新湘教版 数学 八年级上 5.3 二次根式的加法和减法（2） 教学设计
课题
5.3 二次根式的加法和减法（2）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：在实数混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算
过程与方法：通过对混合运算的比较，体会运算的顺序及运算律在计算过程中的作用
情感态度与价值观：通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注意培养学生的类比思想.
重点
二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
难点
分母中含有根号的二次根的的化简.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上节课的学习中，我们学习了二次根式的加减法，下面请同学们回答：
问题1、二次根式加减的步骤是什么？
答案：首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.
问题2、填空.
答案：，
学生听老师的提问，然后回答问题.
通过回顾二次根式的加减法，为二次根式的混合运算做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
动脑筋：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽， 下底， 高的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方为多少立方米呢？（路基的土石方即等于路基的体积）？
/
追问：题中的数量关系是什么？
答案：路基的土石方＝路基横断面面积×路基的长度
解：
答：这段路基的土石方为
想一想：从解答的过程中，可以得到什么结论呢？
归纳：二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
例1：计算.
解：
/
例2：计算.
解：
练习1：计算.
解：
想一想：观察下面的计算过程，你能对进行化简吗？
解：
例3：计算.
解：
练习2：计算.
解：
归纳：二次根式混合运算的方法：
二次根式的混合运算与实数运算类似，先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序．
(1)整式和分式的运算法则在根式运算中仍然适用．
(2)多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．
学生读题，在老师的引导下列出算式并尝试计算，然后班内交流，并认真听老师的讲解，最后得出二次根式混合运算的顺序.
独立完成例1例2与练习1，小组交流后，认真听老师的讲解.
学生认真观察并思考，然后小组讨论、班内交流，最后听老师的讲评.
学生独立完成例3及练习，并小组交流，然后老师点评.
师生共同归纳二次根式混合运算的方法.
体会二次根式混合去处的顺序与实数的运算顺序一致.
体会运算律和整式的乘法公式在二次根式混合运算中同样适用..
体会分母有理化的方法..
进一步提高学生的运算能力.
明确二次根式混合运算的方法.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1．计算的结果为( )
A．5 B．－5 C．7 D．－7
答案：A
2. 计算:
解：
3.已知求x3y＋xy3的值．
解：
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
已知，求的值．
解：由已知得
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题：如何进行二次根式的混合运算？
二次根式的混合运算与实数运算类似，先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序．
(1)整式和分式的运算法则在根式运算中仍然适用．
(2)多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第172页习题5.3A组第3、4题
能力作业
教材第172页习题5.3B组第6题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
5.3 二次根式的加法和减法（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．估计
32
﹣
16
÷2的运算结果在哪两个整数之间（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
2．设a＝
7
－1，则代数式a2＋2a－10的值为( )
A．－3 B．－4 C．－4
7
D．－4
7
＋1
3．化简（2﹣
5
）4×（2+
5
）3的结果为（ ）
A．﹣2+
5
B．2﹣
5
C．2+
5
D．﹣2﹣
5
4．化简
2
÷(
2
?1)的结果是（ ）
A．2
2
?1 B．2?
2
C．1?
2
D．2+
2
5．设M=
2017
2
?2016×2018
，N=
2017
2
?4034×2018+
2018
2
，则M与N的关系为（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．计算（
7
+
3
）（
7
?
3
）的结果等于_____．
7．计算：
2
3
(
12
?
27
)=_____．
8．已知a，b是正整数，且满足2(
15
??
+
15
??
)是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．
9．已知x=
3
?1，y=
3
+1，则
??+
????
????
+??
+
????
???
???
????
的值是_____．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．计算
(1)
27
?
12
3
． （2）
6
?2
15
×
3
?6
1
2
．
11．计算
（1）（5
48
＋
12
－6
3
）÷
3
（2） (
2
+1)(
2
?1)?
(
3
?
2
)
2
12．先阅读，再解答
由(
5
+
3
)(
5
?
3
)=(
5
)
2
?(
3
)
2
=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
1
3
+
2
=
3
?
2
(
3
+
2
)(
3
?
2
)
=
3
?
2
，请完成下列问题：
1
求
2
?1的有理化因式；
(2)化去式子分母中的根号：
2
3
2
，
3
3?
6
；
(3)比较
2019
?
2018
与
2018
?
2017
的大小，并说明理由．
试题解析
1．D
【解析】先估算出
32
的大致范围，然后再计算出
16
÷2的大小，从而得到问题的答案．
解：25＜32＜36，∴5＜
32
＜6．
原式=
32
﹣4÷2=
32
﹣2，∴3＜
32
﹣
16
÷2＜4．
故选D．
2．B
【解析】把a2+2a-10通过拆项得出a2+2a+1-11，根据完全平方公式得出（a+1）2-11，代入求出即可．
解：∵??=
7
?1，
∴
??
2
+2???10=
??
2
+2??+1?11=
(??+1)
2
?11=
(
7
?1+1)
2
?11=7?11=?4，
故选:B.
3．A
【解析】把题目中的式子化为
(2?
5
)(2+
5
)
3
×(2?
5
)，再利用平方差公式计算即可.
解：（2﹣
5
）4×（2+
5
）3
=
(2?
5
)(2+
5
)
3
×(2?
5
)
=
(4?5)
3
×(2?
5
)
=
5
?2.
故选A.
4．D
【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.
解：原式=
2
×
1
2
?1
=
2
×（
2
+1）=2+
2
.
故选D.
5．C
【解析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．
解：∵M=
2017
2
?(2017?1)×(2017+1)
=
2017
2
?
2017
2
+1
=1，
N=
(2017?2018)
2
=1，
∴M=N，
故选：C．
6．4
【解析】利用平方差公式计算.
解：原式=(
7
)2-(
3
)2
=7-3
=4.
故答案为：4.
7．-
2
【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式=2
2
?3
2
=?
2
.
故答案为：-
2
.
8．7
【解析】解：∵2（
15
??
+
15
??
）=
60
??
+
60
??
，∴a、b的值为15，60，135，240，540．
①当a=15，b=15时，即2（
15
??
+
15
??
）=4；
②当a=60，b=60时，即2（
15
??
+
15
??
）=2；
③当a=15，b=60时，即2（
15
??
+
15
??
）=3；
④当a=60，b=15时，即2（
15
??
+
15
??
）=3；
⑤当a=240，b=240时，即2（
15
??
+
15
??
）=1；
⑥当a=135，b=540时，即2（
15
??
+
15
??
）=1；
⑦当a=540，b=135时，即2（
15
??
+
15
??
）=1；
故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．
所有满足条件的有序数对（a，b）共有 7对．故答案为：7．
9．
6
/
10．(1)1;(2)-6
5
【解析】（1）首先化简二次根式进而求出即可； （2）首先利用二次根式乘法化简进而合并求出即可．
解：（1）原式=
27
3
?
12
3
,
=
27
3
?
12
3
,
=
9
?
4
,
=3?2,
=1.
（2）原式=
6×3
?2
15×3
?6×
2
2
,
=3
2
?6
5
?3
2
,
=?6
5
.
11．（1）16；（2）2
6
?4
【解析】（1）每一项都除以
3
，然后化简，再计算．
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可．
解：（1）原式=5
16
+
4
?6=20+2－6=16；
（2）原式=
(
2
)
2
?
1
2
?(3+2?2
6
)=2?1?(5?2
6
)=2
6
?4．
12．（1）
2
+1；（2）
2
3
；3+
6
；（3）(3)
2019
?
2018
<
2018
?
2017
．理由见解析.
【解析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到
2
-1的有理化因式； （2）利用分式的基本性质，分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号；
（3）根据分母有理化比较大小.
解：(1)
2
?1的有理化因式是
2
+1；
(2)：
2
3
2
=
2
3
，
3
3?
6
=
3(3+
6
)
(3?
6
)(3+
6
)
=3+
6
；
(3)
2019
?
2018
<
2018
?
2017
．
理由如下：
1
2019
?
2018
=
2019
+
2018
；
1
2018
?
2017
=
2018
+
2017
，
∵
2019
>
2017
，
∴
1
2019
?
2018
>
1
2018
?
2017
，
∴
2019
?
2018
<
2018
?
2017
．
/
课件20张PPT。二次根式的加法和减法（2）数学湘教版 八年级上新知导入1、二次根式加减的步骤是什么？ 首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.2、填空.新知讲解 动脑筋：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ， 下底宽 ， 高
的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方为多少立方米呢？（路基的土石方即等于路基的体积）？ 题中的数量关系是什么？路基的土石方＝路基横断面面积×路基的长度新知讲解解：答：这段路基的土石方为 从解答的过程中，可以得到什么结论呢？二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.新知讲解例1：计算.解： 二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.新知讲解例2：计算.解：新知讲解练习1：计算.解：新知讲解想一想：观察下面的计算过程，你能对 进行化简吗？解：新知讲解例3：计算.解：新知讲解练习2：计算.解：新知讲解二次根式混合运算的方法： 二次根式的混合运算与实数运算类似，先乘方再乘除，最后
加减，有括号先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序．
(1)整式和分式的运算法则在根式运算中仍然适用．
(2)多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．课堂练习1．计算 的结果为( )
A．5
B．－5
C．7
D．－7A课堂练习2. 计算:解：课堂练习3.已知 求x3y＋xy3的值．
解：拓展提高已知 ，求 的值．解：由已知得课堂总结如何进行二次根式的混合运算？ 二次根式的混合运算与实数运算类似，先乘方再乘除，最后
加减，有括号先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序．
(1)整式和分式的运算法则在根式运算中仍然适用．
(2)多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．板书设计
课题：5.3二次根式的加法和减法（2）??
教师板演区?
学生展示区1、二次根式的混合运算方法
2、整式、分式的运算公式同样适用于二次根式基础作业
教材第172页习题5.3A组第3、4题
能力作业
教材第172页习题5.3B组第6题
作业布置
