第三章 位置与坐标
1 确定位置
/知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
/能力提升/
1.图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的记录.
/
根据图中两人的对话记录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为( )
A.向北直走700 m,再向西直走100 m
B.向北直走100 m,再向东直走700 m
C.向北直走300 m,再向西直走400 m
D.向北直走400 m,再向东直走300 m
2.甲、乙、丙三位同学看如图所示的地图时,对图上的标注描述如下(假设图中所示区域内道路畅通无阻).
/
甲:从学校向北直走500 m,再向东直走100 m可到图书馆;
乙:从学校向西直走300 m,再向北直走200 m可到邮局;
丙:邮局在火车站正西方向200 m处.
根据三人的描述,从图书馆出发,终点是火车站的正确走法是( )
A.向南直走300 m,再向西直走200 m
B.向南直走300 m,再向西直走600 m
C.向南直走700 m,再向西直走200 m
D.向南直走700 m,再向西直走600 m
/
3.如图,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现.如果目标C在第6层,方位角为120°;目标F在第5层,方位角为210°,那么下列说法不正确的是( )
A.目标A在第5层,方位角为30°
B.目标B在第2层,方位角为90°
C.目标D在第4层,方位角为240°
D.目标E在第3层,方位角为120°
4.下面的“简图”表示的是小华集邮册的第15,16页,若15—A1表示九寨沟邮票,则黄山邮票应该表示为 .?
/
5.如图,图书馆在大门的北偏东 方向上,距离大门 处;操场在大门的北偏西 方向上,距离大门 处;车站在大门的 方向,距离大门 处.?
/
6.
/
右面是某批发市场的示意图,小亮的妈妈想给小亮买一双旅游鞋,顺便再给小亮的奶奶买一件羊毛衫.若小亮妈妈现在位于入口C1区.
(1)请指出鞋店与服装店所在的区域;
(2)请把小亮妈妈在该市场购物并返回入口的路线表示出来(一条即可).
/
7.如图,围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋,为记录棋谱方便,横线用数字表示,纵线用英文字母表示.这样,黑棋①的位置记为(C,4),白棋②的位置记为(E,3).请你类似地写出图中其他棋子的位置.
/创新应用/
8.如图,为方便记录某县城部分路段的示意图,东西路段用数字表示,南北路段用英文字母表示.
/
(1)若汽车站的位置用(C,1)表示,请表示出电影院、体育场与少年宫的位置;
(2)小颖家在东王小区,她家的位置可以表示为/;
(3)李红家的位置在(F,6)处,请在图中标出她家的位置;
(4)周末李红想到少年宫去玩,请你帮她写出一条从家到少年宫的行走路线.
答案：
能力提升
1.A 如图所示,依题意得OA=OC=400 m=AE,AB=CD=300 m,BE=300+400=700(m),DE=400-300=100(m),所以从邮局出发走到小杰家的路径为向北直走700 m,再向西直走100 m.故选A.
/
2.A 根据甲、乙、丙三人的描述可画出图形,如图,O代表学校,A代表图书馆,B代表邮局,C代表火车站.由图可知四个选项中只有A符合条件.
/
3.D 目标E在第3层,方位角为300°.
4.16—B3
5.60° 3 km 30° 6 km 正南 4 km
6.解 (1)鞋店在B3区,服装店在E2区.
(2)C1区→C2区→B2区→B3区→C3区→D3区→E3区→E2区→E1区→D1区→C1区.(答案不唯一)
7.解 黑棋③(G,3);白棋④(G,4);黑棋⑤(H,4);白棋⑥(G,5);黑棋⑦(F,3);白棋⑧(E,4);黑棋⑨(D,6).
创新应用
8.解 (1)电影院的位置是(A,1),体育场的位置是(B,5),少年宫的位置是(D,5).
(2)小颖家的位置可表示为(E,1).
(3)略,标注准确即可.
(4)从李红家到少年宫的行走路线较多,如:(F,6)→(E,6)→(D,6)→(D,5).(答案不唯一)
2 平面直角坐标系
第一课时
/知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
/能力提升/
1.若点P(a,b)到x轴的距离是2,到y轴的距离是4,则这样的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2017广西贵港中考)在平面直角坐标系中,点P(m-3,4-2m)不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
/
3.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为( )
A.(3,-2)
B.(-2,3)
C.(-3,2)
D.(2,-3)
4.在平面直角坐标系中,已知点P在第四象限,且点P到x轴、y轴的距离分别为4,3个单位长度,则点P的坐标是 .?
5.已知点P坐标为(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则P的坐标是 .?
6.吴同学过点(-5,0)作x轴的垂线,过点(0,4)作y轴的垂线,两条直线交于一点P,则点P的坐标是/.
7.已知点A在x轴上,且与原点之间的距离为4,则点A的坐标是 .?
8.指出下列各点所在的象限或坐标轴:
A(-
5
,0),B(-2,-5),C
2
,
1
2
,D(0,0),E(0,3),F(
2
?
3
,
3
?
2
).
/
9.如图,用(0,0)表示点A的位置,用(2,1)表示点B的位置.
(1)在图中画出x轴、y轴,并写出C,D,E三点的坐标;
(2)在图中标出(3,2),(1,2),(3,4)的位置上的点,并分别标上字母F,G,H.
/创新应用/
10.如图是一组密码的一部分.为了保密,许多情况下可采用不同的密码,请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前,已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”.若“今”所处的位置为(x,y),你找到的密码钥匙是( ),破译“正做数学”的真实意思是“ ”.?
/
答案：
能力提升
1.D ∵点P(a,b)到x轴的距离是2,
即|b|=2,
∴b=2或-2;
∵点P(a,b)到y轴的距离是4,
即|a|=4,
∴a=4或-4.
∴点P的坐标为(4,2),(4,-2),(-4,2)或(-4,-2),共4个.
2.A 3.A
4.(3,-4) 点P到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值,点P到y轴的距离是它的横坐标的绝对值,横坐标写在纵坐标的前面.
5.(3,3)或(6,-6) 由题意知2-a=3a+6或2-a=-(3a+6),解得a=-1或a=-4.
故P的坐标是(3,3)或(6,-6).
6.(-5,4)
7.(4,0)或(-4,0)
8.解 点A在x轴上;点B在第三象限;点C在第一象限;点D是坐标原点,既在x轴上,又在y轴上;点E在y轴上;点F在第二象限.
9.解 (1)如图所示,点C(2,5),D(1,3),E(4,3).
(2)如图所示.
/
创新应用
10.x+1,y+2 祝你成功 先由“今天考试”与“努力发挥”的坐标,发现密码钥匙,再利用密码钥匙破译“正做数学”的真实意思.由已知得:
今(3,2)
天(5,1)
考(1,5)
试(6,6)
努(4,4)
力(6,3)
发(2,7)
挥(7,8)
比较“今天考试”与“努力发挥”的坐标,不难发现密码钥匙为(x+1,y+2).因此得“正做数学”的真实意思是“祝你成功”.
正(4,2)
做(5,6)
数(7,2)
学(2,4)
祝(5,4)
你(6,8)
成(8,4)
功(3,6)
第二课时
/知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
/能力提升/
1.若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(-a,b+1)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若点M(x,y)满足(x+y)2=x2+y2-2,则点M所在象限是( )
A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限 D.不能确定
3.已知点M(3,-2)与点M'(x,y)在同一条平行于x轴的直线上,且点M'到y轴的距离为4,则点M'的坐标是( )
A.(4,2)或(-4,2) B.(4,-2)或(-4,-2)
C.(4,-2)或(-5,-2) D.(4,-2)或(-1,-2)
4.如果点E(-a,-a)在第一象限,那么点F(-a2,-2a)在第 象限.?
5.已知点P(a,-2),Q(3,7),且PQ∥y轴,则a= .?
6.在平面直角坐标系中,点M(t-3,5-t)在坐标轴上,则t= .?
7.如果m是任意实数,那么点P(m-4,m+1)一定不在第 象限.?
8.已知在平面直角坐标系中,线段AB=3,AB平行于x轴,且点A坐标是(1,2),则点B坐标是 .?
9.在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如图所示.
/
(1)填写下列各点的坐标:
A1( , ),A3( , ),A12(/,/);?
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.
/创新应用/
10.如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3……组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒
π
2
个单位长度,则第2 017秒时,点P的坐标是( )
/
A.(2 016,0) B.(2 017,-1)
C.(2 017,1) D.(2 018,0)
答案：
能力提升
1.A 2.B
3.B ∵点M(3,-2)与点M'(x,y)在同一条平行于x轴的直线上,∴M'的纵坐标y=-2.
∵M'到y轴的距离等于4,
∴M'的横坐标为4或-4.
∴点M'的坐标为(4,-2)或(-4,-2).
4.二 ∵点E(-a,-a)在第一象限,
∴-a>0,即a<0.
∴-a2<0,-2a>0.∴点F在第二象限.
5.3
6.3或5 点在坐标轴上,则有可能在x轴上,也有可能在y轴上.点在x轴上,纵坐标为0;点在y轴上,横坐标为0.
7.四 显然m-48.(4,2)或(-2,2) 点B可能在点A的右边或左边,所以本题有两种情况.
∵AB∥x轴,∴点B与点A的纵坐标相同,横坐标是1+3=4或1-3=-2.
9.解 (1)A1(0,1),A3(1,0),A12(6,0).
(2)当n=1时,A4(2,0),当n=2时,A8(4,0),当n=3时,A12(6,0),所以A4n(2n,0).
(3)点A100中的n正好是4的倍数,所以点A100和A101的坐标分别是A100(50,0),A101(50,1),所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上.
创新应用
10.C ∵r=1,∴半圆长度为π,
π
2
×2 017÷π=1 008……1,即点P第2 017秒时位于第1 009个半圆弧的中点处,横坐标为1 009×2-1=2 017.
观察图形,可知第奇数个半圆均在x轴的上方,弧的中点纵坐标均为1,∴点P的坐标为(2 017,1).
第三课时
/知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
/能力提升/
1.在平面直角坐标系中,等边三角形的顶点A,B的坐标分别是(0,0),(2,0),AB边上的高为
3
,则顶点C的坐标是( )
A.(1,
3
) B.(1,-
3
)
C.(1,
3
)或(1,-
3
) D.(-1,
3
)或(-1,-
3
)
2.(2017湖南邵阳中考)如图所示,三架飞机P,Q,R保持编队飞行,某时刻在坐标系中的坐标分别为(-1,1),(-3,1),(-1,-1).30秒后,飞机P飞到P'(4,3)位置,则飞机Q,R的位置Q',R'分别为( )
/
A.Q'(2,3),R'(4,1) B.Q'(2,3),R'(2,1)
C.Q'(2,2),R'(4,1) D.Q'(3,3),R'(3,1)
/
3.如图,是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图,若规定:“爱”所在的位置表示为(0,0),“我”表示为(1,1).则在原正方体的表面上,与汉字“美”相对的面上的汉字可表示为 .?
4.(2017黑龙江大庆中考)若点M(3,a-2),N(b,a)关于原点对称,则a+b= .?
5.王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩,回到家后,她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图,如图所示(每个小正方形的边长为1).可是她忘记在图中标出原点和x轴、y轴,只知道游乐园D的坐标为(2,-2),你能帮她求出其他各景点的坐标吗?
/
6.如图,这是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系,规定一个单位长度表示1 km,甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置如下.则椒江区B处的坐标是 .?
/
甲:路桥区A处的坐标是(2,0).
乙:路桥区A处在椒江区B处南偏西30°方向,相距16 km.
(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.)
7.如图,已知在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,建立适当的平面直角坐标系,写出△ABC各顶点的坐标.
/
/创新应用/
8.如图,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长均为1个单位长度,P1,P2,P3,…均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2),…,根据这个规律,点P2 017的坐标为 .?
/
答案：
能力提升
1.C
2.A 由点P(-1,1)到P'(4,3)知,编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位,故点Q(-3,1)的对应点Q'坐标为(2,3),点R(-1,-1)的对应点R'坐标为(4,1),故选A.
3.(3,0) 4.-2
5.解 由题意可知,景区地图在以点F为坐标原点(0,0),射线FA为y轴正半轴的平面直角坐标系中,则A,B,C,E的坐标分别为A(0,4),B(-3,2),C(-2,-1),E(3,3).
6.(10,8
3
) 建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意得OA=2,AB=16,∠ABC=30°,
∴AC=
1
2
AB=8,由勾股定理,得BC=8
3
,
∴OC=OA+AC=2+8=10,
∴B处的坐标是(10,8
3
).
/
7.解 答案不唯一.如图,以点A为原点,以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系.过点C作CD⊥AB于点D.易知D为AB的中点.
/
∵AB=6,∴AD=BD=3,
∴CD=
5
2
-
3
2
=4,
∴点A的坐标为(0,0),点C的坐标为(3,4),点B的坐标为(6,0).
创新应用
8.(-504,-504)
3 轴对称与坐标变化
/知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
/能力提升/
1.
/
如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
/
2.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴对称的图形又是关于y轴对称的图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是( )
A.M(1,-3),N(-1,-3)
B.M(-1,-3),N(-1,3)
C.M(-1,-3),N(1,-3)
D.M(-1,3),N(1,-3)
3.(2017海南中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是( )
/
A.(-3,2) B.(2,-3)
C.(1,-2) D.(-1,2)
4.若点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴对称,则代数式(a+b)2 017的值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
/
5.如图,在等边三角形ABC中,点B在坐标原点,点C的坐标为(4,0),则点A关于x轴的对称点A'的坐标为 .?
6.已知点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),则ab的平方根为 .?
7.在平面直角坐标系中,已知点A(-3,1),B(-1,0),C(-2,-1),请在图中画出△ABC,并画出与△ABC关于y轴对称的图形.
/
8.如图,在平面直角坐标系中,直线m过点(1,0)且平行于y轴;直线n过点(0,-1)且平行于x轴.分别作出△PQR关于直线m和直线n成轴对称的图形,并分别写出所作三角形的顶点坐标.
/
/创新应用/
/
9.如图,某公路的同一侧有A,B,C三个村庄,x轴为公路,要在公路边建一货站D,向A,B,C三个村庄运送农用物资,路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D.
(1)试问在公路上是否存在一点D,使送货路程最短?若存在,请画出点D的位置,并写出画法.
(2)若∠ADO=45°,试求出(1)中点D的坐标.
答案：
能力提升
1.B 2.C
3.B 如图所示,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).
故选B.
/
4.A
5.(2,-2
3
) 由点C的坐标为(4,0),得AB=AC=BC=4,过A作AD⊥BC,垂足为D(图略),易知D为BC的中点,则BD=
1
2
BC=2,AD2=AB2-BD2=12,所以AD=2
3
.所以点A的坐标为(2,2
3
).故点A'的坐标为(2,-2
3
).
6.±5 ∵点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),∴a+b=-3,1-b=-1,解得b=2,a=-5,∴ab=25.
∵(±5)2=25,∴ab的平方根是±5.
7.解 如图所示,△DEF与△ABC关于y轴成轴对称.
/
8.解 如图所示.
/
△P'Q'R'与△PQR关于直线m成轴对称,顶点坐标为P'(3,3),Q'(6,5),R'(6,1);△P″Q″R″与△PQR关于直线n成轴对称,顶点坐标为P″(-1,-5),Q″(-4,-7),R″(-4,-3).
创新应用
9.解 (1)存在.画法:作点A关于x轴的对称点A',则A'的坐标为(1,-2),连接A'C交x轴于点D,则点D即为所求.
(2)设AA'交x轴于点E.
∵A(1,2),∴OE=1,AE=2.∵∠ADO=45°,
∴DE=AE=2,OD=OE+DE=3,即D(3,0).
/
