2018年人教A版必修2《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018年人教A版必修2《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 750.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-20 09:36:17 | ||
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文档简介
人教A版必修2《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》2018年单元测试卷
一．选择题（共16小题）
1．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
2．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．下列命题正确的个数是（ ）
①梯形的四个顶点在同一平面内
②三条平行直线必共面
③有三个公共点的两个平面必重合
④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
5．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=60°，则∠PQR等于（ ）
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF=2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（ ）
A．[，] B．[0，1] C．[，] D．[，]
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．已知点P为△ABC所在平面外一点，点D、E、F分别在直线PA、PB、PC上，平面DEF∥平面ABC，且===，则=（ ）
A． B． C． D．
10．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA=AB=3，AF=2，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A．点P到平面QEF的距离
B．直线PQ与平面PEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积
D．△QEF的面积
13．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（ ）
A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
15．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
17．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A=70°，则∠B= ．
18．下列各图是正方体和正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱），G、N、M、H分别是顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 ．
19．已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m?α，则l与m之间的关系是 ．
20．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）如果l与α内的两条直线垂直则直线l与α垂直．
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）．
21．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为 ．
22．已知a，b是一对异面直线，且a，b成70°角．P为空间一定点，则在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有 条．
23．“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为 ．
24．在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是 ．
25．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为；
②直线BC与平面ABC1D1所成角为45°；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
④BE与CD1所成角的正弦值为；
⑤二面角A﹣BD1﹣C的大小为．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
26．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1所成角的取值范围为 ．
三．解答题（共10小题）
27．已知：a?α，b?α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ?α．
28．正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？
29．如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
30．分别用文字语言、图形语言和符号语言书写面面平行的判定定理．
31．已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且==，求证：直线FE、GH、AC交于一点．
32．三棱锥P﹣ABC中，PC=x，其余棱长均为1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
33．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
34．已知E、F、G、H是所在线段上的点，且EH∥FG．
求证：EH∥BD．
35．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
36．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB=2A1B1，AA1⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥C1C；
（2）求证：C1C∥平面A1BD．
人教A版必修2《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》2018年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
【分析】本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；
∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°．
∴这两个角相等或互补．
故选：C．
【点评】解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况．熟记结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
2．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【分析】任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．
【解答】解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，
过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．
故选：D．
【点评】不本题考查了空间线面位置关系，转化思想，属于中档题．
3．下列命题正确的个数是（ ）
①梯形的四个顶点在同一平面内
②三条平行直线必共面
③有三个公共点的两个平面必重合
④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对四个命题一一判断，从而确定正确与否．
【解答】解：①梯形的四个顶点在同一平面内，正确；
②三条平行直线必共面不正确，如三棱柱的三条侧棱；
③有三个公共点的两个平面必重合不正确，若三个公共点共线；
④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面，正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平面中的公理，属于基础题．
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a?β或a∥β，再由b⊥β得到结论．
【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；
B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；
C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；
D、∵a⊥α，α⊥β，
∴a?β或a∥β
又∵b⊥β
∴a⊥b
故选：D．
【点评】本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．
5．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=60°，则∠PQR等于（ ）
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
【分析】首先，直接根据平行关系求解即可．
【解答】解：∵AB∥PQ，BC∥QR，
且∠ABC=60°，
∴∠PQR=60°或120°
故选：B．
【点评】本题重点考查了平面的性质、平行关系运用．属于中档题．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
【解答】解：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确，
对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
设AB=1，则BM=，PM=，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=，
即∠PBM=45°，故二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，故C正确，
故错误的是D，
故选：D．
【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF=2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（ ）
A．[，] B．[0，1] C．[，] D．[，]
【分析】如图所示，作出平面MNQB1∥平面DEF，A1Q=2AQ，D1N=2ND，P的轨迹是线段QN，P在Q处，tan∠ABP=，P在N处，tan∠ABP==，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，作出平面MNQB1∥平面DEF，则A1Q=2AQ，D1N=2ND，
∵PB1∥平面DEF，∴P的轨迹是线段QN．
P在Q处，tan∠ABP=，P在N处，tan∠ABP==，
故选：D．
【点评】本题考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，从而FG∥平面BC1D1，FG∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，从而EF与平面BC1D1相交，进而平面EFG与平面BC1D1相交．
【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9．已知点P为△ABC所在平面外一点，点D、E、F分别在直线PA、PB、PC上，平面DEF∥平面ABC，且===，则=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得到△DEF∽△ABC，则相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
【解答】解：如图，∵平面DEF∥平面ABC，
∴△DEF∽△ABC，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，
∴=．
又===，
∴=，
∴==，
∴=（）2=．
故选：B．
【点评】本题考查了平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
10．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA=AB=3，AF=2，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，延长BA，CF，交于G，连接EG，与PA交于K，则AG=6，过A做AH∥PB，与EG交于H，则==，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，延长BA，CF，交于G，连接EG，与PA交于K，则AG=6，
过A做AH∥PB，与EG交于H，则====，
故选：A．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查平面与平面交线的求法，属于中档题．
11．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】过P作平面A垂直于α、β的交线l，并且交l于点0，连接PO，则PO垂直于l，过点P在A内做OP的垂线L'，以PO为轴在垂直于PO的平面内转动L'，根据三垂线定理可得有两条直线满足题意．以P点为轴在平面A内前后转动L'，根据三垂线定理可得也有两条直线满足题意．
【解答】解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
图1．
（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=80°
设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．
图2．
（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA=∠P2OB=50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，
OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有4条．
故选：D．
【点评】本题主要考查线面角，以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题．
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A．点P到平面QEF的距离
B．直线PQ与平面PEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积
D．△QEF的面积
【分析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；
D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；
C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；
B．用排除法即可得出．
【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；
D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；
C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；
B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．
综上可得：只有B中的值不是定值．
故选：B．
【点评】本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．
13．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（ ）
A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，n与α相交、平行或n?α；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥β或n?β．
【解答】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，知：
在A中：若m?α，n?β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中：若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n?α，故B错误；
在C中：若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；
在D中：若m⊥n，m⊥β，则n∥β或n?β，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．
故选：C．
【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．
15．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】推导出AB⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能求出图中直角三角形的个数．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，
∴AB⊥BC，PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，
∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角 ），
△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），
∴图中直角三角形有4个．
故选：D．
【点评】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
16．过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出总共可以做多少直线，然后通过分类找出能成为异面直线的数量，最后二者相比求概率即可
【解答】解：从三棱柱的六个顶点中任取两点作直线，可做直线条
从这15条直线中任取两条，共种
其中成异面直线可分为以下几类：
（1）侧棱与底面边：有3×2=6对
（2）侧棱与侧面对角线：有3×2=6对
（3）底面边与侧面对角线：有3×2+3×2=6+6=12对
（4）底面边与底面边：有3×2=6对
（5）侧面对角线与侧面对角线：对
共6+6+12+6+6=36对
∴两直线为异面直线的概率为：
故选：D．
【点评】本题考查异面直线的判定和等可能事件的概率，要求弄精确分类．分类较容易出错，每一类中比较容易重复或遗漏．要有较强的空间想象力和观察力．属较难题
二．填空题（共10小题）
17．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A=70°，则∠B= 70°或110° ．
【分析】由空间两条平行线的性质和等角定理，可得∠B与∠A相等或∠B与∠A互补，由此不难得到正确答案．
【解答】解：①若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等
此时∠B=∠A=70°；
②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，
此时∠B=180°﹣∠A=110°．
故答案为：70°或110°
【点评】本题给出空间一个角的两边分别与另一个角的两边平行，求它们之间的度数关系，考查了空间两条平行线的性质和等角定理等知识，属于基础题．
18．下列各图是正方体和正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱），G、N、M、H分别是顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 ③ ．
【分析】根据已知中的图形，结合棱柱的几何特征及异面直线的判定定理，逐一分析直线GH、MN的位置关系，可得答案．
【解答】解：①中GH∥MN，GH=MN，故不满足条件；
②中G、N、M、H四点在如图所示的平面中，
故不满足条件；
③中，GH?左侧面，MN∩左侧面=N，N?GH，
故直线GH、MN是异面直线，
④中，GH∥MN，故不满足条件，
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征及异面直线的判定定理，难度中档．
19．已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m?α，则l与m之间的关系是 平行或异面 ．
【分析】以正方体为载体，列举出所有情况，能求出两直线间的关系．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，
A1B1与AB平行，A1B1与BC异面，
∴l，m为直线，α为平面，l∥α，m?α，
则l与m之间的关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
【点评】本题考查两直线间的位置关系的判断，考查空间中空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
20．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）如果l与α内的两条直线垂直则直线l与α垂直．
上面命题中，真命题的序号 ①② （写出所有真命题的序号）．
【分析】在①中，由面面平行的判定定理得α平行于β；在②中，由线面平行的判定定理得l和α平行；在③中，α与β所成的角可能是锐角，也可能是直角，也可能是钝角；在④中，只有l与α内的两条相交直线垂直，才有直线与α垂直．
【解答】解：由设α，β为不重合的两个平面，知：
在①中，若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则由面面平行的判定定理得α平行于β，故①正确；
在②中，若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则由线面平行的判定定理得l和α平行，故②正确；
在③中，设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β所成的角可能是锐角，也可能是直角，也可能是钝角，故③错误；
在④中，只有l与α内的两条相交直线垂直，才有直线与α垂直，故④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．
21．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为 +2 ．
【分析】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC的性质可得：AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．
【解答】解：由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．
在Rt△ADF中，DF==2．
把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：
DE==．
∴△DEF周长的最小值=+2．
故答案为： +2．
【点评】本题考查了空间几何位置关系、余弦定理、侧面展开图，考查了转化能力、数形结合能力、推理能力与计算能力，属于难题．
22．已知a，b是一对异面直线，且a，b成70°角．P为空间一定点，则在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有 4 条．
【分析】如图所示，α∥β，a?α，b?β．任取P∈B，过点P作a′∥a，则a′?β．过点P可作PA满足与直线a′，b所成角都为70°的直线，其中PA在∠MPN的上方．同理可以作出其它3条，当点P不在其中一条直线上时，可以通过平移两条异面直线即可．
【解答】解：如图所示，
α∥β，a?α，b?β．
?P∈β，过点P作a′∥a，则a′?β．
过点P可作PA满足与直线a′，b所成角都为70°的直线，其中PA在∠MPN的上方．
同理可以作出其它3条，PB，PC，PD（∵70°+70°＞110°）．
当点P不在其中一条直线上时，可以通过平移两条异面直线即可．
综上可得：在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有4条．
故答案为：4．
【点评】本题考查了异面直线所成的夹角、平移变换、分类讨论方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．
23．“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为 l∩α=P ．
【分析】利用空间线面关系对应的符号语言表示出来．
【解答】解：直线l与平面α相交于点P，用集合语言表示为l∩α=P；
故答案为：l∩α=P．
【点评】本题考查了平面与直线位置关系的集合表示；属于基础题．
24．在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是 平行 ．
【分析】根据平行公理可以证明．
【解答】解：根据平行公理可知：在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行的．
故答案为：平行．
【点评】本题主要考查空间直线的位置关系的判断，利用平行公理是解决本题的关键，比较基础．
25．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为；
②直线BC与平面ABC1D1所成角为45°；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
④BE与CD1所成角的正弦值为；
⑤二面角A﹣BD1﹣C的大小为．
其中真命题是 ②③④ ．（写出所有真命题的序号）
【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①由于A1B1∥平面ABC1D1，故B1到平面ABC1D1的距离即点E到平面ABC1D1的距离，
连接B1C交BC1于F，则易得B1F垂直于平面ABC1D1，而B1F=，故点E到平面ABC1D1的距离为，故①错；
②易得B1C垂直于平面ABC1D1，故∠CBC1为直线BC与平面ABC1D1所成的角，且为45°，故②正确；
③易得空间四边形ABCD1在正方体的面ABCD、面A1B1C1D1内的射影面积为1，在面BB1C1C内、面AA1D1D内的射影面积为，在面ABB1A1内、面CC1D1D内的射影面积为，故③正确；
④BE与CD1所成的角，即为BA1与BE所成角，即为∠A1BE，A1E=，BE=，BA1=，cos∠A1BE==，sin∠A1BE=，故④正确；
⑤在直角三角形BAD1中过A作AH垂直于BD1，连接CH，易知CH垂直于BD1，故∠AHC是二面角A﹣BD1﹣C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC==﹣，故∠AHC=，故⑤错．
故答案为：②③④
【点评】本题考查命题的真假判断，考查空间线面位置关系，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．
26．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1所成角的取值范围为 [10°，50°] ．
【分析】平移CB1到A处，由已知得∠B1CA=30°，∠B1AC=150°，0≤∠C1AC≤20°，由此能求出直线B1C与直线AC1所成角的取值范围．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，
将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，
如图，平移CB1到A处，B1C绕AC旋转，
∴∠B1CA=30°，∠B1AC=150°，
AC1绕AB旋转，∴0°≤∠C1AC≤2∠CAB，
∴0≤∠C1AC≤20°，
设直线B1C与直线AC1所成角为α，
则∠B1AC﹣∠C1AC≤α≤∠B1AC+∠C1AC，
∵130°≤∠B1AC﹣∠C1AC≤150°，
150°≤∠B1AC+∠C1AC≤170°，
∴10°≤α≤50°或130°≤α≤170°（舍）．
故答案为：[10°，50°]．
【点评】本题考查两直线所成角的取值的求法，解题时要认真审题，注意旋转性质的合理运用，是难题．
三．解答题（共10小题）
27．已知：a?α，b?α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ?α．
【分析】首先根据两条直线平行，得到一个确定的平面，根据直线a?β，点P∈β，p∈b，b?α，确定p∈α，根据一条直线和直线外一点可以确定一个平面，得到另个平面是同一个平面，得到结论．
【解答】证明∵PQ∥a，
∴PQ与a确定一个平面β，
∴直线a?β，点P∈β．
∵p∈b，b?α，
∴p∈α
∵a?α，
∴α与β重合，
∴PQ?α
【点评】本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法，考查两条平行线确定一个平面，考查两条相交线确定一个平面，考查用同一法证明两个平面重合，实际上这种利用公理证明问题的题目，比较抽象．
28．正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？
【分析】根据图形结构的对称性，先求出对每一条边，与其异面的边有4个，共有多不对异面直线，再求出每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有多少对异面直线，由此能求出结果．
【解答】解：根据图形结构的对称性，
对每一条边，与其异面的边有4个，共=24对异面直线，
每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有12对异面直线，
综上，正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有36对．
【点评】本题考查满足条件的异面直线有多少对的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
29．如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
【分析】（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出与的坐标，利用它们的数量积为零证得BD⊥OC；
（2）易证为面PAC的法向量，求出面PBC的法向量，然后求出两法向量的夹角，利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，即可求得二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，4），
∴，，
∴
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），
所以?
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=﹣．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B﹣PC﹣A的余弦值为．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
30．分别用文字语言、图形语言和符号语言书写面面平行的判定定理．
【分析】面面平行判定定理的内容用文字叙述、图形语言以及几何符号表示，分别写出即可．
【解答】解：面面平行的判定定理；
（1）文字语言是“如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”；
（2）图形语言表示：如图所示：
（3）用符号语言表示： ?α∥β．
【点评】本题考查了平面与平面平行的判定定理，熟练掌握平面平行的判定定理是解答本题的关键，是基础题．
31．已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且==，求证：直线FE、GH、AC交于一点．
【分析】证明四边形EFGH是梯形，得出EF，HG相交于一点，再利用面面相交即可证明直线FE、GH、AC交于一点．
【解答】证明：连接BD，∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH∥BD；…（2分）
又∵==，∴FG∥BD；…（4分）
因此EH∥FG且EH≠FG；…（6分）
故四边形EFGH是梯形；
所以EF，HG相交，设EF∩HG=K，…（8分）
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴K∈平面ABC；
同理K∈平面ACD，…（10分）
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴K∈AC，
故直线FE、GH、AC交于一点．…（12分）
【点评】本题考查了证明三线相交的应用问题，通常是先证明两线交于一点，再证第三条直线过交点即可．
32．三棱锥P﹣ABC中，PC=x，其余棱长均为1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
【分析】（1）取AB中点M，由△PAB与△CAB均为正三角形，知AB⊥PM，AB⊥CM，由此能够证明AB⊥PC．
（2）当PM⊥平面ABC时，三棱锥的高为PM，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
【解答】解：（1）取AB中点M，
∵△PAB与△CAB均为正三角形，
∴AB⊥PM，AB⊥CM，
∴AB⊥平面PCM，
∴AB⊥PC．
（2）当PM⊥平面ABC时，
三棱锥的高为PM，
此时．
【点评】本题考查PC⊥AB的证明和求三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
33．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）先利用P、Q分别是AE、AB的中点?PQ∥BE，PQ=，再利用DC∥BE，DC=可以推出PQ∥DC进而证明PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）取BE的中点F，可以先推出QF∥AE且QF=AE，所以∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角，然后在△DFQ中求出
∠DFQ的余弦值即可．
（Ⅲ）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE，所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角，在△DAP中求出∠DAP即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ∥BE，PQ=BE，
又DC∥BE，DC=BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD（4分）
（Ⅱ）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，可以推出QF∥AE且QF=AE，
易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=2，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=
由余弦定理：可得cos∠DFQ=（8分）
（Ⅲ）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=
所以AD与平面ABE所成角的正弦值为．（12分）
【点评】本题涉及了线面平行以及线线所成角和线面所成角，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
34．已知E、F、G、H是所在线段上的点，且EH∥FG．
求证：EH∥BD．
【分析】根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论．
【解答】证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB、BC、CD、DA上的点
∴直线EH?平面BCD，直线FG?平面BCD
又EH∥FG
∴直线EH∥平面BCD
又∵EH?平面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD
∴EH∥BD
【点评】本题考查线与面平行的判断，线与面平行的性质，考查线面平行的判定和性质的综合应用，本题是一个考查知识点比较集中的题目，只考线与面的平行，是一个目标很明确的题目．
35．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上， =λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．
【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
所以A1A⊥平面ABCD．
又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．
在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC中点，所以BC⊥AE．
因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．
（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=． …（4分）
（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，
则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．
则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）． …（6分）
设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．
因为=（，0，0），=（，，1），
由，得x0=0， y0+z0=0．
取y0=2，则z0=﹣1，
则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）． …（8分）
由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…（10分）
【点评】本题考查线面角，考查线面平行的运用，考查向量知识的运用，属于中档题．
36．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB=2A1B1，AA1⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥C1C；
（2）求证：C1C∥平面A1BD．
【分析】（1）由AA1⊥平面ABCD，可证AA1⊥BD．四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可证BD⊥面ACC1A1，再由线面垂直的性质定理可证BD⊥CC1．
（2）连接AC和A1C1，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC1A1为平行四边形，可得CC1∥A1E，再由线面平行的判定定理可证CC1∥平面A1BD．
【解答】证明：（1）∵AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又 AC∩AA1=A，∴BD⊥面ACC1A1．
由CC1?面ACC1A1，
∴BD⊥CC1．
（2）连接AC和A1C1，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC∥A1C1，且 EC=A1C1，
故ECC1A1为平行四边形，∴CC1∥A1E，而CC1?平面A1BD，A1E?平面A1BD，
∴CC1∥平面A1BD．
【点评】本题考查线面平行、垂直的判定定理、线面平行、垂直的性质定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
一．选择题（共16小题）
1．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
2．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．下列命题正确的个数是（ ）
①梯形的四个顶点在同一平面内
②三条平行直线必共面
③有三个公共点的两个平面必重合
④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
5．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=60°，则∠PQR等于（ ）
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF=2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（ ）
A．[，] B．[0，1] C．[，] D．[，]
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．已知点P为△ABC所在平面外一点，点D、E、F分别在直线PA、PB、PC上，平面DEF∥平面ABC，且===，则=（ ）
A． B． C． D．
10．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA=AB=3，AF=2，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A．点P到平面QEF的距离
B．直线PQ与平面PEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积
D．△QEF的面积
13．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（ ）
A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
15．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
17．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A=70°，则∠B= ．
18．下列各图是正方体和正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱），G、N、M、H分别是顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 ．
19．已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m?α，则l与m之间的关系是 ．
20．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）如果l与α内的两条直线垂直则直线l与α垂直．
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）．
21．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为 ．
22．已知a，b是一对异面直线，且a，b成70°角．P为空间一定点，则在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有 条．
23．“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为 ．
24．在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是 ．
25．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为；
②直线BC与平面ABC1D1所成角为45°；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
④BE与CD1所成角的正弦值为；
⑤二面角A﹣BD1﹣C的大小为．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
26．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1所成角的取值范围为 ．
三．解答题（共10小题）
27．已知：a?α，b?α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ?α．
28．正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？
29．如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
30．分别用文字语言、图形语言和符号语言书写面面平行的判定定理．
31．已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且==，求证：直线FE、GH、AC交于一点．
32．三棱锥P﹣ABC中，PC=x，其余棱长均为1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
33．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
34．已知E、F、G、H是所在线段上的点，且EH∥FG．
求证：EH∥BD．
35．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
36．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB=2A1B1，AA1⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥C1C；
（2）求证：C1C∥平面A1BD．
人教A版必修2《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》2018年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
【分析】本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．
【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；
∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°．
∴这两个角相等或互补．
故选：C．
【点评】解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况．熟记结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
2．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【分析】任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．
【解答】解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，
过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．
故选：D．
【点评】不本题考查了空间线面位置关系，转化思想，属于中档题．
3．下列命题正确的个数是（ ）
①梯形的四个顶点在同一平面内
②三条平行直线必共面
③有三个公共点的两个平面必重合
④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对四个命题一一判断，从而确定正确与否．
【解答】解：①梯形的四个顶点在同一平面内，正确；
②三条平行直线必共面不正确，如三棱柱的三条侧棱；
③有三个公共点的两个平面必重合不正确，若三个公共点共线；
④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面，正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平面中的公理，属于基础题．
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a?β或a∥β，再由b⊥β得到结论．
【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；
B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；
C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；
D、∵a⊥α，α⊥β，
∴a?β或a∥β
又∵b⊥β
∴a⊥b
故选：D．
【点评】本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．
5．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=60°，则∠PQR等于（ ）
A．60° B．60°或120°
C．120° D．以上结论都不对
【分析】首先，直接根据平行关系求解即可．
【解答】解：∵AB∥PQ，BC∥QR，
且∠ABC=60°，
∴∠PQR=60°或120°
故选：B．
【点评】本题重点考查了平面的性质、平行关系运用．属于中档题．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
【解答】解：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确，
对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
设AB=1，则BM=，PM=，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=，
即∠PBM=45°，故二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，故C正确，
故错误的是D，
故选：D．
【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF=2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（ ）
A．[，] B．[0，1] C．[，] D．[，]
【分析】如图所示，作出平面MNQB1∥平面DEF，A1Q=2AQ，D1N=2ND，P的轨迹是线段QN，P在Q处，tan∠ABP=，P在N处，tan∠ABP==，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，作出平面MNQB1∥平面DEF，则A1Q=2AQ，D1N=2ND，
∵PB1∥平面DEF，∴P的轨迹是线段QN．
P在Q处，tan∠ABP=，P在N处，tan∠ABP==，
故选：D．
【点评】本题考查线面、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，从而FG∥平面BC1D1，FG∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，从而EF与平面BC1D1相交，进而平面EFG与平面BC1D1相交．
【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9．已知点P为△ABC所在平面外一点，点D、E、F分别在直线PA、PB、PC上，平面DEF∥平面ABC，且===，则=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得到△DEF∽△ABC，则相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
【解答】解：如图，∵平面DEF∥平面ABC，
∴△DEF∽△ABC，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，
∴=．
又===，
∴=，
∴==，
∴=（）2=．
故选：B．
【点评】本题考查了平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
10．在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA=AB=3，AF=2，则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，延长BA，CF，交于G，连接EG，与PA交于K，则AG=6，过A做AH∥PB，与EG交于H，则==，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，延长BA，CF，交于G，连接EG，与PA交于K，则AG=6，
过A做AH∥PB，与EG交于H，则====，
故选：A．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查平面与平面交线的求法，属于中档题．
11．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】过P作平面A垂直于α、β的交线l，并且交l于点0，连接PO，则PO垂直于l，过点P在A内做OP的垂线L'，以PO为轴在垂直于PO的平面内转动L'，根据三垂线定理可得有两条直线满足题意．以P点为轴在平面A内前后转动L'，根据三垂线定理可得也有两条直线满足题意．
【解答】解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
图1．
（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=80°
设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．
图2．
（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA=∠P2OB=50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，
OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有4条．
故选：D．
【点评】本题主要考查线面角，以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题．
12．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A．点P到平面QEF的距离
B．直线PQ与平面PEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积
D．△QEF的面积
【分析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；
D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；
C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；
B．用排除法即可得出．
【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；
D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；
C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；
B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．
综上可得：只有B中的值不是定值．
故选：B．
【点评】本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．
13．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（ ）
A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，n与α相交、平行或n?α；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥β或n?β．
【解答】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，知：
在A中：若m?α，n?β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中：若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n?α，故B错误；
在C中：若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；
在D中：若m⊥n，m⊥β，则n∥β或n?β，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
14．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．直线BE与直线CF共面
B．直线BE与直线AF是异面直线
C．平面BCE⊥平面PAD
D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．
故选：C．
【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．
15．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】推导出AB⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能求出图中直角三角形的个数．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，
∴AB⊥BC，PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，
∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角 ），
△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），
∴图中直角三角形有4个．
故选：D．
【点评】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
16．过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出总共可以做多少直线，然后通过分类找出能成为异面直线的数量，最后二者相比求概率即可
【解答】解：从三棱柱的六个顶点中任取两点作直线，可做直线条
从这15条直线中任取两条，共种
其中成异面直线可分为以下几类：
（1）侧棱与底面边：有3×2=6对
（2）侧棱与侧面对角线：有3×2=6对
（3）底面边与侧面对角线：有3×2+3×2=6+6=12对
（4）底面边与底面边：有3×2=6对
（5）侧面对角线与侧面对角线：对
共6+6+12+6+6=36对
∴两直线为异面直线的概率为：
故选：D．
【点评】本题考查异面直线的判定和等可能事件的概率，要求弄精确分类．分类较容易出错，每一类中比较容易重复或遗漏．要有较强的空间想象力和观察力．属较难题
二．填空题（共10小题）
17．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A=70°，则∠B= 70°或110° ．
【分析】由空间两条平行线的性质和等角定理，可得∠B与∠A相等或∠B与∠A互补，由此不难得到正确答案．
【解答】解：①若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等
此时∠B=∠A=70°；
②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，
此时∠B=180°﹣∠A=110°．
故答案为：70°或110°
【点评】本题给出空间一个角的两边分别与另一个角的两边平行，求它们之间的度数关系，考查了空间两条平行线的性质和等角定理等知识，属于基础题．
18．下列各图是正方体和正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱），G、N、M、H分别是顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 ③ ．
【分析】根据已知中的图形，结合棱柱的几何特征及异面直线的判定定理，逐一分析直线GH、MN的位置关系，可得答案．
【解答】解：①中GH∥MN，GH=MN，故不满足条件；
②中G、N、M、H四点在如图所示的平面中，
故不满足条件；
③中，GH?左侧面，MN∩左侧面=N，N?GH，
故直线GH、MN是异面直线，
④中，GH∥MN，故不满足条件，
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征及异面直线的判定定理，难度中档．
19．已知l，m为直线，α为平面，l∥α，m?α，则l与m之间的关系是 平行或异面 ．
【分析】以正方体为载体，列举出所有情况，能求出两直线间的关系．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，
A1B1与AB平行，A1B1与BC异面，
∴l，m为直线，α为平面，l∥α，m?α，
则l与m之间的关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面．
【点评】本题考查两直线间的位置关系的判断，考查空间中空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
20．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）如果l与α内的两条直线垂直则直线l与α垂直．
上面命题中，真命题的序号 ①② （写出所有真命题的序号）．
【分析】在①中，由面面平行的判定定理得α平行于β；在②中，由线面平行的判定定理得l和α平行；在③中，α与β所成的角可能是锐角，也可能是直角，也可能是钝角；在④中，只有l与α内的两条相交直线垂直，才有直线与α垂直．
【解答】解：由设α，β为不重合的两个平面，知：
在①中，若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则由面面平行的判定定理得α平行于β，故①正确；
在②中，若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则由线面平行的判定定理得l和α平行，故②正确；
在③中，设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β所成的角可能是锐角，也可能是直角，也可能是钝角，故③错误；
在④中，只有l与α内的两条相交直线垂直，才有直线与α垂直，故④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．
21．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为 +2 ．
【分析】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC的性质可得：AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．
【解答】解：由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．
在Rt△ADF中，DF==2．
把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：
DE==．
∴△DEF周长的最小值=+2．
故答案为： +2．
【点评】本题考查了空间几何位置关系、余弦定理、侧面展开图，考查了转化能力、数形结合能力、推理能力与计算能力，属于难题．
22．已知a，b是一对异面直线，且a，b成70°角．P为空间一定点，则在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有 4 条．
【分析】如图所示，α∥β，a?α，b?β．任取P∈B，过点P作a′∥a，则a′?β．过点P可作PA满足与直线a′，b所成角都为70°的直线，其中PA在∠MPN的上方．同理可以作出其它3条，当点P不在其中一条直线上时，可以通过平移两条异面直线即可．
【解答】解：如图所示，
α∥β，a?α，b?β．
?P∈β，过点P作a′∥a，则a′?β．
过点P可作PA满足与直线a′，b所成角都为70°的直线，其中PA在∠MPN的上方．
同理可以作出其它3条，PB，PC，PD（∵70°+70°＞110°）．
当点P不在其中一条直线上时，可以通过平移两条异面直线即可．
综上可得：在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有4条．
故答案为：4．
【点评】本题考查了异面直线所成的夹角、平移变换、分类讨论方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．
23．“直线l与平面α相交于点P”用集合语言表示为 l∩α=P ．
【分析】利用空间线面关系对应的符号语言表示出来．
【解答】解：直线l与平面α相交于点P，用集合语言表示为l∩α=P；
故答案为：l∩α=P．
【点评】本题考查了平面与直线位置关系的集合表示；属于基础题．
24．在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是 平行 ．
【分析】根据平行公理可以证明．
【解答】解：根据平行公理可知：在空间平行于同一直线的两条直线的位置关系是平行的．
故答案为：平行．
【点评】本题主要考查空间直线的位置关系的判断，利用平行公理是解决本题的关键，比较基础．
25．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为；
②直线BC与平面ABC1D1所成角为45°；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
④BE与CD1所成角的正弦值为；
⑤二面角A﹣BD1﹣C的大小为．
其中真命题是 ②③④ ．（写出所有真命题的序号）
【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①由于A1B1∥平面ABC1D1，故B1到平面ABC1D1的距离即点E到平面ABC1D1的距离，
连接B1C交BC1于F，则易得B1F垂直于平面ABC1D1，而B1F=，故点E到平面ABC1D1的距离为，故①错；
②易得B1C垂直于平面ABC1D1，故∠CBC1为直线BC与平面ABC1D1所成的角，且为45°，故②正确；
③易得空间四边形ABCD1在正方体的面ABCD、面A1B1C1D1内的射影面积为1，在面BB1C1C内、面AA1D1D内的射影面积为，在面ABB1A1内、面CC1D1D内的射影面积为，故③正确；
④BE与CD1所成的角，即为BA1与BE所成角，即为∠A1BE，A1E=，BE=，BA1=，cos∠A1BE==，sin∠A1BE=，故④正确；
⑤在直角三角形BAD1中过A作AH垂直于BD1，连接CH，易知CH垂直于BD1，故∠AHC是二面角A﹣BD1﹣C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC==﹣，故∠AHC=，故⑤错．
故答案为：②③④
【点评】本题考查命题的真假判断，考查空间线面位置关系，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．
26．在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AC1所成角的取值范围为 [10°，50°] ．
【分析】平移CB1到A处，由已知得∠B1CA=30°，∠B1AC=150°，0≤∠C1AC≤20°，由此能求出直线B1C与直线AC1所成角的取值范围．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，
将直线BC绕AC旋转得到B1C，直线AC绕AB旋转得到AC1，
如图，平移CB1到A处，B1C绕AC旋转，
∴∠B1CA=30°，∠B1AC=150°，
AC1绕AB旋转，∴0°≤∠C1AC≤2∠CAB，
∴0≤∠C1AC≤20°，
设直线B1C与直线AC1所成角为α，
则∠B1AC﹣∠C1AC≤α≤∠B1AC+∠C1AC，
∵130°≤∠B1AC﹣∠C1AC≤150°，
150°≤∠B1AC+∠C1AC≤170°，
∴10°≤α≤50°或130°≤α≤170°（舍）．
故答案为：[10°，50°]．
【点评】本题考查两直线所成角的取值的求法，解题时要认真审题，注意旋转性质的合理运用，是难题．
三．解答题（共10小题）
27．已知：a?α，b?α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ?α．
【分析】首先根据两条直线平行，得到一个确定的平面，根据直线a?β，点P∈β，p∈b，b?α，确定p∈α，根据一条直线和直线外一点可以确定一个平面，得到另个平面是同一个平面，得到结论．
【解答】证明∵PQ∥a，
∴PQ与a确定一个平面β，
∴直线a?β，点P∈β．
∵p∈b，b?α，
∴p∈α
∵a?α，
∴α与β重合，
∴PQ?α
【点评】本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法，考查两条平行线确定一个平面，考查两条相交线确定一个平面，考查用同一法证明两个平面重合，实际上这种利用公理证明问题的题目，比较抽象．
28．正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？
【分析】根据图形结构的对称性，先求出对每一条边，与其异面的边有4个，共有多不对异面直线，再求出每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有多少对异面直线，由此能求出结果．
【解答】解：根据图形结构的对称性，
对每一条边，与其异面的边有4个，共=24对异面直线，
每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有12对异面直线，
综上，正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有36对．
【点评】本题考查满足条件的异面直线有多少对的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
29．如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
【分析】（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出与的坐标，利用它们的数量积为零证得BD⊥OC；
（2）易证为面PAC的法向量，求出面PBC的法向量，然后求出两法向量的夹角，利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，即可求得二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，4），
∴，，
∴
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），
所以?
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=﹣．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B﹣PC﹣A的余弦值为．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
30．分别用文字语言、图形语言和符号语言书写面面平行的判定定理．
【分析】面面平行判定定理的内容用文字叙述、图形语言以及几何符号表示，分别写出即可．
【解答】解：面面平行的判定定理；
（1）文字语言是“如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”；
（2）图形语言表示：如图所示：
（3）用符号语言表示： ?α∥β．
【点评】本题考查了平面与平面平行的判定定理，熟练掌握平面平行的判定定理是解答本题的关键，是基础题．
31．已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且==，求证：直线FE、GH、AC交于一点．
【分析】证明四边形EFGH是梯形，得出EF，HG相交于一点，再利用面面相交即可证明直线FE、GH、AC交于一点．
【解答】证明：连接BD，∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH∥BD；…（2分）
又∵==，∴FG∥BD；…（4分）
因此EH∥FG且EH≠FG；…（6分）
故四边形EFGH是梯形；
所以EF，HG相交，设EF∩HG=K，…（8分）
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴K∈平面ABC；
同理K∈平面ACD，…（10分）
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴K∈AC，
故直线FE、GH、AC交于一点．…（12分）
【点评】本题考查了证明三线相交的应用问题，通常是先证明两线交于一点，再证第三条直线过交点即可．
32．三棱锥P﹣ABC中，PC=x，其余棱长均为1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
【分析】（1）取AB中点M，由△PAB与△CAB均为正三角形，知AB⊥PM，AB⊥CM，由此能够证明AB⊥PC．
（2）当PM⊥平面ABC时，三棱锥的高为PM，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．
【解答】解：（1）取AB中点M，
∵△PAB与△CAB均为正三角形，
∴AB⊥PM，AB⊥CM，
∴AB⊥平面PCM，
∴AB⊥PC．
（2）当PM⊥平面ABC时，
三棱锥的高为PM，
此时．
【点评】本题考查PC⊥AB的证明和求三棱锥P﹣ABC的体积的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
33．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）先利用P、Q分别是AE、AB的中点?PQ∥BE，PQ=，再利用DC∥BE，DC=可以推出PQ∥DC进而证明PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）取BE的中点F，可以先推出QF∥AE且QF=AE，所以∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角，然后在△DFQ中求出
∠DFQ的余弦值即可．
（Ⅲ）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE，所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角，在△DAP中求出∠DAP即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ∥BE，PQ=BE，
又DC∥BE，DC=BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD（4分）
（Ⅱ）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，可以推出QF∥AE且QF=AE，
易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=2，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=
由余弦定理：可得cos∠DFQ=（8分）
（Ⅲ）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=
所以AD与平面ABE所成角的正弦值为．（12分）
【点评】本题涉及了线面平行以及线线所成角和线面所成角，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
34．已知E、F、G、H是所在线段上的点，且EH∥FG．
求证：EH∥BD．
【分析】根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论．
【解答】证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB、BC、CD、DA上的点
∴直线EH?平面BCD，直线FG?平面BCD
又EH∥FG
∴直线EH∥平面BCD
又∵EH?平面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD
∴EH∥BD
【点评】本题考查线与面平行的判断，线与面平行的性质，考查线面平行的判定和性质的综合应用，本题是一个考查知识点比较集中的题目，只考线与面的平行，是一个目标很明确的题目．
35．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上， =λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上， =λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．
【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
所以A1A⊥平面ABCD．
又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．
在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC中点，所以BC⊥AE．
因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．
（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=． …（4分）
（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，
则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．
则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）． …（6分）
设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．
因为=（，0，0），=（，，1），
由，得x0=0， y0+z0=0．
取y0=2，则z0=﹣1，
则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）． …（8分）
由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…（10分）
【点评】本题考查线面角，考查线面平行的运用，考查向量知识的运用，属于中档题．
36．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB=2A1B1，AA1⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥C1C；
（2）求证：C1C∥平面A1BD．
【分析】（1）由AA1⊥平面ABCD，可证AA1⊥BD．四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可证BD⊥面ACC1A1，再由线面垂直的性质定理可证BD⊥CC1．
（2）连接AC和A1C1，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC1A1为平行四边形，可得CC1∥A1E，再由线面平行的判定定理可证CC1∥平面A1BD．
【解答】证明：（1）∵AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又 AC∩AA1=A，∴BD⊥面ACC1A1．
由CC1?面ACC1A1，
∴BD⊥CC1．
（2）连接AC和A1C1，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC∥A1C1，且 EC=A1C1，
故ECC1A1为平行四边形，∴CC1∥A1E，而CC1?平面A1BD，A1E?平面A1BD，
∴CC1∥平面A1BD．
【点评】本题考查线面平行、垂直的判定定理、线面平行、垂直的性质定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．