第15章 轴对称图形与等腰三角形单元测试卷
满分150分，时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，0）沿直线y=x折叠得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣2）
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
5．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（ ）
A．8° B．9° C．10° D．11°
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．120° C．270° D．360°
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
9．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为 ．
12．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为 cm．
13．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′=36°，则∠D′OE的度数为 ．
14．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，G是AD上一点，且AG=DG，连接BG并延长BG交AC于E，又过C作AD的垂线交AD于H，交AB为F，则下列说法正确的是 （填序号）．
①D是BC的中点；②∠CDA＞∠2；③BE是△ABC的边AC上的中线；
④CH为△ACD的边AD上的高；⑤△AFC为等腰三角形；
⑥连接DF，若CF=6，AD=8，则四边形ACDF的面积为24．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，点P关于OA、OB的对称轴分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠AOB=48°，求∠MPN
（8分）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与CB交于点F，求△CEF的面积．
17．（8分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（3，4），C（4，﹣1）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，直接写出A1、B1、C1的坐标 ；
（2）试在平面直角坐标系中，画出△ABC和△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AC的长度．
19．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．
（1）求证：EM=FM；
（2）求证：AC=AN．
20．（10分）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．
21．（12分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
22．（12分）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由．
23．（14分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD= ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC= ．
第15章 轴对称图形与等腰三角形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，0）沿直线y=x折叠得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣2）
解：∵直线y=x是第一，第三象限的角平分线，
∴x轴，y轴关于直线y=x对称
∵点P（﹣2，0）在x轴的负半轴上
∴点Q在y轴的负半轴上
设点Q（0，y）
∵点P与点Q关于直线y=x对称，
∴点P，点Q到原点O的距离相等
∴OP=OQ=2
∴点Q（0，﹣2）
故选：D．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
解：∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠B，
∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴CD=CA=5，∠ACE=∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠DCE=∠BCD，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD=5（（cm），
故选：A．
4．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：
如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件；
当PA=PO时，可得P3满足条件；
当AO=AP时，可得P4满足条件，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（ ）
A．8° B．9° C．10° D．11°
解：连接OA，
∵∠BAC=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB=OA，OC=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB=98°﹣（∠OBA+∠OCA）=16°，
∴∠OBC=8°，
故选：A．
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．120° C．270° D．360°
解：∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，
∴∠1+∠2=120°．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
证明：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，
∴MN=3cm．
故选：C．
9．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×12=6，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故选：B．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为 14 ．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2BE=8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC=22，
∴AB+AC=14，
∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=14，
故答案为：14．
12．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为 3 cm．
解：作PC⊥OB于C，则此时PC最小，
∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC=3，∠AOP=30°，
∴OP=2PD=6，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴DM=OP=3，
故答案为：3．
13．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′=36°，则∠D′OE的度数为 72° ．
解：∵四边形ODCE折叠后形成四边形OD′C′E，
∴∠D′OE=∠DOE，
∴∠AOD′+2∠D′OE=180°，
∵∠AOD′=36°，
∴∠D′OE=72°．
故答案为：72°．
14．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，G是AD上一点，且AG=DG，连接BG并延长BG交AC于E，又过C作AD的垂线交AD于H，交AB为F，则下列说法正确的是 ②④⑤⑥ （填序号）．
①D是BC的中点；②∠CDA＞∠2；③BE是△ABC的边AC上的中线；
④CH为△ACD的边AD上的高；⑤△AFC为等腰三角形；
⑥连接DF，若CF=6，AD=8，则四边形ACDF的面积为24．
解：①错误．假设结论成立，则↓ABC是等腰三角形，显然不可能，故①错误；
②正确．∵∠ADC=∠1+∠ABD，∠1=∠2，
∴∠ADC＞∠2，故②正确；
③错误．假设结论成立，则∵AG=GD，AE=EC，
∴EG∥BC，显然不可能，故③错误，
④正确，∵CH⊥AD，
∴CH为△ACD的边AD上的高，故④正确，
⑤正确．∵∠1=∠2，AD=AD，∠AHF=∠AHC=90°，
∴△AHF≌△AHC（ASA），
∴AF=AC，故⑤正确，
⑥正确．∵AD⊥CF，
∴S四边形ACDF=×AD×CF=×6×8=24．
故答案为②④⑤⑥．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，点P关于OA、OB的对称轴分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠AOB=48°，求∠MPN
解：（1）∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm；
（2）PC交OA于R，PD交OB于T
∵P关于OA、OB的对称点是点C、D
∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD
∴CM=PM，PN=DN
∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，
∵∠PRM=∠PTN=90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠CPD+∠O=180°，
∴∠CPD=180°﹣48°=132°
∴∠C+∠D=48°
∴∠MPN=180°﹣48°×2=84°．
（8分）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与CB交于点F，求△CEF的面积．
解：由对称的性质可知：BD=CE=AB﹣AD=10﹣6=4，
且：∠AED=∠FEC=45°
又∵∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形
∴S△CEF=CF?CE=×4×4=8，
即：△CEF的面积为8．
17．（8分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（3，4），C（4，﹣1）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，直接写出A1、B1、C1的坐标 A1（0，﹣4），B1（3，﹣4），C1（4，1） ；
（2）试在平面直角坐标系中，画出△ABC和△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积．
解：（1）A1（0，﹣4），B1（3，﹣4），C1（4，1）；
故答案为：A1（0，﹣4），B1（3，﹣4），C1（4，1）；
（2）如图所示△ABC即为所求；
（3）S△ABC=×3×5=．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AC的长度．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠BDC=∠DBA+∠A=60°；
19．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．
（1）求证：EM=FM；
（2）求证：AC=AN．
（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°，
又∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠AED=∠CEF，
∴∠CEF=∠CFE，
又∵CM⊥AF，
∴EM=FM．
（2）证明：∵CN⊥AF，
∴∠AMC=∠AMN=90°，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（SAS），
∴AC=AN．
20．（10分）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．
解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∵△APQ的周长为18，
∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18，
∴BC=18；
21．（12分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC=∠HCD=60°，
∴FH∥BD．
22．（12分）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，则刚才的结论还成立吗？请说明理由．
解：（1）EF=BE+CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF；
（2）不成立，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．
23．（14分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD= 1：1 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC= 9 ．
解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；
（3）
∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案为：9．
