第三章 概率的进一步认识
1.用树状图或表格求概率
第一课时
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.经过某丁字路口的汽车,可能左转,也可能右转.若这两种可能性大小相同,则经过这个丁字路口的两辆汽车一辆左转,一辆右转的概率是( )
A.14 B.34 C.12 D.13
2.如图,一个小球从A点入口往下落,在每个交叉口都有向左和向右两种可能,且两种可能性相等.则小球最终从E点落出的概率为( )
A.18 B.16 C.14 D.12
3.有A,B两个不透明的口袋,每个口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样,从每个口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是( )
A.13 B.14 C.23 D.34
4.有三个筹码,第一个一面画×,一面画○;第二个一面画○,一面画□;第三个一面画×,一面画□,依次抛掷这三个筹码,出现一对相同画面的概率是( )
A.58 B.34 C.14 D.16
5.
如图所示,一只蚂蚁从A点出发到D,E,F处寻觅食物.假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处,也可以向右下到达C处,其中A,B,C都是岔路口).那么,蚂蚁从A出发到达E处的概率是 .?
6.为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练,球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次.
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况;
(2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率;
(3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
创新应用
7.
小明和小刚做纸牌游戏,如图,两组相同的纸牌,每组两张,牌面数字分别是2和3,将两组牌背面朝上,洗匀后从每组牌中各抽取一张,称为一次游戏.若两张牌的牌面数字之积为奇数,则小明得2分,否则小刚得1分,这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
答案：
能力提升
1.C 2.C 3.B 4.B 5.12
6.解 (1)根据题意,画出树状图如图.
由树状图可知三次传球共有8种等可能结果.
(2)由(1)可知三次传球后,球回到甲脚下的概率=28=14.
(3)由(1)可知球回到甲脚下的概率=14,传到乙脚下的概率=38,所以球传到乙脚下的概率大.
创新应用
7.解 不公平.理由:根据题意,画出树状图如图.
由图可知,一共有4种等可能的结果,积是偶数的结果有3种,积是奇数的结果有1种,所以做一次游戏,小明的平均得分为14×2=12(分),小刚的平均得分为34×1=34(分).因为12≠34,故这个游戏不公平.
第二课时
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次.若n次抛掷所出现的点数之和大于54n2,则算过关;否则不算过关,则能过第二关的概率是( )
A.1318 B.518 C.14 D.19
2.某校决定从三名男生和四名女生中选出两名同学作为志愿者,则选出一男一女的概率是 .?
3.如图,随机地闭合开关S1,S2,S3,S4,S5中的三个,能够使灯泡L1,L2同时发光的概率是 .?
4.在学校组织的义务植树活动中,甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下,甲组:9,9,11,10;乙组9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树总棵数为19的概率是 .?
5.
如图,管中放置着同样的绳子AA1,BB1,CC1.
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?
(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
6.在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后,背面朝上,洗匀放好,现从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张.
A 2,3,4 B 3,4,5 C 6,8,10 D 5,12,13
(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A,B,C,D表示).
(2)我们知道,满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数,求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
创新应用
7.(1)活动1:在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3的3个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀.甲、乙、丙三名同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出.计算甲胜出的概率.(注:丙→甲→乙表示丙第一个摸球,甲第二个摸球,乙最后一个摸球)
(2)活动2:在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,4的4个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀.请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序: → → ,他们按这个顺序从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出.则第一个摸球的同学胜出的概率等于 ,最后一个摸球的同学胜出的概率等于 .?
猜想:在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,…,n(n≥3,n为正整数)的n个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀.甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出.猜想:这三名同学每人胜出的概率的大小关系.
你还能得到什么活动经验?(写出一个即可)
答案：
能力提升
1.A 2.47 3.15 4.516
5.解 (1)由题意知,共有3种等可能的情况,故P(选中绳子AA1)=13.
(2)依题意,分别在两端随机任选两头打结,列表如下:
右端
左端
A1B1
B1C1
A1C1
AB
AB,A1B1
AB,B1C1
AB,A1C1
BC
BC,A1B1
BC,B1C1
BC,A1C1
AC
AC,A1B1
AC,B1C1
AC,A1C1
总共有9种情况,每种发生的可能性相等.其中能连成一根长绳的情况有6种(左端连AB,右端连A1C1或B1C1;左端连BC,右端连A1B1或A1C1;左端连AC,右端连A1B1或B1C1),所以三根绳子能连接成一根长绳的概率P=69=23.
6.解 (1)列表法:
第二张
第一张
A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
树状图:
由列表或树状图可知,两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种,分别为(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C).
(2)由(1)知,所有可能出现的结果共有12种,其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有(B,C),(B,D),(C,B),(C,D),(D,B),(D,C)共6种.
∴P(抽到的两张卡片上的数都是勾股数)=612=12.
创新应用
7.解 (1)树状图如图.
结果有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),即共有6种等可能结果,其中甲胜出有2种情况,故P(甲胜)=26=13.
(2)答案不唯一,任意安排甲、乙、丙摸球顺序均可,14,14.
猜想:P(甲胜)=P(乙胜)=P(丙胜)=1n;答案不唯一,如活动是公平的,与顺序无关.
第三课时
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.准备两张大小一样,分别画有不同图案的正方形纸片,把每张纸片都按相同的方式对折、剪开,将四张纸片放在盒子里,然后混合,随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( )
A.13 B.14 C.15 D.16
2.如图是两个可以自由转动的转盘,转盘各被等分成三个扇形,并分别标上1,2,3和6,7,8这6个数字.如果同时转动两个转盘各一次(指针落在等分线上重转),转盘停止后,那么指针指向的数字和为偶数的概率是( )
A.12 B.29 C.49 D.13
3.小红上学要经过3个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的机会都相同,小红希望上学时经过每个路口都是绿灯,但实际这样的机会是( )
A.12 B.13 C.18 D.38
4.
如图,一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘,3个扇形分别标有数字1,3,6,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动转盘).分别转动转盘两次,转盘自由停止后,指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率是 .?
5.如图,转盘A的三个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,转盘B的四个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,4.转动A,B转盘各一次,当转盘停止转动时,将指针所指扇形中的两个数字相乘(当指针指在扇形的交线上时,重新转动转盘).
(1)用树状图或列表法列出所有可能出现的结果;
(2)求两个数字的积为奇数的概率.
6.
端午节期间,某商场为了吸引顾客,开展有奖促销活动,设立了一个可以自由转动的转盘,转盘被分成4个面积相等的扇形,四个扇形区域里分别标有“10元”“20元”“30元”“40元”的字样(如图).规定:同一日内,顾客在本商场每消费满100元就可以转转盘一次,商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券,某顾客当天消费240元,转了两次转盘.
(1)该顾客最少可得多少元购物券,最多可得多少元购物券?
(2)请用画树状图或列表的方法,求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.
创新应用
7.
如图①,在一个不透明的袋中装有四个球,分别标有字母A,B,C,D,这些球除了所标字母外都相同.另外,有一面白色、另一面黑色、大小相同的4张正方形卡片,每张卡片两面的字母相同,分别标有A,B,C,D.最初,摆成图②的样子,A,D是黑色,B,C是白色.
操作:①从袋中任意取一个球;
②将与取出球所标字母相同的卡片翻过来;
③将取出的球放回袋中.
两次操作后,观察卡片的颜色.
(如:第一次取出球A,第二次取出球B,此时卡片的颜色变成)
(1)求四张卡片变成相同颜色的概率;
(2)求四张卡片变成两黑两白,并恰好形成各自颜色的矩形的概率.
答案：
能力提升
1.A 2.C 3.C 4.59
5.解 (1)画树状图如图.
则共有12种等可能的结果.
(2)∵两个数字的积为奇数有4种情况,
∴两个数字的积为奇数的概率为412=13.
6.解 (1)画树状图如图.
由此可见该顾客最少可得20元购物券,最多可得80元购物券.
(2)由树状图可以看出,一共有16种等可能的结果,该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况,所以该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为1016=58.
创新应用
7.解 列表如下:
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
共16种情况,每种情况的可能性相同,当抽取组合为AD,BC,CB,DA这4种情况时,四张卡片变成相同的颜色,所以四张卡片变成相同颜色的概率P=416=14.
(2)由(1)中表格可知共16种情况,每种情况的可能性相同.当抽取组合为AB,AC,BA,BD,CA,CD,DB,DC这8种情况时,四张卡片变成两黑两白,并恰好形成各自颜色的矩形,所以四张卡片变成两黑两白,并恰好形成各自颜色的矩形的概率P=816=12.
2.用频率估计概率
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.在一个不透明的口袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同.小张通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%附近,则口袋中白色球的个数很可能是( )
A.6 B.16 C.18 D.24
2.绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示:
每批粒数n
100
300
400
600
1 000
2 000
3 000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1 912
2 850
发芽的频率mn
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是( )
A.0.96 B.0.95 C.0.94 D.0.90
3.若事件A发生的概率为120,则大量反复做这种试验,事件A平均每100次发生的次数是 .?
4.某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如表:
每批粒数n
100
150
200
500
800
1 000
发芽的粒数m
65
111
136
345
560
700
发芽的频率mn
0.65
0.74
0.68
0.69
(1)计算并完成表格.
(2)请估计,当n很大时,频率将接近 .?
(3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少?请简要说明理由.
5.如图,两个转盘A,B都被分成了3个全等的扇形,在每一个扇形内均标有不同的自然数,固定指针,同时转动转盘A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针指在扇形的边线上,则重转).
(1)用列表法(或画树状图)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果;
(2)小明每转动一次就记录数据,并算出两数之和,其中出现“和为7”的频数及频率如下表:
转动总
次数
30
50
100
150
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
10
16
30
46
59
81
110
150
“和为7”出
现的频率
0.33
0.32
0.30
0.31
0.33
0.34
0.33
0.33
如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近,试估计出现“和为7”的概率;
(3)根据(2),若06.某景点的门票价格如下表:
门票价格一览表
指定日普通票
200元
平日优惠票
100元
…
…
某旅行社准备了1 300元,全部用来购买指定日普通票和平日优惠票,且每种至少买一张.
(1)有多少种购票方案?列举所有可能结果.
(2)如果从上述方案中任意选中一种方案购票,求恰好选到11张门票的概率.
创新应用
7.如图,将牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌(只有数字不同,其他都相同)背面朝上,洗匀后放在桌面上.
(1)从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是 ;?
(2)从中随机抽出两张牌,两张牌面数字的和是5的概率是 ;?
(3)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率.
答案：
能力提升
1.B 2.B 3.5
4.解 (1)填表如下:
每批粒数n
100
150
200
500
800
1 000
发芽的粒数m
65
111
136
345
560
700
发芽的频率mn
0.65
0.74
0.68
0.69
0.70
0.70
(2)0.70
(3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.70.理由如下:在相同条件下,多次试验,某一事件的发生频率近似等于概率.
5.解 (1)列表如下:
A
B
x
2
3
y
(x,y)
(2,y)
(3,y)
4
(x,4)
(2,4)
(3,4)
5
(x,5)
(2,5)
(3,5)
(2)由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近,因此估计出现“和为7”的概率为0.33.
(3)由(1)知,共有9种等可能的结果,结合(2)可知“和为7”的结果应有9×0.33≈3(种).
因为(2,5),(3,4)这两组各自的和为7,
所以(x,y),(2,y),(3,y),(x,4),(x,5)中有一组和为7即可.
又因为在每一个扇形内所标的自然数各不相同,且06.解 (1)有6种购票方案:
购票方案
指定日普通
票张数
平日优惠
票张数
一
1
11
二
2
9
三
3
7
四
4
5
五
5
3
六
6
1
(2)由(1)知,共有6种购票方案,且选到每种方案的可能性相等,而恰好选到11张门票的方案只有1种,因此恰好选到11张门票的概率是16.
创新应用
7.解 (1)12 (2)13
(3)列表如下:
第二次第一次
1
2
3
4
1
11
12
13
14
2
21
22
23
24
3
31
32
33
34
4
41
42
43
44
由表可知,共有16种等可能的结果,其中是4的倍数的有4种,所以P(组成的两位数是4的倍数)=416=14.
