6的根即函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点，而函数f（x）=lnx+2x﹣6在定义域上单调连续，从而即可求零点的区间．
【解答】解：令f（x）=lnx+2x﹣6，则f（x）在（2，3）上为增函数．
f（2）=ln2﹣2＜0，f（2.25）=ln2.25﹣1.5＜0，f（2.5）=ln2.5﹣1＜0，f（2.75）=ln2.75﹣0.5＞0，f（3）=ln3＞0，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题．
8．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
【分析】由题意知函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，
f（3）=log23﹣＜0；f（4）=log24﹣=＞0；
故函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间是（3，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
9．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）
①f（2x）=2f（x）；
②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；
③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可
【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f（2x）≠2f（x）；①错．
对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．
对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2?Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；
对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．
故选：C．
【点评】题适合充分利用选择题的优势来解答填空题．用逆向思维处理题目会事半功倍，属于中档题．
10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A．y=2x﹣2 B．y=（x2﹣1） C．y=log2x D．y=x
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案．
【解答】解：由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在（0，+∞）上是增函数，
且y的变化随x的增大越来越快；
∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；
∴排除A，C、D答案；
∴B中函数y=（x2﹣1）符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
11．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
【分析】分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；
a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，
∴﹣2＜a＜2．
综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：A．
【点评】本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．
C．（﹣3，1）∪ D．
【分析】当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），化为关于m的不等式组，解得即可．
【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）≥1，
当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，
∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），
∴或或，
解得﹣3＜m＜1或x＞，
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数和不等式组的解集，属于中档题．
13．2011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（ ）
级数 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过1500元 3
2 1500元﹣4500元 10
注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额．
A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
【分析】个人所得税的税率是累进税率，利用题意，可得（X﹣3500﹣1500）×10%=245﹣45，即可得出结论．
【解答】解：设吴某该月工资收入为x元．1500×3%=45元．
（X﹣3500﹣1500）×10%=245﹣45，得x=7000元．
故选：A．
【点评】本题知识点比较单一就是考查个人所得税的累进税率这一个知识点，比较基础．
14．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（ ）
A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
【分析】由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元，再利用优惠劵1比优惠劵3减免的多，即可得出结论．
【解答】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．
他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免21.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免21.42元；
标价为239元，优惠劵1减免23.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免25.02元；
故选：C．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
二．填空题（共13小题）
15．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 4 ?
【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．
【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，
∴f（a）=2﹣log2a=0，
∴log2a=2，
解得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．
16．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是 （，+∞） ．
【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，
则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，
而函数f（x）=，其图象如图，
若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．
17．直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ﹣1≤m＜2 ．
【分析】根据题意，求出直线y=x与射线y=2（x＞m）、抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f（x）图象上，由此不难得到实数m的取值范围．
【解答】解：根据题意，直线y=x与射线y=2（x＞m）有一个交点A（2，2），
并且与抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分有两个交点B、C
由，联解得B（﹣1，﹣1），C（﹣2，﹣2）
∵抛物线y=x2+4x+2在（﹣∞，m]上的部分必须包含B、C两点，
且点A（2，2）一定在射线y=2（x＞m）上，才能使y=f（x）图象与y=x有3个交点
∴实数m的取值范围是﹣1≤m＜2
故答案为：﹣1≤m＜2
【点评】本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题．
18．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围 ．
【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．
【解答】解：f（x）=|xex|=，
当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
如图：
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，
再令g（m）=m2+tm+1，
因为g（0）=1＞0，
则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．
所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围
是．
故答案为．
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．
19．若对任意m∈（﹣2，﹣1），f（x）=mx2﹣（5m+n）x+n在x∈（3，5）上存在零点，则实数n的取值范围是 0＜n≤3 ．
【分析】分类讨论，利用零点存在性定理，即可得出结论．
【解答】解：对称轴x=（），f（3）=﹣6m﹣2n，f（5）=﹣4n，
若n≤0，f（3）＞0，f（5）≥0在x∈（3，5）上没有零点，
∴n＞0，f（5）＜0，f（3）＞0，解得0＜n≤3．
故答案为：0＜n≤3．
【点评】本题考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．用二分法求方程x3+4=6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0，1）内，则下一步可断定该根所在的区间为 （，1） ．
【分析】构造函数，旅游零点存在定理，即可得出结论．
【解答】解：令f（x）=x3﹣6x2+4，
则f（0）=4＞0，f（1）=﹣1＜0，f（）=＞0，
由f（）f（1）＜0知根所在区间为（，1）．
故答案为：（，1）．
【点评】此题是个基础题．考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力．
21．设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ﹣2 ，b= 1 ．
【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．
【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，
∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）
=x3+3x2﹣（a3+3a2）
∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
∴，解得或（舍去），
故答案为：﹣2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
22．已知x，y之间的一组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y=x+1；②y=2x﹣1；③y=；④y=x，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是 ④ （填序号）．
【分析】根据最小二乘法的思想得变量x与y间的线性回归直线方程必过点（，），故只需计算，，并代入选项即可得正确结果
【解答】解：根据最小二乘法的思想得变量x与y间的线性回归直线必过点（，），
则=，
==6，
①y=x+1，当x=4时，y=5，不成立；
②y=2x﹣1，当x=4时，y=7≠6，
③y=；当x=4时，y=6，当x=6时，y=9.2
④y=x，当x=4时，y=6．当x=6时，y=9，
综上拟合程度最好的直线是④
故答案为：④
【点评】本题考查了最小二乘法的思想，线性回归方程的特点，理解最小二乘法，记住回归直线的性质是解决本题的关键
23．函数y=x2与函数h=lnx2在（0，+∞）上增长较快的一个是 y=x2 ．
【分析】都是增函数时，指数函数最快，对数函数最慢，幂函数在中间．
【解答】解：函数y=x2是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数；
函数h=lnx2是对数函数，且在（0，+∞）上是增函数；
故函数y=x2与函数h=lnx2在（0，+∞）上增长较快的一个是：y=x2．
故答案为：y=x2．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数与幂函数的增长速度区别，属于基础题．
24．已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是 4 ．
【分析】由条件x＞0，y＞0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a、b、c、d转化成关于x、y的表达式=（x＞0，y＞0）
【解答】解：∵x、a、b、y成等差数列，
∴a+b=x+y
∵x、c、d、y成等比数列，
∴cd=xy
则=（x＞0，y＞0），
故答案为4．
【点评】本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．
25．设函数f（x）=，则f（f（3））= 3 ．
【分析】利用分段函数直接求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（f（3））=f（）=f（）=1﹣log2（2﹣）=1+2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
26．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 2.3 元．
【分析】根据邮资标准进行求解即可．
【解答】解：邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420﹣100=320，
每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，
则需要付0.4×4=1.6元，
则共付费0.7+1.6=2.3元，
故答案为：2.3
【点评】本题主要考查函数的应用问题，比较基础．
27．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是 ③ （填序号）．
①劳动产值为10000元时，工资为50元；
②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；
③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；
④劳动产值为10000元时，工资为90元．
【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．
【解答】解：∵回归直线方程为=60+90x，
∴当x增加1时，y要增加90元，
∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，
故答案为：③．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是看清题目中自变量的值每增加1个单位，y的值就平均增加90，注意平均一词．
三．解答题（共8小题）
28．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．
（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．
（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故f′（x）=0有唯一解x=0．
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 递减 极小值 递增
又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．
不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，
当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．
∴t﹣1=fmin（x）=f（0）=1，∴t=2．
（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而，
记，因为（当t=1时取等号），
所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．
综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．
②当0＜a＜1时，由，
综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．
【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．
29．已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点为x1，x2（x1＜x2）
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x1+x2＞4．
【分析】（1）问题转化为方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点，即可求实数a的取值范围；
（2）解得：x1=，x2=．要证明x1+x2＞4，即证明+＞4，即证明lnt+tlnt＞2t﹣2，构造函数即可证明．
【解答】（1）解：∵f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上有两个零点，
∴方程a=有两个根，等价于y=a与有两个交点．
令h（x）=，则h′（x）=，…（3分）
于是x∈（0，2）时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，2）上单调递减，当x→0时，h（x）→+∞；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增，当x→+∞时，h（x）→+∞；
∴h（x）min=h（2）=，
∴a的取值范围为（，+∞）． …（5分）
（2）证明：∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）=ax2﹣ex（a∈R）在（0，+∞）上的零点，
∴ax12=，ax22=，
两式相除可得（）2=． …（7分）
令=t（t＞1），①
上式变为t2=，即x2﹣x1=2lnt，②
联立①②解得：x1=，x2=． …（9分）
要证明x1+x2＞4，
即证明+＞4，
即证明lnt+tlnt＞2t﹣2．
令h（t）=lnt+tlnt﹣2t+2，则h′（t）=+lnt﹣1． …（10分）
令y=+lnt﹣1，y′=＞0，
故y=+lnt﹣1在（1，+∞）上单调递增，故y＞0，即h′（t）＞0，
故h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，
即lnt+tlnt＞2t﹣2，得证． …（12分）
【点评】本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．
30．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．
【分析】（Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象，利用函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．
（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0），
则．…（2分）
从而可得函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象分别如下图所示．…（4分）
因为函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，
则题设可等价转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．…（5分）
由右上图可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）
即：当a=4或0＜a≤3时，函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点．…（7分）
（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，…（8分）
因为f（x）是定义在R上的奇函数，当f（x）=﹣4时，解得或1…（9分）
结合左上图可知，，…（10分）
即：．…（11分）
所以所求解集为． …（12分）
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．
31．已知函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log2[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．
【分析】（1）由已知中函数在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增根据函数取零点的条件，可得f’（1）=0，由此构造关于实数a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数f（x）的解析式及其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性和极值，再根据方程f（2x）=m有三个不同实数解，即f（x）=m有三个不同的正实数解，求出满足条件的实数m的取值范围；
（3）根据函数y=log2[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，则f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，构造关于P的不等式组，解不等式组求出实数p的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数
∴f’（x）=﹣x3+2x2+2ax﹣2
依题意，f（x） 在区间[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在x=1处有极值，即f’（1）=﹣1+2+2a﹣2=0，解出a=，
（2）由（1）得
f’（x）=﹣x3+2x2+x﹣2
令t=2x，（t＞0）则t=2x为增函数，每个x对应一个t，
而由题意：f（2x）=m有三个不同的实数解，就是说，关于t的方程f（t）=m在t＞0时有三个不同的实数解．
∵f’（t）=﹣t3+2t2+t﹣2=﹣（t+1）（t﹣1）（t﹣2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增区间，得﹣（t+1）（t﹣1）（t﹣2）≥0，保证t＞0，求得f（t）的增区间为1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的减区间，得﹣（t+1）（t﹣1）（t﹣2）≤0，保证t＞0，求得f（t）的减区间为0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1时有极小值，极小值为f（1）=，
在t=2时有极大值，极大值为f（2）=，
在t趋向于0时，f（t）趋向于﹣2．
∵＜＜﹣2
f（t）在t＞0上的图象为双峰形的一半，则要使f（t）=m有三个不同的实数解，须﹣＜m＜
（3）∵函数y=log2[f（x）+p]的真数部分为f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函数y=log2[f（x）+p]的图象与x轴无交点，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值为f（﹣1）=﹣，即f（x）≤﹣
所以f（x）+p≤p﹣，要使f（x）+p≠1，只有p﹣＜1，才能满足题意，解之得，p＜，
又由f（x）+p＞0，即p＞，
故p的范围是＜p＜．
【点评】本题考查的知识点是函数取极值的条件，函数与方程的综合应用，根的存在性及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，指数函数的性质，对数函数的性质，是对函数性质及解答方法比较综合的考查，熟练掌握基本初等函数的性质，会使用导数法求函数的单调性和极值点是解答本题的关键．
32．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足．
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；
（3）求证：．
【分析】（1）令m=n=1，由f（m）+f（n）=f（mn），得f（1）+f（1）=f（1），由此能求出f（1）．
（2）由f（2）=1，知f（x）＜2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），由f（x）在（0，+∞）上单调递增，能求出f（x）＜2的解集．
（3）由f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，知x∈（0，1）时，f（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，由|f（a）|=|f（b）|，知f（a）=f（b）或f（a）=﹣f（b）．由此能够证明．
【解答】（1）解：令m=n=1，
由f（m）+f（n）=f（mn），
得f（1）+f（1）=f（1）
∴f（1）=0…（3分）
（2）解：∵f（2）=1，
∴f（x）＜2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴0＜x＜4，
∴f（x）＜2的解集为 （0，4）…（7分）
（3）证明：∵f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，1）时，f（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
又|f（a）|=|f（b）|，
∴f（a）=f（b）或f（a）=﹣f（b），
∵0＜a＜b，
∴f（a）=﹣f（b）
∴f（a）+f（b）=f（ab）=0，
∴ab=1，
∴0＜a＜1＜b，
又∵
∴，
∴4b=a2+2ab+b2，
4b﹣b2﹣2=a2，考虑到0＜a＜1，
∴0＜4b﹣b2﹣2＜1，又b＞1
∴．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
33．设函数f（x）=|x﹣2|+2x﹣3，记f（x）≤﹣1的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．
【分析】（Ⅰ）化简，通关当x≤2时，当x＞2时，分别求解f（x）≤﹣1的解集．
（Ⅱ）求出当x∈M时，f（x）=x﹣1，化简x[f（x）]2﹣x2f（x），利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，
当x≤2时，由f（x）=x﹣1≤﹣1，解得，x≤0，此时x≤0．
当x＞2时，由f（x）=3x﹣5≤﹣1，解得，显然不成立，
故f（x）≤﹣1的解集为M={x|x≤0}．
（Ⅱ）证明：当x∈M时，f（x）=x﹣1，
于是，
∵函数在（﹣∞，0]上是增函数，∴g（x）≤g（0）=0，
故x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．
【点评】本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
34．设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．
（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；
（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；
（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．
【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）?M1．
（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．
（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，
得到对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．
【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）?M1．…（4分）
（2）由…（2分）
∴，…（3分）
故 a＞1．…（1分）
（3）由，…（1分）
即：
∴对任意x∈[1，+∞）都成立
∴…（3分）
当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）； …（1分）
当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）； …（1分）
当1≤k＜3时，．…（1分）
综上：…（1分）
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
35．已知函数f（x）=log2；
（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
【分析】（1）根据对数运算性质得=2，从而解出x的值；
（2）令g（x）=，判断g（x）的单调性得出g（x）的值域，根据对数的运算性质化简即可证明f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）利用（2）中的结论得出f（xn+1）与f（xn）的关系，判断f（xn）的周期，分别用f（x1）表示出f（x2），f（x3），f（x4），根据f（x）的单调性得出，从而求出f（x1）的范围，继而解出x1的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=log2=1，
∴=2，解得；
（2）令g（x）=，则g′（x）==．
∵a∈（1，+∞），∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣1，1）上是增函数，
又g（﹣1）=，g（1）==1，
∴﹣1＜g（x）＜1，即∈（﹣1，1）．
∵f（x）﹣f（）=log2﹣log2=log2﹣log2
=log2（）=log2，
f（）=log2=log2．
∴f（）=f（x）﹣f（），
∴f（）﹣f（x）=﹣f（）．
（3）∵f（x）的定义域为（﹣1，1），
f（﹣x）=log2=﹣log2=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
∵xn+1=（﹣1）n+1，
∴xn+1=．
①当n为奇数时，f（xn+1）=f（）=f（xn）﹣f（）=f（xn）﹣1，
∴f（xn+1）=f（xn）﹣1；
②当n为偶数时，f（xn+1）=f（﹣）=﹣f（）=1﹣f（xn），
∴f（xn+1）=1﹣f（xn）．
∴f（x2）=f（x1）﹣1，f（x3）=1﹣f（x2）=2﹣f（x1），f（x4）=f（x3）﹣1=1﹣f（x1），
f（x5）=1﹣f（x4）=f（x1），f（x6）=f（x5）﹣1=f（x1）﹣1，…
∴f（xn）=f（xn+4），n∈N+．
设h（x）=，则h′（x）==＞0，
∴h（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴f（x）=log2=log2h（x）在（﹣1，1）上是增函数．
∵x3≥xn对任意n∈N*成立，
∴f（x3）≥f（xn）恒成立，
∴，即，
解得：f（x1）≤1，即log2≤1，
∴0＜≤2，
解得：﹣1＜x1≤．
【点评】本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，属于难题．